《2022年高考数学专题函数的对称性周期性及其应用-备战高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高考数学专题函数的对称性周期性及其应用-备战高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展.docx（40页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -专题 05函数的对称性、周期性及其应用【热点聚焦与扩展】高考对函数性质的考查往往是综合性的,如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查,因此,复习过程中应留意在把握常见函数图象和性质的基础上,留意函数性质的综合应用的演练.（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称仍是中心对称,均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（ 1） faxfaxfx 关于 xa 轴对称（当a0 时,恰好就是偶函数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） faxfbxfx
2、 关于abx轴对称2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在已知对称轴的情形下,构造形如faxfbx的等式只需留意两点,一是等式两侧f 前面的符号可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_相同, 且括号内 x 前面的符号相反. 二是a, b 的取值保证xab 为所给对称轴即可.例如： fx 关于 x1 轴 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对称fxf2x,或得到f3xf1x均可,只是在求函数值方面,一侧是fx 更为便利可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3） fxa是偶函数,就fxafxa ,进而可
3、得到：fx 关于 xa 轴对称 . 要留意偶函数是指自变量取相反数,函数值相等,所以在fxa中, x 仅是括号中的一部分,偶函数只是指其中的x 取相反数时,函数值相等,即fxafxa ,要与以下的命题区分：如 fx 是偶函数,就fxafxa： fx 是偶函数中的x 占据整个括号,所以是指括号内取相反数,就函数值相等,所以有fxafxa本结论也可通过图像变换来懂得,fxa是偶函数,就fxa关于 x0 轴对称,而fx可视为fxa平移了 a 个单位（方向由a 的符号打算） ,所以fx关于 xa 对称 . 2、中心对称的等价描述：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） faxfaxf
4、x 关于a,0中心对称（当a0 时,恰好就是奇函数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2） faxfbxfx 关于ab ,02中心对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 20 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -在已知对称中心的情形下,构造形如faxfbx的等式同样需留意
5、两点,一是等式两侧f 和 x 前可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_面的符号均相反.二是a, b 的取值保证xab 为所给对称中心即可.例如：fx关于1,0中心对称2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fxf2x ,或得到f3xf5x均可,同样在求函数值方面,一侧是fx 更为便利可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3） fxa是奇函数,就fxafxa ,进而可得到：fx 关于a,0中心对称.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 要留意奇函数是指自变
6、量取相反数,函数值相反,所以在fxa中, x 仅是括号中的一部分,奇函数只是指其中的x 取相反数时,函数值相反,即fxafxa ,要与以下的命题区分：如 fx 是奇函数,就fxafxa： fx 是奇函数中的x 占据整个括号,所以是指括号内取相反数,就函数值相反,所以有fxafxa 本结论也可通过图像变换来懂得,fxa是奇函数,就fxa关于0,0中心对称,而fx 可视为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fxa平移了 a 个单位（方向由a 的符号打算） ,所以fx关于a,0对称.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”,即一旦
7、函数具备对称性,就只需要分析一侧的性质,便可得到整个函数的性质,主要表达在以下几点：（ 1）可利用对称性求得某些点的函数值（ 2）在作图时可作出一侧图像,再利用对称性得到另一半图像（ 3）极值点关于对称轴（对称中心）对称（ 4）在轴对称函数中,关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反.在中心对称函数中,关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同（二）函数的周期性1、定义：设fx 的定义域为D ,如对xD ,存在一个非零常数T ,有 fxTfx,就称函数fx是一个周期函数,称T 为 fx 的一个周期2、周期性的懂得：可懂得为间隔为T 的自变量函数值相等3、如 fx 是一个周期函数,就fxTfx,那么
8、fx2TfxTfx,即 2T 也是 fx 的一个周期,进而可得：kTkZ也是 fx 的一个周期4、最小正周期：正由第3 条所说, kTkZ也是 fx 的一个周期,所以在某些周期函数中,往往查找周期可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 20 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -中最小的正数,即称为最小正周期.然而并非全部的周期函数都有最小正周期,比如常值函数fxC5、函数周期性的判定：（
9、 1） fxafxb：可得fx为周期函数,其周期Tba（ 2） fxafxfx的周期 T2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：直接从等式入手无法得周期性,考虑等间距再构造一个等式：fx2afxa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以有：fx2afxafxfx,即周期 T2a注：遇到此类问题,假如一个等式难以推断周期,那么可考虑等间距再列一个等式,进而通过两个等式看能否得出周期可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）fxa1fx fx的周期 T2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析
10、：fx2 a1 1fx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fxa1fx（ 4） fxfxak （ k 为常数）fx的周期 T2 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：fxfxak ,fxafx2ak ,两式相减可得：fx2afx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 5） fxfxak （ k 为常数）fx 的周期 T2a（ 6）双对称出周期： 如一个函数fx 存在两个对称关系, 就 fx是一个周期函数, 详细情形如下：（假设 ba ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 如 fx 的图像关于xa , xb 轴对称,就fx 是周期函数,周期
11、T2 ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析：fx 关于 xa轴对称fxf2ax可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx 关于 xb 轴对称fxf2bx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f2axf2bxfx的周期为 T2b2a2 ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 如 fx 的图像关于a,0,b,0中心对称,就fx 是周期函数,周期T2 ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 如 fx 的图像关于xa 轴对称,且关于b,0中心对称,就fx 是周期函数,周期T4 ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7、函
