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1、40 平面向量的数量积教材分析两个向量的数量积是中学代数以往内容中从未遇到过的一种新的乘法，它区别于数的乘法这篇案例从学生熟知的功的概念出发，引出平面向量数量积的概念和性质及其几何意义，介绍向量数量积的运算律及坐标表示向量的数量积把向量的长度和三角函数联系在一起，这为解决三角形的有关问题提供了方便，特别是能有效解决线段的垂直等问题这节内容是整个向量部分的重要内容之一，对它的理解与掌握将直接影响向量其他内容的学习这节内容的教学难点是对平面向量数量积的定义及运算律的理解和对平面向量数量积的应用教学目标1. 理解并掌握平面向量的数量积、几何意义和数量积的坐标表示，会初步使用平面向量的数量积来处理有关
2、长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件2. 通过对数量积的引入和应用，初步体会知识发生、发展的过程和运用过程，培养学生的科学思维习惯任务分析两个向量的数量积从形式和实质上都与数的乘法有区别，这就给理解和掌握这个概念带来了一些困难在学习时，要充分让学生理解、明白两个向量的数量积是一个数量，而不是向量两个向量的数量积的值是这两个向量的模与两个向量夹角余弦的乘积，其符号由夹角余弦值的正负而确定两向量的数量积“ab”不同于两实数之积“ab”通过实例理解abbc与ac的关系，ab0与a0或b0的关系，以及（ab）ca（bc）与（ab）ca（bc）的不同教学设计一、问题情景如图40-1所示，一个力f作
3、用于一个物体，使该物体发生了位移s，如何计算这个力所做的功由于图示的力f的方向与前进方向有一个夹角，真正使物体前进的力是f在物体前进方向上的分力，这个分力与物体位移的乘积才是力f做的功即力f使物体位移x所做的功W可用下式计算Wsfcos其中fcos就是f在物体前进方向上的分量，也就是力f在物体前进方向上正射影的数量问题：像功这样的数量值，它由力和位移两个向量来确定我们能否从中得到启发，把“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？二、建立模型1. 引导学生从“功”的模型中得到如下概念：已知两个非零向量a与b，把数量abcos叫a与b的数量积（内积），记作ababcos其中是a与b夹角，acos（b
4、cos）叫a在b方向上（b在a方向上）的投影规定0与任一向量的数量积为由上述定义可知，两个向量与的数量积是一个实数说明：向量a与b的夹角是指把a，b起点平移到一起所成的夹角，其中0当时，称a和b垂直，记作ab为方便起见，a与b的夹角记作a，b2. 引导学生思考讨论根据向量数量积的定义，可以得出（1）设e是单位向量，aeacosa，e（2）设ab是非零向量，则abab0（3）aaa2，于是a.（4）cosa，b.（5）abab（这与实数abab不同）三、解释应用例题已知a5，b4，a，b120，求ab解：ababcosa，b54cos12010练习1. 已知a3，在上的投影为2，求：（1）a（2
5、）a在b上的投影2. 已知：在ABC中，a5，b8，c60，求四、建立向量数量积的运算律1. 出示问题：从数学的角度考虑，我们希望向量的数量积运算，也能像数量乘法那样满足某些运算律，这样数量积运算才更富有意义回忆实数的运算律，你能类比和归纳出向量数量积的一些运算律吗？它们成立吗？为什么？2. 运算律及其推导已知：向量a，b，c和R，则（1）abba（交换律）证明：左abcos右（2）（a）b（ab）a（b）（数乘结合律）证明：设a，b夹角为，当0时，a与b的夹角为，（a）b（a）bcosabcos（ab）；当0时，a与b的夹角为（），（a）babcos（）ab（cos）abcos（ab）；当0
6、时，（a）b0b0（ab）总之，（a）b（ab）；同理a（b）（ab）（3）（ab）cacbc（乘法对加法的分配律）证明：如图40-2，任取一点O，作a，cab（即）在c方向上的投影等于a，b在c方向上的投影的和，即abcosacos1bcos2，cabcosc（acos1bcos2）cacos1cbcos2cacb，（ab）cacbc思考：（1）向量的数量积满足结合律，即（ab）ca（bc）吗？（2）向量的数量积满足消去律，即如果abcb，那么ac吗？五、应用与深化例题1. 对实数a，b，有（ab）2a22abb2，（ab）（ab）a2b2类似地，对任意向量a，b，也有类似结论吗？为什么？解
7、：类比完全平方和公式与平方差公式，有（ab）2a22abb2，（ab）（ab）a2b2其证明是：（ab）2（ab）（ab）aaabbabba22abb2，（ab）（ab）aaabbabba2b2有类似结论2. 已知a6，b4，a，b60，求（a2b）（a3b）解：（a2b）（a3b）a23ab2ba6b2a2abcos606b2723. 已知a3，b4，且a与b不共线当k为何值时，（akb）（akb）？解：（akb）（akb），即（akb）（akb）0，即a2k2b20，即9k2160，k因此，当k时，有（akb）（akb）4. 已知：正方形ABCD的边长为1，并且a，b，c，求abc解法1：
8、abc2，abc22解法2：abc2（abc）2a2b2c22ab2ac2bc112211cos9021 218，abc2练习1. a4，b3，（2a3b）（2ab）61，求a与b的夹角2. 在边长为2的正三角形ABC中，求六、拓展延伸1. 当向量a，b的夹角为锐角时，你能说明ab的几何意义吗？如图40-3，ab，即以b在a上射影的长和的长为两邻边的矩形面积（OAOA1）2. 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型，如图40-4，试说明平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系3. 三个单位向量a，b，c有相同终点且abc0，问：它们的起点连成怎样的三角形？解法1：如图40-5，abc1
9、，abc0，abc，（ab）2（c）2，a2b22abc2，2abcosAOC1，cosAOC，AOC120同理BOCAOC120，故AOB，BOC，BOC全等，ABACBC，即该ABC为等边三角形解法2：如图40-6，c，a，b，由abc0，即ab1，OADB为菱形又1，AOB120同理AOCBOC120，4. 在ABC中，问：O点在ABC的什么位置？解：由，即（）0，即0，同理，故O是ABC的垂心点评这篇案例的一个突出特点是使用类比方法，即在研究向量的数量积的性质及运算律时，经常以实数为对象进行类比以物理学中的力对物体做功的实例，引入数量积的过程比较自然，学生容易接受在“拓展延伸”中，较多地展示了向量的综合应用这都充分体现了向量是数形结合的重要载体运用向量方法解决与向量有关的综合问题，越来越成为考查学生数学思维能力的一个重要方面认识向量并会使用向量是这一部分的基础，也是重点总之，这篇案例较好地实现了教学目标，同时，关注类比方法的运用，以及学生数学思维水平的提高美中不足的是，对学生的自主探究的引导似乎有所欠缺