《大学物理力学与热学 (6).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大学物理力学与热学 (6).pdf（51页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1.5 1.5 功和能功和能（Work and Energy)Work and Energy)1 功功Work一、功的概念功的两要素力在力的方向上的位移二、恒力的功一、功的概念功的两要素力在力的方向上的位移二、恒力的功 Fvrv rFWvv=cosrFWv=rFrv=rFnF讨论：功是讨论：功是标量标量，但有正负，但有正负.0,20W,2 0 W0,2=W 单位：焦耳单位：焦耳 1J=1NmrFWvv=直角坐标系中直角坐标系中zFyFxFWzyx +=Fvrv rFnF三、变力的功元功三、变力的功元功rFWvvdd=质点从质点从 a b 的功的功 W=bLarFW)(dvv=bLarF)(co
2、sd v=bLasF)(dcos 直角坐标系中直角坐标系中kFjFiFFzyx+=+=rkzj yi xrdddd+=+=v=bLarFW)(dvv()()+=+=bLazyxzFyFxF)(ddd功的大小与路径相关。功的大小与路径相关。ab(L)Fvrvd 自然坐标系中自然坐标系中t en eFrrFWvvdd=)d()(dtttnne seFeFW+=sFdt=BLAsFW)(tdAB(L)极坐标系中极坐标系中 re e OPrrx(r,)dd()(d erereFeFWrrr+=+=+=BLArrFrFW)()dd(四、合力的功质点在几个力的作用下，沿某一路径从四、合力的功质点在几个力的
3、作用下，沿某一路径从 a 运动到运动到 bnFFFvLvv,21合力为合力为=niiFF1rv=bLaabrFW)(dvv+=+=bLanrFFF)(21d)(vvLvv+=+=bLanbLabLarFrFrF)()(2)(1dddvvLvvvvnabababWWW+=L21合力的功等于各个力功的和合力的功等于各个力功的和1.平均功率平均功率tWP=2.瞬时功率瞬时功率tWtWPtddlim0=trFtWPddddvv=VFvv=cosFV=五、功率五、功率(Power)单位时间内的功，描述做功的快慢单位时间内的功，描述做功的快慢.单位：瓦特（单位：瓦特（W）点积的微商点积和叉积点积的微商点积
4、和叉积abbarrrr=abbarrrr=)()()(cabcbabacrrrrrrrrr=ddd()dddbaababttt=+=+r rr rr rrrrrrr2aaa=rr0aa=r rr r)()()(acbcbabacrrrrrrrrr=叉积的微商叉积的微商ddd()dddbaababttt=+r=+rr rr rrrrrrr例：质点沿直线运动，质量为例：质点沿直线运动，质量为m，速度为，速度为(ms1)，求:，求:0T时间内,外力对此质点做的功。时间内,外力对此质点做的功。ttt23)(2+=+=v解：解：maF=)23(dddd2tttmtm+=+=v)26(+=tm=rFWvv
5、d=xFd+=+=Tttttm02d)23)(26(+=+=Tttttm023d)299(2)4129(2234TTTm+=+=tFttxFddddv例：一物体的质量为例：一物体的质量为m，被置于水平桌面上，在外力作用下沿半径为，被置于水平桌面上，在外力作用下沿半径为R 的圆从的圆从A 运动到运动到B，移动了半个圆周，设摩擦系数为，移动了半个圆周，设摩擦系数为 k,求此过程中桌面对它的摩擦力做的功。求此过程中桌面对它的摩擦力做的功。ABOfvrvd解：解：kkfNmg =rfWvrdd=rfvd=BArfWvd=BAsfdkdBAmgs=kmg R=若沿直径运动：若沿直径运动：mgRWk 2=
