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1、2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题一、填空题(此题共6小题，每题4分，总分值24分.把答案填在题中横线上)(1) lim (cos x)ln(1+r) =x-0(2)曲面z = / + ,2与平面2x + 4y-z = 0平行的切平面的方程是00(3)设/ = cosnx-7i x tt),那么a2= .=0(4)从7?2的基?= ，劣= 到基回=,= 的过渡矩阵为(5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x, y)=6x,0 x y 1,0, 其他，那么 px + y i=(6)一批零件的长度X(单位：cm)服从正态分布从中随机地抽取16个零件，得到长度 的平均值为40 (c
2、m),那么/的置信度为0.95的置信区间是 .(注：标准正态分布函数值(L96) = 0.975,(1.645) = 0.95.)二、选择题(此题共6小题，每题4分，总分值24分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数f(x)在(00,+8)内连续，其导函数的图形如下图，那么f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点.(C)两个极小值点和两个极大值点.(D)三个极小值点和一个极大值点.(2)设,也均为非负数列，且lim =0,lim2=11im % =oo,那么必有 一8一00一8(A)对任意n成立.(B
3、) C对任意n成立.(C)极限lim不存在.(D)极限lima%不存在. 一00一00(3)函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且(A).(B).(C).(D).B 【分析】此题也可找反例用排除法进行分析，但 两个命题的反例比拟复杂一些，关键是抓住 与，迅速排除不正确的选项.【详解】假设Ax=O与Bx=。同解，那么n-秩(A)=n-秩(B),即秩(A尸秩(B),命题成立，可排除(A),(C)；但反过来，假设秩。)二秩田)，那么不能推出Ax=。与Bx=O同解，如A= ,3= ,那么秩。)二秩 0 0J 0 1(B)=l,但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题不成立，排除(D),故正确选
4、项为(B).【例】齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解的充要条件(A) r(A)=r(B).(B) A,B 为相似矩阵.(C) A,B的行向量组等价.(D) A,B的列向量组等价. C 有此例题为基础，相信考生能迅速找到答案.(6)设随机变量X，(/(，。，丫二工,那么X(A) 丫 72().(B)丫 72(一1).(C)yb().(D)y/(i/).c U01【分析】先由，分布的定义知X=1,其中。N(O,1),V72()，再将其代入丫二，然V/X后利用F分布的定义即可.u9y_l_%X2 U2y_l_%X2 U2【详解】由题设知，X=r、，其中。N(o,l)w/()，于是，这里力2(i),
5、根据f分布的定义知y 二，尸().故应选(c).x【评注】此题综合考查了 t分布、力2分布和F分布的概念，要求熟练掌握此三类常用统计量分布的 定义.三、(此题总分值10分)过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D.(3)求D的面积A;(4)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.【分析】先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A;旋转体体积可用一大立体(圆锥)体积 减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图.【详解】(1)设切点的横坐标为那么曲线y=lnx在点(%,In %)处的切线方程是y = In / H(x - x0).由该切线过原点知I
6、n%-1 = 0,从而与=，所以该切线的方程为平面图形D的面积1 1A = J (e -ey)dy = -e-l.(2)切线y = x与x轴及直线x=e所围成的三角形绕直线x=e旋转所得的圆锥体积为 eV, =-7reV, =-7re 【详解】因为尸(x) =? 1 + 4x.3曲线y=lnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e旋转所得的旋转体体积为V2 = ev)2dy ,因此所求旋转体的体积为x因此不能直接套用现有公式.也可考虑用微元法分析.x因此不能直接套用现有公式.也可考虑用微元法分析.V = 乂 匕=-/re2 -fl7T(e-ey)2dy = -(5e2 -l2e + 3).
7、【评注】此题不是求绕坐标轴旋转的体积, 四、(此题总分值12分)1 _?r2 f_iy7将函数/(x) = arc tan)展开成x的基级数，并求级数二二的和.1 + 2x=o 2n +1【分析】事级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用事级数展开的情形.此题可先求导，再利用函数上的幕级数展开1 -X = 1 +工+%2+.+工+即可，然后取X为某特殊值，得所求级数的和. X产、1 12(-1)4微竺入().=o2 2TT 又f二所以0000jrf(x) = f(0)+fr(t)dt = -n=0j()4因为级数二0(-1)2n +1收敛,
8、函数f（x）在x处连续，所以2,3 兀）（T）4 勺）二12自三1 Jrf(-iy22,7+1 - 42n + r(-1)/ =J ()二2 + 1 424五、（此题总分值10分）平面区域D = （x,y）0xK肛0 y 27r2.【分析】此题边界曲线为折线段，可将曲线积分直接化为定积分证明，或曲线为封闭正向曲线，自然 可想到用格林公式；（2）的证明应注意用（1）的结果.【详解】方法一：C7lf0（1）左边二（碇sm）dy （碇心右J*7T.（。皿 +e-u）dx,0”f0右边二（碇（碇smxQx= 7resinx +e-snx）dx,JO所以仅sidy _ 竺Xdx =，严Tin ydy _
