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1、 基于广义Fuzzy偏好关系的决策方法探讨董玉成1，徐徐寅峰1,2 （1.西安安交通大学学管理学院院； 2.机械制造造系统工程程国家重点点实验室）摘要：本文文提出了广广义模糊偏偏好关系的的概念。设设计了互补补化排序和和加性一致致化排序两两种排序方方法，讨论论了两种排排序方法的的相关性质质。基于这这两种排序序方法，定定义了冗余余一致性指指标和加性性一致性指指标，并讨讨论了采用用加权算术术平均算子子（算子）或或有序加权权平均算子子（算子）对对广义模糊糊偏好关系系进行集结结，其群体体偏好一致致性（包括括冗余一致致性和加性性一致性）的的相关性质质。本文结结果对进一一步完善基基于模糊偏偏好关系的的群决策
2、模模型具有理理论和现实实意义。关键词：广广义模糊偏偏好关系；排序方法法；冗余一一致；加性性一致；信信息集成算算子 中图分分类号：CC934 文文献标识码码：AStudyy on decission makingg usingg gennerallizedd fuzzzy prefeerencce relattionss Abstrract: Thiis paaper firsst inntrodducess thee connceptt of geneeraliized fuzzzy prreferrencee rellatioons aand ddesiggns ttwo mmethoods
3、 tto obbtainn thee priioritties vecttor ffrom themm. Moreoover, we disccuss desiired proppertiies oon thhese two prioorityy metthodss. Att lasst, wwe giive ssome resuults on rredunndanccy coonsisstenccy annd addditiive coonsisstenccy off thee colllecttive prefferennce rrelattion aggrregatted bby wee
4、ightted aaveraagingg opeeratoor orr ordderedd weiighteed avveragging operratorr. Thhese resuults are veryy impportaant ffor GGDM wwith fuzzzy prreferrencee rellatioons.Keywoords: gennerallizedd fuzzzy pprefeerencce reelatiions; priioritty meethodd; reedunddancyy connsisttencyy; addiitivee connsistte
5、ncyy; innformmatioon agggreggatioon opperattor.1 引言偏好关系又又称判断矩矩阵，在多多属性决策策中被广泛泛研究。模模糊互补偏偏好关系是是最常见的的偏好关系系1-88。当决策者者在某准则则下对个方方案进行两两两比较构构造一个典典型的模糊糊互补偏好好关系时，一一般需要经经过次判断断。然而决决策者有时时可能对某某些比较判判断缺少把把握或不想想发表意见见，这样就就会使偏好好关系中的的某些项出出现空缺，对对这类偏好好关系一般般称为残缺缺互补偏好好关系88-9。另另一方面，决决策者也可可能作出多多达次比较较判断，这这样就出现现了冗余判判断，使模模糊互补偏偏好
6、关系失失去互补性性,我们称称这种偏好好关系为广广义模糊偏偏好关系。这这一新概念念引入是基基于如下理理由：1）有些学学者100-11在AHPP的研究中中，认为放放弃乘性偏偏好关系的的互反性是是合理的，比比如在一场场球赛中，球球队击败了了球队，但但是球队同同样可以击击败了球队队，这种情情形在现实实生活中的的成对比较较判断里很很常见。这这些研究和和分析也完完全适合模模糊互补偏偏好关系，它它为我们引引入广义模模糊偏好关关系提供了了理论支持持。2）在采用用一些最常常见信息集集成算子对对模糊互补补偏好关系系进行集成成时，无法法保证集成成的群体偏偏好关系的的互补性。比比如采用有有序加权平平均算子（）12对模
7、糊互补偏好关系进行集成后，无法保证集成的群体偏好关系是互补的13。因此，讨论从广义模糊偏好关系中发展权向量就有了必要性，而这些排序方法也能应用于Chiclana等提出的模糊多人决策模型13-16。本文的主要要目的是对对基于广义义模糊偏好好关系的决决策方法进进行探讨。文文章给出了了广义模糊糊偏好关系系排序的两两种方法；定义了广广义模糊偏偏好关系的的冗余一致致性和加性性一致性，并并研究采用用加权算术术平均算子子（）或有有序加权平平均算子（）对广义模糊偏好关系进行集成，其群体偏好一致性（包括冗余一致性和加性一致性）的相关性质。本文研究对进一步完善基于模糊偏好关系的群决策模型具有理论和现实意义。2 广
