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1、n 当前文档档修改密密码：8836228399基于-支配的多目标标进化算算法及自自适应调调整策略略本文研究工作受国家自然科学基金（No.70571057，No.70171002）和“新世纪优秀人才支持计划” (NCET-05-0253) 资助。刘鎏，男，1982年生，博士研究生，研究方向为多目标进化算法理论及其应用。Email: liuliu.tju。 李敏强，男，1965年生，教授，博士生导师，主要研究领域为进化计算理论，数据挖掘和机器学习。 林丹，男，1968年生， 副教授，硕士生导师，主要研究方向为遗传算法理论及其应用。刘鎏1，李敏强强1，林丹丹21（天津津大学系系统工程程研究所所天津
2、33000072）2（天津津大学理理学院应应用数学学系天津 30000772）摘要: 本文提提出了一一类新的的基于-支配关关系的多多目标进进化算法法。该算算法采用用配对比较较选择和和稳态替替换策略略，提高高了算法法的收敛敛速度，降低了了计算时间间。首先先，在保保持种群群分布性性上，采采用了一一种新的的基于-支配关关系的精英保保留策略略，避免免了传统统修剪策策略所引引起的PPareeto前前沿面的的退化。其次，根据不不同取值值分析了了算法收收敛性，提出了了一种自自适应调调整策略略。最后后，通过过5个常用用的双目目标测试试函数的的计算，验证了了包括该该自适应应调整策策略的多多目标进进化算法法在求解
3、解质量上上要显着着强于NNSGAAII，SPEEA2和和-MOOEA等等主流多多目标进进化算法法。关键词：多目标标优化;-支配;进化算算法;自适应应调整;精英保保留策略略;稳态策策略1. 前前言求解最优优化问题题（也称称数学规规划问题题）是指指从所有有可能的方方案中选选择最合合理的一一种以达达到目标标优化的的过程。当优化化问题的的目标个个数多于于一个时时，称之之为多目目标优化化。在通通常情况况下，同同一问题题中的多多个目标标函数是是彼此矛矛盾的，因此最最终结果果是获得得一系列列折衷解解。多目标进进化算法法是指利利用进化化搜索的的技术去去解决多多目标优优化问题题。Daavidd Scchafff
4、err1提出了了第一个个多目标标进化算算法即向向量进化化遗传算算法，而而后该领领域专家家又提出出了多种种多目标标进化算算法并应应用于求求解实际际问题。Coeelloo2总结了了目前的的多目标标进化算算法，并并将它们们分为两两代：第第一代强强调简洁洁，第二代代强调效效率，它它们之间间的主要要区别在在于精英英个体是是否被引引入种群群的进化化过程之之中。LLaummannns33归纳纳了采用用精英策策略的多多目标进进化统一一模型（A uuniffiedd moodell foor MMOEAAs，UMMMEA），通过过将存储储当前所所有非被被支配个个体的种种群同一一般的进进化种群群相结合合，实现现精
5、英参参与种群群的进化化。大部部分第二二代的多多目标进进化算法法，如强强度Parretoo进化算算法(SSPEAA)44，强强度Paaretto进化算法法2（SPEEA2）5，Parretoo包络选选择算法法（PAESS）6，都符符合这样样的模型型结构。另一个个常用的的非劣排排序遗传传算法22（NSGGAIII）没有有直接利利用外部部种群。它将子子代种群群和父代代种群相相结合，优先选选择其中中的精英英个体去去构成下下一代的的进化种种群。这这种策略略也实现现了精英英个体加加入种群群进化，并取得得了很好好的计算算结果。另一个分分类标准准即是否否采用了了Parretoo支配排排序。GGolddberr
6、g77率先先将Pareeto优优化的概概念引入入多目标标进化算算法。当当前的多多目标进进化算法法大多通通过Paaretto支配配关系的的排序来来计算种种群中个个体的适适应值，从而引导导种群朝朝向Paaretto前沿沿面进化化。虽然然这种方方法可以以较好地地改善算算法的收收敛性，但是排排序过程程要耗费费大量的的计算。为了提高高进化算算法效率率，一些些研究者者采用了了稳态的的进化策策略。所所谓稳态态是当新新个体产产生后立立即加入入种群的的下一代代进化过过程之中中，如简简单进化化算法（SEAAMO）8，Parretoo收敛遗遗传算法法（PCCGA）9，-多目标标进化算算法（-MOEEA）100。在选
