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1、精品_精品资料_高中数学必修1知识点第一章函数概念（ 1）函数的概念设 A 、 B 是两个非空的数集,假如依据某种对应法就f ,对于集合 A 中任何一个数 x ,在集合 B 中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_都有唯独确定的数f x 和它对应,那么这样的对应（包括集合A , B 以及 A 到 B 的对应法就 f ）叫做集合可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 到 B 的一个函数,记作f : AB 函数的三要素 : 定义域、值域和对应法就只有定义域相同,且对应法就也相同的两个函数才是同一函数（ 2）区间的概念及表示法设 a, b 是两个实数, 且 ab ,满意 axb
2、 的实数 x 的集合叫做闭区间, 记做 a, b .满意 axb的实数 x 的集合叫做开区间,记做a,b .满意 axb ,或 axb 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分 别 记 做 a,b, a, b. 满 足xa, xa, xb, xb的 实 数x 的 集 合 分 别 记 做可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a, a, b, b 留意：对于集合 x | axb 与区间 a,b ,前者 a 可以大于或等于b ,而后者必需ab ,（前者可以不成立,为空集.而后者必需成立）（ 3）求函数的定义域时,一般遵循以下原就： f x 是
3、整式时,定义域是全体实数 f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数 f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ytan x 中, xkkZ 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_零（负）指数幂的底数不能为零如 f x 是由有限个基本初等函数的四就运算而合成的函数时,就其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于求复合函数定义域问题,一般步骤是：如已知f x 的定义域为 a,
4、b ,其复合函数f g x 的定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_义域应由不等式ag xb 解出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于含字母参数的函数,求其定义域,依据问题详细情形需对字母参数进行分类争论由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,仍要符合问题的实际意义（ 4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上,假如在函数的值域中存在一个最小（大）数,这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：观看法：对
5、于比较简洁的函数,我们可以通过观看直接得到值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后依据变量的取值范畴确定函数的值域或最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_判别式法： 如函数yf x可以化成一个系数含有y 的关于 x 的二次方程a y x2b y xc y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就在 a y0 时,由于x, y 为实数,故必需有b2 y4 a yc y0 ,从而确定函数的值域或最可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_值不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：通
6、过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的,三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法（ 5）函数的表示方法表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 6）映射的概念设 A 、 B 是两个集合,假如依据某种对应法就f ,对于集合 A 中任何一个元素,
7、在集合B 中都有唯独的元素和它对应,那么这样的对应 （包括集合 A , B 以及 A 到 B 的对应法就 f ）叫做集合 A 到 B 的映射,记作 f : AB 给定一个集合A 到集合 B 的映射,且 aA, bB 假如元素 a 和元素 b 对应,那么我们把元素b 叫做元素 a 的象,元素 a叫做元素 b 的原象（ 6）函数的单调性定义及判定方法函 数的定义图象判定方法性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1 、x 2,（ 1 ）利用定义（ 2 ）利用已知函数的单调性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资
8、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函 数当 x1x2 时 , 都 有（ 3 ）利用函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的fx1fx2,那么就说 fx单 调在这个区间上是增函数y y=fXfx1 fx2 图象（在某个区间图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ox1x 2 x性象 上 升 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_增）（ 4 ）利用复合函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1 ）利用定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x 1、x 2,yfx1 y=f
9、X（ 2 ）利用已知函数的单调性（ 3 ）利用函数图象（在某个区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x1fx2,那么就说 fx在这个区间上是减函数象下降为减）（ 4 ）利用复合可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数在公共定义域内,两个增函数的和是增函数,两个减函数的和是减函数,增函数减去一个减函数为增函数,减函数减去一个增函数为减函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于复合函数yf g x ,令ug x ,如yf u 为增,ugx 为增,就yf g x 为增.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精
10、品资料_如 yfu 为减,ug x 为减, 就yf g x 为增. 如yf u为增, ug x 为减, 就yf g x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为减.如 yf u为减,ug x 为增,就 yf gx 为减a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 7）打“”函数f xx a0 的图象与性质yx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x 分别在 ,a 、a, 上为增函数,分别可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
11、_精品资料_在 a,0 、 0,a 上为减函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 8）最大（小）值定义一般的,设函数oxyf x 的定义域为 I ,假如存在实可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数 M 满意：（ 1）对于任意的 xI ,都有 f xM .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2 ）存在 x0I ,使得f x0 M 那么,我们称M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是函数f x 的最大值,记作fmax xM 可编辑资料 - - -
