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1、3.1.1 直线的倾斜角与斜率笛卡儿1596年3月31日生于法国土伦省莱耳市的一个贵族之家，1650年2月11日卒于斯德哥尔摩。笛卡儿生平笛卡儿的父亲是布列塔尼地方议会的议员，同时也是地方法院的法官,笛卡儿在豪华的生活中无忧无虑地度过了童年。他幼年体弱多病，母亲病故后就一直由一位保姆照看。他对周围的事物充满了好奇，父亲见他颇有哲学家的气质，亲昵地称他为“小哲学家”。父亲希望笛卡儿将来能够成为一名神学家，于是在笛卡儿八岁时，便将他送入拉弗莱什的耶稣会学校，接受古典教育。校方为照顾他的孱弱的身体，特许他可以不必受校规的约束，早晨不必到学校上课，可以在床上读书。因此，他从小养成了喜欢安静，善于思考的
2、习惯。解析几何的诞生在笛卡儿所处的时代，代数还是一门比较新的科学，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位。1637年，笛卡儿发表了几何学，它确定了笛卡儿在数学史上的地位。文艺复兴使欧洲学者继承了古希腊的几何学，也接受了东方传入的代数学。利学技术的发展，使得用数学方法描述运动成为人们关心的中心问题。笛卡儿分析了几何学与代数学的优缺点，表示要去“寻求另外一种包含这两门科学的好处，而没有它们的缺点的方法”。在几何学卷一中，他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定点的距离，用坐标来描述空间上的点。他进而创立了解析几何学，表明了几何问题不仅可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换来实现发现几何性
3、质，证明几何性质。笛卡儿把几何问题化成代数问题，提出了几何问题的统一作图法。为此，他引入了单位线段，以及线段的加、减、乘、除、开方等概念，从而把线段与数量联系起来，通过线段之间的关系，“找出两种方式表达同一个量，这将构成一个方程”，然后根据的解所表示的线段间的关系作图。在卷二中，笛卡儿用这种新方法解决帕普斯问题时，在平面上以一条直线为基线，为它规定一个起点，又选定与之相交的另一条直线，它们分别相当于x轴、原点、y轴，构成一个斜坐标系。那么该平面上任一点的位置都可以用(x,y)惟一地确定。帕普斯问题就化成了一个含两个未知数的二次不定方程。笛卡儿指出，方程的次数与坐标系的选择无关，因此可以根据方程
4、的次数将曲分类。在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何在平面直角坐标系中，点用坐标表示，直线如何表示呢？表示呢？问题引入问题引入xyOlP（x，y）为了用代数方法研究直线的有关问题，首先探索为了用代数方法研究直线的有关问题，首先探索确定直线位置的几何要素，然后在坐标系中用代数方确定直线位置的几何要素，然后在坐标系中用代数方法把这些几何要素表示出来法把这些几何要素表示出来 对于平面直角坐标系内的一条直线对于平面直角坐标系内的一条直线 l，它的它的位置由哪些条件确定？位置由哪些条件确定？问题引入问题引入xyOl 我们知道，两点确定一条直线一点能确定我们知道，两点确定一条直线一点能确定一条直线的
5、位置吗？已知直线一条直线的位置吗？已知直线 l 经过点经过点P，直线直线 l 的位置能够确定吗？的位置能够确定吗？问题引入问题引入xyOlllP 过一点过一点P可以作无数条直线可以作无数条直线l 1，l 2，l 3，它们都经过点它们都经过点P（组成一个直线束），这些直线（组成一个直线束），这些直线区别在哪里呢？区别在哪里呢？xyOlllP问题引入问题引入 容易看出，它们的倾斜程度不同怎样描述容易看出，它们的倾斜程度不同怎样描述直线的倾斜程度呢？直线的倾斜程度呢？xyOlllP问题引入问题引入 当直线当直线 l 与与x轴相交时，我们取轴相交时，我们取x轴作为基准，轴作为基准，x轴正向与直线轴正向
6、与直线 l 向上方向之间所成的角向上方向之间所成的角 叫做直叫做直线线 l 的倾斜角的倾斜角（angle of inclination）xyOl 当直线当直线l与与x轴平行或重合时，轴平行或重合时，规定它的倾斜角为规定它的倾斜角为 .直线的倾斜角直线的倾斜角 的取值范围为：的取值范围为：直线的倾斜角直线的倾斜角 直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角，倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角，倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角，度相同的直线其倾斜角相同度相同的直线其倾斜角相同 倾斜程倾斜程x
