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1、证明：刚度矩阵K是一个奇异矩阵-在排除刚体位移后-它是正定阵。单元的整体平衡方程 令结点1在x方向的位移为 =1，而其余结点位移皆为零，则单元在外力作用下处于平衡，满足三个平衡方程：即亦即同理可得：所以 即刚度矩阵刚度矩阵 的第一列元素代数和为的第一列元素代数和为0，对于 的其余各列或行也有相同的结论 将刚度矩阵的第二、三六行加到第一行，则得 因此单元刚度矩阵因此单元刚度矩阵 为奇异矩阵为奇异矩阵 整体刚度矩阵是由单元刚度矩阵集合而成整体刚度矩阵是由单元刚度矩阵集合而成的，由单元刚度矩阵的奇异性知，整体刚的，由单元刚度矩阵的奇异性知，整体刚度矩阵也必为奇异矩阵，且存在三个线性度矩阵也必为奇异矩
2、阵，且存在三个线性相关的行或列。相关的行或列。例如 如图所示的3结点三角形单元，边长a=3,b=4,c=5,厚度t=1，材料常数为E=，。由相关公式计算得 因为 行（列）+行（列）+行（列）=0，行（列）+行（列）+行（列）=0，3X行（列）-4X 行（列）=0，即存在3个线性相关的关系，故该刚度矩阵为奇异矩阵 因刚度矩阵为奇异矩阵，在给定任意位移条件下，可以从方程 计算出作用于单元的结点力，且它们满足平衡。但是，如果给定结点载荷，即使它们满足平衡，却不能由该方程确定结点位移。这是因为，单元还可以任意的刚体位移（平 面问题的这种刚体位移是两个方向的移动和一个面内的转动），由方程计算出的位移是刚体计算出的位移是刚体位移和结点位移的合成，位移和结点位移的合成，所以，只有通过施加约束来约束刚体位移约束刚体位移，有方程计算出的位移才是唯一的唯一的，即方程 有唯一解，由线性代数的相关知识可知，此时此时刚度矩阵为非奇异矩阵。刚度矩阵为非奇异矩阵。谢谢!此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