6、摩擦力的功与路径相关摩擦力的功与路径相关!kmgs=mxyO=barFWrrd+=+=2121d4d21yyxxyxyW+=+=491322d4d2yxx4y=x+6x2=4y 解：解：2.25ab例：抛物线例：抛物线x2=4y 与 直线与 直线4y=x+6 相交于相交于a、b两点，如图所示。作用于某质点上的力为。求：质点分别沿抛物线和直线由两点，如图所示。作用于某质点上的力为。求：质点分别沿抛物线和直线由a 运动到运动到b 过程中该力的功。过程中该力的功。(N)42ji yF+=+=v 10.8(J)抛物线与直线交点的坐标为抛物线与直线交点的坐标为:a(2,1),b(3,9/4)若质点沿抛物
7、线运动若质点沿抛物线运动()+=+=bayxyFxFdd-231+=+=bayxyFxFW)dd(2+=+=2121d4d2yyxxyxy+=+=49132d4d)6(21yxx21.25(J)若质点沿直线运动功的大小与运动路径相关若质点沿直线运动功的大小与运动路径相关xyO4y=x+6x2=4y 2.25ab-231W110.8(J)ji yF42+=+=v质点在如图所示的坐标平面内做圆周运动在该质点从坐标原点运动到质点在如图所示的坐标平面内做圆周运动在该质点从坐标原点运动到(0，2R）位置的过程中，力对它所做的功为）位置的过程中，力对它所做的功为#mechwe1)(0jyixFFrrr+=
8、xyROA.F0R2B.2F0R2C.3F0R2D.4F0R2答案：答案：B2 动能定理动能定理Work-energy principle合外力对质点所做的功等于质点动能的增量合外力对质点所做的功等于质点动能的增量22kk2121ABABABmmEEWvv=(A B)rFWvvdd=rtmrrddd=vvvrr=dmvvdm=BAABWWd=BAmvvvvd222121ABmmvv=ABEEkk=一、一、质点质点的动能定理的动能定理ABFr例：重量为例：重量为P的摆锤系于绳子的下端，绳长的摆锤系于绳子的下端，绳长l，上端固定，如图。一水平力从零逐渐增大，缓慢作用在摆锤上，使摆锤虽能移动，但在所
9、有时间内，均无限接近力平衡，一直到绳子与竖直线成，上端固定，如图。一水平力从零逐渐增大，缓慢作用在摆锤上，使摆锤虽能移动，但在所有时间内，均无限接近力平衡，一直到绳子与竖直线成 角，试求此力的功。角，试求此力的功。Fv解：解：PvTv重力的功重力的功rPWvv=p)cos1(=PlWF 由质点的动能定理由质点的动能定理0d)(KK=+=+ABEErFPTvvvvPFWW=这个力的功为这个力的功为yOyP =)cos1(=PlWP rvd二、质点系的动能定理二、质点系的动能定理A1B11AVv1BVv(L1)A2B22AVv2BVv1Fv(L2)2Fv1fv2fvm1m2211211111112
10、121dd:1111ABBABAVmVmrfrFm=+=+vvvv222222222222121dd:2222ABBABAVmVmrfrFm=+=+vvvv)dd()dd(2211221122112211+BABABABArfrfrFrFvvvvvvvv)2121(222211BBVmVm+=+=)2121(222211AAVmVm+W外外W内内=EkB-EkA质点系的动能定理质点系的动能定理kABEEWW=+k内外内外例：爆竹爆炸过程，内力和为零，但内力所做的功转化为了动能。例：同号电荷接近时,动能减少。例：爆竹爆炸过程，内力和为零，但内力所做的功转化为了动能。例：同号电荷接近时,动能减少。
11、内力可以改变质点系的总动能内力可以改变质点系的总动能，尽管内力不能改变质点系的总动量。，尽管内力不能改变质点系的总动量。适用于惯性系。适用于惯性系。注意注意Q1Q2？ABEEWWKK=+内外内外三、克尼希定理三、克尼希定理=2k21iimEv+=+=)()(21CCvvvviirrrrim2CC2)(21)(21vvvv+=+=iiiiimmmrr零零+=+=22Ck2121iimmEvvyxxymiCOOCiivvv+=rrr质点系相对于惯性系的动能质点系相对于惯性系的动能=)(imm+=+=22Ck2121iimmEvv内动能：质点系相对于质心系的动能内动能：质点系相对于质心系的动能=2k
