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1、计算机软件及应用MATLAB数据分析与多项式计算(2)y,I=max(x)：返回向量：返回向量x的最大值存入的最大值存入y，最，最大值的序号存入大值的序号存入I，如果，如果x中包含复数元素，则按中包含复数元素，则按模取最大值。模取最大值。求向量求向量x的最小值的函数是的最小值的函数是min(x)，用法和，用法和max(x)完全相同。完全相同。例例:求向量求向量x的最大值。的最大值。命令如下：命令如下：x=-43,72,9,16,23,47;y=max(x)%求向量求向量x中的最大值中的最大值y,l=max(x)%求向量求向量x中的最大值及其该元素中的最大值及其该元素的位置的位置11/25/20
2、2222求矩阵的最大值和最小值求矩阵的最大值和最小值 求矩阵求矩阵A的最大值的函数有的最大值的函数有3种调用格式，分种调用格式，分别是：别是：(1)max(A)：返回一个行向量，向量的第：返回一个行向量，向量的第i个元素是个元素是矩阵矩阵A的的第第i列上的最大值列上的最大值。(2)Y,U=max(A)：返回行向量：返回行向量Y和和U，Y向量记录向量记录A的每列的最大值，的每列的最大值，U向量记录每列最大值的行号。向量记录每列最大值的行号。11/25/20223(3)max(A,dim)：dim取取1或或2。dim取取1时，时，该函该函数和数和max(A)完全相同；完全相同；dim取取2时，该函
3、数返回一时，该函数返回一个列向量，其第个列向量，其第i个元素是个元素是A矩阵的矩阵的第第i行上的最大行上的最大值值。求最小值的函数是求最小值的函数是min，其用法和，其用法和max完全相完全相同。同。例例:分别求分别求34矩阵矩阵A中各列和各行元素中的最大值，中各列和各行元素中的最大值，并求整个矩阵的最大值和最小值。并求整个矩阵的最大值和最小值。max(A)max(A,2)max(max(A)min(min(A)11/25/202243两个向量或矩阵对应元素的比较两个向量或矩阵对应元素的比较 函数函数max和和min还能对两个同型的向量还能对两个同型的向量或矩阵进行比较，调用格式为：或矩阵进行
4、比较，调用格式为：(1)U=max(A,B)：A,B是两个同型的向量或是两个同型的向量或矩阵，结果矩阵，结果U是与是与A,B同型的向量或矩阵，同型的向量或矩阵，U的每个元素等于的每个元素等于A,B对应元素的较大者。对应元素的较大者。(2)U=max(A,n)：n是一个标量，结果是一个标量，结果U是与是与A同型的向量或矩阵，同型的向量或矩阵，U的每个元素等于的每个元素等于A对应元素和对应元素和n中的较大者。中的较大者。min函数的用法和函数的用法和max完全相同。完全相同。11/25/202257.1.2 求和与求积求和与求积 数据序列求和与求积的函数是数据序列求和与求积的函数是sum和和pro
5、d，其使用方法类似。设其使用方法类似。设x是一个向量，是一个向量，A是一个矩阵，是一个矩阵，函数的调用格式为：函数的调用格式为：sum(x)：返回向量：返回向量x各元素的和。各元素的和。prod(x)：返回向量：返回向量x各元素的乘积。各元素的乘积。sum(A)：返回一个行向量，其第：返回一个行向量，其第i个元素是个元素是A的第的第i列列的元素和。的元素和。11/25/20226prod(A)：返回一个行向量，其第：返回一个行向量，其第i个元素是个元素是A的第的第i列的元素乘积。列的元素乘积。sum(A,dim)：当：当dim为为1时，该函数等同于时，该函数等同于sum(A)；当；当dim为为
6、2时，返回一个列向量，时，返回一个列向量，其第其第i个元素是个元素是A的第的第i行的各元素之和。行的各元素之和。prod(A,dim)：当：当dim为为1时，该函数等同于时，该函数等同于prod(A)；当；当dim为为2时，返回一个列向量，时，返回一个列向量，其第其第i个元素是个元素是A的第的第i行的各元素乘积。行的各元素乘积。11/25/202277.1.3 平均值和中值平均值和中值求数据序列平均值的函数是求数据序列平均值的函数是mean，求数据序列中值，求数据序列中值的函数是的函数是median。两个函数的调用格式为：。两个函数的调用格式为：mean(x)：返回向量：返回向量x的算术平均值