7、择择个体进进入交配配池的操操作中，它们均均采用配配对比较较的方法法，而没没有进行行个体适适应值的的计算。实验结结果表明明这些基基于稳态态的进化化算法在在处理某些些问题上上要优于于基于PPareeto排排序的算算法88, 111。另外，由由于非支支配解的的数量巨巨大，而而外部种种群存储储容量有有限，很很多修剪剪策略，如PAAES中中的自适适应网格格，NSSGAIII中的的Croowdiing-Disstannce，SPEEA中的的聚类和和SPEEA2中中的最近近距离方方法等，都在各各自算法法中发挥挥了很好好的作用用。然而，正如12所述，这些修修剪策略略很可能能造成PPareeto 前沿的的退化，
8、进而影影响到最最终种群群的收敛敛。Laaummmanss133根据据-支配关关系，提提出一种种基于网网格向量量的种群群修剪策策略，可可以很好好地防止止进化过过程中种种群的退退化。这这种策略略在计算算网格向向量时，除了参参数，还还需要获获得各个个目标上上的最小小值，并并且相同同网格中中的个体体比较需需要计算算各自的的欧式距距离，相相对来说说计算量量比较大大。本文提出出了一种种新的基基于-支配关关系的多多目标进进化算法法，即-支配多多目标进进化算法法（-ddomiinannce MOEEA，EDMMOEAA）。该算算法采用用一种新新的基于于-支配关关系的修修剪策略略，不仅可可以防止止退化现现象，还
9、还可以有有效的保保存极端端值个体体以保证证Parretoo前沿面面的广度度。该算法基于于稳态替替换策略略，利用用的选择择方法，可以更更加快速速有效地地到达Paaretto前沿沿面。同同时，在在新算法法中采用用了新的的自适应应调整策策略，实实验结果果验证了了这种新新策略的的优越性性。本文的结结构如下下：第22节介绍了了Parretoo优化和和-Paaretto优化化的概念念；第33节简要引引入了协协同UMMMEAA模型，并对其其进行了了修正；第4节详细讨讨论了新新的EDDMOEEA算法法和自适适应调整整策略；第5节针对在在一系列列测试函函数上的的计算实实验，将将包含自适适应调整整策略的的自适应应
10、多目标标进化算算法（AEDDMOEEA）同固定策略略的EDDMOEEA及NSGGAIII，SPEEA2，-MOOEA等等其它算算法进行行对比,分析了了新算法的的性能优优势。第第6节总结结本文研研究结论论。2基本本概念2.1 Parretoo 支配配关系在多目标标优化问问题中，Parretoo优化解解是最常常用的优优化概念念。它最最早由FFrannciss Yssidrro EEdgeeworrth 在18881年提提出而后后经Viilfrredoo Paaretto推广广144（为为方便讨讨论起见见，本文文的优化化问题皆皆为最小小化问题题），其其定义如如下：定义 11（Parretoo 支配配
11、）：设设，。称解支配解解当且仅仅当部分分地优于于，即,，记做做。定义2（Parretoo 最优优解）：解称之之为解集集合的Parretoo优化解解当且仅仅当集合合。定义 33（Parretoo 最优优解集）：对于于给定的的多目标标优化问问题，设设其定义义域为，则其Parretoo最优集集，定义为为：。将Parretoo最优解解集在函函数空间间上对应应的集合合称之为为Parretoo前沿，记为。22 -支配关关系-支配关关系是传传统的PPareeto支配关关系的弱弱化115，其具有有多种概概念形式式。这里里我们采采用加的的形式,且对于给给定的，。其定定义如下下：定义4（-支配）：设,，对，称称-
12、支配当且且仅当，且,。记为为：。定义 55（-Paaretto最优优解集近近似）13：集合合称为的-Paaretto最优优解集近近似，当当且仅当当对任意意都存在在，使得得。定义 66（-Paaretto解集集）113：集合称称为集合合的-Paaretto解集集,当且仅仅当为集集合的-Paaretto最优优解集近近似,且。根据以上上定义，可以得得到如下下两个定定理。定理 11 , 。证明：因因为，故故对有，且, 使得。又又由，则则对, 。因此此可知。定理得得证。定理 22 设，则有有。证明：由由题设可可知，则则有, ，且，使得得。又由由，故可可知, 。另一一方面，由，据据定义可可知, , , 。
13、显然然可知，对，有有，即。定定理得证证。值得注意意的是，和分别作作为集合合的-Paaretto解集集和-PPareeto最最优解集集近似，都不是是唯一的的。一些些个体靠靠近Paaretto前沿沿，但不不是Paaretto最优优解，若若满足-支配关关系，都有可可能包含含在中。定义66可以保保证中的的个体皆皆为Paaretto最优优解。3. 多目标进进化算法法的进化化模型Laummannns 3给给出了采采用精英英策略的的多目标标进化算算法的一一般模型型结构UUMMEEA，协同进进化个体体种群和和精英种种群。精英策策略是指指优良的的个体不不会因为为劣个体体的影响响而被排排除出种种群的基基因池。其算
14、法法流程如如下：首首先, 采用初初始化算算子生成成进化种种群和精精英种群群，并选选择参数数精英强强度。然然后,由当前前的进化化种群和和精英种种群生成成子代种种群。其其中,精英强强度控制制精英个个体的参参与程度度，即从精英英种群中中选择个个体作为为交配个个体的概概率。取取样过程程由取样样算子(sammplee)控制，变化算算子（vvaryy）则通过交交叉和变变异操作作而产生生子代个个体。虽虽然PAAES，SPEEA，SPEEA2皆皆可抽象象为这样样的构架架，然而而对于NNSGAAII和和-MOOEA来来说，却却需要做做一些必必要的修修正，如如算法11所示。算法1 修正的的具有精精英策略略的多目目
15、标进化化算法。表示精精英种群群，表示示进化种种群，表表示精英英强度，表示子子代种群群。1. 2. 3. wwhilleteermiinattefaalsee doo4. 5. varry6.7.8.9. eend whiile算法1在在进化过过程中强强调了子子代种群群同父代代种群之之间的竞竞争作用用。这种种竞争不不仅在评评估过程程中而且且也分别别在两个个种群的的更新算算子（和和）中。显显然，-MOOEA可可以看作作算法1的一个个实例，NSGGAIII即是精精英种群群设置为为零的特特殊情形形。当直直接把子子代种群群看作下下一代进进化种群群时，算算法1同Lauumannns所所提的UUMMEEA是
16、等等价的3。由于进进化种群群的更新新过程同同精英种种群是相相对独立立的，在在进化过过程中或或许有部部分的精精英个体体进入进进化种群群。因此此,精英强强度重新新定义为为从两个个协同种种群中选选择的交交配个体体都为精精英的概概率。4EDDMOEEA 算算法在本节中中，我们们提出了了一类新新的基于于-支配关关系的多多目标进进化算法法。同-MOEEA一样样，它也也可以分分解为算算法1的实例例。这两两个算法法的主要要区别即即在于精精英种群群的更新新策略上上。新算算法的更更新策略略结构简简单，且且具有较较少的参参数设置置。4.1 精英种种群的更更新策略略首先，我我们给出出对于给给定的集集合逼近近其Paar
17、etto最优优解集的的迭代搜搜索算法法的基本框框架133，如如算法22所示。算法2迭迭代的搜搜索算法法1: 2:3: wwhilleteermiinatte fallse do4:5: genneraate()6: upddatee7: eend whiile8: OOutpput: 其中,表表示迭代代次数，表示在在第次循循环时所所产生的的新的个个体，而而集合表表示时的的精英种种群。算算子geenerratee()是指指在第次次迭代时时产生新新的子代代个体；upddatee()表示示结合新新的子代代个体对对原有的的精英种种群做更更新操作作，其流流程如算算法3所示。算法3生生成Paaretto最
18、优优解集的的更新算算法1: IInpuut: , 2: iif ssuchh thhat thhen3: 4: eelsee5: 6: 7: eend if8: OOutpput: .显然，如如果我们们采用算算法3的更新新策略，通过算算法2所得到到的最终终种群将将是Paaretto最优优解集的的子集合合。然而而若仅仅仅将算法法3第2行的Paaretto支配配关系改改为-PPareeto支支配关系系，最后后所输出出的解集集仅仅是是-Paaretto最优优解集近近似113。故一类类新的用用以生成成-Paaretto解集集的算法法构成如如下：算法4生生成-PPareeto解解集的更更新算法法1:In
19、nputt: ,2: iif suuch thaat tthenn3:4: OOutpput: ;/ 算法终终止5: eelsee6: 7: 8: eend if9: iif ssuchh thhat theen10:11: elsse12: 13: endd iff14: Outtputt: . / 算法终终止定理3 设是第代生生成的个个体，为为到第代代为止所所生成的的个体的的集合。而指根根据算法法4的更新新策略在在第代时时所输出出的最终终种群，则是的一个个-Paaretto 解解集。证明：首首先，可可证。令令任意,。假设设存在,。如果果，则在时不会会被接收收（算法法4，第3行）；如果存存在
20、,，使得得，则根根据Paaretto支配配关系的的传递性性可知，故依然然被排除除在最终终种群之之外。如如果，则则将会从从中被移移除（算算法4，第7行）。这皆与与矛盾。故假设设不成立立，即中中的任一一个体均均为非被被支配解解。其次，可可证是集合的-Paaretto最优优解集近近似。假假设其不不正确，则当且且仅当存存在,，其不不被的任任何成员员-Paaretto支配配，但却却不属于于集合。倘若不不属于集集合，则则其或者者在时不不被集合合接收，或者在在时被接接收但在在以后的的更新过过程中被被移除。对于后后者，只只有当可可以支配配的个体进进入中，移除才才能进行行。根据据定理11，若两两个个体体满足支支
21、配关系系则意味味着它们们也满足足-支配关关系。而而又因为为支配关关系具有有传递性性，故在在输出种种群中必必有一个个体可以以-支配，这这与假设设矛盾。另一方方面，拒拒绝操作作发生在在算法44的第2或第9行。同同理可知知，如果果个体被被拒绝，则表明明种群中中存在某某一个体体对它具具有-支配关关系。而而根据定定理2，即使使这样的的个体在在以后的的更新过过程中被被移出，其替代代个体仍仍然可以以-支配，亦亦与假设设矛盾。故综合可可知，是是的一个个-Paaretto 解解集。定定理得证证。可见利用用算法44的更新新策略，可以保保证最终终的输出出种群为为Parretoo最优解解集的子子集，且且其中的的个体成
22、成员的-邻域内内都无其其它个体体，保证证了均匀匀的分布布性。值值得注意意的是，在输出出种群中中可能存存在一些些个体，这里我我们称之之为“临近点点”。它们们位于PPareeto前前沿的边边缘，可可以-支配一一些虽然然处在前前沿面上上但和它它们不具具有Paaretto支配配关系的的个体。而当进进化结束束时，如如果能够够支配这这些“临近点点”的个体体没有生生成，则则它们将将会保留留到最终终的输出出种群中中。不过过根据定定理2可知，这些点点的存在在不会影影响算法法4的收敛敛性。实际际上，它它们仍可可以看作作当前种种群中的的Parretoo最优解解，因为为一旦能能够支配配它们的的个体生生成，它它们将会会
23、从最终终种群中中移除。4.2 EDMMOEAA算法流流程结合算法法4中的更新策策略，EEDMOOEA的的算法流流程如下下：（1）随随机生成成初始种种群，将将其中的的不可支支配个体体复制到到第二种种群，并并求出其其在目标标上的极极值点，并设设置进化化代数。（2）从从中随机机选择一一个个体体，设其其为。（3）以以和作为父父代，如如果则更更换其它它的目标标的极值值个体。对所选选父代遗遗传操作作（交叉叉和变异异），生生成的子子代个体体设为，。（4）比比较，的支配配关系，选择非非被支配配的个体体；如果果两者互互为不可可支配，则比较较-支配关关系。如如果均不不可行，则随机机选择一一个作为为优胜者者，然后后
