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1、如何培养学生的数感 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望一、数感的形成什么是数感？什么是数感？在计算在计算“”和和“？”这这类题目时，有些学生很可能会竭尽全力去类题目时，有些学生很可能会竭尽全力去寻找合适的寻找合适的计算程序计算程序来解决问题，而不会去努力来解决问题，而不会去努力寻找题目中数字寻找题目中数字的相关联系的相关联系。但是，有些孩子则能应用自己掌握的数。但是，有些孩子则能应用自己掌握的数字事实来解决问题。字事实来解决问题。我们把孩子们具有这种我
2、们把孩子们具有这种对数字之间关联的意识对数字之间关联的意识以及以及灵活地解决数字问题的能力灵活地解决数字问题的能力称为其对数字的称为其对数字的“感觉感觉”或或“数感数感”。（英）朱莉娅（英）朱莉娅安吉莱瑞安吉莱瑞数感和学校课程l 数学课程改革已经把标准计算程序的教学转数学课程改革已经把标准计算程序的教学转变为让孩子们学会辨别变为让孩子们学会辨别数字模式数字模式和和数字关系数字关系，并，并在两者之间在两者之间生成联系生成联系的教学。的教学。l 把把数感数感作为数学学校课程教学的主要目标，作为数学学校课程教学的主要目标，指的是计算策略中的指的是计算策略中的“灵活性灵活性”和和“创造性创造性”，反对
3、，反对过分强调没有思维的计算程序。过分强调没有思维的计算程序。l 21世纪的生活所必需的技能和理解力之一就世纪的生活所必需的技能和理解力之一就是对是对数字模式数字模式和和数字关系数字关系的辨认，这些模式是对的辨认，这些模式是对数字进行有效运算的重点。数字进行有效运算的重点。数字模式l 重复型模式重复型模式1，2，1，2，1，2 l 增长型模式增长型模式2，4，6，813，23，33，43模式模式关系关系函数函数一道习题（加拿大）汤姆和丽娜出售烤蛋糕。他们每小时出售情况如下表：汤姆和丽娜出售烤蛋糕。他们每小时出售情况如下表：小时小时汤姆汤姆丽娜丽娜按照这样的规律，当丽娜出售个时，汤姆出售多少个？
4、按照这样的规律，当丽娜出售个时，汤姆出售多少个？数字关系l 寻找一个数字与其他众多数字的关联寻找一个数字与其他众多数字的关联 6是是5之后之后7之前的数字（序数）之前的数字（序数）6是是“3个个2”“2个个3”“4和和2”等组合（结构）等组合（结构）6是与六个物体的总数相关的数字（基数）是与六个物体的总数相关的数字（基数）6是是“104”“12 ”“122”等结果（运算）等结果（运算）12l从数字关系去寻找有效的计算策略从数字关系去寻找有效的计算策略例例1 计算：计算：2526，3917，1235。第一题根据第一题根据“已知事实已知事实”252550。可以迅速。可以迅速推算出结果。推算出结果。
5、第二题可以转化为第二题可以转化为4016。第三题很可能要用到第三题很可能要用到“拆分拆分”数字的方法，可数字的方法，可以找到以找到103025的组合。的组合。反思：反思：哪些策略只对本题有效？哪些策略可以普遍哪些策略只对本题有效？哪些策略可以普遍推广？推广？l 数字之间相互联系的方式、不同的可能表达数字之间相互联系的方式、不同的可能表达形式与不同运算相联系的意义，所有这些在孩子形式与不同运算相联系的意义，所有这些在孩子们建立起数字与计算之间的联系中都起着至关重们建立起数字与计算之间的联系中都起着至关重要的作用。而数字与计算之间的联系又恰巧对他要的作用。而数字与计算之间的联系又恰巧对他们数感的形
6、成有重要影响。们数感的形成有重要影响。例例2 计算：计算：543 算法算法1：543303243算法算法2：54360363算法算法3：54354（62）5462l 应用标准的计算程序可能没有根据数感选择应用标准的计算程序可能没有根据数感选择适当的计算策略有效。适当的计算策略有效。新的评价体系新的评价体系不再具有固定模式的数字运算，不再具有固定模式的数字运算，而且这些运算也不需要标准的笔算程序。而且这些运算也不需要标准的笔算程序。我们期待我们期待学生能够从图形和表格中获取信息，计算空缺的数学生能够从图形和表格中获取信息，计算空缺的数字，并且研究数字模式。根据这些数字模式，孩子字，并且研究数字模