8、义模模糊偏好关关系排序方方法2.1 广广义模糊偏偏好关系的的互补化排排序为了叙述方方便先给出出几个定义义：定义 1 令 是一一矩阵，若若对任意有有，则称为模模糊矩阵17。本本文定义为为广义模糊糊偏好关系系。定义 26，7 令 是一矩矩阵，若对对任意有，则称为模模糊互补偏偏好关系(或称为互互补模糊偏偏好关系)。令是阶广义义模糊偏好好关系集合合，是阶模糊互互补偏好关关系集合，由由定义知。为为了通过广广义模糊偏偏好关系对对方案进行行排序，从从中发展权权向量，一一个直观的的方法是采采用模糊互互补偏好关关系去贴近近广义模糊糊偏好关系系，然后借借助有关模模糊互补偏偏好关系的的排序方法法6-88，最终终获取
9、权向向量。本文文采用欧氏氏距离定义义两矩阵和和的贴近程程度，即：。那么这这种方法可可归纳为寻寻找一最贴贴近的模糊糊互补偏好好关系。数数学模型如如下：设，。令 （11）其中，即为为最贴近模模糊互补偏偏好关系。通通过模糊互互补偏好关关系的排序序方法66-8（本本文采用最最小方差法法，具体见见文献77）对进行排序序，其排序序向量可以以近似作为为的排序向向量。定理 1 设，为最贴近模模糊互补偏偏好关系，那那么。 证证明：（11）等价如如下优化问问题 （2）（2）等价价于（3） （33）令得 ，化化简得 （4）令，令为采采用最小方方差法排序序公式77对进行排序序的权向量量，那么 （5）把（4）代代入（5
10、）得得 （66）把近似作为为的排序权权向量，我我们称该排排序方法为为广义模糊糊偏好关系系互补化排排序。2.2广义义模糊偏好好关系的加加性一致化化排序定义 3 令是一一模糊互补补偏好关系系，若对任任意有，则称A是加性一一致模糊互互补偏好关关系。令是阶加性性一致模糊糊互补偏好好关系集合合，由定义义知。在这这一节，我我们考虑通通过寻找一一个最贴近近广义模糊糊偏好关系系的加性一一致模糊互互补偏好关关系，从而而直接获取取权向量。数学模型如如下：设，令 （7）称为的最贴贴近加性一一致模糊互互补偏好关关系。令，记记为对应的权权向量。因因为是模糊糊加性一致致偏好关系系，我们有有6-88 （88）由（8）代代入
11、（7）有有 （9） 称为为的排序向向量。定理 2设设。为的最贴近近模糊互补补偏好关系系，为采用用加性一致致化排序方方法获取的的权向量。那么，。证明：（99）等价如如下优化问问题 （110）构造拉格朗朗日函数，令令，得 （111） （112）联立（111）（122）得 （113）联立（8）（113）得 （144）3进一步讨讨论3.1 两两种排序方方法的相关关性质一种广义模模糊偏好关关系的排序序方法可以以看作由到到 的一个映映射, 记为。并称是广义模糊糊偏好关系系的排序向向量。下面面讨论两种种排序方法法的一些性性质。定理 3 当是模糊互补补偏好关系系（即）时时，本文两两种排序方方法（公式式（6）和
12、和公式（113）等等价于模糊糊互补偏好好关系排序序的最小方方差法。证明：因为为，所以 ，把这这两式分别别代入（66）和（113），都都可得，这这即为模糊糊互补偏好好关系的最最小方差法法排序公式式。得证。定理3显示示本文两种种排序方法法是广义最最小方差排排序法。定义 4 一种排序序方法称为为强条件下下保序的，如如果对任意意，有和，则, 且当前前者所有等等式成立时时, 有。定义4 推推广了模糊糊互补偏好好关系强条条件保序的的概念。定定理4将证证明两种排排序方法是是强条件保保序的。定理 4 广义模糊糊偏好关系系互补化排排序方法（公公式（6）和和加性一致致化排序方方法（公式式（13）是是强条件下下保序
13、的。证明：对任任意，有和，将其代代入（6）或或者（133），有, 且当前前者所有等等式成立时时, 有。所以得得证。类似模糊互互补偏好关关系，定义义广义模糊糊偏好关系系排序方法法的置换不不变性。定义 5 设是一种排排序方法，是任一个个给定的广广义模糊偏偏好关系，记记的排序权权向量为。 如果对于于任一置换换不变矩阵阵,均有，则称这种种排序方法法是置换不不变的。定理 5广广义模糊偏偏好关系互互补化排序序（公式（66）和加加性一致化化排序（公公式（133）是置置换不变的的。证明：设，且且设是置换换不变矩阵阵，。令，分别是A 和B 在公式（66）下的排排序向量, 经置换换后, 的第行成了了 的第行, 的