12、欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般的, 设函数yf x的定义域为 I ,假如存在实数m满意：（ 1 ）对于任意的 xI ,都有f xm .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2 ）存在 x0I ,使得f x0 m 那么,我们称 m是函数f x 的最小值,记作fmax xm 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 9）函数的奇偶性定义及判定方法函 数的定义图象判定方法性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如对于函数 fx 定义域内任意一个 x,都有f x=fx,
13、那 么函 数fx 叫做奇函数函 数的（ 1 ）利用定义（要先判肯定义域 是 否 关 于 原 点 对称）（ 2 ）利用图象（图象关于原点对称）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_奇 偶假如对于函数 fx 定性义域内任意一个 x,都有f x=fx,那么函数 fx叫做偶函数（ 1 ）利用定义（要先判肯定义域 是 否 关 于 原 点 对称）（ 2 ）利用图象（图象关于 y 轴对称）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如函数f x 为奇函数,且在 x0 处有定义,就f 00 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同,偶函数在y 轴
14、两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内,两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数）,两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其次章基本初等函数 2.1 指数函数【 2.1.1 】指数与指数幂的运算（ 1）根式的概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如 xna, aR, xR,n1 ,且 nN ,那么 x 叫做 a 的 n次方根当 n是奇数时, a 的 n次方根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用符号 n a 表示.当 n 是偶数时,正数a 的正的 n次方根
15、用符号 n a 表示,负的 n 次方根用符号n a 表示. 0的 n次方根是 0 .负数 a 没有 n次方根式子 n a 叫做根式,这里n 叫做根指数, a 叫做被开方数当 n 为奇数时, a为任意实数.当 n为偶数时, a0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnnnnaa0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_根式的性质： aa .当 n 为奇数时,aa .当 n 为偶数时,a| a |aa0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）分数指数幂的概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正数的正分数指数幂的意义是：ma nn am a0,
16、m, nN, 且 n1) 0 的正分数指数幂等于0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m1 m1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正数的负分数指数幂的意义是：an nnma0, m, nN, 且 n1 0 的负分数指数幂可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aa没有意义留意口诀：底数取倒数,指数取相反数rs（ 3）分数指数幂的运算性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ arasar s a0, r , sR a a rs a0, r , sR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ abrar br a0, b0, rR可编辑资料 -
17、 - - 欢迎下载精品_精品资料_【 2.1.2 】指数函数及其性质（ 4）指数函数函数名称指数函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x定义函数 ya a0 且 aa11 叫做指数函数0a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图象xyyay1ya x0,1y1y0,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义域R值域0,过定点图象过定点0,1 ,即当x0 时,y1 奇偶性非奇非偶单调性在 R 上是增函数在 R 上是减函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数值的变化情形a x1 x0xa1 x0a x1 x0ax1 x0xa1 x0ax1 x0
18、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a变化对 图 象 的影响在第一象限内, a 越大图象越高.在其次象限内,a 越大图象越低可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.2 对数函数【2.2.1 】对数与对数运算（ 1）对数的定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 axN a0, 且a1 ,就 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 xlog aN ,其中 a 叫做底数,N 叫可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_做真数负数和零没有对数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对数式与指数式的互化
19、：xlog aNa xN a0, a1, N0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 2）几个重要的对数恒等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_log a 10 , log a a1 , log abb 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a（ 3）常用对数与自然对数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_常用对数： lg N ,即log10N .自然对数： ln N ,即 log e N （其中 e2.71828）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4）对数的运算性质假如 a0,
20、a1,M0, N0 ,那么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_加法： logMlogNlog MN 减法： logMlogNlogM可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aaaaaaN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数乘：n log a Mlog aM n nRlog a NaN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n log ab Mn log bM b0, nR换底公式：log a Nlog b N
21、b log b a0, 且b1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a【2.2.2 】对数函数及其性质（ 5 ）对数函数函数对数函数名称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义函数 ylog axa0 且 a1 叫做对数函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a10a1图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yx1yloga xyx1 yloga x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_O1,0x1,0Ox可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义域0,值域 过定点R图象过定点 1
