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1、知识回顾知识回顾 1.向量、零向量、平行向量、相等向向量、零向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？量的含义分别是什么？2.如何表示向量？如何表示向量？在以前的学习中我们知道数能进行运算，那么，与数的运算类比。向量是否也能进行运算呢？今天我们将一起学习向量的线性运算的第一节。向量的向量的线性运算线性运算指的哪些运算呢？向量的加法、减法、数乘运算以向量的加法、减法、数乘运算以及他们之间的混合运算及他们之间的混合运算AB2.2.1 向量加减法运算向量加减法运算 及其几何意义及其几何意义A B C一、创设情景一、创设情景（1）AB+BC=AC（2）（3）CA B AB+BC=ACAB+BC=ACA
2、BC 上述分析表明：两个向量可以相加，并上述分析表明：两个向量可以相加，并且两个向量的和还是一个向量且两个向量的和还是一个向量活动一：活动一：求求两两个个向向量量和和的的运运算算，叫叫做做向向量量的的加加法法向量加法的三角形法则：向量加法的三角形法则：ACababBa+bbBC活动二：成语接龙活动二：成语接龙志同道合志同道合 合二为一合二为一 一心一意一心一意鸿鹄之志鸿鹄之志向量加法的三角形法则的特点：向量加法的三角形法则的特点：加法加法 连接连接 指向指向向量加法的三角向量加法的三角形法则形法则 首尾相连首尾相连 首指尾首指尾AAB+BC=AC尝试练习一：尝试练习一：ABCDE根据图示填空：
3、根据图示填空：思考思考1 1？向量的加法可以用三角形法则计算，那么还向量的加法可以用三角形法则计算，那么还有别的法则可以计算向量的加法吗？有别的法则可以计算向量的加法吗？OABC同同起起点点的的对对角角线线起起点点相相同同向量加法的平行四边形法则：向量加法的平行四边形法则：思考思考2 2？1.如何求 与任一向量 的和？a0规定：规定：a+0=0+a=a2.2.向量加法的三角形法则与平行四边形法则有什么区别与联系？bbaba三三 角角 形形 法法 则则:平行四边形法则平行四边形法则:OBCa+bBOACa+bb例例1.如图，已知向量如图，已知向量 ，求作向量，求作向量 。则则 三角形法则三角形法
4、则作法作法1：在平面内任取一点：在平面内任取一点O，作作 ，例题讲解：例题讲解：例例1.如图，已知向量如图，已知向量 ，求作向量，求作向量 。例题讲解：例题讲解：作法作法2：在平面内任取一点：在平面内任取一点O，作作 ，以以 为邻边作为邻边作 OACB ，连结连结OC，则，则平行四边形法则平行四边形法则尝试练习二：尝试练习二：已知向量已知向量 ，用向量加法的，用向量加法的三角形法则三角形法则和和平行四边形平行四边形法法则作出则作出 当向量当向量 不共线时，和向量的长度不共线时，和向量的长度 与向量与向量 的长度和的长度和 之间的大小关系如何？之间的大小关系如何？三角形的两边之和大于第三边三角形
5、的两边之和大于第三边当向量当向量 不共线时，则不共线时，则由例由例1可知：可知：思考思考3：如图，当在数轴上两个向量：如图，当在数轴上两个向量共线共线时，时，如何作出两个如何作出两个向量的和？他们的大小关系呢？向量的和？他们的大小关系呢？（1）（2）ABCBCA综合以上探究我们可得结论：若若 方向相同时，则方向相同时，则若若 方向相反时，则方向相反时，则|a|-|b|(或或|b|-|a|)=思考思考2:数的加法满足交换律和结合律，即对任意数的加法满足交换律和结合律，即对任意 ，有有 那么对任意向量那么对任意向量 的加法是否也满足交换律和结合律？的加法是否也满足交换律和结合律？请画图进行探索。请
6、画图进行探索。OABCACD例例2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以点出发，以 km/h的速度向的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。角来表示）。ADBC例例2.长江两岸之间没有大
7、桥的地方，常常通过轮船进行运输，长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以点出发，以 km/h的速度向的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹 角来表示）。角来表示）。答：船实际航行速度为答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为方向与水的流
8、速间的夹角为60。ADBC（1）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？）你还能回想起实数的相反数是怎样定义的吗？（2）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？）两个实数的减法运算可以看成加法运算吗？思考思考：如设如设实数实数 的相反数记作的相反数记作 。如何定义向量的减法运算呢？如何定义向量的减法运算呢？向量的减法运算及其几何意义向量的减法运算及其几何意义回顾：回顾：一、相反向量：一、相反向量：规定：规定：设向量设向量 ，我们把与，我们把与 长度相同，方向相反长度相同，方向相反的向量叫做的向量叫做 的相反向量。的相反向量。（1）（3）设）设 互为相反向量，那么互为相反向量，那么2.2.2 向量
9、的减法运算及其几何意义向量的减法运算及其几何意义记作：记作：的相反向量仍是的相反向量仍是 。二、向量的减法：二、向量的减法：（2）BAC设设DE又又所以所以你能利用我们学过的向量的加法法则作出你能利用我们学过的向量的加法法则作出 吗？吗？不借助向量的加法法则你能直接作出不借助向量的加法法则你能直接作出 吗？吗？三、几何意义：三、几何意义：可以表示为从向量可以表示为从向量 的终点指向向量的终点指向向量 的终点的向量的终点的向量（1）如果从）如果从 的终点指向的终点指向 终点作向量，所得向量是什么呢？终点作向量，所得向量是什么呢？（2）当）当 ，共线时，怎样作共线时，怎样作 呢？呢？ABOABO注
10、意：注意：（1）起点必须相同起点必须相同。（。（2）指向）指向被减向量被减向量的终点。的终点。一般地一般地BAO（三三角角形形法法则则）练习：练习：已知向量已知向量 ，求作向量，求作向量 ，。例例3OBACD作法：作法：在平面内任取一点在平面内任取一点O，则则作作注意：注意：起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。起点相同，连接终点，指向被减向量的终点。练习：练习：已知向量已知向量 ，求作向量，求作向量 。（1）（2）（3）（4）例例4在在 ABCD 中，中，你能用你能用 表示表示 吗？吗？DBAC变式一变式一 本例中，当本例中，当 满足什么条件时，满足什么条件时，与与 互相垂直？互相垂直？变式二变式二 本例中，当本例中，当 满足什么条件时，满足什么条件时，向量的减法向量的减法一、定义（利用向量的加法定义）。一、定义（利用向量的加法定义）。二、几何意义（二、几何意义（起点相同起点相同，由减向量的终点，由减向量的终点 指向指向被减向量被减向量的终点）。的终点）。