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1、机械优化设计20162016年年9 9月月上上 海海 海海 事事 大大 学学SHANGHAI MARITIME UNIVERSITYSHANGHAI MARITIME UNIVERSITY何军良何军良2021/9/231 上海海事大学上海海事大学Shanghai Maritime University 1909 2009 2004 1912 19587机械优化设计中的几个问题1优化设计概述2优化设计的数学基础目 录CONTENTS3一维搜索方法4无约束优化方法5线性规划 6约束优化方法 2021/9/232第四章 无约束优化方法 概述01 最速下降法 牛顿型方法 共轭方向与共轭方向法02030
2、4 坐标轮换法05 共轭梯度法 变尺度法 鲍威尔方法060708 单形替换法092021/9/2332022/11/25变尺度法也称拟牛顿法，它是基于牛顿法的思想而又作了重大改进的一类方法。我们所介绍的变尺度法是由 Davidon 于1959年提出又经 Fletcher 和 Powell 加以发展和完善的一种变尺度法，故称为DFP变尺度法。4.7 变尺度法能否克服各自的缺点，综合发挥其优点？2)阻尼牛顿法1)梯度法*简单，开始时目标函数值下降较快，但越来越慢。*目标函数值在最优点附近时收敛快，但要用到二阶导数和矩阵求逆。（1）问题提出42022/11/254.7 变尺度法（2）基本思想n 变量
3、的尺度变换是放大或缩小各个坐标。通过尺度变换可以把函数的偏心程度降到最低限度。n 这种算法仅用到梯度，不必计算海赛阵及其逆矩阵，但又能使搜索方向逐渐逼近牛顿方向，具有较快的收敛速度。n 尺度变换技巧能显著地改进几乎所有极小化方法的收敛性质。例如在用最速下降法求 极小值时,需要进行10次迭代才能达到极小点。梯度法:牛顿法:52022/11/254.7 变尺度法（2）基本思想进行尺度变换在新的坐标系中，函数f(x)的二次项变为：目的：减少二次项的偏心如G是正定，则总存在矩阵Q，使得：对于二次函数:62022/11/254.7 变尺度法（2）基本思想 用矩阵Q-1右乘等式两边，得：用矩阵Q左乘等式两
4、边，得：所以上式说明：二次函数矩阵G的逆阵，可以通过尺度变换矩阵 来求得。72022/11/25(3)变尺度法的搜索方向:S(k)=-Ak gk，称为拟牛顿方向。(1)Ak为构造的 n n 阶对称矩阵，它随迭代点的位置变化而变化，对梯度起到改变尺度的作用，又称为变尺度矩阵。n 若Ak=I，上式为梯度法的迭代公式n 若Ak=Hk-1，上式为阻尼牛顿法的迭代公式（3）迭代公式4.7 变尺度法(2)当矩阵Ak 不断地迭代而能很好地逼近 时，就可以不再需要计算二阶导数。变尺度法的关键在于尺度矩阵Ak的产生。82022/11/25 拟牛顿方向 S(k)=-Ak gk 必须具有下降性、收敛性和计算的简便性
5、。n下降性要求变尺度矩阵为对阵正定矩阵；n收敛性要求变尺度矩阵逐渐逼近Hk-1，满足拟牛顿条件；n简便性希望变尺度矩阵有如下递推形式：Ak+1=Ak+Ak（4）变尺度矩阵的产生4.7 变尺度法92022/11/25下降性：要求S(k)与-gk之间的夹角小于90o，即：-S(k)T gk0将拟牛顿方向带入上式，得：-S(k)T gk=Ak gkTgk=gkTAk gk 0所以只要 Ak 为对阵正定矩阵，S(k)就是下降方向。（4）变尺度矩阵的产生4.7 变尺度法102022/11/25变尺度矩阵是随迭代过程的推进而逐次改变的，因而它是一种矩阵序列选取初始矩阵A0，并以梯度方向快速收敛，通常取单位
