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1、第七章第七章 运输问题运输问题一、运输问题模型及其一、运输问题模型及其求解思路求解思路二、几种特殊情况二、几种特殊情况三、运输问题的应用三、运输问题的应用2021/9/241一、运输问题模型及其求解思路一、运输问题模型及其求解思路v1、问题的提出：、问题的提出：v某公司从两个产地某公司从两个产地A1、A2将物品运往三将物品运往三个销地个销地B1、B2、B3。v各产地的产量、各销地的销量和各产地各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示。运往各销地每件物品的运费如下表所示。v问：应如何调运可使总运输费用最小？问：应如何调运可使总运输费用最小？2021/9/242一、运输
2、问题模型及其求解思路一、运输问题模型及其求解思路B1B2B3产量产量A1646200A2655300销量销量150150200运价表运价表销量和产量和销量和产量和产销平衡产销平衡2021/9/243一、运输问题模型及其求解思路一、运输问题模型及其求解思路B1B2B3产量产量A1x11x12x13200A2x21x22x23300销量销量150150200v为建立模型，设为建立模型，设 xij 为从产地为从产地Ai运往销地运往销地Bj的的运输量，得到下表：运输量，得到下表：运量表运量表2021/9/244一、运输问题模型及其求解思路v据题意，可建立线性规划模型：据题意，可建立线性规划模型：vMi
3、n f=6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23vs.t.x11+x12+x13=200v x21+x22+x23=300v x11+x21=150v x12+x22=150v x13+x23=200v xij0(i=1,2；j=1,2,3）2021/9/245一、运输问题模型及其求解思路一、运输问题模型及其求解思路v2、产销平衡运输问题模型的特点、产销平衡运输问题模型的特点v从模型的建立可知：从模型的建立可知：v列数为列数为2（产地数）（产地数）3（销地数）（销地数）6；v行数为行数为2（产地数）（产地数）+3（销地数）（销地数）5；v再观察模型的系数矩阵：再观察模型的系数
4、矩阵：2021/9/246一、运输问题模型及其求解思路一、运输问题模型及其求解思路 1 1 1 0 0 0 200 0 0 0 1 1 1 300 1 0 0 1 0 0 150 0 1 0 0 1 0 150 0 0 1 0 0 1 200前前2行之和后行之和后3行之和行之和2021/9/247一、运输问题模型及其求解思路一、运输问题模型及其求解思路v对于产销平衡的运输问题，若产地为对于产销平衡的运输问题，若产地为m个，销地为个，销地为n个，个，v则变量个数为则变量个数为mn个，线性无关的约束个，线性无关的约束条件个数为条件个数为m+n-1，v故基本解中的基变量个数为故基本解中的基变量个数为
5、m+n-1。2021/9/248一、运输问题模型及其求解思路一、运输问题模型及其求解思路v3、运输问题求解思路、运输问题求解思路表上作业法表上作业法v由于运输规划系数矩阵的特殊性，如果由于运输规划系数矩阵的特殊性，如果直接使用线性规划单纯形法求解计算，直接使用线性规划单纯形法求解计算，则无法利用这些有利条件。则无法利用这些有利条件。v人们在分析运输规划系数矩阵特征的基人们在分析运输规划系数矩阵特征的基础上建立了针对运输问题的础上建立了针对运输问题的表上作业法表上作业法。v（表上作业法略）（表上作业法略）2021/9/249运输问题的应用运输问题的应用v1、产销不平衡的运输问题产销不平衡的运输问
6、题v例：某公司从两个产地例：某公司从两个产地A1、A2将物品运往三将物品运往三个销地个销地B1、B2、B3，各产地的产量、各销地，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示。如下表所示。v问：应如何调运可使总运输费用最小？问：应如何调运可使总运输费用最小？2021/9/2410销量销量产量产量运输问题的应用运输问题的应用B1B2B3产量产量A1646200A2655300销量销量2501502002021/9/2415运输问题的应用运输问题的应用v办法：增加一行表示缺货量。办法：增加一行表示缺货量。100000缺货量缺货量2001
7、50250销量销量300556A2200646A1产量产量B3B2B12021/9/2416运输问题的应用运输问题的应用v实际应用中，可能出现的其他情况：实际应用中，可能出现的其他情况：v（1）某些运输线路上的运输能力有限制；）某些运输线路上的运输能力有限制；v处理办法：直接在约束条件中增加该约束，处理办法：直接在约束条件中增加该约束，即保证即保证X14的取值不超过产量、销量和线路最的取值不超过产量、销量和线路最大运输能力。大运输能力。v（2）目标函数求最大值不是最小值；）目标函数求最大值不是最小值；2021/9/2417运输问题的应用运输问题的应用v（3）销量大于产量，但某些销地的销量必须）