7、式。根据这些数字模式，孩子们能够提出合适并有助于他们辨别数字关系的问题。们能够提出合适并有助于他们辨别数字关系的问题。我们也期望孩子们能选择最合适的计算程序，包括我们也期望孩子们能选择最合适的计算程序，包括决定是否需要使用计算器等。这些新颖的教学观点决定是否需要使用计算器等。这些新颖的教学观点标志着数学教学的新开端。因此，就目前而言，仅标志着数学教学的新开端。因此，就目前而言，仅仅教给孩子们相互独立的计算程序已经远远不够，仅教给孩子们相互独立的计算程序已经远远不够，教会他们如何找出数字之间的联系则成为数学教学教会他们如何找出数字之间的联系则成为数学教学的当务之急。的当务之急。关于数与运算的评价
8、关于数与运算的评价 数感数感指的是一个人对数字和运算的一般理解力，指的是一个人对数字和运算的一般理解力，以及灵活应用这种理解力的倾向和能力，用这种方式以及灵活应用这种理解力的倾向和能力，用这种方式可以做出明智的数学判断，并开发出应用数字和运算可以做出明智的数学判断，并开发出应用数字和运算法则的有效策略。法则的有效策略。（麦金托什等，（麦金托什等，1992年）年）数感数感体现的是应用数字和量化方法作为交体现的是应用数字和量化方法作为交流、加工、解释信息的倾向和能力。它使人们意识流、加工、解释信息的倾向和能力。它使人们意识到数学是有某种规律的。到数学是有某种规律的。（麦金托什等，（麦金托什等，19
9、92年）年）根据麦金托什等人的分析，根据麦金托什等人的分析，数感数感主要在三个领域主要在三个领域起重要作用：起重要作用：l 数字知识和数字的简便性数字知识和数字的简便性数字的顺序感；多数字的顺序感；多样化的数字呈现形式；数字相对和绝对数量的判断；样化的数字呈现形式；数字相对和绝对数量的判断；思考数字的基准参考体系。思考数字的基准参考体系。l 运算知识和运算的简便性运算知识和运算的简便性理解运算结果；意理解运算结果；意识到所应用的规则；运算之间的关系。识到所应用的规则；运算之间的关系。l 把数字、运算知识及其简便性应用到需要用数字把数字、运算知识及其简便性应用到需要用数字进行推理的问题中进行推理
10、的问题中理解问题情境和合适的解题理解问题情境和合适的解题策略之间的关系；意识到存在多样化的数字呈现方策略之间的关系；意识到存在多样化的数字呈现方式；应用有效的数字表征形式和（或）方法的倾向；式；应用有效的数字表征形式和（或）方法的倾向；检验数据和结果的倾向。检验数据和结果的倾向。理解的重要意义 “理解数字和形成计算之间的关系理解数字和形成计算之间的关系”成为孩成为孩子们学习的焦点，它取代了传统课程所要求的子们学习的焦点，它取代了传统课程所要求的“四四则运算则运算”。尽管得到的数字结果通常与过去一样，。尽管得到的数字结果通常与过去一样，但是现在的学习要求孩子们自己建构计算方法。但是现在的学习要求
11、孩子们自己建构计算方法。虽然过去的数字运算通常和枯燥的、标准程序虽然过去的数字运算通常和枯燥的、标准程序的重复练习相联系，但是，数学教学方面的最新趋的重复练习相联系，但是，数学教学方面的最新趋势则转变为采用研究性教学方法和创设尊重个人思势则转变为采用研究性教学方法和创设尊重个人思维的课堂环境。维的课堂环境。回忆已经学过的计算程序的理解类型称为回忆已经学过的计算程序的理解类型称为机械机械性理解性理解；关系性理解关系性理解从不要求学习者接受，而是要从不要求学习者接受，而是要求他们尝试形成自己独特的理解：从知道怎样应用求他们尝试形成自己独特的理解：从知道怎样应用知识进行计算扩展到理解为什么这个计算程
12、序有效知识进行计算扩展到理解为什么这个计算程序有效。培养心理意象 在数学学习过程中，从应用具体经验转变到应用心算和在数学学习过程中，从应用具体经验转变到应用心算和符号表征进行计算是需要时间的。符号表征进行计算是需要时间的。在用抽象数字进行运算之前，可以先让孩子们学习用手在用抽象数字进行运算之前，可以先让孩子们学习用手指或某些工具（珠子、立方体）来代替实物然后指或某些工具（珠子、立方体）来代替实物然后“模仿模仿”具具体计算的情境。体计算的情境。对孩子们来说，用哪些材料模拟数字并不重要，重要的对孩子们来说，用哪些材料模拟数字并不重要，重要的是要培养他们把数字与视觉材料相联系的心理意象，并且能是要培