12、数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”,只要明白一个周期的性质,就得到整个函数的性质.（ 1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整,进而利用已知条件求值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 20 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 2）图像：只要做出一个周期的函数图象,其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”（ 3）单调区间： 由于间隔 kTkZ的函数图象相同, 所以如
13、 fx 在a,bbaT上单调增（减）,就 fx在akT ,bkTkZ上单调增（减）（ 4）对称性：假如一个周期为T 的函数fx 存在一条对称轴xa（或对称中心） ,就 fx存在很多条对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_称轴,其通式为xakTkZ 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：fx关于 xa 轴对称fxf2ax可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 fx 的周期为 Tfxk Tfx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fxkTf2axfx关于xakT 轴对称2可编辑资料 - - - 欢
14、迎下载精品_精品资料_注：其中（ 3）（4）在三角函数中应用广泛,可作为检验答案的方法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【经典例题】例 1【2022 山东,文14】已知 fx是定义在 R 上的偶函数 ,且 fx+4= fx-2. 如当 x3,0时, f x6 x , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f919=.【答案】 6【解析】【名师点睛】与函数奇偶性有关问题的解决方法已知函数的奇偶性,求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解已知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量,转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于fx的方程 组
15、,从而得到 fx的解析式已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的值经常利用待定系数法：利用fx f x 0 得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的值或方程求解应用奇偶性画图象和判定单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判定另一区间上的单调性例 2. 对于函数yfx,部分 x 与 y 的对应关系如表：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 20 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - -
16、- -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列x满意：x1,且对于任意nN * ,点x , x都在函数 yfx的图象上,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1nn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 x1x2x2022x2022x2022的值为 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案】 7564【名师点睛】周期数列是周期现象的应用,周期数列问题在高考中常显现这类试题综合性强一般会融汇数列,数论,函数等学问解题,方法敏捷多变,具有较高的技巧性同学应进行相关的培训,才能在应对这些试题时有比较好的把握例 3. 【2022 届山西省康杰中学
17、高三上学期第一次月考】定义在 R 上的函数 f x 满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fxfx, fxfx4 , 且 x1,0时,fxx12, 就 f5log 2 20 =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 1B.45C.1D.45可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案】 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】fxfx , 就 x0,1 时,x1,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ fxfx2 x12 x1 0x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_55可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品
18、资料_ 242025可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 4log2 205,即 0log2 2041 fxfx4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 20 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ flog20flog2042log 2 20 4111611可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22应选 C.5205可
19、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1fx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4. 定义在 R 上的函数fx 对任意 xR ,都有 fx2, f2, 就 f2022等于（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1A.B.41fx4113C.D.235可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案】 D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】由fx21fx1 fx及所求f2022可联想到周期性,所以考虑可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1fx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx41fx21fxfx,所以
20、fx 是周期为4 的周期函数,故f2022f4 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1fx211fx1fx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而由已知可得f41f231f25,所以f20223 .5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5【高考题】 定义在 R 上的函数fx 满意 fxlog 2 1xfx1, x0 fx2 , x,就 f02022的值为 （）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.1B.0C.1D.2【答案】 Cf2022f5f2
21、 ,而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f2f1f0f0f1f0f11 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【名师点睛】（ 1）此题的思路依旧是将无解析式的自变量通过函数性质向含解析式的自变量靠拢,而 x2022 数较大,所以考虑判定函数周期性.（ 2）如何快速将较大自变量缩至已知范畴中？可利用带余除法除以周期,观看余数.就被除数的函数值与余数的函数值相同,而商即为被除数利用周期缩了多少次达到余数.例如此题中202263345 ,从而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 20 页 -
22、 - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -f2022f5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）此题推导过程中fxfx3 也有其用处, 其含义是间隔为3 的自变量函数值互为相反数,相比周期,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_它的间隔更小,所以适用于利用周期缩小自变量范畴后,进行“微调”从而将自变量放置已知区间内.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6. 已知 fx 是定义在R 上的函数,满意fxfx0, fx1fx1,当 x0,1 时