24、利用算算法4的更新策略略，将其其加入种种群之中中。（5）如如果不满满足终止止条件，令，从从第2步开始始重新进进化；否否则，即即为最终终的输出出种群。显然，EEDMOOEA算算法可以以分解为为统一模模型的特特例。因因为其选选择进行行交配的的个体都都是当前种种群中的的非被支支配个体体即精英英个体，故EDDMOEEA在进进化过程程中的精精英强度度将一直直为1.0，为为高精英英强度进进化算法法。如166所述述，在多多目标进进化算法法中高精精英参与与比例有有利于种种群的收收敛。由由于父代代个体之之一，为所所对应目目标的当当前极值值，故若若，则必不不等于，除非非精英种种群中只只有唯一一的个体体。所以以这种
25、策策略可以以避免对对相同的的个体进进行遗传传操作。EDMOOEA与与-MOOEA在在算法结结构尤其其是精英英种群的的更新策策略上有有显着的的区别：首先，-MOEEA根据据的支配配关系将将目标函函数空间间中的点点转化为为网格向向量，这这样通常常会导致致一些在在某一目目标上的的函数值值是极端端值的个个体被支支配，从从而缺失失于最终终的输出出种群。如117所所述，如如果这些些代表PPareeto前前沿边界界的个体体被排除除，精英英种群所所逼近的的前沿面面将会收收缩，从从而算法法将收敛敛到部分分的Paaretto前沿沿面。但但是采用用算法4的更新新策略，当前种种群的极极端个体体将会保保留到下下一代，除
26、非有有可以支支配它们们的个体体产生，而若其其能够支支配具有有极端值值的个体体，则必必在对应应目标上上具有更更好的边边界取值值。其次，在在网格向向量的计计算过程程中，尤尤其在对对实际问问题的处处理时，需要各各个目标标函数上上可能取取得的最最小值的的信息。虽然它它们可以以在算法法进行过过程中获获得，但但当新的的最小值值产生后后，需要要对当前前的精英英种群中中个体的的网格向向量值进进行更新新。这些些都将增增加计算算量。采采用EDDMOEEA的更更新策略略，只需需要各个个目标上上的参数数值，而而且更新新操作中中仅需比比较新个个体与精精英种群群的支配配关系，计算复复杂度同同种群大大小呈线线性关系系。最后
27、，如如图1所示，在-MMOEAA中，对对于同一一网格中中个体的的处理，无法保保证相邻邻网格的的个体保保持一致致的分布布。而根根据算法法4的更新新策略，一旦个个体在精精英种群群中确定定，其的的-邻域内内将不在在有个体体被包括括在最终终的种群群中（如如图2所示）。因此此相比-MOEEA，其其将更有有效的保保持种群群的多样样性。图1：图图中所有有个体都都属于PPareeto前前沿面；点A和B，点C和D分别位位于同一一个网格格内。根根据-MMOEAA算法网网格内的的操作策策略，点点A和D将分别别被点BB和C取代，种群分分布的均均匀性将将降低。图2：点点所支配配的区域域如图中中阴影所所示。根根据-支配关
28、关系，其其支配域域扩展到到点所支支配的区区域即虚虚线所包包括的范范围，从从而点临临近的个个体将从从精英种种群中排排除。4.3 自适应应调整策策略根据上述述讨论可可见，取取值在基基于-支配的的进化算算法中起起关键作作用。LLaummannns113曾曾给出的的估值公公式，并并提出一一种动态态调整值值以获取取给定规规模的解解集的方方法。首首先从一一个最小小的值开开始，当当精英种种群中的的个体数数量超过过事先给给定的最最大规模模时，则则按照某某种规则则增大取取值。然然而当新新的值设设定后，精英种种群中个个体的网网格向量量值需要要更新，这需要要额外的的计算量量。另一一方面，当新的的网格向向量值取取定后