13、养他们把数字与视觉材料相联系的心理意象，并且能根据根据“想像想像”的情境来解决问题。研究表明，用实物进行运的情境来解决问题。研究表明，用实物进行运算和用数字进行抽象运算之间存在着一个重要的过渡阶段，算和用数字进行抽象运算之间存在着一个重要的过渡阶段，这个阶段就是要孩子们通过想像的物体来运算。这个阶段就是要孩子们通过想像的物体来运算。具体经验抽象/心算方法符号化关系数轴的模型数轴的模型1 23 4 5 6 7 8 9 100123456789 101710一串珠子一串珠子一列立方体一列立方体数字轨道数字轨道数轴数轴示意线示意线二、加法和减法加、减法与计数的联系加、减法与计数的联系 把一个物体放入
14、到一个集合中，或者从一个集合取出一把一个物体放入到一个集合中，或者从一个集合取出一个物体，这些实际活动为学生提供了与计数有关的语言表达个物体，这些实际活动为学生提供了与计数有关的语言表达和体验的机会，这些语言表达方式和体验有助于他们把具体和体验的机会，这些语言表达方式和体验有助于他们把具体的物体模型与某些抽象的数字模式联系起来。例如，的物体模型与某些抽象的数字模式联系起来。例如，“多一多一个个”就是与计数顺序中的下一个数字相联系，就是与计数顺序中的下一个数字相联系，“少一个少一个”则则是与计数顺序中的前一个数字相联系。这时，孩子们通过解是与计数顺序中的前一个数字相联系。这时，孩子们通过解决具有
15、实际意义的问题来认知这些计数模式。决具有实际意义的问题来认知这些计数模式。研究结果表明，即使缺乏熟练而复杂的数字计算技能，研究结果表明，即使缺乏熟练而复杂的数字计算技能，低年级的学生仍能计算出结果。这就表明，孩子们是在问题低年级的学生仍能计算出结果。这就表明，孩子们是在问题解决的过程中形成数学知识的，而不是孤立地学习这些知识解决的过程中形成数学知识的，而不是孤立地学习这些知识然后再单独运用这些知识。然后再单独运用这些知识。加法是最基本的计数技能，加法是最基本的计数技能，“向前数向前数”在早期阶段就在早期阶段就是有效的计数策略之一。是有效的计数策略之一。例例1 36l 数总体的策略。数总体的策略
16、。l 继续往下数的策略。继续往下数的策略。l 从较大的数字开始，继续往下数。从较大的数字开始，继续往下数。加法计数策略加法计数策略减法计数的策略减法计数的策略例例2 93l “数出数出”，即孩子们数，即孩子们数9个手指，减少个手指，减少3个手指，然后个手指，然后数剩下的手指。数剩下的手指。l“从较大的数字开始向后数从较大的数字开始向后数”，即孩子们从较大的数字，即孩子们从较大的数字9开始再数开始再数3个数字，所数的数字逐渐变小，即个数字，所数的数字逐渐变小，即“9，8，7，6”，得到答案，得到答案6。l “往下一直数到较小的数字往下一直数到较小的数字”，即从较大的数字，即从较大的数字9开始开始
17、一直数到较小的数字一直数到较小的数字3，即，即“9，8，7，6，5，4，3”，得，得到答案到答案6。l 从从3到到9“向前数向前数”。l 用已知的结果推断计算结果。用已知的结果推断计算结果。理解加、减法的各种意义理解加、减法的各种意义 教师与孩子们讨论数字与不同情境联系的方式，并向教师与孩子们讨论数字与不同情境联系的方式，并向他们介绍诸如他们介绍诸如“总和总和”“和和”“取走取走”“余下余下”等词语，以及诸如等词语，以及诸如“多一个多一个”“多两个多两个”“多十个多十个”和和“少一个少一个”“少两个少两个”“少十个少十个”等类似的表述。在早期阶段，教学的重点应在于等类似的表述。在早期阶段，教学
18、的重点应在于形成的数字关联以及相关的行为，因为数感就是伴随着孩形成的数字关联以及相关的行为，因为数感就是伴随着孩子们对不同表述得到相同结果的认识而培养起来的。子们对不同表述得到相同结果的认识而培养起来的。在这一阶段，使用多种方式表达可以让孩子们明白在这一阶段，使用多种方式表达可以让孩子们明白加法是指加法是指“增加增加”和和“再多几个再多几个”，减法也包含了，减法也包含了“两者之差两者之差”的意思，这一点是非常重要的。的意思，这一点是非常重要的。通过合并与分割实物集合的方法可以引入加、减运算，通过合并与分割实物集合的方法可以引入加、减运算，并且容易被接受，但是这样会限制孩子们对符号的理解范并且容
19、易被接受，但是这样会限制孩子们对符号的理解范围，而且会使他们对符号的意义产生错误的认识，从而导围，而且会使他们对符号的意义产生错误的认识，从而导致他们以后不得不重新学习这些符号。致他们以后不得不重新学习这些符号。阅读符号 下面问题涉及同一个由三个数字组成的数字组，这类问下面问题涉及同一个由三个数字组成的数字组，这类问题有助于学生用各种方法灵活地解释符号。题有助于学生用各种方法灵活地解释符号。38 38 3853 53 85 解决上述问题，目标是找到各种解决上述问题，目标是找到各种“阅读阅读”问题表达形问题表达形式的方法，以及把这些表达形式和计算程序相互联系的方式的方法，以及把这些表达形式和计算
