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1、 第一章第一章 晶体结构晶体结构1.1 晶体特征晶体特征1.2 配位数和密堆积配位数和密堆积1.3 一些晶体的实例一些晶体的实例1.4 空间点阵空间点阵1.5 晶格周期性的描述晶格周期性的描述1.6 典型晶体结构的原胞和晶胞典型晶体结构的原胞和晶胞1.7 晶向晶面及标记晶向晶面及标记1.8 晶体宏观对称性及其对称操作晶体宏观对称性及其对称操作1.9 七大晶系七大晶系14种原胞种原胞晶体的结构特征及其描述晶体的结构特征及其描述单晶单晶：整块固体中粒子均是规则、周期排列。：整块固体中粒子均是规则、周期排列。多晶多晶：由大量微小单晶粒组成。每个晶粒内粒子规：由大量微小单晶粒组成。每个晶粒内粒子规则排
2、列，而各个晶粒间粒子排列取向不同。则排列，而各个晶粒间粒子排列取向不同。晶体晶体：至少在微米级范围粒子按一定规则周：至少在微米级范围粒子按一定规则周期有序排列（长程有序）形成的固体期有序排列（长程有序）形成的固体1.1 晶体特征晶体特征晶体晶体非晶体非晶体准晶体准晶体按内部结构特点可分为三大类按内部结构特点可分为三大类组组成成Be2O3晶晶体体的的粒粒子子在在空空间间的的排排列列具具有有周周期期性性，是是长长程有序的。程有序的。一、一、内部结构特征内部结构特征具有具有“平移对称旋转对称性平移对称旋转对称性”的特的特点点准晶体准晶体：无周期平移不变性但有某些取向旋转对称性：无周期平移不变性但有某
3、些取向旋转对称性非晶体非晶体：在微米级范围内粒子无：在微米级范围内粒子无序排列（序排列（长程无序长程无序）形成的固体）形成的固体非晶态固体又叫做过冷液体，它们非晶态固体又叫做过冷液体，它们在凝结过程中不经过结晶（即有序在凝结过程中不经过结晶（即有序化）的阶段，非晶体中粒子与粒子化）的阶段，非晶体中粒子与粒子的结合是无规则的的结合是无规则的Be2O3玻玻璃璃中中的的粒粒子子只只有有近近邻邻的的范范围围内内粒粒子子间间保保持持着着一一定定的的短短程程有有序序，但但隔隔开开三三、四四个个粒粒子子后后就就不不再再保保持持这这种种关关系系，由由于于键键角角键键长长的的畸畸变变破破坏坏了了长长程序，形成无
4、规则网络。程序，形成无规则网络。19841984年年ShechtmanShechtman等等用用快快速速冷冷却却方方法法制制备备AlMnAlMn合合金金，经经对对电电子子衍衍射射谱谱分分析析，发发现现有有五五重重对对称称（旋旋转转2 2/5/5）的的衍衍射射斑斑点点分分布布的的存存在在，导导致致一一种种新新的的有有序序相相准准晶晶(quasicrystalquasicrystal)的的发现发现。以后不作特别说明，所说以后不作特别说明，所说“晶体晶体”指指“完整的单晶体或理想晶体。完整的单晶体或理想晶体。二、二、晶体的外形特征晶体的外形特征晶体最显著的特征是晶面有规则、对称地配置。晶体最显著的特
5、征是晶面有规则、对称地配置。一个理想完整的晶体，相应的晶面的面积相等。一个理想完整的晶体，相应的晶面的面积相等。外形的对称性是晶体内部粒子间有序排列的反映外形的对称性是晶体内部粒子间有序排列的反映指的是晶体具有沿某些确指的是晶体具有沿某些确定方位的晶面劈裂的性质定方位的晶面劈裂的性质三、三、晶体的解理性晶体的解理性相应的晶面称为晶体的解理面，显露在相应的晶面称为晶体的解理面，显露在晶体外面的晶面往往是一些解理面。晶体外面的晶面往往是一些解理面。晶面往往组合成晶带，如图中的晶面往往组合成晶带，如图中的a-1-c-2晶晶带带由由若若干干个个晶晶面面组组成成，相相邻邻晶晶面面的的交交线线称称为为晶晶
6、棱棱，晶晶带带的的特特点点是是所所有有的的晶晶棱棱相相互互平平行行，其其共共同同的的方方向向称称为晶带的带轴，通常所说的晶轴是重要的带轴。为晶带的带轴，通常所说的晶轴是重要的带轴。晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，意味着平行解理面的原子层的间距大。间的结合力弱，意味着平行解理面的原子层的间距大。四、四、晶体品种的特征因素晶体品种的特征因素a)晶体的大小和形状不是晶体品种的特征因素晶体的大小和形状不是晶体品种的特征因素晶晶体体外外形形中中，只只受受内内在在结结构构决决定定而而不不受受外外界界条条件件影影响响的的因因素素称