6、矩阵E 作为初始矩阵，即A0=E。而后的矩阵均是在前一构造矩阵的基础上校正得到，令推广到一般的k+1次构造矩阵 Ak，k=1，2，A1=A0+A0Ak+1=Ak+Ak矩阵序列的矩阵序列的基本迭代式基本迭代式 Ak 称为校正矩阵（4）变尺度矩阵的产生4.7 变尺度法简便性：112022/11/25n构造矩阵Ak+1应该满足一个重要条件拟牛顿条件n变尺度法采用构造矩阵来代替牛顿法中海赛矩阵的逆阵，主要目的之一就是为了避免计算二阶偏导数和逆矩阵，力图仅用梯度和其他一些易于获得的信息来确定迭代方向，因此，拟牛顿条件是关于海赛矩阵和梯度之间的关系。（5）拟牛顿条件4.7 变尺度法122022/11/25
7、设F(x)为一般形式 n 阶的目标函数，并具有连续的一、二阶偏导。在点 x(k)处的二次泰勒近似展开该近似二次函数的梯度为：式中 ，若令 ，则有（5）拟牛顿条件4.7 变尺度法132022/11/25上式中，x(k+1)x(k)称之为位移矢量，并简化书写:而gk+1-gk 是前后迭代点的梯度矢量差，简化书写：由以上三式得：海赛矩阵与梯度间的关系式（5）拟牛顿条件4.7 变尺度法142022/11/25按照变尺度法产生构造矩阵的递推思想，期望能够借助前一次迭代的某些结果来计算下一个构造矩阵，因此可以根据上式，用第 k+1 次构造矩阵 Ak+1 近似代替 Hk-1，则上式即产生构造矩阵 Ak+1
8、应满足的一个重要条件，通常称为拟牛顿条件或拟牛顿方程（5）拟牛顿条件4.7 变尺度法152022/11/25（6）变尺度矩阵的构造4.7 变尺度法拟牛顿条件 可写成 或 DFP算法中的校正矩阵 Ak取为下列形式：待定系数保证 Ak对称162022/11/25（6）变尺度矩阵的构造4.7 变尺度法将(2)代入(1):两边对比得:取则：回代到(2)得:DFP变尺度法的迭代式为：172022/11/25由上式可以看出，构造矩阵Ak+1的确定取决于第 k 次迭代中的下列信息：上次的构造矩阵：Ak迭代点的位移矢量：迭代点的梯度增量：因此，不必作二阶导数矩阵及其求逆的计算（6）变尺度矩阵的构造4.7 变尺
9、度法182022/11/25n DFP算法的收敛速度介于梯度法和牛顿法之间。n DFP法具有二次收敛性(搜索方向的共轭性)。对于二次函数 F(x)，DFP法所构成的搜索方向序列S(0),S(1),S(2),为一组关于海赛矩阵H共轭的矢量，即DFP法属于共轭方向法，具有二次收敛性。在任何情况下，这种方法对于二次目标函数都将在n步内搜索到目标函数的最优点，而且最后的构造矩阵 An 必等于海赛矩阵H。（7）DFP变尺度算法的特点4.7 变尺度法192022/11/25（7）DFP变尺度算法的特点4.7 变尺度法n关于算法的稳定性，数值计算稳定性较差。1.算法的稳定性是指算法的每次迭代都能使目标函数值
10、单调下降。2.构造矩阵正定性从理论上肯定了DFP法的稳定性，但实际上，由于每次迭代的一维搜索只能具有一定的精确度，且存在机器运算的舍入误差，构造矩阵的正定性仍然有可能遭到破坏；3.为了提高实际计算中的稳定性，一方面应对一维搜索提出较高的精度要求，另一方面，当发生破坏正定性时，将构造矩阵重置为单位矩阵E重新开始，通常采用的简单办法是在 n 次迭代后重置单位矩阵202022/11/251.任取初始点 x(0)给出迭代精度.计算初始点精度 及其模 。若 转步骤，否则进行下一步2.置k0，取 AkE3.计算迭代方向 ，沿S(k)方向做一维搜索求优化步长 a(k)，使确定下一个迭代点（8）DFP变尺度算
11、法的计算步骤4.7 变尺度法212022/11/254.计算x(k+1)的梯度gk+1及其模 ，若 则转步骤，否则转下一步5.计算位移矢量 和梯度矢量按DFP公式计算构造矩阵6.置kk+1。若kn(n为优化问题的维数)返回步骤，否则返回步骤7.输出最优解（x*，F*），终止计算（8）DFP变尺度算法的计算步骤4.7 变尺度法222022/11/25DFP算法流程图k=n？入口入口出口出口+-+-232022/11/25解：1）取初始点 ，为了按DFP法构造第一次搜寻方向d0，需计算初始点处的梯度取初始变尺度矩阵为单位矩阵A0=I，则第一次搜寻方向为 例:用DFP算法求下列问题的极值：24（9）