20、程序相互联系的方法。法。教师需要认真思考如何去启发学习有困难的学生，而不教师需要认真思考如何去启发学习有困难的学生，而不是直接是直接“给给”学生解释这些问题。学生解释这些问题。四种主要的加减法应用题的类型变化型变化型淘气有淘气有5颗珠，笑笑又给了他颗珠，笑笑又给了他8颗，颗，这时他有多少颗珠？这时他有多少颗珠？笑笑有笑笑有8颗珠，他拿出颗珠，他拿出3颗给淘气，颗给淘气，笑笑还剩多少颗珠？笑笑还剩多少颗珠？结合型结合型淘气有淘气有5颗蓝珠和颗蓝珠和8颗红珠，他共颗红珠，他共有多少颗珠？有多少颗珠？笑笑和淘气共有笑笑和淘气共有13颗珠，如果笑颗珠，如果笑笑有笑有5颗珠，淘气有多少颗珠？颗珠，淘气有
21、多少颗珠？比较型比较型淘气有淘气有8颗珠，笑笑有颗珠，笑笑有5颗珠，淘颗珠，淘气比笑笑多几颗珠？气比笑笑多几颗珠？笑笑有笑笑有5颗珠，比淘气少颗珠，比淘气少8颗，淘颗，淘气有多少颗珠？气有多少颗珠？相等型相等型淘气有淘气有8颗珠，笑笑有颗珠，笑笑有5颗珠，笑颗珠，笑笑需要几颗就和淘气的珠一样多笑需要几颗就和淘气的珠一样多？淘气有淘气有5颗珠，如果笑笑减少颗珠，如果笑笑减少8颗颗就和淘气一样多，笑笑有多少颗就和淘气一样多，笑笑有多少颗珠？珠？通过向学生介绍并让他们讨论各种语义结构，教师可以帮助通过向学生介绍并让他们讨论各种语义结构，教师可以帮助他们加深对问题的理解。对于很多数学学习者来说，大部分
22、数学他们加深对问题的理解。对于很多数学学习者来说，大部分数学学习都是与文字与意义有关而不是与算术计算有关。学习都是与文字与意义有关而不是与算术计算有关。早期笔算的目的早期笔算的目的 早期需要教会学生灵活地应用笔算并关注得出数字结果早期需要教会学生灵活地应用笔算并关注得出数字结果 的模式：的模式：笔算是记录计算过程与结果的书面形式，而且记录的笔算是记录计算过程与结果的书面形式，而且记录的形式并非唯一。早期的笔算需要应用各种不同的计算格式来形式并非唯一。早期的笔算需要应用各种不同的计算格式来表明如何用多种方式应用和解释数字关系和运算符号。表明如何用多种方式应用和解释数字关系和运算符号。如，如，53
23、8，也可写成，也可写成8 53。你有什么你有什么发现？发现？8538628808 87 71 1 早期笔算的另一个目的，是建立能够让学生从已早期笔算的另一个目的，是建立能够让学生从已知知识中推断出新知识的模式：知知识中推断出新知识的模式：4374030707040 307 3 47 4 31431724327538639400300700700400300 计算器的出现为现代数学教育的发展提供了难得的机遇，我们不必再教给每一个公民复杂的计算方法。因此，我们可以放弃正规（带有普遍的适用性和有限的可信度）笔算，转而运用更适合于使用者心智和目的的方法我们应该帮助孩子们获得巧妙的计算方法与反复使用并不
24、为孩子们所理解的正规算法相比，用孩子们自己的心算方法进行计算更有利于加深他们对数字的理解。（普朗科特，1979）从非正规到正规的笔算 在学习更为复杂的计算的情况下，首先会用到纸和笔，在学习更为复杂的计算的情况下，首先会用到纸和笔，并且要形成某种书面形式来支持心算。并且要形成某种书面形式来支持心算。在多位数的计算中，有必要用纸和笔记录计算的过程。在多位数的计算中，有必要用纸和笔记录计算的过程。学校传统的算术教学方法（为笔算设定的程序），可能给孩学校传统的算术教学方法（为笔算设定的程序），可能给孩子们提供了最简洁的书面记录，但是这些算法的缩略形式本子们提供了最简洁的书面记录，但是这些算法的缩略形式
25、本身超出了许多学生的理解能力。身超出了许多学生的理解能力。在孩子们建立起心算的基础后，把以心算策略为基础的在孩子们建立起心算的基础后，把以心算策略为基础的非正规笔算循序渐进地发展到用正规方法进行计算是十分重非正规笔算循序渐进地发展到用正规方法进行计算是十分重 要的。只有这样，他们的自信心和理解力才不会受到影响。要的。只有这样，他们的自信心和理解力才不会受到影响。加、减法的笔算方法l顺序法：顺序法：保持一个数字不变然后加上或减去另一个数字的一部分以得保持一个数字不变然后加上或减去另一个数字的一部分以得到部分和。最适当的记录形式是以水平排列进行，这种排列方式到部分和。最适当的记录形式是以水平排列进