23、,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fxx2x ,就函数fx 的最小值为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1A.B.4111C.D.422可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案】 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7. 已知定义域为R 的函数fx满意fxfx4 ,且函数fx在区间2,上单调递增,假如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x12x2 ,且 x1x24 ,就fx1
24、fx2的值（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.可正可负B.恒大于 0C.可能为 0D.恒小于 0【答案】 D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【解析】思路一：题目中给了单调区间,与自变量不等关系, 所求为函数值的关系,从而想到单调性, 而 x1x24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可得 x24x1 ,由于x12 ,所以 4x12 ,进而将x2 ,4x1 装入了2,中,所以由x24x1 可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx2f4x1,下一步需要转化f4x1,由 fxfx4可得 fx关于2,0中心对称,所可编辑资料 - - -
25、欢迎下载精品_精品资料_以有 f4xfx. 代入 x1可得 f4x1fx1,从而fx2fx1fx1fx20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_思路二：此题运用数形结合更便于求解. 先从fxfx4分析出fx关于2,0中心对称,令x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_代入到fxfx4可得 f20 .中心对称的函数对称区间单调性相同,从而可作出草图. 而可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 20 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料w
26、ord 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx4x1x22 ,即 x, x 的中点位于x2 的左侧, 所以x 比 x距离 x2 更远, 结合图象便可分析可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1212122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_出 fx1fx2恒小于 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【名师点睛】 （ 1）此题是单调性与对称性的一个结合,入手点在于发觉条件的自变量关系,与所求函数值关系, 而连接它们大小关系的“桥梁”是函数的单调性,所以需要将自变量装入同一单调区间内.而
27、对称性起到一个将函数值等价转化的作用,进而与所求产生联系.（ 2）数形结合的关键点有三个：第一个是中心对称图像的特点,不仅仅是单调性相同,而且是呈“对称”的关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_系,从而在图像上才能看出fx1fx2的符号.其次个是f20 ,进而可知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2, fx0;x,2, fx0 .第三个是x1x242 ,既然是数形结合,就题中2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_条件也要尽可能转为图像特点,而 x1x2
28、4 表现出中点的位置,从而能够判定出x1 , x2 距离中心对称点的远近.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 8. 已知定义域为R 的函数 yfx在 0,7 上有 1 和 6 两个零点,且yfx2 与 yfx7都是偶可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数,就yfx在 0,2022 上的零点个数至少有（）个A.404B.804C.806D.402【答案】 C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：fx2 , fx7 为偶函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
29、_精品资料_fx2fx2 , fx7fx7fx关于 x2, x7 轴对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx为周期函数,且T27210将 0,2022 划 分为0,1010,202022,20222022,2022可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx关于 x2, x7 轴对称fxf4x , fxf14x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f1f60f8f148f60f3f43f10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 0,10 中只含有四个零点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料
30、_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 20 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -而 0,1010,202022,2022 共 201 组所以 N2014804可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 2022,2022 中,含有零点f2022f10, f2022f30 共两个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以一共有806 个零点 .【名师点睛】（ 1）周期函数处理零点个数时,可以考虑先统计一个周期的零点
31、个数,再看所求区间包含几个周期,相乘即可 . 假如有不满一个周期的区间可单独统计.（ 2）在为周期函数分段时有一个细节：“一开一闭” ,分段的要求时“不重不漏”,所以在给周期函数分段时,一端为闭区间,另一端为开区间,不仅达到分段要求,而且每段之间保持队型,结构整齐,便于分析.（ 3）当一个周期内含有对称轴（或对称中心）时,零点的统计不能仅限于已知条件,而要看是否由于对称产生新的零点.其方法一是可以通过特别值的代入,二是可以通过图像,将零点和对称轴标在数轴上,看是否有由对称生成的零点（这个方法更直观,不易丢解） .例 9【2022 届安徽省六安市第一中学高三上学期第五次月考】设函数 f x 是定
32、义在 R 上的偶函数,且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx2f2x ,当 x2,0 时,fxx21 ,如在区间2,6内关于 x 的方程2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fxlog ax20a0,a1 有且只有4 个不同的根,就实数a 的取值范畴是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.1 ,14B.1,4C.1,8D.8,+可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案】 D【解析】f2xf2x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资
33、料_函数fx 图象的对称轴为x2 ,即fxfx4,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 20 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在区间2,6内方程fxlog ax20 a0,a1 有且只有4 个不同的根,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 yfx和 ylog ax2的图象在区间2,6内仅有 4 个不同的公共点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -