统计物理习题解答.docx

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1、统计物理习题解答第一章 习题 1. 一质点按 t xsin w = 的规律作简谐振动。试证明，假如测量质点位置的采样时间匀称分布，测得质点的位置在 x 到 dx x+ 的几率为 211) (xdxdx x-=pr解：只考虑一个周期即可。将 t 看作在 02 p /ω 内匀称分布的随机变量，则 ( )pwr2= twp 20 tX 的分布函数为 ( ) ( ) ( ) ( )( )( )+ =+ + =+ = = = =- -+ -wprwprr r rwwpw wpx xx x tdt t dt t dt tx t P x X P x Fxa xD D11 12sinsin0sin

2、 2 sin sinsin112 1 于是 ( ) ( )211 1xx F x-= =pr 2. 已知几率分布 ( ) xydxdy dxdy y x , r其中 y x, 的改变范围是 b y a x 0 , 0 。(1) 求几率密度函数 ( ) y x, r(2) 求 y 为随意值， x 在 x 到 dx x+ 的几率。解：(1) 由归一化条件10 0=a bx y d x d y A →2 24b aA =w p /w p / 2x t x则( ) =其它 00 , 04,2 2b y a x xyb ay x r (2) ( ) ( ) = = =+ -bXaxydyb a

3、xdy y x x02 2 22 4, r r a x 0于是 ( ) dxaxdx xX22= r 3已知几率分布 dx e dx xx) (aa r-= , + a， x 的改变范围是 0 至 。试求 x 的平均值 x ，方均根值2x ，平均平方偏差2) ( x x- 和相对涨落22) () (xx x -。解：(1)( ) ( )a aa aa ra101 1 100 0 0 0=- +- =- = = = = = +- -+-+ +- -+dt e tetde dt te dx e x dx x X E Xt tt t x (2) ( )20202 22aa ra= = =-+ + d

4、x e x dx x x Xx 则 a22= x(3)( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 22 1 1 2a a a= - = - = - = X E X E X X X D(4)( )( )11 12 2 2= =a aXX D4. 一光子的能量 e 与动量 p 有如关系 cp = e ，c 为光速。若光子在容器 V 中自由运动，求能量在 e e e d + 之间的量子态数。（对应每一个动量 p 有两个偏振方向，即两个不同的状态）解：在z y xdP dP dxdydzdP 内的量子态数为 z y xdP dP dxdydzdPhdn32=（考虑了光子两个偏振态，故乘 2）在z y

5、xdP dP dP 内的量子态数为 dP d d PhVdP dP dPhVdn nz y xVj q q sin2 223 3= = = D 在 PP+dP 内的量子态数为（ =pq q02 sin d ）dP PhVn238 p= D再作变换 ε = cP，则在 e e e d + 内的量子态数：e epdc hVn23 38= D 5. 已知二维谐振子的能量为 ) (2 22 22 2y xkmp py x+ += e证明态密度函数 ) ( e g 与 e 成正比。（提示：四维椭球的体积正比于四个半轴长的乘积）证明：将谐振子能量方程写成 1/ 2 22 22 2=+Ky

6、xmP Py xe e 这是四维相空间中的一个椭球。其中四个半轴长分别为e m b a 2 = = ， K d c / 2 e = =在这椭球内的量子态数目为 ( ) ( )222 222 24/ 2 211 1e e eKhmAK m AhhdP dxdydPhNVy x= = = =四维椭球的体积 A 是比例系数。则e e dKhmAdN28=即 ( ) e e e =28KhmAg其次章 习题 一维线性谐振子的能谱为 , , 2 , 1 , 0, )21( L = + = n hv nne系统的温度足够低kT hv (1) 求振子处于第一激发态与基态的几率之比。(2) 假如振子只占据第一

7、激发态与基态，试计算其平均能量。解：(1) 已知：n b a hle N+ - -=21l n bnn bhhheeeN NN NPP-= = =21232121 (2) + = + = + =- -n n e e e e en bn b ah e hNeNNNNP Phh23212111001 1 0 0 留意： n bn b a n b a n b ahh h he e e e N N N- - - - - -+ = + = + = 12123210 1 则： =+=-kT hvkT hvhvhveehhh当当2113 121n bn bn e=kT1b 2. 由波尔兹曼分布导出麦克斯韦速