26、行，这种排列方式反映了计算过程的各个步骤。反映了计算过程的各个步骤。例例1 计算：计算：583758260603595或者或者583088882595例例2 计算：计算：57385730272782771 19或者或者38240401757所以：所以：573817219 这些方法的优点是在计算过程中的所有步骤都是显而易这些方法的优点是在计算过程中的所有步骤都是显而易见的，而且这些步骤都是建立在孩子们已知的方法，即把数见的，而且这些步骤都是建立在孩子们已知的方法，即把数字分解成简单的字分解成简单的“数字组块数字组块”的基础之上的。这样，孩子们的基础之上的。这样，孩子们就可以使用已知的数学事实。就
27、可以使用已知的数学事实。l十分法：十分法：拆分两个数字并根据位值关系计算部分和。拆分两个数字并根据位值关系计算部分和。5030807815801595 5 7 3 8 8 0 1 5 9 5 5 7 318 9 5例例3 计算：计算：732476 7 3 2 700302 60012012 4 7 6 400706 400 70 6 2 5 6 200 50 6 拆分的算法，把竖式记录建立在心算策略之上，能缩小拆分的算法，把竖式记录建立在心算策略之上，能缩小心算方法与传统的竖式笔算方法之间的差距。心算方法与传统的竖式笔算方法之间的差距。l转换法：转换法：例例4 计算：计算：3112143142
28、14100100397例例5 计算：计算：3001862991861131131114l 补全法：补全法：例例6 计算：计算：273525255021012501262关于竖式运算关于竖式运算 目前，竖式运算已经不再是学校计算教学的重点。在学目前，竖式运算已经不再是学校计算教学的重点。在学生学习心算之前介绍这种书面计算方法，会阻碍他们心算策生学习心算之前介绍这种书面计算方法，会阻碍他们心算策略的发展，并容易让他们产生误解和错误。略的发展，并容易让他们产生误解和错误。研究表明，不恰当地强调位值结构教学会让学生使用无研究表明，不恰当地强调位值结构教学会让学生使用无效的数值计算方法，导致他们在计算中
29、产生错误。所以，教效的数值计算方法，导致他们在计算中产生错误。所以，教师不能把注意力仅仅集中在把数字拆分成多少个师不能把注意力仅仅集中在把数字拆分成多少个“单位单位10”和和“单位单位1”上面，教会孩子们用不同的方法拆分数字，更有助上面，教会孩子们用不同的方法拆分数字，更有助于他们理解整个数字结构。于他们理解整个数字结构。竖式是记录心算（笔算）的一种形式，但不是唯一竖式是记录心算（笔算）的一种形式，但不是唯一的、必要的形式。在示意线上可以记录心算过程。的、必要的形式。在示意线上可以记录心算过程。例例1 375656 604 1010708010 390 93例例2 642756667686 9
30、6931010101036454444034101037 641010105434443 37三、乘法和除法整数乘法的四种主要情境整数乘法的四种主要情境l 等组（例如，三张桌子，每张桌子围坐四个孩子）。等组（例如，三张桌子，每张桌子围坐四个孩子）。l 倍数比较（比率系数）（例如，男孩数是女孩数的倍数比较（比率系数）（例如，男孩数是女孩数的 三倍）。三倍）。l 矩形队列（例如，四个孩子气排，共三排）。矩形队列（例如，四个孩子气排，共三排）。l 笛卡儿积（例如，将三个女孩和四个男孩进行搭配，笛卡儿积（例如，将三个女孩和四个男孩进行搭配，共有几种可能）。共有几种可能）。（重复集合）（重复集合）（一多
31、对应）（一多对应）（交叉对应）（交叉对应）（多行多列）（多行多列）乘法与除法情境的问题结构乘法与除法情境的问题结构 乘法的每种情境都涉及三个数字，即每个集合中乘法的每种情境都涉及三个数字，即每个集合中物体的数量、集合的数量以及总数。对乘法来说，总物体的数量、集合的数量以及总数。对乘法来说，总数是未知的。数是未知的。但是只要总数是已知的，且其他两个数字中的任但是只要总数是已知的，且其他两个数字中的任一个数字是已知的话，那么就可以使用除法进行计算。一个数字是已知的话，那么就可以使用除法进行计算。因此，存在两种不同类型的除法：因此，存在两种不同类型的除法：测量/分组（包含）（例如，12个孩子，一张桌
