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1、动力学基础(Fundamentals of Aerodynamics)空气亚声翼型绕流与线化理论第27讲1亚声速可压流中翼型绕流动特点2定常理想可压流速势位方程3小扰动线化理论一亚声速可压流中翼型绕流动特点在流场中，如果处处都是亚声速，则称该流场为亚声速流场。我们知道：当马赫数小于0.3时，可以忽略空气的压缩性，按不可压缩流动处理；当马赫数大于0.3时，就要考虑压缩性的影响，否则会导致较大误差。一亚声速可压流中翼型绕流动特点亚声速翼型绕流图画与低速不可压流动情况相比，无本质区别，只是在翼型上下流管收缩处，亚声速可压流在竖向受到扰动的扩张，要比低速不可压流的流线为大，即压缩性使翼型在竖向产生的扰
2、动，要比低速不可压流的为强，传播得更远。一亚声速可压流中翼型绕流动特点对于相同的速度增量dV/V，由连续方程得到亚声速可压流引起的截面积减小量dA/A，要小于不可压的情况，故当地流管要大，因为可压流时，随着速度的增加，密度要减小，故为保持质量守恒，截面积减小的程度就要小于不可压 情况，即流管比不可压情况为大。一亚声速可压流中翼型绕流动特点亚音速可压流低速不可压流一亚声速可压流中翼型绕流动特点亚声速可压翼型绕流的流线扰动比不可压缩流动大些，原因也可用一维等熵流的理论来分析。取AA和BB之间的流管，我们知道，有=AVMadAdV(1)2即对相同的速度增量dV/V，亚声速可压流引起的截面积减小量dA
3、/A，要小于不可压的情况，故当地流管要大。一亚声速可压流中翼型绕流动特点在亚声速可压流中，翼型表面的负压区，对于相同速度变化率dv/v的增量，由于=dVVdVMadpdpddV a 22所引起的密度变化率是负的，为了保持流管中质量守恒，与不可压缩流动相比，流线必须在垂向扩张以增大流管面积。这就说明受压缩性影响，将使翼型在垂向所产生的扰动，要比低速不可压流的为大，从而在该方向扰动传播的更远。二理想定常可压流速度势方程在理想定常流动中，对等熵可压流动，因密度不是常数，故速度势不再满足拉普拉斯方程（不可压缩流动）。此时，连续方程为+=+=xyzuvw0()()()不计质量力的欧拉方程为+=+=+=+
4、=+=+=xyzzuvwwwwpxyzyuvwvvvpxyzxuvwuuup111二理想定常可压流速度势方程在等熵流动中，密度只是压强的函数，为理想正压流体。=xdpxaxyayzazdpppp 111222+=+=+=+=axyzxyzupvpwpuvwxyzxyzuvwuvw01()02由连续方程，有二理想定常可压流速度势方程将欧拉方程中的压强偏导数通过声速代换成密度导数，代入连续方程，即得只含速度和声速的方程形式。+=+=+axyzxyzuvwwwwwuvwaxyzaxyzuvwuvwuuuuvvvv0222二理想定常可压流速度势方程+=+=+ayxazyazxuvuvvwvwuwuwa
5、xayazuuvvww0(1)(1)(1)222222222整理后，得到：二理想定常可压流速度势方程对于势流，存在速度势函数，将其速度分量的表达式代入上式，可得包含一个未知函数的方程。有=xyzu v w =+ax yay zax zuvvwuwaxayazuvw2220(1)(1)(1)222222222222222222二理想定常可压流速度势方程该方程即为理想定常可压流速势方程，又称全速位（势）方程。+=+=+=+=+=+=CpCRTCCVdpVVa22121 2222不可压流动相当于声速趋于无穷大的情况，代入全速位方程，即得拉普拉斯方程。由等熵流动的能量方程，可得二理想定常可压流速度势方
6、程这样，声速可用速度形式表示。因此，全速度位方程中仅包含一个未知函数速度势函数。故，对于定常、理想、等熵可压缩绕流问题，即为满足具体边界条件求解全速位方程的数学问题，由于方程的非线性，对于实际物体形状的绕流问题，一般无法求精确解。二理想定常可压流速度势方程全速位方程因为系数是速度位的函数，故是非线性的二阶偏微分方程（二阶拟线性方程）,难于求解；可采用小扰动线化的近似解法及数值解法等。飞行器做高速飞行时,为减小阻力,机翼的相对厚度、弯度都较小，且迎角也不大,如图所示，因此对无穷远来流的扰动，除个别地方外，总的来说不大，满足小扰动条件。薄翼型对直均流的扰动(a)未受扰流场(b)受扰流场三小扰动线化
