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1、统计与可能性趣味故事关于统计的数学趣味小故事两则这两个故事都发生在二战期间，并且都是盟军方面机灵的统计学家，数学在二战期间充当了非常重要的角色，今日说的是统计。 第一个故事发生在英国，二战前期德国力头很猛，英国从敦刻尔克撤回到本岛，德国每天不定期地对英国狂轰乱炸，后来英国空军发展起来，双方空战不断。 为了能够提高飞机的防护实力，英国的飞机设计师们确定给飞机增加护甲，但是设计师们并不清晰应当在什么地方增加护甲，于是求助于统计学家。统计学家将每架中弹之后仍旧平安返航的飞机的中弹部位描绘在一张图上，然后将全部中弹飞机的图都叠放在一起，这样就形成了浓密不同的弹孔分布。工作完成了，然后统计学家很确定地说
2、没有弹孔的地方就是应当增加护甲的地方，因为这个部位中弹的飞机都没能幸免于难。 其次个故事与德国坦克有关。我们知道德国的坦克战在二战前期占了许多便宜，直到后来，苏联的坦克才能和德国坦克一拼高下，坦克数量作为德军的主要作战力气的数据是盟军特别希望获得的情报，有许多盟军特工的任务就是窃取德军坦克总量情报。然而依据战后所获得的数据，真正牢靠的情报不是来源于盟军特工，而是统计学家。统计学家做了什么事情呢?这和德军制造坦克的惯例有关，德军坦克在出厂之后按生产的先后依次编号，1，2，N，这是一个非常古板的传统，正是因为这个传统，德军送给了盟军统计学家须要的数据。盟军在斗争中缴获了德军的一些坦克并且获得了这些
3、坦克的编号，现在统计学家须要在这些编号的基础上估计 N，也就是德军的坦克总量，而这通过肯定的统计工具就可以实现。布丰的投针试验公元 1777 年的一天，法国科学家 D布丰（Dbuffon17071788）的家里来宾满堂，原来他们是应主子的邀请前来观看一次奇妙试验的。试验起先，但见年已古稀的布丰先生兴趣盎然地拿出一张纸来，纸上预先画好了一条条等距离的平行线。接着他又抓出一大把原先打算好的小针，这些小针的长度都是平行线间距离的一半。然后布丰先生宣布：请诸位把这些小针一根一根往纸上扔吧！不过，请大家务必把扔下的针是否与纸上的平行线相交告知我。 客人们不知布丰先生要干什么，只好客随办法，一个个加入了试
4、验的行列。一把小针扔完了，把它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁数着、记着，如此这般地劳碌了将近一个钟头。最终，布丰先生高声宣布：先生们，我这里记录了诸位刚才的投针结果，共投针 2212 次，其中与平行线相交的有 704 次。总数 2212 与相交数 704 的比值为 3.142。说到这里，布丰先生有意停了停，并对大家报以神奇的一笑，接着有意提高声调说：先生们，这就是圆周率π的近似值！ 众宾哗然，一时争论纷纷，个个感到稀里糊涂；圆周率π？这可是与圆半点也不沾边的呀！ 布丰先生好像猜透了大家的心思，得意忘形地说明道：诸位，这里用的是概率的原理，假如大家有耐性的话，再增加投针的次
5、数，还能得到π的更精确的近似值。不过，要想弄清其间的道理，只好请大家去看敝人的新作了。随着布丰先生扬了扬自己手上的一本或然算术试验的书。π在这种纷纭杂乱的场合出现，实在是出乎人们的意料，然而它却是千真万确的事实。由于投针试验的问题，是布丰先生最先提出的，所以数学史上就称它为布丰问题。布丰得出的一般结果是：假如纸上两平行线间相距为 d，小针长为 l，投针的次数为 n，所投的针当中与平行线相交的次数是 m，那么当 n 相当大时有：在上面故事中，针长 l 等于平行线距离 d 的一半，所以代入上面公式简化 我想，喜爱思索的读者，肯定想知道布丰先生投针试验的原理，下面就是一个简洁而奇妙的证明
6、。找一根铁丝弯成一个圆圈，使其直径恰恰等于平行线间的距离 d。可以想象得到，对于这样的圆圈来说，不管怎么扔下，都将和平行线有两个交点。因此，假如圆圈扔下的次数为 n 次，那么相交的交点总数必为 2n。现在设想把圆圈拉直，变成一条长为πd 的铁丝。明显，这样的铁丝扔下时与平行线相交的情形要比圆圈困难些，可能有 4 个交点，3 个交点，2 个交点，1 个交点，甚至于都不相交。由于圆圈和直线的长度同为πd，依据机会均等的原理，当它们投掷次数较多，且相等时，两者与平行线组交点的总数可望是一样的。这就是说，当长为πd 的铁丝扔下 n 次时，与平行线相交的交点总数应大致为 2n。现在再来