32、子分坐4个人，需要几张桌子）。分配（等分）（例如，12个孩子分坐4张桌子，每张桌子坐几个孩子）。乘、除运算的早期经验乘、除运算的早期经验 研究显示，早在幼儿园期间，孩子们就能够用物体来模拟分研究显示，早在幼儿园期间，孩子们就能够用物体来模拟分组与平分这类除法问题。把物体拆分或重组成数量相等的集合，组与平分这类除法问题。把物体拆分或重组成数量相等的集合，这种活动有助于孩子们在数字语言和数字之间建立联系。这种活动有助于孩子们在数字语言和数字之间建立联系。与平分活动相比，把一个集合中的物体分成若干小组，这种与平分活动相比，把一个集合中的物体分成若干小组，这种方法可以更直接地表现出反复相减是如何把一个
33、集合分成几个部方法可以更直接地表现出反复相减是如何把一个集合分成几个部分的，这个过程与乘法是反复相加的过程截然相反。分的，这个过程与乘法是反复相加的过程截然相反。孩子们遇到的最简单的乘法形式可能是两个集合之间的多一孩子们遇到的最简单的乘法形式可能是两个集合之间的多一对应关系（如对应关系（如1辆车有辆车有4个轮子），这种对应关系与比率或比率系个轮子），这种对应关系与比率或比率系数有关，这是乘法思维的基础。数有关，这是乘法思维的基础。在孩子们体验数字的实际过程中，他们会发现，有些数字无在孩子们体验数字的实际过程中，他们会发现，有些数字无法分成等组，例如，法分成等组，例如，7个物体不能正好分成两组，
34、还会有剩下的物个物体不能正好分成两组，还会有剩下的物体，这就是对余数早期的体验。体，这就是对余数早期的体验。乘法的意义乘法的意义l 从最初把乘法理解成反复相加，发展到用乘法解决其他类型的从最初把乘法理解成反复相加，发展到用乘法解决其他类型的 问题，如比率商的问题（自行车的行驶速度是行人的问题，如比率商的问题（自行车的行驶速度是行人的8倍）和倍）和 笛卡儿积的问题（选择三种面包和四种馅，可以做出多少种的笛卡儿积的问题（选择三种面包和四种馅，可以做出多少种的 汉堡）。这两种问题的解决都要应用到乘法，但是很显然，这汉堡）。这两种问题的解决都要应用到乘法，但是很显然，这 里的乘法不是重复相加。里的乘法
35、不是重复相加。l 作为记录重复相加过程的简便方法，教师可以把乘法符号作为记录重复相加过程的简便方法，教师可以把乘法符号“”介绍给孩子们。在培养他们数感的时候，如果仅仅把乘法等同介绍给孩子们。在培养他们数感的时候，如果仅仅把乘法等同 于重复相加，那么将会限制他们对乘法的理解，以至于日后无于重复相加，那么将会限制他们对乘法的理解，以至于日后无 法理解某些计算题，如法理解某些计算题，如0.3 0.4。为了理解这类乘法计算题，。为了理解这类乘法计算题，就要用比率概念，即就要用比率概念，即 0.3 0.4表示表示0.3 的的0.4倍，或倍，或0.4 的的0.3倍。倍。除法的意义除法的意义l 我们把除法作
36、为记录平均分的过程与结果的简便方法我们把除法作为记录平均分的过程与结果的简便方法介绍给学生，例如，介绍给学生，例如，“”有两种解释：有两种解释：分配（等分）分配（等分）把平均分成份，每份有多少；把平均分成份，每份有多少；包含（分组）包含（分组）中包含多少个。中包含多少个。l用用“倍倍”的意义来解释除法，上述的意义来解释除法，上述等同于等同于“什么数字什么数字的倍是的倍是”；上述；上述等同于等同于“的多少倍是的多少倍是”，这，这种解释与计数模式，种解释与计数模式，相联相联系，也把除法与系，也把除法与“重复减法重复减法”联系起来。联系起来。l如果仅把除法解释成如果仅把除法解释成“分配分配”，那么他
37、们就无法解释诸，那么他们就无法解释诸如如“”这类除法问题（被个人分）。学生能这类除法问题（被个人分）。学生能够灵活地解释除法的各种意义是非常重要的。够灵活地解释除法的各种意义是非常重要的。学习数字事实学习数字事实 乘法口诀是建立在乘法口诀是建立在“多一对应多一对应”关系的基础上形成的跳跃计关系的基础上形成的跳跃计 数的模式，这些乘法数字事实也是乘法与除法运算的基础。在数的模式，这些乘法数字事实也是乘法与除法运算的基础。在 这种计数模式中，我们会观察到数字都是以三重数组的形式呈这种计数模式中，我们会观察到数字都是以三重数组的形式呈 现的（例如，二三得六，三七二十一等）。现的（例如，二三得六，三七