7、称为为晶体品种的特征因素。晶体品种的特征因素。由由于于外外界界条条件件和和偶偶然然情情况况不不同同，同同一一类类型型的的晶晶体体，其其外外形形不不尽相同。图是理想石英晶体和一种人造的石英晶体的外形尽相同。图是理想石英晶体和一种人造的石英晶体的外形。b)晶面间的夹角是晶体品种的特征因素晶面间的夹角是晶体品种的特征因素属属于于同同一一品品种种的的晶晶体体，无无论论其其外外形形如如何何，两两个个对对应应的的晶晶面面间间夹夹角角恒恒定定不不变变，称称为为面面角角守守恒定律恒定律可可以以看看到到，由由于于外外界界条条件件的的差差异异，晶晶体体中中某某组组晶晶面面可可以以相相对对地地变变小小、甚甚至至消消
8、失失。所所以以，晶晶体体中中晶晶面面的的大大小小和和形形状状并并不是表征晶体类型的固有特征不是表征晶体类型的固有特征。理理想想的的石石英英晶晶体体人造的石英晶体人造的石英晶体例如：石英晶体的例如：石英晶体的m与与m两面夹角为两面夹角为60o0 m与与R面之间的面之间的夹角为夹角为38o13，m与与r面的夹角为面的夹角为38o13 等。等。五、五、晶体其它特征晶体其它特征1)晶体有确定的熔点晶体有确定的熔点例如：冰例如：冰 0 NaCl 800熔点是指晶态固体的长称有序解体时所对应的温度熔点是指晶态固体的长称有序解体时所对应的温度2)物理性质的各向异性物理性质的各向异性例如：例如：La2-xBa
9、xCuO41.2 配位数和密堆积配位数和密堆积原子在晶体中的平衡位置，排列应该采取尽可能的原子在晶体中的平衡位置，排列应该采取尽可能的紧密方式，相应于结合能最低的位置，见下章紧密方式，相应于结合能最低的位置，见下章把原子看成一个个小球，看这些小球如何堆积，把原子看成一个个小球，看这些小球如何堆积，不同的堆积方式，可以得到不同的晶体结构。不同的堆积方式，可以得到不同的晶体结构。六角密积结构六角密积结构CeCl型结构型结构NaCl型结构型结构四面体结构四面体结构层状结构层状结构链状结构链状结构一个原子周围最近邻的原子数，称为一个原子周围最近邻的原子数，称为配位数配位数可以被用来描述晶体中粒子排列的
10、紧密程度可以被用来描述晶体中粒子排列的紧密程度晶体结构中最大配位数是晶体结构中最大配位数是 12，以下依次是，以下依次是8、6、4、3、2密堆积密堆积晶体内全同原子小圆球最紧密的堆积。晶体内全同原子小圆球最紧密的堆积。密堆积配位数为密堆积配位数为12，堆积方式有两种方式：立方和六角密积，堆积方式有两种方式：立方和六角密积在实际的由同种元素构成的晶体中，如果无特殊要求，晶在实际的由同种元素构成的晶体中，如果无特殊要求，晶体的配位数都很高，其中六角密积占体的配位数都很高，其中六角密积占31，立方密积占，立方密积占26，说明晶体一般是按最紧密的方式堆积的。，说明晶体一般是按最紧密的方式堆积的。如果晶
11、体由两种或两种如果晶体由两种或两种以上的元素组成，即组以上的元素组成，即组成晶体的原子小球大小成晶体的原子小球大小不等，则不可能有密堆不等，则不可能有密堆积结构，这时的配位数积结构，这时的配位数小于小于12。配位数为配位数为8CeCl型结构型结构1、简单立方简单立方1）将原子球在一个平面内）将原子球在一个平面内按正方排列形成原子层按正方排列形成原子层2）将将原原子子层层按按图图所所示示沿沿垂垂直直层层面面方方向向叠叠加加起起来来就就得得到到简简单单立立方方结结构构，其其最最小小的的重重复结构单元（原胞）如图复结构单元（原胞）如图3）用原点表示原子的位置，）用原点表示原子的位置，即得到简单立方格
12、子即得到简单立方格子配位数为配位数为61.3 一些晶体的实例一些晶体的实例原子层原子层原子层原子层原子层原子层2、体心立方体心立方1）原子球按正方形式铺开形成一原）原子球按正方形式铺开形成一原子层，计为原子层，类似排列形成子层，计为原子层，类似排列形成另一原子层，计为原子层另一原子层，计为原子层2）将将B层层原原子子放放在在层层四四个个原原子子的的间间隙隙里里，第第二二层层的的每每个个球球和和第第一一层层的的四四个个球球紧紧密密相相切切，如如图图，按按AB AB AB.次次序序沿沿垂垂直直于于层层面面方方向向叠叠加加起起来来就就得得到到体体心心立立方方。体体心心立立方方原原胞胞如图所示如图所示