12、DFP算例4.7 变尺度法2022/11/25一维搜索最佳步长应满足得:2）再按DFP法构造点x1处的搜寻方向d1，需计算 沿d0方向进行一维搜索，得（9）DFP算例4.7 变尺度法252022/11/25代入校正公式=（9）DFP算例4.7 变尺度法262022/11/25=第二次搜寻方向为再沿d1进行一维搜索，得（9）DFP算例4.7 变尺度法272022/11/25为一维搜索最佳步长，应满足,得3）判断x2是否为极值点梯度:海赛矩阵:（9）DFP算例4.7 变尺度法梯度为零向量,海赛矩阵正定。可见满足极值充要条件，因此为极小点。282022/11/25例:用DFP变尺度法求目标函数的最优
13、解。已知初始点 ，迭代精度=0.01解：第一次迭代：（9）DFP算例4.7 变尺度法292022/11/25式中最优步长应用一维搜索方法在计算机上求解。为了说明问题，又因为此例目标函数简单，所以用解析法来求：为求极小，将上式对求导，并令f()=0得：于是：（9）DFP算例4.7 变尺度法302022/11/25第二次迭代：确定x(1)点的拟牛顿方向S(1)按DFP公式计算构造矩阵（9）DFP算例4.7 变尺度法312022/11/25将数据代入得则拟牛顿方向为沿 S(1)方向进行一维搜索求最优点x(2)求一维搜索步长（9）DFP算例4.7 变尺度法322022/11/25则：迭代即可结束，输出
14、优化解（9）DFP算例4.7 变尺度法332022/11/25讨论：该题的理论最优点是 。按DFP搜索方向为共轭的性质，本题为二元二次函数在两次迭代后即达到最优点，本题计算结果稍有误差，这是由于一维搜索的不精确性产生的。若在已知A1的基础上，再用DFP公式递推下一次的构造矩阵，可计算得而计算目标函数海赛矩阵的逆阵有（9）DFP算例4.7 变尺度法342022/11/25DFP算法由于舍入误差和一维搜索的不精确，有可能导致Ak奇异，而使数值稳定性方面不够理想。所以1970年，Broyden、Fletcher、Goldstein、Shanno等人提出一种更稳定的算法，称为BFGS算法。其校正公式为
15、：（9）BFGS变尺度法4.7 变尺度法352022/11/25（1）概述4.8 鲍威尔方法基本思想：基于坐标轮换法，不用求导数，在迭代中逐次产生共轭搜索方向。收敛效果：对于正定（有极小值）二次函数，经过n轮迭代后求得极小点；对于非二次函数，一般也具有较高的收敛速度。Powell法是求解无约束优化问题的最好方法。将其与惩罚函数法结合，可以处理有约束优化问题。362022/11/25 为两个极小点 根据梯度与等值面之间关系可知（2）共轭方向的生成4.8 鲍威尔方法372022/11/25对于二次函数，两点处的梯度可表示为代入到公式：（2）共轭方向的生成4.8 鲍威尔方法382022/11/25结
16、论：从不同的点出发沿某一方向分别对函数作两次一维搜索，得到两个极小点，那么这两个极小点的连线方向与该方向对G共轭（2）共轭方向的生成4.8 鲍威尔方法392022/11/25（3）基本算法4.8 鲍威尔方法鲍威尔基本算法的搜索过程（二维）1）任选一初始点x0，再选两个线性无关的向量，如 坐 标 轴 单 位 向 量e1=1,0T和e2=0,1T作为初始搜索方向。x1x2x0oe1e2d1d2x*1402022/11/25（3）基本算法4.8 鲍威尔方法鲍威尔基本算法的搜索过程（二维）2）从x0出发，顺次沿e1，e2作一维搜索，得 点，两点连线得一新方向d1x1x2x0oe1e2d1d2x*141