7、。的算术平均值。median(x)：返回向量：返回向量x的中值。的中值。mean(A)：返回一个行向量，其第：返回一个行向量，其第i个元素是个元素是A的第的第i列的算术平均值。列的算术平均值。median(A)：返回一个行向量，其第：返回一个行向量，其第i个元素是个元素是A的第的第i列的中值。列的中值。mean(A,dim)：当：当dim为为1时，该函数等同于时，该函数等同于mean(A)；当；当dim为为2时，返回一个列向量，其第时，返回一个列向量，其第i个元素是个元素是A的第的第i行的算术平均值。行的算术平均值。median(A,dim)：当：当dim为为1时，该函数等同于时，该函数等同于
8、median(A)；当；当dim为为2时，返回一个列向量，其时，返回一个列向量，其第第i个元素是个元素是A的第的第i行的中值。行的中值。11/25/202287.1.4 累加和与累乘积累加和与累乘积在在MATLAB中，使用中，使用cumsum和和cumprod函数能方便地求得函数能方便地求得向量和矩阵元素的累加和与累乘积向量，函数的调用格式向量和矩阵元素的累加和与累乘积向量，函数的调用格式为：为：cumsum(x)：返回向量：返回向量x累加和向量。累加和向量。cumprod(x)：返回向量：返回向量x累乘积向量。累乘积向量。cumsum(A)：返回一个矩阵，其第：返回一个矩阵，其第i列是列是A
9、的第的第i列的累加和向列的累加和向量。量。cumprod(A)：返回一个矩阵，其第：返回一个矩阵，其第i列是列是A的第的第i列的累乘积列的累乘积向量。向量。cumsum(A,dim)：当：当dim为为1时，该函数等同于时，该函数等同于cumsum(A)；当当dim为为2时，返回一个矩阵，其第时，返回一个矩阵，其第i行是行是A的第的第i行的累加行的累加和向量。和向量。cumprod(A,dim)：当：当dim为为1时，该函数等同于时，该函数等同于cumprod(A)；当；当dim为为2时，返回一个向量，其第时，返回一个向量，其第i行是行是A的第的第i行的累行的累乘积向量。乘积向量。11/25/2
10、02297.1.5 标准方差与相关系数标准方差与相关系数1求标准方差求标准方差 在在MATLAB中，提供了计算数据序列的标准中，提供了计算数据序列的标准方差的函数方差的函数std。对于向量。对于向量x，std(x)返回一个标准返回一个标准方差。对于矩阵方差。对于矩阵A，std(A)返回一个行向量，它的返回一个行向量，它的各个元素便是矩阵各个元素便是矩阵A各列或各行的标准方差。各列或各行的标准方差。std函数的一般调用格式为：函数的一般调用格式为：Y=std(A,flag,dim)其中其中dim取取1或或2。当。当dim=1时，求各列元素的时，求各列元素的标准方差；当标准方差；当dim=2时，则
11、求各行元素的标准方时，则求各行元素的标准方差。差。flag取取0或或1，当，当flag=0时，按时，按1所列公式计算所列公式计算标准方差，当标准方差，当flag=1时，按时，按2所列公式计算标准所列公式计算标准方差。缺省方差。缺省flag=0，dim=1。11/25/20221011/25/2022112相关系数相关系数 MATLAB提供了提供了corrcoef函数，可以求出数函数，可以求出数据的相关系数矩阵。据的相关系数矩阵。corrcoef函数的调用格式为：函数的调用格式为：corrcoef(x,y)：在这里，：在这里，x,y是向量。是向量。corrcoef(A)：返回从矩阵：返回从矩阵A
12、形成的一个相关系形成的一个相关系数矩阵。此相关系数矩阵的大小与矩阵数矩阵。此相关系数矩阵的大小与矩阵A一样。一样。它把矩阵它把矩阵A的每列作为一个变量，然后求它们的的每列作为一个变量，然后求它们的相关系数。相关系数。11/25/202212A=1.0000 0.2000 0.5000 1.2000 0.2500 0.5100 1.0200 0.2100 0.5100 corrcoef(A)ans=1.0000 0.9951 0.5766 0.9951 1.0000 0.6547 0.5766 0.6547 1.000011/25/202213例例:生成满足正态分布的生成满足正态分布的10000
