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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -“ 3.1.1两角差的余弦公式”教学设计朔州市一中李燕一、内容和内容解析（ 1）内容：两角差的余弦公式是用两角的三角函数值来表示两角差的余弦值.这一内容是任意角三角函数学问的延长,是后继内容两角和与差的正弦、余弦、正切,以及二倍角公式的学问基础.（ 2）内容解析：两角差的余弦公式是三角恒等变换这一章的基础和动身点, 是在同学把握了任意角的三角函数的概念、向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示的基础上, 进一步争论用单角的三角函数表示两角差的三角函数.教材采纳了一种同学易于接受的推导方法,即先用数形结合的思
2、想, 借助于单位圆中的三角函数线,推出,均为锐角时公式成立.对于,为任意角时 的情形,教材运用向量的学问进行了探究,使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程, 同学易于懂得和把握, 同时也有利于提高同学运用向量解决相关问题的意识和才能.基于这些分析,两角差的余弦公式的探究将是本节的重点.二、目标和目标解析（ 1）目标：经受三角函数线推导两角差的余弦公式的过程,培育从已有学问动身探究未知世界的意识及对待新学问的良好情感态度.探究如何用向量数量积证明两角差的余弦公式,体会探究的乐趣, 强化同学的参加意识,培育同学分析问题、解决问题的才能.把握两角差的余弦公式的结构特点、变形以及应用, 培育运用数学
3、学问的才能以及逆用思维的才能.（ 2）目标解析：联系已经学过的三角函数线探究三角函数问题是很自然的,鉴于同学独立的运用单位圆上的三角函数线推导两角差的余弦公式存在肯定困难,我采纳动画课件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -的形式把这一探究过程逐步展现出来.让同学对公式的结构特点进行直观感知, 使他们对公式有一个基本明白,并引起查找适当方法推出
4、公式的欲望.所以这种方法只要求懂得.向量工具的引入, 使得两角差的余弦公式的得出成为一个纯粹的代数过程,大大降低了摸索难度, 而且表达了向量与三角函数之间的联系,发挥了向量的工具作用.所以这一过程, 勉励同学独立探究和争论沟通, 推导过程不要求一步到位, 先抓住主要问题进行探究, 然后再引导同学反思完善. 这也是处理一般探干脆问题应遵循的原就.在同学思维的困惑处,老师作简要提示.为了表达“数学是有用的”,我们的数学学问最终都要让同学把握其应用,两角差的余弦也不例外.通过公式的正用、逆用,达到把握公式的目的.三、教学问题诊断分析1、同学初次遇到两角差的余弦这个概念,会感到生疏.我采纳联系诱导公式
5、的方法,让同学思维过渡自然. 而且通过一组诱导公式仍可以看出两角差的余弦与哪些值有关,为公式的得出做第一步铺垫.2、如何想到用三角函数线来推导两角差的余弦？我采纳：一是让同学联系相关已学学问,二是联系数学思想方法（数形结合思想）来处理问题,把同学的思维引到三角函数线上.3、用三角函数线推导公式时,帮助线的添加对同学的思维有很高的要求,绝大多数同学的思维没达到这个高度.所以这个内容以我制作的课件为主,同学做到懂得就可.4、如何想到要用向量来证明两角差的余弦公式？假如突兀的给出,不符合科学学问产生的自然过程.所以我采纳让同学认真观看公式的构成要素和结构特点,联系所学学问,努力使数学思维显得自然、合
6、理5、用向量的数量积公式对两角差的余弦公式的探究过程,少数基础薄弱的同学 做不来.这个我的处理是, 第一让他们做好比较充分的预习,其次是在全部同学独立探究这个内容时,我走到同学中去,对基础差的同学作指导.6、鉴于同学的水平不同,我采纳分层作业.有必做题和选做题两部分.四、教学支持条件分析可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -整节课借助多媒体进行
7、帮助教学,当 、 、 - 都是锐角时用三角函数线得到两角差的余弦公式,这个内容比较复杂,用 PowerPoint 演示,通过颜色的剧烈对比突出成效. 与向量夹角之间的关系,利用几何画板课件演示,可以将抽象的问题直观化. 但关键的探究过程和推理过程要借助黑板,即时完成必要的演算推证过程,比课堂展现事先做好演算推证过程的幻灯片要成效更好.五、教学过程设计(1) 创设情境,引入新课：请同学们摸索问题： 某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上.如下列图, 在的平面上有一点A,测得 A、C两点间距离约为60 米,从 A 观测电视发射塔的视角 CAD约为 45,CAB=15.求 AD长度.D解： AD =
8、 120 cos15= 120cos（60 45）4560C150AB问题一： 不借助运算器如何求cos15的值？我们可以有什么思路了？（提示：请联系我们已经学过的特别角的三角函数值,可以将15写成什么？）生： cos（ 45 30）或者 cos（60 45）等两角差的余弦形式.师：那么是否可以依据45和 60的三角函数值来求出15的余弦？这就是我 们这节课要争论的问题. 更一般的来说, 我们这节课要争论的就是： 能不能用、的三角函数值把 的余弦值表示出来.同学行为分析与设计意图： 基于人的由低到高的认知规律,把新内容的起点定的越低同学越简洁入门. 所以我将原教材例子作了修改,使得同学可以当堂
9、解决可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -这个实际问题, 做到课的前后呼应, 仍能表达数学来源于生活,又应用于生活的思想.渗透角的变换的思想,把非特别角15 拆成60 与45 之差.角的变换是这一章三角恒等变换的一种.(2) 联系就知,自然过渡：问题二： 其实我们之前已经接触过两角差的余弦,大家想想在哪了？（提示：同学假如想不起来,可以翻教材查
10、找）生： 诱导公式中就有好多两角差的余弦形式.师： 诱导公式是特别的两角差的余弦,我们就从诱导公式看起.对于 cos ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令,就 cos 2sin2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令,就 coscos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令,就 cos 22sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令,就 coscos同学行为分析与设计意图：从新旧知之间的联系入手,让同学对新知不生疏.通过一组示例,让同学发觉cos 的值与 sin、 cos、 sin、cos的值都有关系,为最终公式的得出做小小的铺垫.师： 从这