14、第列成了了的第列, 因此类似若，分分别是和在公式（99）下的排排序向量，则则有所以两种排排序方法具具有置换不不变性。3.2群决决策与一致致性偏好关系一一致性测量量一般包括括两个问题题3：（11）什么时时候决策者者提供的个个体偏好关关系是一致致的；（22）什么时时候，一群群人提供的的偏好关系系是一致的的。对于第第（2）个个问题一般般讨论两个个方面：（aa）群体偏偏好关系的的一致性13, 18-119；（bb）群体决决策的共识识测量 20。基基于本文两两种排序方方法，我们们给出广义义模糊偏好好关系的冗冗余一致性性指标和加加性一致性性指标（）（见见定义6）。基于这些一致性指标，集中讨论一致性测量的第
15、（2）个问题的第（a）方面（注：广义模糊偏好关系一致性测量的其它相关问题我们在今后的研究中讨论），即采用算子和算子对广义模糊偏好关系进行群集成后群体偏好关系的一致性问题。关于无冗余判断的乘性偏好关系和模糊互补偏好关系的群体一致性问题，文献13，18-19作过一些讨论，本节研究可以认为是这些讨论的继续。定义 6设设。定义为的冗余一致致性指标。定定义为的加性一致致性指标。由互补化排排序方法原原理（公式式（4）可可知 （15）由加性一致致化排序方方法原理（公公式（144）可知知 （116）显然越大，则则中冗余判断断越多，当当，则认为为是冗余一致致的（即是是模糊互补补偏好关系系）。同样样越大，则则加性
16、一致致性越差，当，则认为为是加性一致致的（即是是加性一致致模糊互补补偏好关系系）。可以以分别为和和设定临界界值和。当则认为为广义模糊糊偏好关系系是冗余一致致可接受；当可认为为是加性一致致可接受。当当和同时成立立，则认为为是一致可可接受，此此时从中发发展的权向向量才认为为是可靠和和有效的。对对临界值的的设定，AAHP的一一致性检验验可以给我我们启示： (1)类似Saaaty21在在AHP中中使用的方方法，通过过使用平均均随机一致致性指标对对一致性指指标标准化化，然后经验性性的去设定定临界值；(2) 也可类似似采用P. Jongg 222 的统统计方法，把把临界值设设定归结为为卡方检验验。限于本本
17、文篇幅，作作者在今后后研究中详详细讨论该问题题。（1） 用算子进行行群决策设为决策者者给出的个个广义模糊糊偏好关系系。采用加加权算术平平均算子（算子）对进行集成，得到群体模糊偏好关系记为。其中，为专家的权重且。定理 6设设。（a）若若 ，那么；（bb）若 ，那么。证明：我们们仅证明（aa）。（bb）可以完完全类似证证明，限于于篇幅省略略。因为，所所以 （117）（18）联立（177）和（118）得 （199）从定理6可可得：采用用算子进行行集成，若若个体广义义模糊偏好好关系的一一致性水平平（包括冗冗余一致性性和加性一一致性）都都是可接受受的，那么么群体偏好好必然是一一致可接受受的。（2）用算算
18、子进行群群决策采用有序加加权算术平平均算子（算子）对进行集成，得到群体广义模糊偏好关系记为。其中，且为中第大的元素。为 算子相关联的加权向量，其中。定义 7 设是一组广义义模糊偏好好关系，定定义为其第第次序广义模模糊偏好关关系。定理 7设设。（a）若若 ，那么；（bb）若 ，那么。证明：由定定理6和定定义7可直直接得证。从定理7可可知：采用用算子进行行集成，若若次序广义模模糊偏好关关系的一致致性水平（包包括冗余一一致性和加加性一致性性）都是可可接受的，那那么群体偏偏好必然是是一致可接接受的。4 算例为了叙述方方便，记，为采用本本文第一种种排序方法法（公式66）和第二二种排序方方法（公式式13）
19、从从广义模糊糊偏好关系系中获取的的权向量。记记, 为的冗余一致致性指标和和加性一致致性指标的的值。现考考虑有两个个决策者对对四个方案案进行评估估，分别给给出自己的的广义模糊糊偏好关系系。按照本文方方法计算出出，的值，具具体如下。,，, , , 如按算子对对进行集成成，加权向向量设为，得得到群体偏偏好关系为为。并计算算出，。可以看看出，这与定定理6相符符合。，如按算子对对进行集成成，加权向向量不妨设设为，得到到群体偏好好关系为。为的次序广义义模糊偏好好关系。并并计算出，的值。可可以看出，这与定定理7相符符合。，5 结论本文主要做做了如下工工作：（11）提出了了广义模糊糊偏好关系系的概念，并并设计
20、了互互补化排序序和加性一一致化排序序两种排序序方法；（22）讨论了了两种排序序方法的一一些相关性性质；（33）给出了了冗余一致致性指标和和加性一致致性指标的的公式，并并讨论了采采用加权算算术平均算算子（算子子）和有序序加权平均均算子（算算子）对广广义模糊偏偏好关系进进行集结，其其群体偏好好一致性（包包括冗余一一致性和加加性一致性性）的一些些性质。本本文结果对对完善基于于模糊偏好好关系的群群决策模型型具有理论论和现实意意义。在今今后的研究究中，我们们将进一步步探讨这些些问题。参考文献1 OOrlorrski S A. Deccisioon-maakingg witth a fuzzzy prre
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