29、，精英种种群内的的个体需需按照其其新的网网格向量量坐标重重新确定定网格的的支配关关系，同同样将耗耗费额外外的计算算量。事实上，我们发发现在EEDMOOEA算算法中大大的取值值反而更更有利于于算法的的收敛（见5.1），故据此此，我们们提出一一种自适适应的调整方方法如下下：1 开始于一一个最大大的取值值；2 如果满足足终止条条件则终终止调整整策略，否则按按照预先先设定的的下降幅幅度，减少当当前的取取值，即即如下式式所示：，显然当从从一个大大的取值值开始时时，精英英种群中中现存个个体的-支配关关系不会会因为值值的降低低而发生生变化。因此没没有必要要再对它它们进行行重新的的比较。结合如如177的终终止
30、法则则，我们们给出了了如下的的终止条条件：1) 当适应值值函数计计算次数数超过给给定的最最大上限限（这里里设为2250*1000）；2) 当在给定定的一段段连续的的进化代代数后，精英种种群没有有新的个个体出现现。因为为精英种种群中新新产生的的个体将将丰富当当前Paaretto前沿沿的多样样性或者者将其朝朝向真实实的Paaretto前沿沿逼近。3) 当在给定定的一段段连续的的进化代代数后，精英种种群中的的极端个个体的目目标函数数值没有有变化。精英种种群中的的极端值值的变化化在一定定程度上上也反应应了种群群的收敛敛性。于于是同上上一个终终止法则则相结合合，如果果它们都都在给定定的计算算次数后后保持
31、不不变，则则表明深深度搜索索已经充充分进行行，需要要降低的的取值开开始进行行当前PPareeto前前沿的广广度搜索索。这样样可以增加加依靠当当前Paaretto前沿沿的多样样性，引引导搜索索朝向真真正的PPareeto前前沿面推推进。4) 当的值达达到其的的底线。可见这种种自适应应的调整整策略类类似与模模拟退火火的思路路，当按按照既定定的判断断标准，种群进进化没有有进展时时，则按按照如上上的调整整公式，降低在在各个目目标函数数上的限限制范围围，从而而促使种种群的进进化。注注意到第第二和第第三个终终止法则则中有一一个重要要的参数数即给定定的一段段连续进进化代数数，本文文中我们们将其设设置为220
32、0。同时设设定最大大的取值值为0.06，最小的的为0.00006。5实验验结果和和讨论在本节中中，计算算实验采采用了多多目标进进化算法法测试中中被广泛泛应用的的5个多目目标函数数100，这这些函数数包括双双目标函函数，具具有凸性性、多模模态等不不同特性性。首先先讨论了了在不同同取值下的的EDMMOEAA的性能能，然后后通过其其它通用用多目标标进化算算法，如如NSGGAIII，SPEEA2，-MOOEA等等，进行行比较分析析，表明明了EDMMOEAA和AEDDMOEEA的优优越性。5.1对对于不同同取值的的EDMMOEAA算法的的收敛性性首先，分分别采用用5个不同同的值0.000066，0.00
33、06，0.006，0.66，0.99（这里里我们认认为在各各个目标标上的取取值一致致且算法法进化种种群大小小为1000，进进行255，0000次适应应值评价价），结结果表明明当为较较大的取取值，EEDMOOEA可可以更好好的收敛敛到Paaretto前沿沿曲面。采用当代代距离指指标（GGeneerall Diistaancee，GD）188包括括的GDD-Maax和GD-Minn两种性性能指标标，评测测最终种种群同PPareeto前前沿面的的接近程程度。它它们各自自表示最最终近似似种群中中的个体体到Paaretto前沿沿面的距距离的最最大值和和最小值值。实验验结果如如表4-5所示示。表1：GGD
34、-MMax值值的平均均值和标标准差ZDT11ZDT22ZDT33ZDT44ZDT660.00006Meann1.21119EE-0221.08863EE-0331.14407EE-0221.11129EE-0221.37745EE-022Stdeev2.70043EE-0331.49911EE-0551.64469EE-0333.43330EE-0339.81181EE-0550.0006Meann2.65564EE-0331.08806EE-0336.96647EE-0333.36678EE-0331.30027EE-022Stdeev1.38827EE-0338.68884EE-0551.