13、3）用原点表示原子的位置，即得）用原点表示原子的位置，即得到体心立方格子到体心立方格子配位数为配位数为8Li、Na、K、Rb、Cs、Fe等金属为等金属为典型的具有体心立方晶格的金属典型的具有体心立方晶格的金属Fe体心立方晶格结构体心立方晶格结构体心立方晶格中，体心立方晶格中，A A层中原子球的距离等于层中原子球的距离等于A-AA-A层间的距离，由此可计算出层原子球的间隙层间的距离，由此可计算出层原子球的间隙 r0为原子球半径为原子球半径r0+r0层层层层层层3、面心立方面心立方面面心心立立方方晶晶体体的的原原胞胞和和简简单单立立方方相相似似，所所不不同同的的是是，除除立立方方体体顶顶角角上上有
14、有原原子子外外，在立方体的六个面的中心还有六个原子。在立方体的六个面的中心还有六个原子。用原点表示原子的位置，即得到面用原点表示原子的位置，即得到面心立方格子心立方格子贵金属（如贵金属（如Cu、Al、Ni等）具有面心等）具有面心立方结构。立方结构。配位数为配位数为124、六角密积结构六角密积结构1）原原子子球球平平铺铺在在平平面面上上，任任意意一一个个球球都都与与六六个个球球相相切切，每每三三个个相相切切的的球球的的中中心心构构成成一一等等边边三三角角形形，且且每每个个球球的的周周围围有有六六个个空空隙隙，这这样样构构成成一一原原子子层层，计计为为原子层。原子层。3）将将B层层的的球球放放在在
15、层层相相间间的的3个个空空隙隙里里，B层层每每个个球球和和A层层三三个个球球紧紧密密相切，如图。相切，如图。2）类类似似排排列列形形成成另另一一原原子子层层，计计为为原子层。原子层。5）用原点表示原子的位置，即得）用原点表示原子的位置，即得到六角密积格子到六角密积格子4）按按AB AB AB.次次序序沿沿垂垂直直于于层层面方向叠加起来就得到六角密排结构面方向叠加起来就得到六角密排结构配位数为配位数为125、金刚石结构金刚石结构金金刚刚石石由由碳碳原原子子构构成成，其其结结构构可可以以看看成成是是由由面面心心立立方方结结构构演演变变而而来来的的，即即：在在一一个个面面心心立立方方原原胞胞的的基基
16、础础上上在在体体内内再再额额外外加加四四个个原原子子，体体内内四四个个原原子子分分别位于四个空间对角的别位于四个空间对角的1/4处。处。面心立方面心立方金刚石金刚石整个金刚石晶格可以看成是由沿体对整个金刚石晶格可以看成是由沿体对角线相互位移四分之一对角线长度的角线相互位移四分之一对角线长度的两个面心立方晶格套构而成。两个面心立方晶格套构而成。重要的半导体材料，如重要的半导体材料，如Ge、Si等，等，都有四个价电子，其晶体结构和都有四个价电子，其晶体结构和金刚石相同金刚石相同由碳原子共价键的取向分析可知，在面由碳原子共价键的取向分析可知，在面心和顶角处的碳原子与体内的心和顶角处的碳原子与体内的4
17、个碳原子个碳原子是不等价的。是不等价的。A类碳原子的共价键方向类碳原子的共价键方向B类碳原子的共价键方向类碳原子的共价键方向6、闪锌矿结构闪锌矿结构和金刚石结构相似，所不同的是，在立方体顶角和和金刚石结构相似，所不同的是，在立方体顶角和面心处的原子与体内原子分别属于不同的元素。面心处的原子与体内原子分别属于不同的元素。许多重要的化合物半导体，如许多重要的化合物半导体，如InSb、ZnS、GaAs、InP等均是等均是闪锌矿结构闪锌矿结构。7、钙钛矿结构钙钛矿结构钙钛矿钙钛矿结构是指钛酸钙结构是指钛酸钙(CaTiO3)的结构的结构Ca在立方体顶角上是在立方体顶角上是Ca，Ti位于立方体的位于立方体
18、的体心处，体心处，O位于立方体六个面心处。位于立方体六个面心处。如如果果把把OI、OII、OIII连连接接起起来来，则则它它们们构构成成等等边边三三角角形形，整整个个原原胞胞中中共共有有8个个这这样样的的三三角角形形面面，围围成成一一个个八八面面体体，通通常常称称为为氧氧八八面面体体。整整个个结结构构可可看看成成氧氧八八面面体体的的排排列列，其其中中Ti位位于于氧氧八八面面体体中中心心，而而Ca则在则在8个氧八面体的间隙里。个氧八面体的间隙里。Ca铁电体：铁电体：BaTiO3、PbZrO3、LiNbO3、LiTaO3铁磁体铁磁体：(La,Ca)MnO3ABO3作业作业1、3、以堆积模型计算由同
19、种原子构成的同体积的体、以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体 心和面心晶体中的原子数之比心和面心晶体中的原子数之比2、1.4 空间点阵空间点阵晶体可以由一种或多种原子（或离子）组成，晶体可以由一种或多种原子（或离子）组成，它们构成晶体的基本结构单元，称为基元。它们构成晶体的基本结构单元，称为基元。1、基元、基元例例1：碳：碳60晶体晶体 晶体基元是晶体基元是一个包含一个包含60个碳原子组个碳原子组成的巴基球成的巴基球 例例2：两种原子构成的某种晶体：两种原子构成的某种晶体 将基元在空间中按一定方式作周期性重复将基元在空间中按一定方式作周期性重复就形成了具有一定结构的晶体。就形成了具有一定结