13、5随机矩阵，随机矩阵，然后求各列元素的均值和标准方差，再求然后求各列元素的均值和标准方差，再求这这5列随机数据的相关系数矩阵。列随机数据的相关系数矩阵。命令如下：命令如下：x=randn(10000,5);M=mean(x)D=std(x)R=corrcoef(x)11/25/202214X=randn(10000,5);M=mean(X)D=std(X)R=corrcoef(X)M=0.0011 0.0066 0.0009 0.0264 0.0101D=1.0011 1.0036 1.0049 1.0058 1.0061R=1.0000 0.0119 0.0051 -0.0114 -0.00
14、11 0.0119 1.0000 0.0093 -0.0012 0.0071 0.0051 0.0093 1.0000 0.0048 0.0095 -0.0114 -0.0012 0.0048 1.0000 -0.0017 -0.0011 0.0071 0.0095 -0.0017 1.000011/25/2022157.1.6 排序排序 MATLAB中对向量中对向量x是排序函数是是排序函数是sort(x)，函数返回一个对函数返回一个对x中的元素按升序排列的新向量。中的元素按升序排列的新向量。sort函数也可以对矩阵函数也可以对矩阵A的各列或各行重新排的各列或各行重新排序，其调用格式为：序，其
15、调用格式为：Y,I=sort(A,dim)其中其中dim指明对指明对A的列还是行进行排序。若的列还是行进行排序。若dim=1，则按列排；若，则按列排；若dim=2，则按行排。，则按行排。Y是排是排序后的矩阵，而序后的矩阵，而I记录记录Y中的元素在中的元素在A中位置。中位置。11/25/202216 A=1 2 3;4 1 3A=1 2 3 4 1 3 sort(A,2)ans=1 2 3 1 3 411/25/2022177.2 数据插值数据插值 数据插值的任务就是通过数据插值的任务就是通过y=f(x)的数据点的数据点（x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)构造通过这些数据点，构造通过这
16、些数据点，并且光滑的函数并且光滑的函数y=g(x)。数据点越密集，。数据点越密集，g(x)与与f(x)越接近。越接近。根据自变量个数，插值分为一维、二维、多根据自变量个数，插值分为一维、二维、多维插值。维插值。根据插值函数不同，插值分为线性插值、最根据插值函数不同，插值分为线性插值、最近点插值、多项式插值、三次样条插值等。近点插值、多项式插值、三次样条插值等。Matlab提供了一维、二维、提供了一维、二维、N维插值函数维插值函数interp1，interp2，interpN以及三次样条插值函数以及三次样条插值函数spline11/25/2022187.2.1 一维数据插值（单变量函数）一维数据
17、插值（单变量函数）在在MATLAB中，实现这些插值的函中，实现这些插值的函数是数是interp1，其调用格式为：，其调用格式为：Y1=interp1(X,Y,X1,method)函数根据函数根据X,Y的值，计算函数在的值，计算函数在X1处处的值。的值。X,Y是两个等长的已知向量，分别描是两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值，述采样点和样本值，X1是一个向量或标量，是一个向量或标量，描述欲插值的点，描述欲插值的点，Y1是一个与是一个与X1等长的插等长的插值结果。值结果。method是插值方法，允许的取值是插值方法，允许的取值有有linear（线性插值（线性插值,为默认的插值方法）、为默认的