8、率分布律。解：若能把粒子数 N 写成 ( ) dv v f N+=0即可。在 p106 例 2 已求出：( )dv v ehπ Vm e dv v e d θdθhVm e dv dv dv ehVm eNvkTmαπvkTm παz y xv v vkTmαz y x +- +-+ + -=022330 0222033233222 2 24sin j但 ( )23222 2 2=+ + -mπkTdv dv dv ez y xv v vkTmz y x 则：2333 2=-kTmNhVm epa 所以：( )

9、22223 24vkTme vkT πmπN v f-= 3. 由 2 的结果计算速率的平均值 v 。解：把 ( )+=0dv v f N 写成( )+=01 dvNv f，可以看出( )Nv f刚好是分子速度取 v的概率，于是由 ( ) 2 题结果知：( )πmkT mkTπkTmπdv e vπkTmπdv e vπkTmπ dvNv vfvvkTmvkTm82212424242230232302323022= = +- +- +4. 听从波尔兹曼分布的某志向气体粒子的能量与动量的关系为cP = e，c 为光速，若共有 N 个粒子，试计

10、算此气体的热容量VC 。解：3 3 3 3 3 3023020 023331 8 2 4 4sin 1bpbppj q qwbp pbbbe bec hVc hVdp p ehVdp p e d dhVdp dp dp ehVdp dx ehe Zcp cpVz y xcpzlll= = = = = +-+ -+ -则：bpln 38ln ln3 3- -=c hVZNkTN ZN U 33 ln= =- =b b NkTUC v 3 = 5. 被吸附在表面的单原子分子，能在表面上自由运动，可看作是二维的志向气体，试计算其摩尔热容量，设表面大小不变。解 ：设 二 维 分 子 可 活 动 的 范

11、 围 面 积 为 S ， 一 个 分 子 的 能 量 为( )2 22212y xp pm mp+ = = e ，则：( )bppqb b pbbemhSpdp ehSpdp e dhSdp dp ehSdp dxdydp ehZpmpmSy xp pmy xy x2 2 120 022220222 22 22 2= = = + +- -+ - 所以 N k TN ZN U = =- =b bln 则：NkTUC =v6. 在体积为 V 的容器中，有 N 个相互独立的能量与动量的关系为 cp = e 的粒子，试证明其压强 P 与体积内能 U 之间存在如下关系 VUP31=证明：利用 4 题结果

12、：NkT U 3 =而： + =3 3 38ln ln lnbpc hV Z则： VUN k TV VNVZ NP3331 1 ln= = =b b 证毕。7. 设处在重力场中的 N 个单原子分子志向气体，气柱高度为 H，截面积为S，试求气柱的内能和定热容量。解：由 P105 例 1 已算出配分函数为：( )233211- =-bpbbMemg nSZmgH ( ) ( ) A e A e ZmgH mgH+ - + - = + - - + - =- - b bb b b 1 ln ln25ln231 ln ln ln其中 A 与 b无关。于是可算出 mgHmgHemgHe Zbbb b-+

13、- =1125 ln mgHmgHeeNmgH NkTZN Ubbb- =- =1 25 ln 利用 11lim0=-xxxexe知： =时时H NkTH NkTu25023 =- =-+ = =当H当HNkNk eekTmgHNk NkeTNmgH NkTUCkTmgHkTmgHkTmgHvv025231251125228. 经典转子的能量为 222sin 2121j qqe pIpIr+ = 其中 + - + - j qp j p q p p, 2 0 , 0 ，试计算配分函数和 N 个转子系统的热容量。解： + -+ -= =jqbb pj qbejqq qpj q dp e d e d

14、hdp dp d d ehZpIpI222sin 2 202 22 1bpq qbp pbq pbpqpp p22022028sin2 2 sin 2 2 2hIdIhI Idh= = = =+ -lpdx edx 2利用了 ，于是 b ln ln - = A Z( ) 无关 与T A则： N k TN ZN U = =- =b bln NkTUCvv= = 9. 当选择不同的能量零点时，粒子第 l 个能级的能量可以取为le 或*le 。以表两者之差l le e - = D*，试证明相应配分函数存在以下关系 z e zD -= * b，并探讨由配分函数 z 和*z 求得的热力学函数有何差异。证