20、构的晶体。反映了晶体内在结构长程有序的特征反映了晶体内在结构长程有序的特征其正确性为其正确性为X X射线工作所证明射线工作所证明两者结合形成了关于晶体几何结构的完备理论两者结合形成了关于晶体几何结构的完备理论空间点阵学说空间点阵学说(1919世纪布喇菲世纪布喇菲)空间群理论空间群理论空间点阵学说中所称的点子，代表着空间点阵学说中所称的点子，代表着结构中相同的位置，称为结点。结构中相同的位置，称为结点。如果晶体由完全相同的一种原子组成，如果晶体由完全相同的一种原子组成，结点一般认为是原子本身的位置，结点一般认为是原子本身的位置，也可也可以将原子周围相应点的位置看作为结点以将原子周围相应点的位置看
21、作为结点3、结点、结点 如果晶体中含有数种原子，则如果晶体中含有数种原子，则将基元的重心选择为结点将基元的重心选择为结点是一种数学上的抽象是一种数学上的抽象2、格点、格点(Lattice site)用位于原子平衡位置的几何点替代每一个原子，结果得到一个用位于原子平衡位置的几何点替代每一个原子，结果得到一个与晶体几何特征相同、但无任何物理实质的几何图形。处于原与晶体几何特征相同、但无任何物理实质的几何图形。处于原子平衡位置的几何点称为格点。子平衡位置的几何点称为格点。意味着结意味着结点可以是点可以是格点也可格点也可以不是格以不是格点点4、点阵、点阵结点在空间周期性排列的总体，称为点阵结点在空间周
22、期性排列的总体，称为点阵5、晶格、晶格通过点阵中的结点，可以作许多平行的直线族和平行的晶面族通过点阵中的结点，可以作许多平行的直线族和平行的晶面族这样，点阵就成为一些网格，称为晶格这样，点阵就成为一些网格，称为晶格6、布喇菲格子和复式格子、布喇菲格子和复式格子如果晶体由完全相同的一种原子组成，则由格点（原子）组成如果晶体由完全相同的一种原子组成，则由格点（原子）组成的网格和由结点组成的网格相同，这样的网格称为布喇菲格子的网格和由结点组成的网格相同，这样的网格称为布喇菲格子如果晶体包含两种或两种以上的原子，则不同的原子各自构成如果晶体包含两种或两种以上的原子，则不同的原子各自构成自身的布喇菲格子
23、（子晶格），若干个相同的布喇菲格子相互自身的布喇菲格子（子晶格），若干个相同的布喇菲格子相互位移套构而形成所谓的复式格子。位移套构而形成所谓的复式格子。整个金刚石晶格可以看成是由沿体对整个金刚石晶格可以看成是由沿体对角线相互位移四分之一对角线长度的角线相互位移四分之一对角线长度的两个面心立方晶格套构而成。两个面心立方晶格套构而成。1.5 晶格周期性的描述晶格周期性的描述1、晶格周期性的描述、晶格周期性的描述原胞和基矢原胞和基矢原胞原胞 一个晶格中最小的重复单元一个晶格中最小的重复单元例例1：一维布喇菲格子：一维布喇菲格子原胞，即原胞，即最小重复单元，为一个原最小重复单元，为一个原子加上原子周围
24、长度为子加上原子周围长度为a的区域的区域a习惯上的选择习惯上的选择两种选择两种选择一维长度最短、二维面积最小、一维长度最短、二维面积最小、三维体积最小的重复单元三维体积最小的重复单元晶格的共同特点是具有周期性，可晶格的共同特点是具有周期性，可以用原胞和基矢来描述这一周期性以用原胞和基矢来描述这一周期性例例2：二维布喇菲格子：二维布喇菲格子原胞，由相邻的四个原子构成的面原胞，由相邻的四个原子构成的面积最小的平行四边形积最小的平行四边形基矢基矢原胞的边矢量原胞的边矢量例例1：一维布喇菲格子：一维布喇菲格子基矢基矢例例2：二维布喇菲格子：二维布喇菲格子基矢基矢(1)(2)例例3：三维布喇菲格子：三维
25、布喇菲格子三维格子的重复单元是平行六面体三维格子的重复单元是平行六面体基矢基矢是原胞的三个边矢量是原胞的三个边矢量（1）例如：简单立方例如：简单立方原胞对应体积最小的重复单元原胞对应体积最小的重复单元除了周期性外，每种晶体还有自己特殊的对称性。为除了周期性外，每种晶体还有自己特殊的对称性。为了同时反映晶格的对称性，往往会取最小重复单元的了同时反映晶格的对称性，往往会取最小重复单元的一倍或几倍的晶格单位作为原胞。结晶学中常用这种一倍或几倍的晶格单位作为原胞。结晶学中常用这种方法选取原胞，故称为结晶学原胞，简称晶胞。方法选取原胞，故称为结晶学原胞，简称晶胞。晶胞晶胞晶胞的边在晶轴方向，边长等于该方
26、向上的一个周期，晶胞的边在晶轴方向，边长等于该方向上的一个周期，代表晶胞三个边的矢量称为晶胞基矢，用、代表晶胞三个边的矢量称为晶胞基矢，用、表示，这三个矢量的长度、表示，这三个矢量的长度a、b和和c实际实际上就是所谓的晶格常数。上就是所谓的晶格常数。在一些情况下，晶胞就是原胞在一些情况下，晶胞就是原胞而在另一些情况下，晶胞不是原胞而在另一些情况下，晶胞不是原胞原胞晶胞原胞晶胞例如简单立方晶格例如简单立方晶格例如面心立方晶格例如面心立方晶格2、晶格周期性的描述、晶格周期性的描述格矢格矢对于简单格子，一旦基矢被确定，则任一原子对于简单格子，一旦基矢被确定，则任一原子A的的位置可由下列格矢表示位置可
27、由下列格矢表示任意两个格点间的位移矢量，任意两个格点间的位移矢量，即即格矢量，简称格矢格矢量，简称格矢例如例如l1、l2、l3为一组整数为一组整数对于复式格子，任一原子对于复式格子，任一原子A的位置可由下列格矢表示的位置可由下列格矢表示l1、l2、l3为一组整数为一组整数 1，2，3.例如：金刚石晶格例如：金刚石晶格对角线上的原子（红色）位置对角线上的原子（红色）位置面心立方位置上（绿色）的原子位置面心立方位置上（绿色）的原子位置因此，可以用表示一个空间格子因此，可以用表示一个空间格子一组的取值可以囊括所有的格点一组的取值可以囊括所有的格点因此，布喇菲格子又可以认为是因此，布喇菲格子又可以认为
28、是由确定的空间格子由确定的空间格子晶体可以看成是布喇菲格子的晶体可以看成是布喇菲格子的每一个格点上放上基元构成的每一个格点上放上基元构成的 晶体结构晶格基元晶体结构晶格基元 例例1 1：布喇菲格子为二维斜方格子、基元为：布喇菲格子为二维斜方格子、基元为2 2个原子个原子 例例2 2：布喇菲格子为三维斜方格子、基元为：布喇菲格子为三维斜方格子、基元为1 1个原子个原子 例例3 3：布喇菲格子为二维斜方格子、基元为多个原子：布喇菲格子为二维斜方格子、基元为多个原子 若若代表晶体的任一物理性质（如电场强度、电子云代表晶体的任一物理性质（如电场强度、电子云密度等），由于晶格的周期性，则有密度等），由于
29、晶格的周期性，则有3、晶格周期性、晶格周期性物理性质物理性质上式表明：一个重复单元中任一上式表明：一个重复单元中任一r处的物理性质，处的物理性质，同另一个重复单元相应处的物理性质相同同另一个重复单元相应处的物理性质相同1.6 典型晶体结构的原胞和晶胞典型晶体结构的原胞和晶胞（1）简单立方）简单立方体积体积原子数原子数10 0 0原胞原胞晶胞晶胞晶胞原胞晶胞原胞体积体积原胞只含一个原子原胞只含一个原子基矢基矢（2）体心立方）体心立方体积体积原子数原子数2晶胞晶胞原胞原胞由立方体的中心到三个顶点引三个基矢由立方体的中心到三个顶点引三个基矢基矢基矢原胞只含一个原子原胞只含一个原子体积体积（3）面心立
30、方）面心立方原胞原胞晶胞晶胞原子数原子数4体积体积原胞只含一个原子原胞只含一个原子体积体积基矢基矢由立方体的顶点到三个近邻的面心引三个基矢由立方体的顶点到三个近邻的面心引三个基矢基矢基矢（4）六角密积结构）六角密积结构原胞基矢原胞基矢 、在密排面内，互成在密排面内，互成1200角角 沿垂直密排面的方向。沿垂直密排面的方向。基矢基矢作业作业1、何谓布喇菲格子？画出、何谓布喇菲格子？画出NaCl晶体的结点所构成的布喇菲格晶体的结点所构成的布喇菲格子。为什么金刚石结构是复式格子？子。为什么金刚石结构是复式格子？2、基矢为基矢为的晶体为何种结构？的晶体为何种结构？若若又为何种结构？又为何种结构？提示：
31、先计算出原胞体积提示：先计算出原胞体积由原胞体积可推断为体心结构由原胞体积可推断为体心结构也可以由已知的三个基矢也可以由已知的三个基矢构造三个新的基矢构造三个新的基矢由此可推断为体心结构由此可推断为体心结构1.7 晶向晶面和它们的标记晶向晶面和它们的标记通通过过任任何何两两个个格格点点连连一一直直线线，则则这这直直线线上上包包含含无无限限个个相相同同的的格格点点，这这样的直线称为晶体的晶列。样的直线称为晶体的晶列。晶列上格点的分布具有周期性，周晶列上格点的分布具有周期性，周期为晶列上任何两相邻格点的间距期为晶列上任何两相邻格点的间距晶列晶列由于所有格点周围情况相同，因此通由于所有格点周围情况相
32、同，因此通过任何其它的格点都有一晶列和原来过任何其它的格点都有一晶列和原来晶列平行且具有相同的周期，这些平晶列平行且具有相同的周期，这些平行的直线可以将所有格点包括无遗。行的直线可以将所有格点包括无遗。在一个平面中相邻晶列间距离相等在一个平面中相邻晶列间距离相等通过一格点可以有无限多个晶列，通过一格点可以有无限多个晶列，其中每一个晶列都有一族平行的晶其中每一个晶列都有一族平行的晶列与之对应，所以共有无限多族的列与之对应，所以共有无限多族的平行晶列。每一族晶列定义了一个平行晶列。每一族晶列定义了一个方向，称为晶向。方向，称为晶向。晶向晶向晶向指数晶向指数同族晶列中的晶列相互平行，并且完全等同，所
33、以一族晶同族晶列中的晶列相互平行，并且完全等同，所以一族晶列的特点是晶列的取向。列的特点是晶列的取向。如何描述晶列的取向？如何描述晶列的取向？晶向指数晶向指数l1、l2、l3为一组整数为一组整数原胞为最小的重复单元，格点只在原胞原胞为最小的重复单元，格点只在原胞的顶角上，若取某一格点的顶角上，若取某一格点O为原点，为原点，为原胞的三个基矢为原胞的三个基矢则任何一个格点则任何一个格点A的位矢可以表示为：的位矢可以表示为：很明显，晶列很明显，晶列OA的取向被的取向被l1、l2、l3三个整数所确定。三个整数所确定。若若l1、l2、l3为互质整数，则为互质整数，则可直接用这三个互质整数来可直接用这三个
34、互质整数来表示该晶列的方向表示该晶列的方向类似于直角坐标系中，知道一个矢量在类似于直角坐标系中，知道一个矢量在x、y、z三个方向三个方向上的投影，这个矢量则被唯一确定。上的投影，这个矢量则被唯一确定。用晶向指数表示晶列方向用晶向指数表示晶列方向称为晶向指数称为晶向指数若若l1、l2、l3不为互质整数，则先要将这三个数简约为互质整数不为互质整数，则先要将这三个数简约为互质整数 在结晶学中，以在结晶学中，以 、为原胞基矢，把为原胞基矢，把 、称为晶轴，结点的位矢可写成称为晶轴，结点的位矢可写成m、n、p 不一定是整数，但乘上公倍数后，可得不一定是整数，但乘上公倍数后，可得到一组整数到一组整数m、n
35、、p，并有并有称为晶列指数称为晶列指数。例例1取某一格点取某一格点O为原点，为原胞基矢为原点，为原胞基矢沿晶向到最近一个格点沿晶向到最近一个格点A的位矢为：的位矢为：求晶向指数求晶向指数的简便方法的简便方法则晶向指数：则晶向指数：对二维布喇菲格子，对二维布喇菲格子，求求(1)(1)和和(2)(2)两晶列的两晶列的晶向指数晶向指数(1)(2)0(1)(1)上离原点最近的格点位矢为上离原点最近的格点位矢为所以晶向指数为所以晶向指数为(2)(2)上离原点最近的格点位矢为上离原点最近的格点位矢为所以晶向指数为所以晶向指数为例例2对三维布喇菲格子，对三维布喇菲格子，求求OAOA晶列的晶向指数晶列的晶向指
36、数OAOA晶列上离原点最近的格点位矢为晶列上离原点最近的格点位矢为所以晶向指数为所以晶向指数为例例3求简立方格子立方边求简立方格子立方边OAOA、面对角、面对角线线OBOB和体对角线和体对角线OCOC的晶向指数的晶向指数立方边立方边OAOA的晶向指数为的晶向指数为100立方边共有立方边共有6个不同的晶向，个不同的晶向，晶向指数分别为晶向指数分别为面对角线面对角线OBOB的晶向指数为的晶向指数为110面对角线共有面对角线共有12个不同的晶向个不同的晶向体对角线体对角线OCOC的晶向指数为的晶向指数为111体对角线共有体对角线共有8个不同的晶向个不同的晶向由于立方晶格的对称性，每一由于立方晶格的对
37、称性，每一组晶向中所有晶向是等效的，组晶向中所有晶向是等效的，因此，常常用因此，常常用、和和分别表示边、面对角和体分别表示边、面对角和体对角线的对角线的晶向。晶向。晶面晶面晶面晶面 晶体内三个非共线格点组成的平面晶体内三个非共线格点组成的平面在在一一晶晶面面外外过过其其它它格格点点作作一一系系列列与与原原晶晶面面平平行行的的晶晶面面，可可得得到到一一组组等等距距的的晶晶面面，各各晶晶面面上上格格点点的的分分布布情情况况是是相相同同的的，这这组组等等距距的的晶晶面面称称为为一一族族晶晶面面。所所有有的的格格点点都都在在一一族族平平行行的的晶晶面上而无遗漏。面上而无遗漏。同一个格子两组不同的晶面族
38、同一个格子两组不同的晶面族与晶列相似，同族晶面中的晶面完全等同，与晶列相似，同族晶面中的晶面完全等同，所以晶面的特点也由其取向决定。所以晶面的特点也由其取向决定。密勒指数密勒指数由于一族晶面必包含了所有格点而无遗漏，因此，在由于一族晶面必包含了所有格点而无遗漏，因此，在三个基矢末端的格点必分别落在该族的不同晶面上。三个基矢末端的格点必分别落在该族的不同晶面上。末端上格点所在的晶面和原点末端上格点所在的晶面和原点所在晶面的间距应当为所在晶面的间距应当为h1d，d为相为相邻晶面间的面间距，邻晶面间的面间距，h1为整数为整数例如图示的例如图示的为为3d末端晶面离原点末端晶面离原点同理同理点所在晶面的
39、间距应当分别为点所在晶面的间距应当分别为h2d和和 h3d，h2和和h3均为整数均为整数、末端上格点所在的晶面和原、末端上格点所在的晶面和原可以证明，可以证明，h1、h2和和h3三个数是互质的整数，且可用来表示三个数是互质的整数，且可用来表示晶面的法线方向，因此，这三个互质整数称为该晶面族的面晶面的法线方向，因此，这三个互质整数称为该晶面族的面指数，记为指数，记为 。最靠近原点的晶面在三最靠近原点的晶面在三个基矢上的截距分别为个基矢上的截距分别为同族其它晶面在三个基矢方向上同族其它晶面在三个基矢方向上的截距为这组最小截距的整数倍的截距为这组最小截距的整数倍若若用用天天然然长长度度单单位位表表示
40、示，则则h1、h2、h3三三个个数数的的倒倒数数为为这这组组晶晶面面中中最最靠靠近近原点的晶面在三个基矢方向上的截距原点的晶面在三个基矢方向上的截距同同样样，可可以以以以晶晶胞胞基基矢矢为为坐坐标标轴轴表表示示晶晶面面指指数数，表表征征晶晶面面取取向向的互质整数称为晶面族的的互质整数称为晶面族的密勒指数密勒指数，记为，记为 。OABCDEFG例例1对如图所示的基矢，求：对如图所示的基矢，求：(1)ABC晶面的密勒指数；晶面的密勒指数；(2)DEFG晶面的密勒指数晶面的密勒指数(1)ABC晶面在三个基矢方向上的截距分晶面在三个基矢方向上的截距分别为别为4a、b、c，因此截距的倒数为，因此截距的倒
41、数为因此，该晶面的密勒指数为因此，该晶面的密勒指数为(144)(2)DEFG晶面在三个基矢方向上的截距分别晶面在三个基矢方向上的截距分别为为2a、3b、，因此截距的倒数为，因此截距的倒数为因此，该晶面的密勒指数为因此，该晶面的密勒指数为(320)将晶面在基矢上的截将晶面在基矢上的截距的倒数的比简约为距的倒数的比简约为互质的整数的比，所互质的整数的比，所得的互质整数即为密得的互质整数即为密勒指数为勒指数为例例2求简立方格子典型晶面的密勒指数求简立方格子典型晶面的密勒指数1、(100)晶面晶面在三个基矢方向上的截距分别为在三个基矢方向上的截距分别为a、，因此截距的倒数为，因此截距的倒数为由由于于立
42、立方方晶晶格格的的对对称称性性，这这三三组组晶晶面面是是等等效效的的，因因此此，常常常常用用100100来来表表示示(100)(100)、(010)(010)和和(001)(001)三个等效的晶面。三个等效的晶面。因此，该晶面的密勒指数为因此，该晶面的密勒指数为类似的晶面有类似的晶面有(010)、(001)在三个基矢方向上的截距分别为在三个基矢方向上的截距分别为a、b、，因此截距的倒数为，因此截距的倒数为因此，该晶面的密勒指数为因此，该晶面的密勒指数为类似的晶面有类似的晶面有6个，密勒指数分别为个，密勒指数分别为记为记为1102、(110)晶晶面面3、(111)晶晶面面在三个基矢方向上的截距分
43、别为在三个基矢方向上的截距分别为a、b、c，因此截距的倒数为，因此截距的倒数为因此，该晶面的密勒指数为因此，该晶面的密勒指数为类似的晶面有类似的晶面有4个，密勒指数分别为个，密勒指数分别为记为记为111符号相反的晶面指数只符号相反的晶面指数只是在区别晶体的外表面是在区别晶体的外表面时才有意义，在晶体内时才有意义，在晶体内部这些面都是等效的部这些面都是等效的作业作业2、如图所示，、如图所示，B、C两点是面心立方晶胞上的两面心，求：两点是面心立方晶胞上的两面心，求：（1）ABC面的密勒指数；面的密勒指数；（2）AC晶列的指数。晶列的指数。BCA1、指出立方晶格指出立方晶格(111)面与面与(100
44、)面的交线的晶向以面的交线的晶向以及及 (111)面与面与(110)面的交线的晶向。面的交线的晶向。1.8 晶体宏观对称性及其对称操作晶体宏观对称性及其对称操作1.8.1正交变换正交变换 以宏观的角度讨论如何描写以宏观的角度讨论如何描写一个几何图形的对称性一个几何图形的对称性要描述一个几何图形的对称性，一般采用几何变换的方法要描述一个几何图形的对称性，一般采用几何变换的方法例：比较以下图形的对称性例：比较以下图形的对称性（a）（b）（c）（d）为比较图形的对称性，规定在作几何变换时，图形中有一点固定不动为比较图形的对称性，规定在作几何变换时，图形中有一点固定不动（a）ABCD一个对称轴，旋转一