18、插值方法）、nearest（最近点插值）、（最近点插值）、cubic（三次多项（三次多项式插值）、式插值）、spline（三次样条插值）。（三次样条插值）。11/25/202219 MATLAB中有一个专门的中有一个专门的3次样条插值函数次样条插值函数Y1=spline(X,Y,X1)，其功能及使用方法与函数，其功能及使用方法与函数Y1=interp1(X,Y,X1,spline)完全相同。完全相同。注意：注意：X1的取值范围不能超出的取值范围不能超出X的给定范的给定范围，否则，会给出围，否则，会给出“NaN”错误。错误。11/25/202220例例:用不同的插值方法计算用不同的插值方法计算y
19、=sin(x)在在/2点的值。点的值。clear;x=0:0.2:pi;y=sin(x);s1=interp1(x,y,pi/2)s2=interp1(x,y,pi/2,linear)s3=interp1(x,y,pi/2,nearest)s4=interp1(x,y,pi/2,cubic)s5=interp1(x,y,pi/2,spline)s6=spline(x,y,pi/2)运行结果：运行结果：s1=0.9975s2=0.9975s3=0.9996s4=0.9992s5=1.0000s6=1.000011/25/202221例例:某观测站测得某日某观测站测得某日6:00时至时至18:00
20、时之间每隔时之间每隔2小小时的室内外温度时的室内外温度()，用，用3次样条插值分别求得该次样条插值分别求得该日室内外日室内外6:30至至17:30时之间每隔时之间每隔2小时各点的近似小时各点的近似温度温度()。设时间变量设时间变量h为一行向量，温度变量为一行向量，温度变量t为一个为一个两列矩阵，两列矩阵，其中第一列存放室内温度，第二列储其中第一列存放室内温度，第二列储存室外温度。命令如下：存室外温度。命令如下：h=6:2:18;t=18,20,22,25,30,28,24;15,19,24,28,34,32,30;XI=6.5:2:17.5YI=interp1(h,t,XI,spline)%用
21、用3次样条插值计次样条插值计算算11/25/202222XI=6.5000 8.5000 10.5000 12.5000 14.5000 16.5000YI=18.5020 15.6553 20.4986 20.3355 22.5193 24.9089 26.3775 29.6383 30.2051 34.2568 26.8178 30.959411/25/2022237.2.2 二维数据插值二维数据插值 在在MATLAB中，提供了解决二维插值问题的中，提供了解决二维插值问题的函数函数interp2，其调用格式为：，其调用格式为：Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method)其中
22、其中X,Y是两个向量，分别描述两个参数的采是两个向量，分别描述两个参数的采样点，样点，Z是与参数采样点对应的函数值，是与参数采样点对应的函数值，X1,Y1是是两个向量或标量，描述欲插值的点。两个向量或标量，描述欲插值的点。Z1是根据相是根据相应的插值方法得到的插值结果。应的插值方法得到的插值结果。method的取值与的取值与一维插值函数相同。一维插值函数相同。X,Y,Z也可以是矩阵形式。也可以是矩阵形式。同样，同样，X1,Y1的取值范围不能超出的取值范围不能超出X,Y的给定的给定范围，否则，会给出范围，否则，会给出“NaN”错误。错误。11/25/202224例：设例：设z=x2+y2，对，对
23、z函数在函数在0,10,2区域区域内进行插值。内进行插值。clear;x=0:0.1:1;y=0:0.2:2;X,Y=meshgrid(x,y);z=X.2+Y.2;interp2(x,y,z,0.2,0.2)%计算计算(0.2,0.2)点的值点的值interp2(x,y,z,0.5,0.6,0.4)%计算计算(0.5,0.4),(0.6,0.4)点的点的值值interp2(x,y,z,0.5,0.6,0.4,0.2)%计算计算(0.5,0.4),(0.6,0.2)点的值点的值 interp2(x,y,z,0.5,0.6,0.4,0.2)%计算计算(0.5,0.4),(0.6,0.4)，(0.
24、5,0.2),(0.6,0.2)点的值点的值11/25/202225例例:某实验对一根长某实验对一根长10米的钢轨进行热源的温度传播米的钢轨进行热源的温度传播测试。用测试。用x表示测量点表示测量点0:2.5:10(米米)，用，用h表示测量表示测量时间时间0:30:60(秒秒)，用，用T表示测试所得各点的温度表示测试所得各点的温度()。试用线性插值求出在一分钟内每隔。试用线性插值求出在一分钟内每隔20秒、秒、钢轨每隔钢轨每隔1米处的温度米处的温度TI。命令如下：命令如下：x=0:2.5:10;h=0:30:60;T=95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41
25、;xi=0:10;hi=0:20:60;TI=interp2(x,h,T,xi,hi)surf(xi,hi,TI)11/25/2022267.3 曲线拟合曲线拟合 在在MATLAB中，用中，用polyfit函数来求得最小二函数来求得最小二乘拟合多项式的系数，再用乘拟合多项式的系数，再用polyval函数按所得的函数按所得的多项式计算所给出的点上的函数近似值。多项式计算所给出的点上的函数近似值。polyfit函数的调用格式为：函数的调用格式为：p,s=polyfit(x,y,m)函数根据采样点函数根据采样点x和采样点函数值和采样点函数值y，产生一，产生一个个m次多项式次多项式p及其在采样点的误差
26、向量及其在采样点的误差向量s。其中。其中x,y是两个等长的向量，是两个等长的向量，p是一个长度为是一个长度为m+1的向的向量，量，p的元素为多项式系数。的元素为多项式系数。polyval(p,x)函数的功能是按多项式的系数计函数的功能是按多项式的系数计算算x点多项式的值。点多项式的值。11/25/202227例例:已知数据表已知数据表t,y，试求，试求2次拟合多项式次拟合多项式p(t)，然后，然后求求ti=1,1.5,2,2.5,9.5,10各点的函数近似值。各点的函数近似值。cleart=1:10;y=9.6 4.1 1.3 0.4 0.05 0.1 0.7 1.8 3.8 9.0;p=po
27、lyfit(t,y,2)结果：结果：p=0.4561 -5.0412 13.2533相当于相当于y=0.4561x2-5.0412 x+13.2533然后用以下命令计算各点近似值并然后用以下命令计算各点近似值并绘制拟合曲线。绘制拟合曲线。ti=1:0.5:10yi=polyval(p,ti)plot(t,y,:o,ti,yi,-*)11/25/2022287.4 多项式计算多项式计算7.4.1 多项式的四则运算多项式的四则运算1多项式的加减运算多项式的加减运算2多项式乘法运算多项式乘法运算 函数函数conv(P1,P2)用于求多项式用于求多项式P1和和P2的乘积。这里，的乘积。这里，P1、P2
28、是两是两个多项式系数向量。个多项式系数向量。例例:求多项式求多项式x4+8x3-10与多项式与多项式2x2-x+3的乘积。的乘积。a=1 8 0 0-10;b=2-1 3;c=conv(a,b)c=2 15 -5 24 -20 10 -3011/25/2022293多项式除法多项式除法 函数函数Q,r=deconv(P1,P2)用于对多项式用于对多项式P1和和P2作除法运算。其中作除法运算。其中Q返回多项式返回多项式P1除以除以P2的商的商式，式，r返回返回P1除以除以P2的余式。这里，的余式。这里，Q和和r仍是多仍是多项式系数向量。项式系数向量。deconv是是conv的逆函数，即有的逆函数
29、，即有P1=conv(P2,Q)+r。11/25/202230例例:求多项式求多项式x4+8x3-10除以多项式除以多项式2x2-x+3的结果。的结果。P1=1 8 0 0-10;P2=2-1 3;Q,r=deconv(P1,P2)Q=0.5000 4.2500 1.3750r=0 0 0 -11.3750 -14.125011/25/2022317.4.2 多项式的导函数多项式的导函数对多项式求导数的函数是：对多项式求导数的函数是：p=polyder(P)：求多项式：求多项式P的导函数的导函数p=polyder(P,Q)：求：求PQ的导函数的导函数p,q=polyder(P,Q)：求：求P/
30、Q的导函数，导函数的的导函数，导函数的分子存入分子存入p，分母存入，分母存入q。上述函数中，参数上述函数中，参数P,Q是多项式的向量表示，结果是多项式的向量表示，结果p,q也是多项式的向量表示。也是多项式的向量表示。11/25/202232例例:求有理分式的导数。求有理分式的导数。命令如下：命令如下：P=1;Q=1,0,5;p,q=polyder(P,Q)p=-2 0q=1 0 10 0 2511/25/2022337.4.3 多项式的求值多项式的求值 MATLAB提供了两种求多项式值的函数：提供了两种求多项式值的函数：polyval与与polyvalm，它们的输入参数均为多项式，它们的输入参