38、二十一等）。在应用乘法口诀进行乘法或除法进行计算时，孩子们会很容在应用乘法口诀进行乘法或除法进行计算时，孩子们会很容易地易地“感觉感觉”到到16与与2、4、8联系密切，而与联系密切，而与5或或3联系不密切。数联系不密切。数感教学要帮助他们理解乘法和除法都与相同的数字模式相联系，感教学要帮助他们理解乘法和除法都与相同的数字模式相联系，正是这种联系提供了最终成功解决计算问题的正是这种联系提供了最终成功解决计算问题的“金钥匙金钥匙”。乘法口诀是我国儿童学习乘法和除法计算的利器。由于语言乘法口诀是我国儿童学习乘法和除法计算的利器。由于语言的原因，外国儿童很难记忆和掌握我国的乘法口诀，他们利用百的原因，
39、外国儿童很难记忆和掌握我国的乘法口诀，他们利用百数表来学习这种计数模式的。数表来学习这种计数模式的。百数表百数表111213141516171819121222324252627282923132333435363738393414243444546474849451525354555657585956162636465666768696717273747576777879781828384858687888989192939495969798999102030405060708090100百数表上百数表上3的乘法模式的乘法模式 百数表上相应的百数表上相应的数字模式可以给学生数字模式可以给学生
40、提供许多视觉图像，提供许多视觉图像，这些图像有助于他们这些图像有助于他们重构那些不能立刻记重构那些不能立刻记住的数字事实。住的数字事实。这些数字模式给这些数字模式给孩子们提供的计算策孩子们提供的计算策略远远超过略远远超过“乘法口乘法口诀诀”所提供的数量有所提供的数量有限的乘法事实。限的乘法事实。学习乘法数字事实最重要的途径，是了解乘法运算中的学习乘法数字事实最重要的途径，是了解乘法运算中的数字是如何与其他数字相联系的。例如，知道数字是如何与其他数字相联系的。例如，知道4的的3倍是倍是12就就应该快速地用两倍的方法计算出应该快速地用两倍的方法计算出“4的的6倍倍”。在数字事实之间。在数字事实之间
41、建立联系，不仅使孩子们所要学习的乘法事实的数量减少到建立联系，不仅使孩子们所要学习的乘法事实的数量减少到最小，而且也会鼓励他们想出许多能够减少日后计算工作的最小，而且也会鼓励他们想出许多能够减少日后计算工作的策略。策略。两倍法和两分法都是孩子们学习乘法的重要要准备，在两倍法和两分法都是孩子们学习乘法的重要要准备，在学了少量的乘法事实后，教学重点可以转移到如何能让孩子学了少量的乘法事实后，教学重点可以转移到如何能让孩子们推断出相关的乘法事实上。们推断出相关的乘法事实上。在学习了交换律以后，他们所要学习的乘法事实的数量在学习了交换律以后，他们所要学习的乘法事实的数量会立即减少一半。所以，让孩子们理
42、解如何建立乘法事实之会立即减少一半。所以，让孩子们理解如何建立乘法事实之间的联系和让他们记忆这些事实是同等重要的。间的联系和让他们记忆这些事实是同等重要的。3721327221497633216367421434261484214347743214327212723212把乘法和除法扩展到的倍数和的乘方逐步发展孩子们对乘法的理解。以计算下面算式为例：逐步发展孩子们对乘法的理解。以计算下面算式为例：；。阶段一：使用重复相加和交换律阶段一：使用重复相加和交换律阶段二：联系已知事实并使用结合律阶段二：联系已知事实并使用结合律阶段三：两个数字都是的倍数阶段三：两个数字都是的倍数把乘法事实扩展到的倍数（
43、，把乘法事实扩展到的倍数（，）和）和的乘方（，的乘方（，以及后面学到的）时，以及后面学到的）时，教师必须解释这些乘法事实的意义，这们才能让孩子们理解教师必须解释这些乘法事实的意义，这们才能让孩子们理解这些乘法事实，因为在较大数字相乘时，这些都是重要的计这些乘法事实，因为在较大数字相乘时，这些都是重要的计算策略。算策略。较大数字乘法的心算策略较大数字乘法的心算策略例计算：例计算：算法一：转换成计算算法一：转换成计算算法二：转换成计算算法二：转换成计算算法三：用两倍法和两分法的策略，转换成计算算法三：用两倍法和两分法的策略，转换成计算，再把拆分成，再把拆分成例计算：例计算：算法一：转换成算法一：转
44、换成算法二：有两倍法和两分法来转换。算法二：有两倍法和两分法来转换。算法三：转换成算法三：转换成乘法表外的除法例计算：例计算：算法一：看成分配问题（被等分）算法一：看成分配问题（被等分）每次分，共分组，一直分到，剩下再每次分，共分组，一直分到，剩下再分得，这样的结果就是。分得，这样的结果就是。算法二：看成重复相减的问题（有多少个）算法二：看成重复相减的问题（有多少个）把分成与相关的数字。例如，把分成与相关的数字。例如，即，即算法三：用两分法转换成计算算法三：用两分法转换成计算乘法的笔算方法乘法的笔算方法例一个人平均每天睡时，一年睡多长时间？例一个人平均每天睡时，一年睡多长时间？需要计算：需要计