12、21iimEv克尼希定理：质点系相对于某一惯性系的动能等于该质点系的轨道动能与内动能之和克尼希定理：质点系相对于某一惯性系的动能等于该质点系的轨道动能与内动能之和.2CkC21vmE=轨道动能：轨道动能：=)(imm充有气体的箱子充有气体的箱子四、质心系中两质点系统的动能惯性系四、质心系中两质点系统的动能惯性系 S中中:1vr2vr212211Cmmmm+=vvvrrr2C21kC)(21vmmE+=+=m1的速度为的速度为,m2的速度为质心系的速度为质心系S 中：中：kCkkEEE=221221121222211k)(212121mmmmmmmmE+=+=vvvvrr2122121)(21v
13、vrr+=+=mmmm12vvrrr=u令2对1的相对速度令2对1的相对速度2121mmmm+=+=定义：约化质量定义：约化质量(reduced mass)2k21 uE=221221121222211k)(212121mmmmmmmmE+=+=vvvvrr质心系质心系S 中中22ck2121umE+=+=v惯性系惯性系S 中中vv=02k21vmE=2121mmmm+=+=2m=u=v221u 241vm=对于两个粒子对于两个粒子m1=m2=m的碰撞的碰撞k21E=其中一个粒子静止其中一个粒子静止 两个粒子对撞两个粒子对撞u=2v221u 2vm=2kvmE=kE=vv对撞机对撞机核子重如牛
14、对撞生新态核子重如牛对撞生新态=2k21iimEvvv=0221u k21E=221u kE=vv例：有一面为例：有一面为1/4 凹圆柱面（半径凹圆柱面（半径R，质量，质量M），放置在 光滑水平面上。一小球（质量），放置在 光滑水平面上。一小球（质量m），从静止开始沿圆柱面从顶端无摩擦下落（如图），最终从水平方向以速度），从静止开始沿圆柱面从顶端无摩擦下落（如图），最终从水平方向以速度 v 飞离物体，求：飞离物体，求：1）此过程中重力所做的功；）此过程中重力所做的功；2）内力所做的功。解：重力只对小球做功）内力所做的功。解：重力只对小球做功0=+MVm v水平方向无外力，水平方向系统动量守恒。
15、水平方向无外力，水平方向系统动量守恒。hmgrmgWdcosdd=v重力重力mgRW=重力mg d hrvdMmVv=RMm对对m，内力，内力N所做的功所做的功222121vmMVWW+=+=+内力重力内力重力221vmmgRWN=+=+对对M，内力，内力N 所做的功，所做的功，222221MmMVWNv=*本例中实际内力对两个物体分别所做功互相抵消。本例中实际内力对两个物体分别所做功互相抵消。MmVv=由质点的动能定理可得：由质点的动能定理可得：RMNVvmNmgRmWN=221v 3 3 一对力的功一对力的功一对力的功一对力的功2211dddrfrfWrrrr+=+=一对力的功，等于其中一
16、个物体所受的力沿两物体一对力的功，等于其中一个物体所受的力沿两物体相对移动的路径相对移动的路径所做的功。所做的功。A1A2B1B2Orr12rr21rr1fr2fr1drr212122d)(drfrrfrrrrr=212ddrfWrr=一对力一对力21ffrr=2drr例例:内力与相对位移总垂直，故内力所做的功总和为零。内力与相对位移总垂直，故内力所做的功总和为零。讨论：讨论：1.若力与相对位移垂直，则这一对力的功为零。若力与相对位移垂直，则这一对力的功为零。212ddrfWrr=一对力一对力RMm2.一对力的功与参考系的选择无关。一对力的功与参考系的选择无关。A1A2B1B2Orr12rr2
17、1rr1fr2fr1drr2drr4 保守力保守力 Conservative force 例：计算一对万有引力的功。例：计算一对万有引力的功。m1m2AB解：解：rvrvdrrmmGf221=v=BABAABrrrmmGrfWvvvdd221rd cosddrrrvv=rd=BAABrrmmGWd221ABrmGmrmGm2121=结论：一对万有引力的功与路径无关，只决定于质点的始末位置。结论：一对万有引力的功与路径无关，只决定于质点的始末位置。rArBm1m2沿闭合路径万有引力的功为零沿闭合路径万有引力的功为零0d)(=LrfWvv万有引力是万有引力是保守力保守力保守力：定义保守力：定义1：
