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1、抛物线焦点弦问题河北省武安市第一中学郅武强抛物线焦点弦问题较多，由焦点引出弦的几何性较集中，现总结如下：一 弦长问题：例斜率为I的直线经过抛物线24yx二的焦点，与抛物线相交A.B两点，求线段AB的长。分析：利用弦长公式12dx=-能解此题，但运算量较大也较复杂，如果能够运根据抛物线的定义，11AFx 二十 同理 21BF x =+于是得112m n p m n p=+=假设AB的斜率存在，不妨设斜率为k那么直线AB的方程为2(22p y k x y px =-= fl I设11(,A x y , 22(,B x y 那么 2111224p x y p pxx+=+Jl(ll又 12p m x
2、 =+22Pnx=+ 1221212112(24x x p m np p m n mnp x x x x +=+122AB AF BF x x =+=+由题(214y x y x=消去y得261 Ox x -+=故 126xx+= A628AB =+=注：焦点弦在标准抛物线方程下的计算公式：I2AB x x p=+或12AB y y p二+。二.通径最短问题：例：抛物线的标准方程为22ypx=，直线1过焦点，和抛物线交与A.B两点，求AB的最小值并求直线方程。解：如果直线1的斜率不存在，那么直线1的方程为2P2A B p =如果斜率存在，不妨设斜率为k,那么直线的方程为(2pykx=-,与抛物
3、线方程联立方程组得22( 2y pxp y k x (消去 y 得 22222(2 04k p k x k p p x -+=假设 Ok , 贝IJ 222440k p p A=+1222px x p k +=+那么1222222p p AB xxppppkk =+=+=+当k 8时AB最小即min 2AB p =此时2Px =三.两个定值问题：例：过抛物线22ypx二的焦点的一条直线和抛物线相交，两个焦点的横、纵坐标为lx、2x、ly、2y ,求证：2114p x y =,212y y p=-o证明:联立22( 2y px p y k x =- ( I l消去y得22222(2 0(04kp
4、kxkppxk2124pxx =同理消去y可得212y y p=-；斜率为0时，直线与抛物线不能有两个交点；斜率不存在时，2114p x y = , 212yy p=同样是定值；从上所述：2114Pxy =, 212y y p =-四.一个特殊直角问题：过抛物线22(0 ypxP=的焦点F的直线与抛物线交与A、B两点，假设点A、B在抛物线的准线上的射影分别是1A , IB求证：1190A FB 0设A坐标为(lx, ly) B坐标为(2x , 2y )2p B y -12(, FBPy=-, 12(, FB P y =-21212FAFAPyy 二+又由上题可知 120FAFA二，212yy
5、P=- o 五.线段 AB为定长中点到y轴的最小距离问题例：定长为3的线段AB的两端点在抛物线2yx二上移动，设点M为线段AB的中点，求点M到y轴的最小距离。解：抛物线焦点1Q0 4F,准线:41 x =-,设点A、B、M在准线1上的射影分别是1A、IB、1M,设点OO(,Mxy 那么111111( 22AA BB AA BB AB +=+N又1014MMx =+3AB= A01342x+I 所以5，点M到y轴的最小距离是54,当且仅当AB过点F是取得最小距离。六.一条特殊的平行线例：过抛物线焦点的一条直线与它交与两点P、Q,经过点P和抛物线顶点的 直线交准线于点M,求证：直线MQ平行于抛物线
6、的对称轴。设抛物线的标准方程为22y px =,设P、Q的坐标为11(, xy , 22(, x y那么P0的直线坐标为HG 22Py P x -又 2112yxp =带入 M 的纵坐标 2112111222Py Py P y y x y p -=-=-=又221212P y y P y y -=-=M的坐标为02y y =故直线M Q平行于抛物线的对称轴。七.一个特殊圆例：求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切。证明：设抛物线的方程为22y px =,那么焦点（,02PF,准线2P,设以过焦点F的弦AB为直径的圆的圆心M, A、B、M在准线I上的射影分别是1A、IB、1M 贝 IJ 1IAABB AFBFAB+=+=又1112AA BB MM +=112MM AB,即1MM为以A B为直径的圆的半径，且准线1L1MM二命题成立。本篇总结了过焦点的弦与直线的七条性质，认识这几条性质可以更清楚地认识 抛物线。八.一个特殊值：例：抛物线211212(21242211224PPxypykxpypxxxxxppnliiiypxnxnpAxyppmnpmnmnpxxxx +=+=-= ( (+ | =+=+=+=lilt l+22y px =过焦点F弦AB被焦点分成m、n的两局部，贝IJ112m n p+=假设直线AB的斜率不存在那么