45、算：？两位数的乘法两位数的乘法例一个人平均每周睡时，一年约周，一年大约例一个人平均每周睡时，一年约周，一年大约睡多长时间？睡多长时间？需要计算：需要计算：？使用笔记：使用笔记：所以，所以，因为，因为，所以，所以，建立联系通常，基于孩子们已知的数字事实进行数字的倍数通常，基于孩子们已知的数字事实进行数字的倍数运算会更为简单；其余所有数字的倍数都是由加法转化运算会更为简单；其余所有数字的倍数都是由加法转化而来的。例如，而来的。例如，可以按以下几个阶段进行计可以按以下几个阶段进行计算：算：所以，所以，多位数除以一位数的除法多位数除以一位数的除法教师可以用均分或分组这两种方法来讲解除法问题。教师可以用
46、均分或分组这两种方法来讲解除法问题。这两种方法应该和局面记录相互配合，因为书面记录有助这两种方法应该和局面记录相互配合，因为书面记录有助于判断学生对问题的理解程度。于判断学生对问题的理解程度。把除法等同于把除法等同于“数字组块数字组块”的反复相减可能是有益无的反复相减可能是有益无害的，而且局面记录可以提供一个有利于孩子们理解计算害的，而且局面记录可以提供一个有利于孩子们理解计算过程的结构性记录。例如，过程的结构性记录。例如，就要把分成若，就要把分成若干个和有关的数字，笔算的形式可以是水平的，也可以干个和有关的数字，笔算的形式可以是水平的，也可以垂直的：垂直的：或者或者所以，所以，的不同笔算方法
47、的不同笔算方法的不同笔算方法的不同笔算方法所以，所以，）余余除数是两位数的除法除数是两位数的除法例例 1 432个学生去郊游个学生去郊游,每辆车可以载每辆车可以载15个人个人,需要多少辆车需要多少辆车?需要计算需要计算:43215?43210辆车辆车 150 28210辆车辆车 150 1324辆车辆车 60 724辆车辆车 60 12 答案是答案是28，余数，余数12，所以，需要再加，所以，需要再加一辆车，即为一辆车，即为29辆车。辆车。把把432分成和分成和15相联系相联系的几个数字（为的几个数字（为15的倍数）的倍数）432300132 13212012所以，所以，43230012012
48、所以，答案是所以，答案是20 81，即，即29辆车。辆车。432 45018 450人需要人需要30辆车，辆车，432比去比去450少少18，所以，需要，所以，需要29辆车。辆车。例例2 一个农场商店每天卖一个农场商店每天卖72个鸡蛋，卖个鸡蛋，卖300个鸡蛋需要个鸡蛋需要 多少天？多少天？需要计算：需要计算：30072？300 1天 72 228 2天 144 84 1天 72 4天 余 12 300 4天 288 4天 余 12 过去，对传统的笔算方法的精通程度一直是衡量过去，对传统的笔算方法的精通程度一直是衡量对数学掌握程度的标准，这样的观点现在再也站不住对数学掌握程度的标准，这样的观点
49、现在再也站不住脚了。事实上，对脱离具体情境的传统笔算方法进行脚了。事实上，对脱离具体情境的传统笔算方法进行过度训练反而会阻碍提高（学校）数学（课程）标准过度训练反而会阻碍提高（学校）数学（课程）标准中整体目标的实现。中整体目标的实现。为了达到很现实的目的，学为了达到很现实的目的，学生将使用心算方法或者计算器来计算问题。（生将使用心算方法或者计算器来计算问题。（DES，1989）所有学生最终都期盼使用有效的笔算方法进行计所有学生最终都期盼使用有效的笔算方法进行计算。但是，只有循序渐进地建立这些方法，并不断地算。但是，只有循序渐进地建立这些方法，并不断地完善和扩展这些心算策略，笔算方法对学生才是有
50、意完善和扩展这些心算策略，笔算方法对学生才是有意义的。义的。算法附言 在数学学习过程中，笔算的重要地位取决于在数学学习过程中，笔算的重要地位取决于它的它的“精致性精致性”和和“严密性严密性”，而不是它的应用性质。，而不是它的应用性质。然而，普朗科特（然而，普朗科特（1979）认为，）认为，“教授正规笔算方教授正规笔算方法的这一原因已经过时了，用笔算的方法计算使法的这一原因已经过时了，用笔算的方法计算使得学生对数学产生挫折感、不愉快感以及日益消得学生对数学产生挫折感、不愉快感以及日益消极的态度。极的态度。”如果不再强调这种正规的方法，那么就有可如果不再强调这种正规的方法，那么就有可能把注意力集中