《2022年《复变函数》考试试题与答案各种总结 .docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年《复变函数》考试试题与答案各种总结 .docx（41页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、判定题 20 分:复变函数考试试题 一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、如 fz在 z 0 的某个邻域内可导, 就函数 fz在 z 0 解析、2、有界整函数必在整个复平面为常数、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、如zn Re收敛, 就zn Im与zn 都收敛、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、如 fz在区域 D内解析 , 且f z0 , 就f zC 常数 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、如函数 fz在 z
2、0 处解析 , 就它在该点的某个邻域内可以绽开为幂级数、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z6、如 z 0 就是 f的 m阶零点 , 就 z 0 就是 1/f z 的 m阶极点、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim f z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7、如 zz0存在且有限 , 就 z0 就是函数 fz的可去奇点、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8、如函数 fz在就是区域 D 内的单叶函数 , 就f z0zD 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -
3、- 欢迎下载精品_精品资料_9、 如 f z在区域 D 内解析 , 就对 D 内任一简洁闭曲线Cf zdz0 、C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10、如函数 fz在区域 D 内的某个圆内恒等于常数, 就 fz在区域 D 内恒等于常数、 二、填空题 20 分dz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、 |zz0 |1 zz n 、 n 为自然数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、0sin 2 zcos2z 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料
4、_3、函数sin z 的周期为、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、设f z1z21 , 就f z 的孤立奇点有、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、幂级数nz n 的收敛半径为、n 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、如函数 fz在整个平面上到处解析, 就称它就是、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim zlim z1z2.zn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n7、如 n, 就 nn 、可编辑资料 - - - 欢迎下
5、载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Re s8、ezn ,0z, 其中 n 为自然数、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin z9、z的孤立奇点为、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lim f z 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10、如z0 就是f z的极点 , 就 zz0、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、运算题 40 分:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、 设f z1 zdz.11 z2 , 求f z 在 D z : 0| z |
6、1 内的罗朗展式、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|z|2、1 cosz2f z371 d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、设Cz, 其中 C z :| z |3 , 试求f 1i.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_w4、 求复数z1z1 的实部与虚部、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四、 证明题、 20 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、 函数为常数、f z 在区域 D 内解析、 证明 :假如 |f z|在 D 内为常数 ,那么它在 D 内可编辑资料 - - -
7、 欢迎下载精品_精品资料_2、 试证 :f zz1z 在割去线段 0Rez1 的 z 平面内能分出两个单值解析分支,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_并求出支割线 0Re z1 上岸取正值的那支在z1的值、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一判定题复变函数考试试题 一参考答案可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 2. . . . 6. . . . 10. 二. 填空题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 in1、0n1;2、 1;3、2k, kz ;4、zi ;5、 11可编辑资料 - -
8、 - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、整函数 ;7、;8、1 n1.;9、 0;10、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三.运算题、1、 解由于 0z1,所以 0z1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111zn1z n 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f z z2、 解由于1z21z21zn 022 n 0 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z21Re s f zlimlim1,zzcoszzs
9、in z222z21Re s f zlimlim1 、zzcoszzsin z222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以1dz2 iRe s f zRe s fz0 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z 2 coszzz22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、 解 令3271 , 就它在 z 平面解析 , 由柯西公式有在z3内,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f z dzcz2 iz 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 f 1i 2 iz z 1 i2 i 136i 2 613i 、可编辑资料 - - - 欢迎
10、下载精品_精品资料_4、 解 令 zabi , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_wz11212 a1bi 12a12b、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z1z1 a12b 2 a12b 2a12b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 Re z112a1,Im z12b、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z1 a12b 2z1a12b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四、 证明题、1、 证明 设在 D 内f zC 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 f
11、 zuiv ,2就 f zu 2v2c2 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两边分别对x, y 求偏导数 , 得uuxvvxuuyvvy0102可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于函数在 D 内解析 , 所以 uxvy ,uyvx 、 代入 2 就上述方程组变为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_uux vuxvvx uvx0、消去 ux 得,0u 2v2 vx0 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品
12、资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1) 如 u 2v20 , 就f z0为常数、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2) 如 vx0 , 由方程 1 2及 C.R.方程有 ux0,uy0 ,vy0 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 uc1, vc2 、 c1, c2 为常数 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 f zc1ic 2 为常数、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、 证明f zz1z 的支点为 z0,1
13、、 于就是割去线段0Re z1 的 z 平面内变可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点就不行能单绕 0 或 1 转一周 , 故能分出两个单值解析分支、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于当 z 从支割线上岸一点动身,连续变动到 z0,1时, 只有 z 的幅角增加、 所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f zz1z 的幅角共增加、 由已知所取分支在支割线上岸取正值, 于就是可认为2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_该分支在上岸之幅角为0, 因而
14、此分支在z1 的幅角为, 故 f2i 12e 22i 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_复变函数考试试题 二一.判定题、 20 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、 如函数f zu x, yiv x, y 在 D 内连续,就 ux,y与 vx,y都在 D 内连续、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、 cos z 与 sin z 在复平面内有界、3、 如函数 fz在 z0 解析,就 fz在 z0 连续、4、 有界整函数必为常数、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、 如 z0 就是函数 fz的本性奇点 ,就limf z 肯定不存在、
15、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zz06、 如函数 fz在 z0 可导,就 fz在 z0 解析、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7、 如 fz在区域 D 内解析, 就对 D 内任一简洁闭曲线 Cf z dz0 、C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8、 如数列 zn收敛,就Rezn与Imzn都收敛、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9、 如 f z在区域 D 内解析,就|fz|也在 D 内解析、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10、 存在一个在零点解析的函数fz 使 f
16、10 且 f 1 1 ,n1,2,.、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、 填空题、 20 分n12n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_221、 设zi ,就| z | ,arg z , z 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22、设 f z x2xyi 1sin xy ,zxiyC ,就limf z 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、 |zz0 |1 zdz0z n 、 n 为自然数 z1 i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_