11、一组诱导公式可以看出：cos 的值与哪些值有关？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -生： 与sin、 cos、sin、 cos的值都有关系.(3) 数形结合,探求新知：问题三： 怎么求出 cos 与 sin 、cos 、sin 、cos 之间的详细关系了？ 我们知道在我们数学中, 数形结合思想有时可以帮忙解决问题, 那么这个三角函数问题能不能
12、用“形”来解决了？三角函数的形又是什么了？生： 是三角函数线.同学行为分析与设计意图： 上节课终止时, 我领着同学回忆了三角函数的几何表示：三角函数线.所以在这里同学联系到三角函数线,应当不费劲.师：下面我们就用三角函数线来争论cos 与 sin、cos、sin、cos 之间的关系. 由于角的终边所处的象限不同,画出的几何图形会有很大差别,所以我们先争论最简洁的情形,也就是、 都为锐角时的情形.展现课件： 作单位圆 O,设角的终边与单位圆交与点A,作 AOP= ,就 xOP= .过点 P 做 PM垂直于 x 轴,垂足为 M,就 OM=cos .过点 P 做 PD垂直于 OA, 垂足为 D,就
13、DP=sin, OD=cos.过点 D 做 DB垂直于 x 轴,垂足为 B,就 OB=ODcos = coscos.过点 P 做 PC垂直于 DB, 垂足为 C,就 PDC= ,CP= sinsin.于是： OM=OB+BM=OB+CP= cocsos+sinsin.即： cos = coscos+sinsin.同学行为分析与设计意图： 这个推导过程对于同学来说,比较繁琐. 所以我制成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品
14、资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -动画课件把探究过程逐步展现出来.师：借助三角函数线的学问, 我们解决了上课开头的实际问题,AD=3062师：那么是否对任意角、 都有 cos = coscos+sinsin成立了？请同学们分组争论.同学活动： 汇总同学的争论结果如下：有些组认为该公式仍旧成立, 由于他们借助运算器做了好多组非锐角试验,公式都成立.另外有些组认为不肯定成立, 理由是即使试验了上万组数据都能使公式成立,仍无法得出公式肯定成立,由于数学是很严谨的.师：大家说的都很好. 我们现在的目标就集中在该公式在任意情形下的证明.如果连续沿用刚才的三角
15、函数线来证明, 由于三角函数线所处象限不同, 带来的几何关系就会不同, 那么我们需要分类争论的情形将会特别多, 那么有没有其他更好的证明方法了？(4) 借助向量,完善新知：问题四： 我们再来认真观看这个公式的右侧coscossinsin,把 cos、sin拿出来作为一个有序数对（cos, sin）,你想到了什么？（ 提示：有序数对与什么是对应的）生：（ cos, sin）是平面直角坐标系中,角终边与单位圆交点的坐标.而且（ cos,sin）是角 终边与单位圆交点的坐标. 所以 coscossinsin是一个数量积的形式.同学行为分析与设计意图： 关于点的坐标以及数量积的概念与坐标表示,我在上一
16、节课最终都和同学做了简洁复习.为的是给这节课同学的思维做铺垫,而且用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -起来不生疏.师：联系的特别好； 那么详细的如何用向量学问来证明了？这个过程交给大家来完成.rr（ 提示： 由向量数量积的坐标表示和数量积的定义,a b 分别等于什么？ ）同学活动： 在直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边分别作角,其终
17、边分别与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_单位圆交于P1 cos, sin , P2 cos, sin ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OP1cos, sin , OP2cos, sin ,P1OP2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由数量级的坐标表示 ,OP1OP2 = cosuuurcosuuursinsin,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由数量积的定义,OP1OP2=|OP1 |OP2| cos =cos可编辑资料 - - -
18、 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以cos = coscossinsin,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同学行为分析与设计意图： 大多数同学在这个问题会犯思维不完善的错误,会把 当做两向量夹角,我之所以特的这样支配问题,是由于最本真的探究过 程往往不是一步到位的, 我们可以先不去理睬其中的细节,抓住主要问题进行探究,然后再做反思,予以完善.师：我们的推导过程在细节上有没有问题？（提示：假如同学看不出来,我可以提示向量夹角的范畴是什么？） 生：不肯定是向量夹角,它们的关系应当是= 2k.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所
19、以依据诱导公式得：cos=cos =coscossinsin,公式得证.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同学行为分析与设计意图：引导同学关注两个向量的夹角与间的联系与区分,并通过观看和争论搞清晰,增强同学用数形结合、分类争论的方法解决问题的意识,感受数学思维的严谨性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -师：同学们做得特别好. 我
20、们用向量的方法推导出了这个公式,能否说明该公式对任意角、都是成立的？为什么？生：都成立.由于在整个推导过程中, 所用到的点的坐标与数量积的相关学问对任意角、都成立, 而且我们做得是恒等变形,所以最终得出的公式是对任意角都成立.同学行为分析与设计意图： 强调公式的适用条件. 为下一节内容两角和差的正弦、余弦做基础.（ 5）小结过程,升华主题问题五： 哪位同学可以对我们这节课从一开头到现在的推导过程做一小结了？生： 第一我们遇到实际问题,涉及到求cos（60 45）的值,紧接着我们用数形结合的思想,借助三角函数线推导出当、都为锐角时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos = co