17、2022/11/25（3）基本算法4.8 鲍威尔方法鲍威尔基本算法的搜索过程（二维）用 d1代替e1形成两个线性无关向量d1,e2，作为下一轮迭代的搜索方向。再从 出发，沿d1作一维搜索得点 ，作为下一轮迭代的初始点。3）从 出发，e2,d1 作 一 维 搜 索，得 到 点 ，两点连线得一新方向:x1x2x0o oe1e2d1d2x*1从 沿d2作一维搜索得点x2。即是二维问题的极小点 x*。422022/11/25（3）基本算法4.8 鲍威尔方法鲍威尔基本算法的搜索过程（二维）方法的基本迭代格式包括共轭方向产生和方向替换两主要步骤。432022/11/25（3）基本算法4.8 鲍威尔方法鲍威
18、尔基本算法的搜索过程（三维）1.第一轮基本方向组取单位坐标矢量系e1、e2、e3、en，沿这些方向依次作一维搜索，然后将始末两点相连作为新生方向。2.再沿新生方向作一维搜索，完成第一轮的迭代。以后每轮的基本方向组是将上轮的第一个方向淘汰，上轮的新生方向补入本轮的最后而构成：d2k,d3k,dnk ,dk442022/11/25（4）基本算法示例4.8 鲍威尔方法452022/11/25（4）基本算法示例4.8 鲍威尔方法462022/11/25（4）基本算法示例4.8 鲍威尔方法472022/11/25（4）基本算法示例4.8 鲍威尔方法482022/11/25（4）基本算法示例4.8 鲍威尔
19、方法492022/11/25（4）基本算法示例4.8 鲍威尔方法502022/11/25（4）基本算法示例4.8 鲍威尔方法512022/11/25（4）基本算法示例4.8 鲍威尔方法522022/11/25（4）基本算法示例4.8 鲍威尔方法532022/11/25（4）基本算法示例4.8 鲍威尔方法542022/11/25 可能在某一轮迭代中出现基本方向组为线性相关的矢量系的情况。如第k轮中，产生新的方向：dk=xnk-x0k=1kd1k+2kd2k+nkdnk 式中，d1k、d2k、dnk为第k轮基本方向组矢量，1k、2k、nk为各方向的最优步长。若在第k轮的优化搜索过程中出现 1k=0
20、，则方向dk表示为d2k、d3k、dnk的线性组合，以后的各次搜索将在降维的空间进行，无法得到n维空间的函数极小值，计算将失败。（5）基本算法缺陷4.8 鲍威尔方法552022/11/25鲍威尔基本算法的退化x1x2x3 1=0 2e2 3e3S1如图所示为一个三维优化问题的示例，设第一轮中 1=0，则新生方向与e2、e3共面，随后的各环方向组中，各矢量必在该平面内，使搜索局限于二维空间，不能得到最优解。e2e3S1（5）基本算法缺陷4.8 鲍威尔方法562022/11/25（5）基本算法缺陷4.8 鲍威尔方法572022/11/25（5）基本算法缺陷4.8 鲍威尔方法582022/11/25
21、（5）基本算法缺陷4.8 鲍威尔方法592022/11/25（5）基本算法缺陷4.8 鲍威尔方法602022/11/25（5）基本算法缺陷4.8 鲍威尔方法612022/11/25（5）基本算法缺陷4.8 鲍威尔方法622022/11/25（5）基本算法缺陷4.8 鲍威尔方法632022/11/25（5）基本算法缺陷4.8 鲍威尔方法642022/11/25（5）基本算法缺陷4.8 鲍威尔方法652022/11/25（5）基本算法缺陷4.8 鲍威尔方法662022/11/25（6）修正算法4.8 鲍威尔方法*根据Powell条件判定是否需换方向；如需换向，则换掉函数值下降量最大的方向。选取n个
22、线性无关且尽可能共轭的方向作为下一轮搜索的方向组。做法：形成新的搜索方向组时，不是固定的去掉前一次搜索方向组中的第一个方向，而是首先根据Powell条件，判断原方向组是否需要替换，若需要，则进一步判断原方向组中哪个方向最坏，并以前一轮新生成的搜索方向替换本轮中的这个最坏方向。672022/11/25（6）修正算法4.8 鲍威尔方法方向组的构造在第k轮的搜索中，x0k 为初始点，搜索方向为d1k、d2k、dnk，产生的新方向为dk，此方向的极小点为xk。沿dk方向移动得到点 xn+1k=2xnk-x0k，称之为x0k对xnk的反射点。计算x0k、x1k、xnk、xk、xn+1k 各点的函数值，记