22、,0 ,即当x1 时,y0 奇偶性非奇非偶单调性在 0, 上是增函数在 0, 上是减函数logax0x1logax0x1logax0x1logax0 x1logax00x1logax00x1图 象 的函数值的变化情形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a变化对影响在第一象限内, a 越大图象越靠低. 在第四象限内, a 越大图象越靠高可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6 反函数的概念可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设函数yf x 的定义域为 A ,值域为 C ,从式子yf x 中解出 x ,得式子 x y假如对于 y 在可编辑资料 - - - 欢迎下载
23、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C 中的任何一个值, 通过式子 x y,x 在 A 中都有唯独确定的值和它对应,那么式子 x y 表示 x是 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的函数,函数x y叫做函数yf x 的反函数,记作x f 1 y ,习惯上改写成y f1 x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 7）反函数的求法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_确定反函数的定义域,即原函数的值域.从原函数式yf x中反解出 xf1 y .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精
24、品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将 xf1 y 改写成 yf1 x ,并注明反函数的定义域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 8）反函数的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_原函数yf x与反函数 yf1x 的图象关于直线yx 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数yf x的定义域、值域分别是其反函数yf1 x 的值域、定义域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 Pa,b在原函数yf x 的图象上,就P b,a
25、在反函数yf 1 x的图象上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般的,函数yf x 要有反函数就它必需为单调函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.3 幂函数（ 1）幂函数的定义一般的,函数 yx 叫做幂函数,其中x 为自变量,是常数（ 2）幂函数的图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）幂函数的性质图象分布： 幂函数图象分布在第一、二、三象限, 第四象限无图象 幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限 图象关于 y 轴对称 .是奇函数时,图象分布在第一、三象限图象关于原点对称 .是非奇非偶函数时
26、, 图象只分布在第一象限过定点：全部的幂函数在0, 都有定义,并且图象都通过点1,1 单调性：假如0 ,就幂函数的图象过原点,并且在0, 上为增函数假如0 ,就幂函数的图象在 0, 上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x 轴与 y 轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_奇偶性：当为奇数时,幂函数为奇函数,当为偶数时,幂函数为偶函数当q（其中pp, q 互质,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_p 和 qZ ）,如 p 为奇数 q 为奇数时, 就qqyx p 是奇函数, 如 p 为奇数 q 为偶数时, 就qyx p 是偶函
27、数, 如 p可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为偶数 q 为奇数时,就yx p 是非奇非偶函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图象特点：幂函数yx , x0,当1 时,如 0x1,其图象在直线 yx 下方,如 x1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其图象在直线 yx 上方, 当1时,如 0x1,其图象在直线 yx 上方, 如 x1 ,其图象在直线 yx 下可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方补充学问二次函数（ 1）二次函数解析式的三种形式
28、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 一 般 式 ：f xax2bxca0 顶 点 式 ：f xaxh2k a0 两 根 式 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xaxx1 xx2 a0 （ 2 ）求二次函数解析式的方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知三个点坐标时,宜用一般式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时,常使用顶点式如已知抛物线与x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求f x 更便利（ 3）二次函数图象的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 二 次 函 数f xax2bxca0 的 图 象 是
29、 一 条 抛 物 线 , 对 称 轴 方 程 为 xb, 顶 点 坐 标 是2 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b4 acb 2, 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2a4 a当 a0 时,抛物线开口向上,函数在,b 上递减,在 2ab , 上递增,当xb时,2a2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fmin x4 acb 24 a.当 a0 时,抛物线开口向下, 函数在 ,b 2ab上递增,在, 2a上递减,当 xb 2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下
30、载精品_精品资料_时, fmax x4acb24a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 二 次 函 数f xax2bxca0当b24ac0 时 , 图 象 与 x 轴 有 两 个 交 点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_M1x1,0,M2x2,0,|M1M2 | |x1x2 |a|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 4）一元二次方程ax 2bxc0a0 根的分布可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一
31、元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分学问在中学代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统的来分析一元二次方程实根的分布可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设一元二次方程ax2bxc0a0 的两实根为x1, x2 ,且bx1x2 令f xax2bxc ,从以下可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四个方面来分析此类问题：开口方向：a 对称轴位置： x k x1x2判别式：端点函数值符号2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf k0a0Oxyxb2akxOx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k1x 2x12x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bf k0xa02a x1x2 k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ya0fOx 2x1k 0k xyxb2aOkx1x2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精