8、销量大于产量，但某些销地的销量必须完全满足，不能有缺货；完全满足，不能有缺货；v处理办法：对缺货量到该销地的运价定为一处理办法：对缺货量到该销地的运价定为一个充分大的值个充分大的值M。（类似于大。（类似于大M法）法）2021/9/2418运输问题的应用运输问题的应用v如表中如表中B2销量不能短缺：销量不能短缺：1000M0缺货量缺货量200150250销量销量300556A2200646A1产量产量B3B2B12021/9/2419运输问题的应用运输问题的应用v（4）销量大于产量时，若某地的销量可以有）销量大于产量时，若某地的销量可以有一定量缺货，但供应量必须不小于某个值一定量缺货，但供应量必
9、须不小于某个值p；v处理办法：将该销地分解为两个销地处理办法：将该销地分解为两个销地Bj1和和Bj2，Bj1对应必须满足的销量对应必须满足的销量p，Bj2对应缺货的对应缺货的销量销量bj-p。v其中，缺货量到其中，缺货量到Bj1的运价为的运价为“大大M”。2021/9/2420运输问题的应用运输问题的应用v如表中如表中B2销量不能低于销量不能低于100：10000缺货量缺货量200150250销量销量300556A2200646A1产量产量B3B2B1B21B22100504455M02021/9/2421运输问题的应用运输问题的应用v例例1：石家庄北方研究院有一、二、三，三个区。每年分别：石
10、家庄北方研究院有一、二、三，三个区。每年分别需要用煤需要用煤3000、1000、2000t，由河北临城、山西盂县两处，由河北临城、山西盂县两处煤矿负责供应，价格、质量相同。供应能力分别为煤矿负责供应，价格、质量相同。供应能力分别为1500、4000t，运价如下表。由于需大于求，经院研究决定一区供，运价如下表。由于需大于求，经院研究决定一区供应量可减少应量可减少0300t，二区必须满足需求量，三区供应量不，二区必须满足需求量，三区供应量不少于少于1500t，试求总费用为最低的调运方案。，试求总费用为最低的调运方案。一区一区二区二区三区三区产量产量临城临城1.801.701.554000盂县盂县1
11、.601.501.751500销量销量3000100020002021/9/2422运输问题的应用运输问题的应用一区一区 一区一区二区二区三区三区三区三区产量产量临城临城1.801.801.701.551.554000盂县盂县1.601.601.501.751.751500假想产地假想产地M0MM0500销量销量270030010001500500v解：根据题意，作出产销平衡的运价表，取解：根据题意，作出产销平衡的运价表，取M代表一个很大的正数，其作用是强迫相应代表一个很大的正数，其作用是强迫相应的的x31、x33、x34取值为取值为0。2021/9/2423运输问题的应用运输问题的应用123
12、4产量产量A1613221750B1413191560C19202350最低需要量最低需要量3070010最高需要量最高需要量507030不限不限v例例2：设有：设有A、B、C三个化肥厂供应三个化肥厂供应1、2、3、4四四个地区的农用化肥。假设效果相同，有关数据如下个地区的农用化肥。假设效果相同，有关数据如下表。试求总费用为最低的化肥调拨方案。表。试求总费用为最低的化肥调拨方案。2021/9/2424运输问题的应用运输问题的应用112344产量产量A16161322171750B14141319151560C19192023MM50DM0M0M050销量销量302070301050v解：根据题
13、意，作出产销平衡的运价表解：根据题意，作出产销平衡的运价表2021/9/2425运输问题的应用运输问题的应用v2、生产与储存问题、生产与储存问题v例例1：某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提：某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供供10、15、25、20台同一规格的柴油机。已知该厂台同一规格的柴油机。已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如下表。各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如下表。如果生产出来的柴油机当季不交货，每台每积压一如果生产出来的柴油机当季不交货，每台每积压一个季度需储存、维护等费用个季度需储存、维护等费用0.15万元。万元。v试求在完成合同的情况下，使该厂全年生
14、产总费用试求在完成合同的情况下，使该厂全年生产总费用为最小的决策方案。为最小的决策方案。2021/9/2426运输问题的应用运输问题的应用2021/9/2427运输问题的应用运输问题的应用v解：解：设设 xij为第为第 i 季度生产的第季度生产的第 j季度交货的季度交货的柴油机数目，那么应满足：柴油机数目，那么应满足：交货：交货：生产：生产：x11 =10 x11+x12+x13+x14 25x12+x22 =15 x22+x23+x24 35x13+x23+x33 =25 x33+x34 30 x14+x24+x34+x44 =20 x44 102021/9/2428运输问题的应用运输问题的
15、应用v把第把第 i 季度生产的柴油机数目看作第季度生产的柴油机数目看作第 i 个生产厂的个生产厂的产量；把第产量；把第 j 季度交货的柴油机数目看作第季度交货的柴油机数目看作第 j 个销个销售点的销量；成本加储存、维护等费用看作运费。售点的销量；成本加储存、维护等费用看作运费。v可构造下列产销平衡问题：可构造下列产销平衡问题：2021/9/2429v例例2：光明仪器厂生产电脑绣花机是以产定销的。：光明仪器厂生产电脑绣花机是以产定销的。已知已知1至至6月份各月的生产能力、合同销量和单台月份各月的生产能力、合同销量和单台电脑绣花机平均生产费用见下表：电脑绣花机平均生产费用见下表：运输问题的应用运输
16、问题的应用2021/9/2430v已知上年末库存已知上年末库存103台绣花机，如果当月生产出台绣花机，如果当月生产出来的机器当月不交货，则需要运到分厂库房，每来的机器当月不交货，则需要运到分厂库房，每台增加运输成本台增加运输成本0.1万元万元,每台机器每月的平均仓每台机器每月的平均仓储费、维护费为储费、维护费为0.2万元。在万元。在78月份销售淡季，月份销售淡季，全厂停产全厂停产1个月，因此在个月，因此在6月份完成销售合同后还月份完成销售合同后还要留出库存要留出库存80台。加班生产机器每台增加成本台。加班生产机器每台增加成本1万元。万元。v问应如何安排问应如何安排16月份的生产，可使总的生产费
17、月份的生产，可使总的生产费用（包括运输、仓储、维护）最少？用（包括运输、仓储、维护）最少？运输问题的应用运输问题的应用2021/9/2431v解：解：这个生产存储问题可化为运输问题来做。这个生产存储问题可化为运输问题来做。v考虑：各月生产与交货分别视为产地和销地。考虑：各月生产与交货分别视为产地和销地。v1）1-6月份合计生产能力（包括上年末储存量）为月份合计生产能力（包括上年末储存量）为743台，台，销量为销量为707台。设一假想销地销量为台。设一假想销地销量为36；v2）上年末库存）上年末库存103台，只有仓储费和运输费，把它列为的台，只有仓储费和运输费，把它列为的0行；行；v3）6月份的
18、需求除月份的需求除70台销量外，还要台销量外，还要80台库存，其需求应台库存，其需求应为为70+80=150台；台；v4）1-6表示表示1-6月份正常生产情况，月份正常生产情况，1-6表示表示1-6月份加班月份加班生产情况。生产情况。运输问题的应用运输问题的应用2021/9/2432产销平衡的运价表：产销平衡的运价表：2021/9/2433运输问题的应用运输问题的应用v3、转运问题、转运问题v原运输问题上增加若干转运站。原运输问题上增加若干转运站。v运输方式有：产地运输方式有：产地 转运站、转运站转运站、转运站 销销地、产地地、产地 产地、产地产地、产地 销地、销地销地、销地 转转运站、销地运
19、站、销地 产地等产地等。2021/9/2434例：某公司有例：某公司有A1、A2、A3三个分厂生产某种物质，三个分厂生产某种物质，分别供应分别供应B1、B2、B3、B4四个地区的销售公司销售。四个地区的销售公司销售。假设质量相同，有关数据如下表：假设质量相同，有关数据如下表：运输问题的应用运输问题的应用2021/9/2435假设：假设：1、每个分厂的物资不一定直接发运到销地、每个分厂的物资不一定直接发运到销地,可以从可以从其中几个产地集中一起运；其中几个产地集中一起运；2、运往各销地的物资可以先运给其中几个销地，、运往各销地的物资可以先运给其中几个销地，再转运给其他销地；再转运给其他销地；3、
20、除产销地之外，还有几个中转站，在产地之间、除产销地之外，还有几个中转站，在产地之间、销地之间或在产地与销地之间转运。运价如下表，销地之间或在产地与销地之间转运。运价如下表，试求总费用为最少的调运方案。试求总费用为最少的调运方案。运输问题的应用运输问题的应用2021/9/24362021/9/2437解：把此转运问题转化为一般运输问题：解：把此转运问题转化为一般运输问题：1、把所有产地、销地、转运站都同时看作产地和销地；、把所有产地、销地、转运站都同时看作产地和销地；2、不可能方案的运费取作、不可能方案的运费取作M，自身对自身的运费为自身对自身的运费为0；3、产量及销量可定为：、产量及销量可定为：中转站中转站 产量和销量均为产量和销量均为20，产地产地 产量为原产量产量为原产量+20，销量为，销量为20销地销地 产量为产量为20，销量为原销量，销量为原销量+20。其中，其中，20为各点可能变化的最大流量；为各点可能变化的最大流量；4、对于最优方案，其中、对于最优方案，其中 xii为自身对自身的运量，实际上不进为自身对自身的运量，实际上不进行运作。行运作。运输问题的应用运输问题的应用2021/9/2438可得到扩大的产销平衡运输问题表：可得到扩大的产销平衡运输问题表：2021/9/2439