35、42223EE-0331.23395EE-0333.38852EE-0440.066Meann6.21141EE-0447.87769EE-0441.45519EE-0331.46695EE-0337.35574EE-033Stdeev6.87781EE-0551.88808EE-0443.33364EE-0441.31116EE-0332.25523EE-0330.6Meann2.98802EE-0992.40039EE-1551.84433EE-0331.91133EE-0336.03361EE-044Stdeev4.08809EE-0991.91155EE-1661.00071EE-03
36、31.09973EE-0336.01102EE-0550.9Meann1.49901EE-0992.83339EE-1551.69932EE-0225.45584EE-0336.98877EE-044Stdeev3.33320EE-0993.60043EE-1663.65553EE-0223.64419EE-0334.28815EE-055表2：GGD-MMin值值的平均均值和标标准差ZDT11ZDT22ZDT33ZDT44ZDT660.00006Meann1.16677EE-0668.14417EE-0774.17711EE-0774.44446EE-0554.52246EE-044Stde
37、ev3.20006EE-0774.24412EE-0777.04470EE-0883.44413EE-0557.10094EE-0660.0006Meann1.02209EE-0774.28881EE-0884.40036EE-0992.13387EE-0444.49955EE-044Stdeev2.80099EE-0882.52259EE-0882.36637EE-0992.12250EE-0443.79961EE-0550.066Meann8.15530EE-1666.67754EE-1662.30022EE-0994.65551EE-0444.31190EE-044Stdeev1.011
38、78EE-1661.55594EE-1663.15532EE-0996.66613EE-0448.70040EE-0550.6Meann5.99999EE-1663.99996EE-1664.47703EE-0999.18825EE-0444.07733EE-044Stdeev2.14477EE-1669.94460EE-1774.08808EE-0994.95524EE-0445.17721EE-0550.9Meann8.94474EE-1668.43396EE-1661.58822EE-0442.49948EE-0334.75580EE-044Stdeev2.79979EE-1779.92
39、292EE-1775.44430EE-0551.60005EE-0334.70043EE-055表3：最最终种群群大小的的平均值值ZDT11ZDT22ZDT33ZDT44ZDT660.00006681.7769.8302.6782528.60.000698.9990.7741.5599.9987.660.06610.448.55.9109.40.6223220.922222如表1-2所示示，随着着参数值的的增大，EDMMOEAA在各个个问题上上的GDD-Maax和GD-Minn的取值值呈先减减小后增增大趋势势，图中中加粗部部分即是是各自变变化的转转折点。对于ZDDT1，ZDTT2，ZDTT3问
40、题题，当增增至0.06时时GD-Minn显着减减小，表表明种群群中已有有个体充充分接近近真实PPareeto前前沿。对对于ZDDT4问问题，尽尽管当取取得0.00006时，GD-Minn最小，但当增增至0.06时时，GDD-Maax值最最小，即即整体收收敛性在在0.006时最最好。当当0.006时，ZDTT6问题题的GDD-Maax显着着减小，在0.66时达到到最小，而后其其GD-Minn随增大呈呈小幅下下降，当当0.66时最小小。需要要注意的的是，当当取值过过大时，最终收收敛种群群的规模模有限（如表3可见），例如当当0.66，0.99时，最最终种群群中只有有两个个个体在PPareeto前前沿