23、作：F0=F(x0k)F2=F(xnk)F3=F(xn+1k)=F(xm-1k)-F(xmk)是第k轮方向组中，依次沿各方向搜索函数下降值682022/11/25鲍威尔算法的方向淘汰(F3)(F2)(F0)反射点反射点函数最大下降量函数最大下降量m始点始点终点终点（6）修正算法4.8 鲍威尔方法692022/11/25为了构造第k+1轮基本方向组，采用如下判别式：按照以下两种情况处理：1)上式中至少一个不等式不成立，则第k+1轮的基本方向仍用老方向组d1k、d2k、dnk。k+1轮的初始点取 x0k+1=xnk F2F0，不满足判别条件，因而下轮迭代应继续使用原来的搜索方向e1,e2因为F20
24、，通常取a=1；（1）令；输出XL，为原问题近似极小点；否则，转（2）。(扩张时=2)构造新单纯形；（4）根据不同情况，分别进行扩张，收缩或缩边，其中收缩因子（5）如果满足（2）计算步骤4.9 单型替换法872022/11/25 例例 试用单型替换求 的极小值.解解:选 ,并取 和 这三点不在一条直线上，用它们作为初始单纯形的顶点 （如图所示）（3）算例4.9 单型替换法882022/11/25 然后计算各顶点的函数值：可知 为最差点，为最好点。以 表示 和 的重心，则反射点（3）算例4.9 单型替换法892022/11/25由于 ，故需扩张。取 ，则因为 ，故以 代替 ，由 ，和 构成新单纯
25、形，然后进行下一个循环。该问题的最优解为 。经32次循环，可把目标函数减小到 。（3）算例4.9 单型替换法902022/11/254.10 无约束优化方法总结（1）无约束优化问题的评价准则 为了比较各种优化方法的特性，必须建立合理的评价准则。无约束优化方法评价准则主要包括以下几个方面：1、可靠性。即在合理的精度要求下，在一定允许时间内能解出各种不同类型问题的成功率。能够解出的问题越多，则算法的可靠性越好。2、有效性。即算法的解题效率。它有两个衡量标准。其一是对同一题目，在相同精度和初始条件下，比较机时多少。其二是在相同精度下，计算同一题目所需要的函数的计算次数。3、简便性。一方面指实现该算法
26、的准备工作量的大小。另一方面指算法占用存储单元的数量。912022/11/254.10 无约束优化方法总结（2）无约束优化方法的评价结论可靠性：牛顿法较差，因为它对目标函数要求太高，解题成功率较低。有效性：坐标变换法和梯度法的计算效率较低，因为它们从理论上不具有二次收敛性。简便性：牛顿法和变尺度法的程序编制较复杂，牛顿法还占用较多的存储单元。在选用无约束优化方法时，一方面要考虑优化方法的特点，另一方面要考虑目标函数的情况。1、一般而言，对于维数较低或者很难求得导数的目标函数，使用坐标轮换法或鲍威尔法较合适。2、对于二次性较强的目标函数，使用牛顿法效果好。3、对于一阶偏导数易求的目标函数，使用梯
27、度法可使程序编制简单，但精度不宜过高。4、综合而言，鲍威尔法和变尺度法（DFP）具有较好的性能。922022/11/254.10 无约束优化方法总结（3）无约束优化方法的联系搜 索 方 向函数梯度修正因子所用目标函数信息梯 度 法I（单位阵）一阶导数牛 顿 法二阶导数共轭梯度法一阶导数 变尺度法一阶导数方 法鲍威尔法函数值 零阶方法单形替换法 零阶方法函数值 最差点和最好点与次好点中点的连线932022/11/25作业1.试用Newton法求 的极小点，初始点取为 。2.用DFP算法求 ，取 3.试用鲍威尔修正算法求目标函数的最优解。已知 初始点 ，迭代精度=0.0014.用共轭梯度法求 ，其中 ，选初始点 。94