15、明：当取能级为le 时，-=llle Zbew ，当取*le 时， ( )Z e e e ZlllllD - D + - - *= = = *b e b bew w 证毕 探讨：D - =*b Z Z ln ln则：D + =D - =- =*N UZNZN Ub bln ln PVZ NVZ NP =*ln lnb b D - D - =- =* *bb bbbZZ NkZZ Nk SlnlnlnlnSZZ Nk =- =bblnln可见子系能级的零点选取不同并不影响状态方程和熵函数，但对内能的数值有影响。10. 晶体中含有 N 个原子，原子在晶体中的位置如图中的 0 所示，当原子离开正常位

16、置而占据图中的位置时，晶体中就出现缺位和填隙原子，晶体中的这种缺隙称为夫伦克尔(Frenkel)缺陷。(1) 假设正常位置和填隙位置的数目都是 N。试证明由于在晶体中形成 n 个缺位和填隙原子而具有的熵等于 )! ( !ln 2n N nNk S-=(2) 设原子在填隙位置和正常位置的能量差为 u 。试由自由能 TS nu F - = 为微小的条件证明，在温度为 T 时，缺位和填隙原子数为 kTuNe n2-（设 N n ，则：kT Nn2lnm- =所以 kTNe n2m-= 11. 假如原子脱离晶体内部的正常位置而占据表面上的正常位置，构成新的一层，晶体将出现缺位，晶体的这种缺陷叫肖脱基(

17、Shottky)缺陷。以 N 表示晶体中正常原子数， n 表示晶体中的缺陷位数。假如忽视晶体体积的改变，试由自由能为微小的条件证明，在温度为 T 时 kTWNe n-（设 N n ）其中 W 为原子在表面位置与正常位置的能量差。(提示：当晶体中出现 n 个肖脱基缺陷时，共有 N+n 个正常位置出现 n 个缺位有多少种可能状况。) 解：在 n N + 个正常位置中有 n 个缺位，有( )! !N nn N +种。则 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N N N n n n n N n N n N kN N N n n n n N n N n N kn Nn N

18、k S+ - + - + - + + =- - - - + - + + =+=ln ln lnln ln ln! !ln 由 TS nW F - = 得 ( ) 0 ln ln ln ln = - - - + - =n N Tk W n n N Tk WnF 即：kTWNn- = ln ，则：kTWNe n-= 。12. 若气体以恒速0v 沿 z 方向作整体运动，求分子的平均平动能量。假设KT =+-= =-全取正向即正反向各有kT HN kT HNeeN N MkTHkTHmmmm mmm2 / 0112218. 由 N 个粒子组成的志向气体，每个粒子只能处于能量为1e ，2e 的两个状态之

19、一，且2 1e e =m vm vn/ 2 0/ 2 1) (00mme因为 N 很大，N(v x , v y , v z )/N 就代表一个粒子落在 dv x dv y dv z 内的概律，于是 z y xz y xx xdv dv dvNv v v Nv v=) , , ( 作球坐标变换 qj qj qcossin sincos sinv vv vv vxyx= v v xv yv zqj有 =p pq j q q j20 0 020 sin) , , (cos sin) , , (vz y xz y xz y xx xdv v v v v f v d ddv dv dvNv v v Nv

20、 v 留意到 0 cos20=j jpd ，所以 0 =xv 。(2) =p pp pq q j jq j q q j20 0 04 3 220 0 02 22 200 ) , , (sincos sin) , , () cos sin () , , (vz y xvz y xz y x z y x x xdv v v vf v d ddv v v v v f v d ddv dv dv v v v f v v 留意到 p j jp=d202 cos及 3 / 4sin03=q qpd ，有 2 / 5033503304 22154154 ) , , (340= = =m nhmvnhmdvNv v v N v vvz y xxm p pp因为 3 / 220832=VNmhpm ，所以