45、个对称轴，旋转角度。一种几何变换。角度。一种几何变换。（b）(1)(2)(3)(1)旋转旋转角度角度 （2）旋转）旋转角度角度(3)旋转旋转/2、3/2角度角度 五种几何变换。五种几何变换。（c）无穷多种变换。无穷多种变换。（d）无几何变换无几何变换所以，几何变换越多，对称性越高所以，几何变换越多，对称性越高.对称操作对称操作对晶格点阵而言对晶格点阵而言，对称操作即为操作前后点阵不变对称操作即为操作前后点阵不变正交变换正交变换在几何变换中，若任意两点间的距离不变，在几何变换中，若任意两点间的距离不变，这种变换称这种变换称之为正交变换，如用数学表示，正是熟知的线性变换之为正交变换，如用数学表示，
46、正是熟知的线性变换一个物体在某一个正交变换下保持不变，称之为物体的一个物体在某一个正交变换下保持不变，称之为物体的一个对称操作，物体的对称操作越多，则其对称性越高一个对称操作，物体的对称操作越多，则其对称性越高一种几何变换一种几何变换ABCD无穷多变换无穷多变换1、转动、转动几种简单操作的变换关系几种简单操作的变换关系xyo一矢量一矢量 在在 oxy平面旋转平面旋转角度角度得到矢量得到矢量，则变换关系是则变换关系是写成矩阵写成矩阵若令矩若令矩阵为阵为则有则有很容易验证矩阵很容易验证矩阵为正交矩阵为正交矩阵2、中心反映、中心反映xyz经中心反演后得到新经中心反演后得到新的矢量，变换关系是的矢量，
47、变换关系是写成矩阵写成矩阵变换矩变换矩阵为阵为3、镜象、镜象以以z=0作为镜面，镜象对作为镜面，镜象对称操作是将图形中任何一称操作是将图形中任何一点点(x,y,z)变成变成(x,y,-z)，变换关系是，变换关系是xyz写成矩阵写成矩阵变换矩变换矩阵为阵为1.8.2基本的对称操作基本的对称操作晶格周期性对对称操作有所限制，以转动操作为例，由于晶格周期性对对称操作有所限制，以转动操作为例，由于晶格周期性，并非所有的转动操作对晶体都是允许的。晶格周期性，并非所有的转动操作对晶体都是允许的。设设想想有有一一个个对对称称轴轴垂垂直直于于平平面面，绕绕转转轴轴的任意对称操作，即转过一角度的任意对称操作，即
48、转过一角度 同族晶列格点的周期性相等，因此有同族晶列格点的周期性相等，因此有（m为整数）由图知A点点和和点点是是等等价价的的，以以通通过过点点的的轴轴顺顺时时针针转转角角度度 后后点点转转到到点点，操操作作前前后点阵不变，因此，后点阵不变，因此，点必有一格点点必有一格点逆逆时时针针转转角角度度 后后B点点转转到到B点点，操操作作前前后点阵不变，因此后点阵不变，因此B点必有一格点点必有一格点1 1、晶格周期性对对称操作的限制、晶格周期性对对称操作的限制012301 n=2,3,4,6综上所述，旋转角综上所述，旋转角 可写成且可写成且因此，晶体中由于晶格周期性的限制，只可有因此，晶体中由于晶格周期
49、性的限制，只可有1，2，3，4，6度转轴，不存在度转轴，不存在5度或度或6度以上的转轴度以上的转轴n称为转称为转轴的次数轴的次数或度数或度数2 2、几种基本的对称操作、几种基本的对称操作n度旋转对称轴度旋转对称轴晶体绕某轴旋转角度后能自晶体绕某轴旋转角度后能自身重合，则称该轴为身重合，则称该轴为 n 度旋转对称轴。度旋转对称轴。对称轴的度数对称轴的度数n符号符号2346由于晶格满足平由于晶格满足平移对称性，故不移对称性，故不存在存在5度轴度轴准晶（准晶（19841984）：）：有有五五重重对对称称但但不不具有平移对称性具有平移对称性n度旋转反演轴度旋转反演轴晶体绕某轴旋转角度后在经过中心反演晶
50、体绕某轴旋转角度后在经过中心反演能自身重合，则称该轴为能自身重合，则称该轴为 n 度旋转反演轴。度旋转反演轴。由于晶格满足平移对称性，故只有由于晶格满足平移对称性，故只有1，2，3，4，6度旋转反演轴，分别记为度旋转反演轴，分别记为不存在不存在5度或度或6以上的对称轴以上的对称轴用表示用表示n度旋转反演轴度旋转反演轴中心反演，称为对称心，用中心反演，称为对称心，用i表示，即表示，即先绕轴旋转先绕轴旋转1800再作中心反演，如图，再作中心反演，如图，AAA”其效果相当于其效果相当于A通过垂直于转轴的平面通过垂直于转轴的平面的镜象操作（的镜象操作（m），因此，），因此，其效果相当于其效果相当于3度