7、理论取x轴与未经扰动的直匀来流一致，在风轴系中，流场各点的速度为，可以将其分成两部分，一是前方来流，一是由于物体的存在，对流场产生的扰动速度，设为，故u v w,u vw,V三小扰动线化理论=+=+wwvvuVu三小扰动线化理论VVVuvw1,1,1若扰动分速与来流相比都是小量，即，则称为小扰动。在小扰动条件下，全速位方程可以简化为线化方程。将上式代入全速位方程，并通过能量方程给出音速a：+=+=+aVaV22112222=+=+aaV uuvw22122222)(三小扰动线化理论+=+=yxzyzxuvvwuwuvvwuwxyzauavawuvw()()()222222速度位方程变成为=+=
8、+=+=+MaVVVuuvwVVaV uuvwVuau22 (1)()()111122()1122222222222222)(=+=+=+=+MaVVVuvuwVVaV uuvwvav22 (1)()()111221122222222222222)(=+=+=+=+MaVVVuwuvVVaV uuvwwaw22 (1)()()111221122222222222222)(三小扰动线化理论整理后，得到+VVzxMawuuwVyxV VzyMauuvvwvw(1)22+=+=+VMavVVVzMauwuvwVVVyMauvuwvVVVxMauuvwuxyzMauvw(122(1)()()1122(
9、1)()()1122(1)()()11(1)22222222222222222三小扰动线化理论此式的左边是常系数的线性项，右边则是非线性项。如果利用小扰动假设，忽略三阶小量，有+=+=+VyxVzxMaMavuvwuwVxVyVzMaMaMauuuvuwxyzMauvw(1)(1)(1)(1)222222三小扰动线化理论+=+=+VyxVzxMaMavuvwuwVxVyzMaMauuuvwxyzMauvw(1)(1)()(1)22222为了书写方便，去掉，得到三小扰动线化理论如果假设：流动满足小扰动条件；此时，上式左侧为一量级，右侧二阶小量略去，得非跨声速流动，即不太接近于1，故不是小量；M
10、M12非高超声速流，即不是很大。M+=+=xyzMauvw(1)02对于势流，有+=+=xyzMa(1)02222222三小扰动线化理论该方程是二阶线性奇次偏微分方程，称为全速位方程的小扰动线化方程。+=+=xyz02222222时，令，上面方程为 M1=Ma12三小扰动线化理论=xyzB02222222时，令，上面方程为 M1=BMa12可见，线化方程在亚声速时为椭圆型方程，在超声速时为双曲型方程。三小扰动线化理论按压强系数的定义=VVVVMaCRTapppppppppppp212(/1)2(/1)2(/1)2(/1)222222应用能量方程和等熵关系+=+=+=+=pCVpVp2121 2
11、2三小扰动线化理论=pVpVMapVpVpV122(1)(1)(1)(1)1222222=+=+pVMapV21(1)12212三小扰动线化理论由此得到压强系数为=+=+MaVCMaVp21(1)12122212将上式按二项式展开，在小扰动时，略去扰动速度的三次及更高阶小量，得+=+=+=+=pCVpVp2121 22三小扰动线化理论对机翼等扁平物体，只取一次近似得=VCup2该式与不可压流动压强系数线化公式完全一样，压强系数仅决定于x向的扰动速度。三小扰动线化理论边界条件包括远方的物面上理想流体的物面边界条件，是流体的法向速度为零。在小扰动条件下，可获得较简单的线化物面边界条件。三小扰动线化
12、理论设物面的中弧线方程为=yf x z(,)合速在物面的法线方向的分量为零的条件是=Vn0三小扰动线化理论=+=+xznijkff(1)+=+=xzVuvwff()0即yzxv=yf x z(,)nO U 小扰动假设下，物体厚度弯度都很小，即，是小量，将上式两边同除，忽略二阶小量，上式成为 xf zf V三小扰动线化理论=xVvf0上面速度为物面上的值，在物体扁平、且迎角很小的情况下，可以用x轴线上的值代替，即=vv x yv xss,0)()()(即=xvVys三小扰动线化理论而边界条件则可以写为=yxv xVyyS(,0)()0用于平面流问题，上式变成=dxv xVdys(,0)()式中的是物面的斜率。dy dxs)(三小扰动线化理论在无限远处，直匀流流过机翼后，扰动速度总是趋于零。但对于存在升力的有限翼展机翼绕流，存在尾涡系。在理想流里，这个涡系应该向下游伸展到无限远。三小扰动线化理论在无限远的下游，这个有涡的局部地区的扰动速度是不趋于零的。不过这也无需另外用什么条件去满足它，因为满足了机翼上的边界条件的涡系，是自然伸展到下游无限远处去的。