21、scossinsin成立,最终我们用数量积的学问证明白对任意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_角 cos =coscossinsin都成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同学行为分析与设计意图： 这一小结过程不肯定一个同学就可以特别完整的描述下来,可以多叫起几个同学, 或者是老师自己对同学的回答加以补充.可以让同学感知用最精确的数学语言来描述一个数学过程.师：回答的特别好；同学们,每一点科学学问的发觉,都不是一蹴而就的,要历 经好多曲折, 但是我们要有一颗坚决的心,永不休止的朝着我们的目标前进.最终成功的曙光会在前
22、方等着我们.正如数学家高斯所说： “一个人在无结果的深思一个真理后能够用迂回的方法证明它,并且最终找到了它的最简明而又最自然的证法,那是极其令人兴奋的. ”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 6）钻研成果,透彻懂得问题六： 两角差的余弦公式在结构上有怎样的特点了？生： 公式中两边的符号正好相反（一负一正）.式子右边同名三角函数乘积的和.式
23、子中、是任意的.式子的逆用也要留意.同学行为分析与设计意图：要达到公式的正用、逆用、敏捷用,就要对公式有全面、深刻的懂得.（ 7）例题讲解,深化应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1 、1cos800cos 200sin80 0 sin 200 =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2cos210 cos240 sin210 sin24 0 =设计意图： 例 1 的支配是为了让同学体会公式的逆用,目的在于培育同学的逆用意识以及思维的敏捷性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2 、已知sin4 ,cos5 ,是第三象限角,求 cos的可编辑资料
24、- - - 欢迎下载精品_精品资料_5213值.设计意图： 训练同学思维的有序性、 思维过程表述的精确性与简洁性,这些都是三角恒等变换才能所不能忽视的.留意角、的象限,也就是符号问题.（ 8）举一反三,提高才能练 1 、（ 1）求值 cos80cos20+sin80 sin20 （ 2）求值 cos80cos35 +cos10cos55,设计意图： 第（ 1）小题考察公式的逆用.第（2）小题逐步学会把不符合公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 -
25、- - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -结构变形使之符合.练 2 、例 2 中假如去掉这一条件,又该怎么做？设计意图： 将例 2 作此延长,表达争论的数学思想.（ 9）小结与作业：学问：两角差的余弦公式.方法：数形结合、向量法.应用：两角差的余弦公式的正用、逆用以及解决简洁的应用问题.作业： 目标检测.预习 3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式六、目标检测设计：01、cos15 的值为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_26A.4B.6262624C.4D4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设
26、计意图： 诱导公式和两角差的余弦公式的小综合.00002、cos50cos 20sin50sin 20的值为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1A.2B.13C.332D.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、化简cos300 cossin300 sin=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设计意图： 2 和 3 题都是考察公式的逆用.3 题更深了一个层次.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、已知cos12 ,0,132,就cos4的值等于（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品
27、资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_52A.13B.17226C.727226D.13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设计意图： 考察特别角与非特别角在两角差的余弦公式中的结合.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin2 , 3cos3 ,0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、已知324
28、2,求 cos 的值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设计意图： 强调解决三角变换问题的基本要求：思维的有序性和表述的条理性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、已知, 为锐角,cos15,sin（）3,求cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_714设计意图： 考察角的敏捷拆分.以达到对公式娴熟把握的目的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7、A 、B 类同学做 已知 cos4, cos47,且, 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5543,求 cos 2.4设计意图：考察角的拆分. 除了少数基础比较薄弱的同学外
29、, 大多同学要求把握.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8、A 类同学做 已知函数f x2cos x2cos x, x, 32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4（1） 如 sin x, 求函数5f x的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）求函数f x的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设计意图： 供少数学有余力的同学提高解决综合问题的才能.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页,共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载