7、yOl 已知直线上的一个点不能已知直线上的一个点不能确定一条直线的位置；同样已确定一条直线的位置；同样已知直线的倾斜角知直线的倾斜角也也不能确定不能确定一条直线的位置一条直线的位置 但是，但是，直线上的一个点和直线上的一个点和这条直线的倾斜角可以唯一确这条直线的倾斜角可以唯一确定一条直线定一条直线直线的倾斜角直线的倾斜角 确定平面直角坐标系中一条直线位置的几确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者二者缺一不可缺一不可确定直线的要素确定直线的要素xyOlP日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？日常生活中，还有没有
8、表示倾斜程度的量？前进量前进量升升高高量量问题引入问题引入前进前进升升高高例如，例如，“进进2升升3”与与“进进2升升2”比较，前者更比较，前者更陡一些，因为坡度（比）陡一些，因为坡度（比）问题引入问题引入通常用小写字母通常用小写字母k表示，即表示，即 一条直线的倾斜角的正切值叫做这一条直线的倾斜角的正切值叫做这条条直线的斜率直线的斜率（slope）.倾斜角是倾斜角是 的直线有斜率吗？的直线有斜率吗？倾斜角是倾斜角是 的直线的斜率不存在的直线的斜率不存在直线的斜率直线的斜率如果使用如果使用“倾斜角倾斜角”这个概念，那么这里的这个概念，那么这里的“坡坡度（比）度（比）”实际就是实际就是“倾斜角倾
9、斜角的正切的正切”如：倾斜角如：倾斜角 时，直线的斜率时，直线的斜率 当当 为锐角时，为锐角时，如：倾斜角为如：倾斜角为 时，由时，由即这条直线的斜率为即这条直线的斜率为直线的斜率直线的斜率倾斜角倾斜角不是不是90的直线都有斜率，并且倾斜的直线都有斜率，并且倾斜角不同，直线的斜率也不同因此，可以用斜率角不同，直线的斜率也不同因此，可以用斜率表示直线的倾斜程度表示直线的倾斜程度已知直线上两点的坐标，如何计算直线的斜率？已知直线上两点的坐标，如何计算直线的斜率？两点的斜率公式两点的斜率公式 给定两点给定两点P1（x1，y1），），P2（x2，y2），），并且并且x1 x2，如何计算直线，如何计算直
10、线P1 P2的斜率的斜率k当当 为锐角时，为锐角时，在直角在直角 中中 设直线设直线P1 P2的倾斜角为的倾斜角为（90），），当当直线直线P1 P2的方向的方向（即从（即从P1指向指向P2的方向）向上的方向）向上时，过点时，过点P1作作 x 轴的平行线，轴的平行线，过点过点P2作作 y 轴的平行线，两线相轴的平行线，两线相交于点交于点 Q，于是点于是点Q的坐标为（的坐标为（x2，y1）两点的斜率公式两点的斜率公式当当 为钝角时，为钝角时，在直角在直角 中中两点的斜率公式两点的斜率公式 同样，当同样，当 的方向向上时，也有的方向向上时，也有两点的斜率公式两点的斜率公式 1已知直线上两点已知直线
11、上两点 ，运用上述，运用上述公式计算直线公式计算直线 斜率时，与斜率时，与 两点坐标的顺序有关两点坐标的顺序有关吗？吗？无关无关两点的斜率公式两点的斜率公式 2当直线平行于当直线平行于y 轴，或与轴，或与y 轴重合时，上述斜轴重合时，上述斜率公式还适用吗？为什么？率公式还适用吗？为什么？不不适用适用 当直线当直线 与与 轴平行或重合时，上述式子还成立轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？吗？为什么？经过两点经过两点 的直线的斜率公的直线的斜率公式为：式为：两点的斜率公式两点的斜率公式成立成立 例例1 如图如图，已知，已知 ，求直线，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角
12、还的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角是钝角解：直线解：直线AB的斜率的斜率直线直线BC的斜率的斜率直线直线CA的斜率的斜率 由由 及及 知，直线知，直线AB 与与CA的倾斜角均为的倾斜角均为锐角；由锐角；由 知，直线知，直线BC的倾斜角为钝角的倾斜角为钝角典型例题典型例题 例例2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为分别为1，-1，2及及-3的直线的直线 及及 即即 解：取解：取 上某一点为上某一点为 的的坐标是坐标是 ，根据斜率公式有，根据斜率公式有:设设 ，则，则 ，于是，于是 的坐标是的坐标是 过原点过原点及及 的直线即为的直线即为 xy 是过原点及是过原点及 的直线，的直线，是过原点及是过原点及 的直线，的直线，是过原点及是过原点及 的直线的直线典型例题典型例题两点间斜率公式两点间斜率公式知识小结知识小结倾斜角倾斜角斜率斜率作业设计：