7、探讨铁丝长为 l 的情形。当投掷次数 n 增大的时候，这种铁丝跟平行线相交的交点总数 m 应当与长度 l 成正比，因而有：mkl 式中 K 是比例系数。为了求出 K 来，只需留意到，对于 lπd 的特别情形，有 m2n。于 戳穿摸彩骗局天有不测风云，人有旦夕祸福。这话有对的一面，也有不对的一面，对的是，说出了事物发生的偶然性。不对的是，夸大了偶然的成份，忽视了偶然中的必定规律和量的关系，给人覆盖上一种不行知论的阴影。举例说，在世界上火车与汽车相撞的事务，时有发生。然而，却几乎没有人，由于担忧火车与汽车相撞，不去乘火车、汽车而宁愿步行。这是为什么呢？缘由是：在现实中，这种相撞的可能性实在是
8、太小了。在世界上千千万万次的车祸中，能找到的也只是极少数几例。又如，人遭受车祸，这种可能性通常要比火车与汽车相撞的可能性大不知多少倍。然而，在人们亿万次的外出中，遭受车祸终归还是占少数。这潜意识包含了一条极重要的原理小概率原理，即一个概率很小的事务，一般不会在一次试验中发生。下面给你介绍一个好玩的嬉戏。假如你新到一个班级，那么你完全可以大言不惭地对你班上 49 名新伙伴，作一次惊人的宣布：新班级里肯定有人生日是相同的！我想大家肯定会惊异不已！可能连你本人也会感到难以置信吧！因为首先，你对他们的生日一窍不通，其次，一年有 365 天，而你班上只有 50 人，莫非生日会重合吗？但是，我必需告知你，
9、这是极可能获得胜利的。这个嬉戏胜利的道理是什么呢？原来，班上的第一位同学要与你生日不同。那么他的生日只能在一年 365 天中的另外 364 天，即 如此等等，得到全班 50 名同学生日都不同的概率为：用计算器或对数表细心计算，可得上式结果为：P（全不相同）=0.0295 由于 50 人中有人生日相同和全不相同这两件事，二者必居其一，所以 P（有相同）P（全不相同）1 因而 P（有相同）1-P（全不相同）1-0.02950.9705 即你的胜利把握有 97，而失败的可能性不足 3，依据小概率原理，你完全可以断定这是不会在一次嬉戏中发生的。目前，在一些小市镇可以看到一种摸彩的招徕广告。这实际是一种
10、赌博，赌主利用他人无知和侥幸心理，有恃无恐地把高额的奖金设置在微小概率的事务上。赌客纵然一试再试，仍不免一次次败兴而归，结果大把的钞票，哗哗流进了赌主的腰包。我们应当戳穿这种骗局。有人见过一个摆地摊的赌主，他拿了八个白、八个黑的围棋子，放在一个签袋里。规定说：凡愿摸彩者，每人交一角钱作手续费，然后一次从袋中摸出五个棋子，赌主按地面上铺着的一张摸子中彩表给彩。这个摸彩赌博，规则非常简洁，赌金也不大，所以招徕了不少过往行人，一时围得水泄不通。很多青年不惜花一角钱去碰运气，结果自然扫兴者居多。下面我们深化计算一下摸到彩的可能性。（读者假如一时弄不清计算的方法，可以只看结果），现在按摸 1000 次统
11、计；赌主手续费收入共 100 元，他可能须要付出的连纪念品在内的彩金是：P（五个白）×2+P（四个白）×0.2+P（三个白）×0.05×1000 0.0128×2+0.1282×0.2+0.3589×0.05 ×100069.19（元）赌主可望净赚 30 元。我想看了以上的分析，读者们肯定不会再怀着新奇和侥幸的心理，用自己的钱，去填塞摸彩赌主那永填不满的腰包吧！ -从歧路亡羊谈起歧路亡羊是列子中一篇寓意深刻的故事。文如下：杨子之邻人亡羊，既率其党，又请杨子之竖追之。杨子曰：嘻！亡一羊，何追者之众？邻
12、人曰：多歧路。既返，问：获羊乎？曰：亡之矣曰：奚亡之？曰；歧路之中又有歧焉，吾不知所之，所以反也。 下面我们就来探讨一下杨子的邻人，找到丢失的羊的可能性有多大。假定全部的分叉口都各有两条新的歧路。这样，每次分歧的总歧路数分别为 21，22，23，24，到第 n 次分歧时，共有 2n 条歧路。因为丢失的羊走到每条歧路去的可能性都是相等的，所以当羊走过 n 个三叉路口后，一个人在某条歧路上 例如，当 n5 时，即使杨子的邻人动员了 6 个人去找羊，找到羊的可能性也只有 还不及五分之一。可见，邻人空手而返，是很自然的事了！现在我们再设想道路是这样特别：从其次次分歧起，邻近的歧路相连通成一个新的丫字叉