31、数均为多项式系数向量系数向量P和自变量和自变量x。两者的区别在于前者是代。两者的区别在于前者是代数多项式求值，而后者是矩阵多项式求值。数多项式求值，而后者是矩阵多项式求值。11/25/2022341代数多项式求值代数多项式求值 polyval函数用来求代数多项式的值，函数用来求代数多项式的值，其调用格式为：其调用格式为：Y=polyval(P,x)若若x为一数值，则求多项式在该点的值；为一数值，则求多项式在该点的值；若若x为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。个元素求其多项式的值。例例:已知多项式已知多项式x4+8x3-10，分别取，分别取x
32、=1.2和一和一个个23矩阵为自变量计算该多项式的值。矩阵为自变量计算该多项式的值。11/25/202235P=1 8 0 0-10 x=1.2;y1=polyval(P,x)x=1-2 3;1 2 5;y2=polyval(P,x)y1=5.8976y2=-1 -58 287 -1 70 161511/25/2022362矩阵多项式求值矩阵多项式求值 polyvalm函数用来求矩阵多项式的值，其调函数用来求矩阵多项式的值，其调用格式与用格式与polyval相同，但含义不同。相同，但含义不同。polyvalm函函数要求数要求x为方阵，它以方阵为自变量求多项式的值。为方阵，它以方阵为自变量求多项
33、式的值。设设A为方阵，为方阵，P代表多项式代表多项式x3-5x2+8，那么，那么polyvalm(P,A)的含义是：的含义是：A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A)而而polyval(P,A)的含义是：的含义是：A.*A.*A-5*A.*A+8*ones(size(A)11/25/202237例例:以多项式以多项式x4+8x3-10为例，取一个为例，取一个22矩阵为自变矩阵为自变量分别用量分别用polyval和和polyvalm计算该多项式的值。计算该多项式的值。A=1 8 0 0-10 x=3-2;1 2;y1=polyval(A,x)x=3-2;1 2;y2=polyvalm(
34、A,x)y1=287 -58 -1 70y2=77 -362 181 -10411/25/2022387.4.4 多项式求根多项式求根 n次多项式具有次多项式具有n个根，当然这些根可能是实个根，当然这些根可能是实根，也可能含有若干对共轭复根。根，也可能含有若干对共轭复根。MATLAB提供提供的的roots函数用于求多项式的全部根，其调用格式函数用于求多项式的全部根，其调用格式为：为：x=roots(P)其中其中P为多项式的系数向量，求得的根赋给向为多项式的系数向量，求得的根赋给向量量x，即，即x(1),x(2),x(n)分别代表多项式的分别代表多项式的n个根。个根。11/25/202239例例
35、:求多项式求多项式x4+8x3-10的根。的根。命令如下：命令如下：P=1,8,0,0,-10;x=roots(P)若已知多项式的全部根，则可以用若已知多项式的全部根，则可以用poly函数函数建立起该多项式，其调用格式为：建立起该多项式，其调用格式为：P=poly(x)若若x为具有为具有n个元素的向量，则个元素的向量，则poly(x)建立以建立以x为其根的多项式，且将该多项式的系数赋给向量为其根的多项式，且将该多项式的系数赋给向量P。11/25/202240例例:已知已知 f(x)=3x5+4x3-5x2-7.2x+5(1)计算计算f(x)=0 的全部根。的全部根。(2)由方程由方程f(x)=
36、0的根构造一个多项式的根构造一个多项式g(x)，并与，并与f(x)进行对进行对比。比。命令如下：命令如下：P=3,0,4,-5,-7.2,5;X=roots(P)%求方程求方程f(x)=0的根的根G=poly(X)%求多项式求多项式g(x)X=-0.3046+1.6217i -0.3046-1.6217i -1.0066 1.0190 0.5967 G=1.0000 0.0000 1.3333 -1.6667 -2.4000 1.666711/25/202241此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