18、若一对力的功与路径的形状无关，只决定于相互作用质点的始末位置，这样的力叫保守力定义：若一对力的功与路径的形状无关，只决定于相互作用质点的始末位置，这样的力叫保守力定义2：若，则这个力为：若，则这个力为保守力保守力0d)(=Lrfvv保守力包括：保守力包括：万有引力、重力、弹簧的弹力、静电力万有引力、重力、弹簧的弹力、静电力非保守力：也称为非保守力：也称为耗散力耗散力(dissipative force)，如摩擦力，如摩擦力5 势能势能Potential EnergyABrmGmrmGmW2121=定义：保守力的功等于系统势能的减少定义：保守力的功等于系统势能的减少 EP=EPB-EPA=-WA
19、B万有引力的功万有引力的功 势能是研究一对保守力的功时引入的，它属于以保守力作用的整个系统，实质上是相互作用能。势能是研究一对保守力的功时引入的，它属于以保守力作用的整个系统，实质上是相互作用能。rfErrddP=对于无限小过程对于无限小过程 势能是个相对值。要确定质点系在任一给定位形的势能，需选择势能零点。例如：选势能是个相对值。要确定质点系在任一给定位形的势能，需选择势能零点。例如：选EPB=0,则则EPA=WAB系统在任一位形的势能等于它从此位形改变到系统在任一位形的势能等于它从此位形改变到EP=0 位形过程中保守力的功。势能差是确定的。位形过程中保守力的功。势能差是确定的。只有保守力才
20、能定义势能只有保守力才能定义势能 保守力做正功，势能减少;反之势能增加。保守力做正功，势能减少;反之势能增加。WAB=EPA-EPB=-EP1.万有引力势能1.万有引力势能ABABrmGmrmGmW2121=EPAEPB以相距无限远为势能的零点以相距无限远为势能的零点rmGmE21p=引力势能曲线引力势能曲线Epr0令令rB ，EPB=0万有引力势能函数为万有引力势能函数为2.重力势能：以地面为重力势能零点重力势能2.重力势能：以地面为重力势能零点重力势能EphOEP=mghhRmGMEh+=+=Ep,RmGMEE0p,=RmGMhRmGMEEhEE0p,p,+=+=)(EhRRmhGM+=+
21、=在地球表面附近在地球表面附近h0，f 0，原子相吸，原子相吸.斜率斜率0，原子相斥，原子相斥.lEFlddp=EP2P21kxE=0 x保守力等于势能曲线斜率的负值保守力等于势能曲线斜率的负值Example:The potential energy for a conservative forceacting on a 2.00-kg particle is shown in the figure.For what values of x is the force(a)zero;(b)directed leftward;(c)directed rightward;(d)what values
22、 of x are equilibrium positions?iFFx=r02424U(J)Solution:246810 x=4mx(m)(a)x=8m(b)0 x 4m8m x 10m(c)4m x 8m(d)x=4m,x=8m 6 机械能守恒定律机械能守恒定律(Conservation of Mechanical Energy)ABEEWWKK=+内外内外ABEEWWWKK=+内保内非外内保内非外BABAEEWPP=内保内保)()(PPKKBAABEEEEWW =+内非外内非外质点系的动能定理质点系的动能定理)()(PKPKAABBEEEEWW+=+内非外内非外机械能机械能PKEEE+
23、=ABEEWW=+内非外内非外功能原理功能原理)()(PPKKBAABEEEEWW =+内非外内非外质心系中的功能原理质心系中的功能原理 EWW =+内非外内非外E=机械能守恒定律若机械能守恒定律若 W外外+W内非内非为零，即为零，即只有保守内力做功只有保守内力做功，质点系机械能守恒。，质点系机械能守恒。ABEEWW=+内非外内非外质心系中机械能守恒定律不管质心系是否为惯性系，功能原理和机械能守恒定律都与惯性系中形式相同。若质心系中机械能守恒定律不管质心系是否为惯性系，功能原理和机械能守恒定律都与惯性系中形式相同。若 W 外外=0，且，且 W 内非内非=0，则质心系中系统的机械能守恒，则质心系
24、中系统的机械能守恒，E 为常量。为常量。EWW =+内非外内非外例：从地面发射物体，计算使之脱离地球引力范围所需的最小发射速度（逃逸速度、第二宇宙速度）。解：忽略其它星球的引力例：从地面发射物体，计算使之脱离地球引力范围所需的最小发射速度（逃逸速度、第二宇宙速度）。解：忽略其它星球的引力RGMmmER=221v脱离地球引力范围，引力势能为零脱离地球引力范围，引力势能为零221=vmRGMmmR=221vRGM2=RvRg2=11.2 km/s例：某惯性系中有两个质点例：某惯性系中有两个质点A、B，质量分别为，质量分别为m1、m2 ，它们之间只受万有引力作用。开始时两质点相距，它们之间只受万有引
25、力作用。开始时两质点相距l0，质点，质点A静止，质点静止，质点B 沿两者连线方向的初速度为沿两者连线方向的初速度为v0。为使质点。为使质点B 维持速度不变，可对质点维持速度不变，可对质点B 沿连线方向施一变力沿连线方向施一变力F，试求：，试求：(1)两质点的最大间距，及间距为最大时的两质点的最大间距，及间距为最大时的F值值;(2)从开始时刻到间距最大的过程中，变力从开始时刻到间距最大的过程中，变力F的功的功(相对惯性系相对惯性系)。0202lGm v(G为引力常数为引力常数)l0Frv0m1m2AB解：以解：以m2为为S 系系SSfr0vrm1Frfrm2解：解：(1)以以m2为为S系系max
26、2102120121lmmGlmmGm=v机械能守恒机械能守恒020022max22llGmGmlv=max221lmmGF=2201220024)2(GmlmlGmv=l0Frv0m1m2ABSSfr0vrm1Frfrm2解得：解得：（2）S系中系中当当 l=lmax时，时，m1的速度的速度 v=v0由动能定理，对（由动能定理，对（m1+m2）202202121)(21vvmmmWWfF+=+=+一对一对=max0dllfrfWrr一对一对021max21lmmGlmmG=l0Frv0m1m2ABSS202202121)(21vvmmmWWfF+=+=+一对一对021max21lmmGlmm
27、GWf=一对一对202202121)(21vvmmmWF+=+=021max21lmmGlmmG+20121vm=021max21lmmGlmmG+关于守恒定律关于守恒定律自然界中许多物理量,动量、角动量、能量、机械能、电荷、质量等等，都具有相应的守恒定律。自然界中许多物理量,动量、角动量、能量、机械能、电荷、质量等等，都具有相应的守恒定律。物理学特别注意对守恒量和守恒定律的研究。物理学特别注意对守恒量和守恒定律的研究。守恒定律反映出我们研究自然界的一种基本方法：寻找过程中的不变量利用守恒定律研究问题，可避开过程的细节，通过初、末态来了解一些系统的运动状态。守恒定律适用范围广，宏观、微观、高速
28、、低速均适用。守恒定律反映出我们研究自然界的一种基本方法：寻找过程中的不变量利用守恒定律研究问题，可避开过程的细节，通过初、末态来了解一些系统的运动状态。守恒定律适用范围广，宏观、微观、高速、低速均适用。守恒定律揭示了自然界普遍的属性守恒定律揭示了自然界普遍的属性对称性。对称对称性。对称在某种在某种“变换变换”下的不变性。下的不变性。每一个守恒定律都相应于一种对称性：每一个守恒定律都相应于一种对称性：动量守恒动量守恒相应于相应于空间平移的对称性；空间平移的对称性；能量守恒能量守恒相应于相应于时间平移的对称性；时间平移的对称性；角动量守恒角动量守恒相应于相应于空间转动的对称性；空间转动的对称性；第一章质 点 力 学第一章质 点 力 学1.1 质点运动学质点运动学1.2 牛顿运动定律及其应用牛顿运动定律及其应用1.3 动量动量1.4 角动量角动量1.5 功和能功和能结 束 了结 束 了