17、精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、 幂级数nnz n 的收敛半径为、0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、 如 z0 就是 fz的 m 阶零点且 m0,就 z0 就是 f z 的零点、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、 函数 ez 的周期为、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7、 方程 2 z5z33z80 在单位圆内的零点个数为、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8、 设f z1,就1 z2f z 的孤立奇点有、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资
18、料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9、 函数f zz| z | 的不解析点之集为、1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10、Res4z,1 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、 运算题、 40 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、 求函数sin 2z3 的幂级数绽开式、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、 在复平面上取上半虚轴作割线、 试在所得的区域内取定函数z在正实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点 zi 处的值、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、运算积分 : I圆
19、、i| z| dz,积分路径为 1单位圆 | z |i1 的右半可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin zdz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、 求z 2 z22 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四、 证明题、 20 分1、 设函数 fz在区域 D 内解析 ,试证:fz在 D 内为常数的充要条件就是D 内解析、2、 试用儒歇定理证明代数基本定理、复变函数考试试题 二参考答案f z 在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一.判定题、1. . . . . 6. . . . 10. 、二、
20、 填空题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、1,i ;2、 31sin 2i ;3、22 in0n1;4、 1;5、 m1 、1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、 2ki , kz 、7、 0;8、i ;9、 R ;10、 0、三、 运算题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、 解sin2 z3 1n2 z3 2n 11n 22n1 z6n 3、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 02 n1.n 02 n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎
21、下载精品_精品资料_i2、 解 令 zre、i2 k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 f zzre2,k0,1 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由于在正实轴去正实值,所以 k0 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 f i ie 4 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、 单位圆的右半圆周为zei ,、22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i2ii2、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以4、 解z dzdee2ii22可编辑资料 - - - 欢迎
22、下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin zdzz 22 i sin z2 i cos z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ z22四、 证明题、zz22 =0、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、 证明 必要性 令f zc1ic 2 ,就f zc1ic2 、 c1,c2 为实常数 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 u x, yc1, v x, yc2 、 就 uxvyuyvx0 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 u, v满意 C.R., 且
23、ux , vy , uy ,vx 连续 , 故f z 在 D 内解析、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 充分性 令f zuiv , 就f zuiv ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 f z 与 f z 在 D 内解析 , 所以可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_uxvy ,uyvx ,且 uxv yvy ,uyvx vx 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_比较等式两边得数、uxvyuyvx0 、 从而在 D 内 u,v 均为常数 ,故f z 在 D 内为常可编辑资料 - - - 欢
24、迎下载精品_精品资料_2、 即要证 “任一n次方程a zna zn 1aza0a0有且只有n 个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_根”、01n 1n0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明 令f za zna zn 1aza0 , 取 Ra1maxn ,1, 当 z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_01n 1naa0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 C :zR 上时, 有za Rn 1aRa aaRn 1a Rn 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_110f z 、n 1n1n0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品
25、资料_00由儒歇定理知在圆zR 内, 方程a zna zn 1an 1zan0 与 a zn0 有相可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同个数的根、 而内有 n 个根、a zn0 在 zR 内有一个n 重根 z0 、 因此 n 次方程在 zR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_复变函数考试试题 三一、 判定题、 20 分 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、 cosz 与 sin z 的周期均为 2k、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、 如f z 在 z0 处满意柯西 - 黎曼条件 ,就
26、 f z 在z0 解析、3、 如函数 f z 在 z0 处解析, 就 f z 在 z0 连续、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、 如数列 zn收敛, 就Rezn 与Imzn都收敛、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、 如函数 f z 就是区域 D内解析且在 D内的某个圆内恒为常数 , 就数 f z 在区域D内为常数、6、 如函数 f z 在 z0 解析, 就 f z 在 z0 的某个邻域内可导、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7、 假如函数 f z 在D z :| z |1 上解析, 且|f z |1| z |1 , 就可编辑资料 - - -
27、欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| f z |1| z |1 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8、 如函数 f z 在 z0 处解析 , 就它在该点的某个邻域内可以绽开为幂级数、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9 、如 z0 就 是f z的 m 阶零 点 ,就 z0 就是 1/f z的 m 阶极 点、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10 、如z0就 是f z的 可 去 奇 点 , 就Res f z, z0 0 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料
28、_二、 填空题、 20 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、 设f z1z21, 就 f z 的定义域为、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、 函数 ez 的周期为、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、 如zn2i 11 n , 就 lim z 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn1nnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、sin2 zcos2 z 、0dz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、|zz0 |1 zz n 、 n 为自然数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料
29、- - - 欢迎下载精品_精品资料_6、 幂级数nnx n 的收敛半径为、0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7、 设f z1z21, 就 f z 的孤立奇点有、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8、 设ez1,就z 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9、 如 z0 就是f z的极点, 就limf z 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_zz0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编
30、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10、Res ezzn,0 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、 运算题、 40 分1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、 将函数f zz2ez 在圆环域 0z内展为 Laurent级数、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n. n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、 试求幂级数nnn z的收敛半径、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、 算以下积分 :C z2ezdz z2, 其中 C 就是| z |1、9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_94、 求 z2z6z28z20 在| z|1 内根的个数、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四、 证明题、 20 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、 函数f z在区域 D 内解析、 证明: 假如|f z|在D 内为常数 , 那么它可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 D 内为常数、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、 设f z 就是一整函数 , 并且假定存在着一个正整数n, 以及两个正数 R 及可编辑资料 - - -