13、口，像下图所示那样。明显，当丢失的羊在这种特别的歧路网上，走到第一个三叉口时，它既可能从东边，也可能从西边走入不同的两条南北走向的街。这样情形我们记为：（1，1）。接着往下有三条南北走向的街：只有始终向左转时，羊才会进入东边的那条；羊进入中间的一条街有两种可能，第一次向左而其次次向右，或第一次向右而其次次向左；只有两次都向右时，羊才能进入西边的那条街，概括三种情形，我们记为（1，2，1）。同样分析可以得知，再接下去的四条南北走向街的情形可记为：（1，3，3，1）记号中的每一个数字，都代表到达相应街的不同的路途数。如此下去，我们可以得到一个奇异的数字表。这个三角形表的每行两端都是 1，而且除 1
14、 以外的每个数都等于它肩上两个数字的和。这是因为。它事实上表明白丢失的羊到达该数字地点的路途数，所以应等于两肩路途数的累加。类似的数字表早在公元 1261 年就出现在我国数学家杨辉的著作中，所以我们称它为：杨辉三角。在欧洲，这种表的出现要迟上四百年，发觉者就是前些节故事中提到过的法国数学家巴斯卡。因此国外常把这种表叫做巴斯卡三角形。杨辉三角第 n 排的数字和，事实上就是歧路亡羊中第 n 次分叉后的总的歧路数，所以应当等于 2n。例如，表最终一排的数字和：1+61520156126 为便利起见，我们把杨辉三角中第 n 排的除开头1以外的第 k 个数字记为 Ckn。这样做的优点是，今后如若须要了解
15、到达上述位置会有多少可能的路途时，无需思索，马上知道是 Ckn 条。下面要讲的是概率论中颇为重要的课题独立重复试验。我们很快就会看到：将要得到的结果，与杨辉三角之间的联系是很亲密的。以掷币为例。假如我们把掷币中出的正面和反面的可能，比方成杨辉三角中向左和向右的路途，那么，杨辉三角中的第一排（1，1），就相当于掷第一枚币时出现的（正，反）可能；而其次排的（1，2，1），就相当于重复掷两枚币时出现的（两正，一正一反，两反）可能；而第三排中的（1，3，3，1），就相当于重复掷三枚币时出现（三正，二正一反，二反一正，三反）的可能，如此等等。这样，杨辉三角中第 n 排各数，与掷 n 枚币出现的各种可能性
16、的数目有以下对等关系。于是，我们得出，重复 n 次掷币，出现 k 次正面或反面的概率为：例如，掷 6 次币，出现三次正面的概率 式中的 C3620，是从杨辉三角表中相应位置查到的。上面我们讲的掷币，每次出现正、反机会都是均等的。假如某事务出现的的概率是 P，那么在 n 次试验中，该事务恰好出现 k 次的概率又如何呢？这只要留意到一个事实，即在杨辉三角中，任何到达Ckn的路途，都必需是恰好向右走 k次，向左走 n-k 次，这里，假如我们把向右走相当于事务发生，向左走相当于事务不发生，那么，任何一条到达Ckn位置线路的概率均为 Pk（1-P）n-k，其中（1-P）是事务不发生的概率。由本节开头的分
17、析知道，到达Ckn的线路数即为 Ckn，所以我们即得 n 次试验中，事务出现 k 次的概率公式：Pn（k）=CknPk（1-P）n-k2005-8-27 3:39:00 jhez001嬉戏的公允性 统计概率教学中的小故事我在上求简洁事务发生的可能性那一课时，所必需的数据的收集、整理、分析的过程，老师们都已熟识，我就不多说了。为了让学生更好的体会求简洁事务发生可能性我设计了嬉戏的公允性一堂课，课堂主要以嬉戏的形式呈现。 第一个嬉戏：掷硬币嬉戏，小明和小丽做如下嬉戏： 随意掷出两枚匀称且完全相同的 1 元人民币硬币，若朝上的面相同，则小明获胜；若朝上的面不同，则小丽获胜。小丽认为：朝上的面相同有两
18、个正面和两个反面两种状况；而朝上的面不同只有一正一反一种状况，因此嬉戏对小丽不公允。让学生先进性思索，并且小组探讨。学生的结论主要分为公允与不公允两大派，我从中各选取了一个代表，让他们阐述理由，然后再让学生们重新做出推断，这时候有的学生的观点发生了变更，于是我特殊让变更观点的学生说说自己的想法，在这一过程中我更多的了解到了学生在求简洁事务的可能性过程中对于全部可能发生的结果这一概念理解的误区，认为嬉戏不公允的学生认为全部可能发生的结果是一正一反、两个正面、两个反面三种，于是我提出了一个问题：假如把两个硬币编上 1 号和 2 号，一正一反会有几种状况出现？学生很简单的回答出1 号正 2 号反和1 号反 2 号正于是我接着问他：这两个是同一种结果么？这么看就不是了于是我总结到，我们所认为一正一反的结果中事实上是两种结果相同的表现形式。因此全部可能出现的结果事实上一共有四个，一正一反的有两个，两个正面和两个反面各一个。对于全部可能出现的结果是列举出个数，而不是种类，给相同的试验对象编号可以避开出现遗漏和重复。 依据这个嬉戏有些学生好像茅塞顿开，于是我又给出了另一个形式类似的嬉戏：三枚硬币，小明对小华说：我向空中扔 3 枚硬币，假如它们落地后全是.