41、两端端，即各各个目标标函数的的极值点点。所以以尽管这这样得到到的GDD-Maax和GD-Minn值很小小，但这这十分不不利于决决策者做做出最好好的选择择。事实实上，在在进化算算法的搜搜索过程程中，深深度搜索索和广度度搜索是是相互交交叉进行行的。当当选择大大的取值值的时候候，EDDMOEEA偏重重于深度度搜索即即引导搜搜索朝向向真实的的Parretoo前沿面面，而当当采用小小的取值值，EDDMOEEA则在在当前的的Parretoo前沿面进进行搜索索而取得得更好的的分布性性。故我我们推荐荐从较大大的取值值开始，如0.006，直直至减少少到最小小的值。5.2 EDMMOEAA和AEDDMOEEA同其
42、其它多目目标进化化算法的的比较在本节中中，EDMMOEAA、采用自自适应调调整策略略的AEEDMOOEA、NSGGAIII、-MOOEA、SPEEA2等等，均用用于求解解5个测试试函数，并针对对收敛性性、分布布性及计计算效率率对各个个算法进进行比较较分析。具体的设设置如下下：所有有初始种种群中个体的的基因都都是随机机产生且且采用实实数编码码。交叉叉操作采采用仿二二进制交交叉算子子（Siimullateed BBinaary Croossooverr）199，变变异操作作采用多多项式变变异算子子（Poolynnomiial Muttatiion）200，其其中的交交叉算子子参数，变异算算子参数数
43、20。对于EDDMOEEA算法法，在55个测试试函数上上都设置置相同的的参数，（）。SPPEA22算法的的-近邻参参数计算算方法如如下：（表示种种群，表表示精英英种群大大小）。AEDDMOEEA，EDMMOEAA，和-MMOEAA都采用用稳态的的进化策策略，且且适应值值评价的的最大次次数为225,0000。所有算算法的其其它共有有参数设设置如表表4所示。表4：参参数设置置( nrreall表示自自变量个个数)AEDMMOEAAEDMOOEA-MOEEANSGAAIISPEAA2交叉概率率1.01.01.01.00.5变异概率率1/nrreall1/nrreall1/nrreall1/nrrea
44、ll1/nrreall种群大小小100100100100100精英种群群大小-100100最大进化化代数-250250为了比较较5个算法的的性能，采用一一元评价价指标函函数。所所谓一元元评价指指标函数数是从向向量集合合到实数数集的映射射211：。利用用实数集集合上的的全序关关系，可可以比较较在空间中中的不同同向量集集合之间间的质量量。不同同的一元元指标函函数采用用了不同同的偏好好信息。对于给给定的集集合，定定义=，计算算与参考考集合的的指标函函数值，其值越越小，表表明所用用集合的的质量越越高。我我们采用用比较常常用的两两个指标标函数：Hypeervoolumme指标标函数（记为）4，Epsii
45、lonn指标函数数（采用用加的形形式）（记做）222。因为两两个指标标函数采采用了不不同的偏偏好信息息，若对对于相同同的比较较集合和和，它们们指标值值的序关关系分别别为和，则可以以推断这这两个集集合是等等价的。其中，参照集集合构造造如下21：联合合5个算法在在运行中中所产生生的最终终近似种种群，然然后去除除其中被被支配的的和重复复的个体体。这样样，参照照集合中中的个体体即不被被任何联联合种群群中个体体所支配配。实验验结果如如表5-9所示示。表5：ZZDT11问题的的Hyppervvoluume和和Epssiloon指标标的平均均值和标标准差MOEAAHypeervoolummeEpsiilonnAvgStdeevAvgStdeevAEDMMOEAA2.32221EE-0334.52232EE-0441.00038EE+0006.10064EE-044EDMOOEA4.13366EE-0337.39935EE-0551.00052EE+0001.58816EE-044-MOEEA5.54432EE-0331.15594EE-0441.00054EE+0004.07785EE-044NSGAAII6.63