9、 yesin ”（2）由于/皿+6一.”2 2,故由（1）得jxesnydy-（济十二出dx27i2.方法二：（1）根据格林公式，得J xesinydy - ye-sinxdx = jj (*+ 疝工)dxdy, Djxe-sin ydy - yesin Xdx = jj (而 +x dxdy.D因为D具有轮换对称性，所以j (* + x )dxdy=e-smy + * x )dxdy, DD故 jxe3inydy- yeXdx = jxe-snydy- y*Xdx.(2)由(1)知J M ydy - yenxdx = ,(*)，+ L x )dxdyD=Jj 网 ydxdy + j L Xd
10、xdy二 Jj exdxdy + exdxdy （利用轮换对称性）DD= JJ（* x + 6一如）dxdy g 2dxdy = 2/. DD【评注】此题方法一与方法二中的定积分与二重积分是很难直接计算出来的，因此期望通过计算出结 果去证明恒等式与不等式是困难的.另外，一个题由两局部构成时，求证第二局部时应首先想到利用第一部 分的结果，事实上，第一局部往往是起桥梁作用的.六、（此题总分值10分）某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功.设土 层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k0） ,汽锤第一次击打将桩打进地下am. 根据设
11、计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r（0r0 时，F(Z) - GQ).71【分析】(1)先分别在球面坐标下计算分子的三重积分和在极坐标下计算分母的重积分，再根据导函数月(。的符号确定单调性；(2)将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明即可.【详解】因为 dO d(pf(r2)r2 sm(pdr 2 f(r2)r2dr()rdr fr2)rdrtf(t2f(r2)r(t-r)drFQ) = 2*/(r2)rJr2所以在(0,+oo)上P)0,故F(t)在(0,+8)内单调增加.(2)因7i /(r2)rdrG 二f(r2)dr22要
12、证明A0时方一G),只需证明t0时,尸G(r) 0,即71TC /(r2 )r2/(r2 )dr - /(r2 )rdr 0.g= /(户2d4 于(户)- /(尸)八 2 , gt) = f(?2)f(r2)a-r)26/r0,故 g在(0,+oo)内单调增加.因为g在t=0处连续，所以当30时,有g(t)g(0).又 g(0)=0,故当 t0 时，g(t)0,2 因此，当 t0 时，F(o-G(r).71【评注】此题将定积分、二重积分和三重积分等多个知识点结合起来了，但难点是证明(2)中的不 等式，事实上，这里也可用柯西积分不等式证明：1/(x)g(x)dx2 1/2(%)小,g2Q)dx
13、,JaJaJa在上式中取f(X)为J/(产)人g(X)为J/?)即可.九、(此题总分值10分)设矩阵A =设矩阵A =，B = P-A P9求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵.【分析】可先求出进而确定及B+2E,再按通常方法确定其特征值和特征向量;或先求出A的特征值与特征向量，再相应地确定A*的特征值与特征向量，最终根据B+2E与A*+2E相似求出其特征值与特征向量.【详解】方法一:经计算可得 5-2 -2A*= -2 5-2-2 -2 50 1 -1p- = 1 0 00 0 1700B = p7A*P= -2 5 -4-2 -23从而9B + 2E= -
14、2-20 07 -4-2 5AE - (B + 2E)| =故B+2E的特征值为2-902A-72204 =(X 9)2(4-3), A 5当4 =4 =9时，解(9 A)x = 0,得线性无关的特征向量为- 2% = 0所以属于特征值4 =丸2 =9的所有特征向量为kg + 左2% = k、- 2一+ & 01其中，心是不全为零的任意常数.当4 =3时，解(3 A)x = 0,得线性无关的特征向量为一0一3 = 1，1一。一所以属于特征值4 =3的所有特征向量为攵33 =& 1 ，其中自W0为任意常数1方法二：设A的特征值为;I,对应特征向量为小 即= 由于网=7。0,所以4wO.又因AA
15、= E,故有A于是有 B(P) = K A*= 14(尸力),A(B + 2)P-177 = ( + 2)P-|77.2Ai因此，口 + 2为B+2E的特征值，对应的特征向量为P力.A2-3由于 |2E-A|= -2-2-2-22-3 -2 =(A-l)2(A-7),-2 X 3故A的特征值为4=4= 1,% = 7.1当4 =丸2 = 1时、对应的线性无关特征向量可取为7 = 101当4 =7时、对应的一个特征向量为% = 111得 pTq= -101尸一力2= I10P、3 = 11因此，B+2E的三个特征值分别为9, 9, 3. 对应于特征值9的全部特征向量为kxPXTx + k2P 力
16、2 =kxPXTx + k2P 力2 =其中匕次2是不全为零的任意常数;对应于特征值3的全部特征向量为.。一%3。一力3=左3 1 ，其中攵3是不为零的任意常数【评注】设5 = pTAP,假设2是A的特征值，对应特征向量为，那么B与A有相同的特征值，但对应特征向量不同，B对应特征值；I的特征向量为。一力.此题计算量大，但方法思路都是常规和熟悉的，主要是考查考生的计算能力.不过利用相似矩阵有相同 的特征值以及A与A*的特征值之间的关系讨论，可适当降低计算量.十、（此题总分值8分）平面上三条不同直线的方程分别为ax + 2by + 3c = 0,bx + 2cy + 3a = 0,试证这三条直线交
17、于一点的充分必要条件为a + + c = O.【分析】三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的 秩均为2.【详解】方法一：必要性设三条直线乙，交于一点，那么线性方程组ax + 2by = - 3c, bx + ley - -3a, ex + lay - -3b,a 2ba有唯一解，故系数矩阵A =b 2c与增广矩阵才=bc 2a2b -3c2c -3a的秩均为2,2a - 3b于是才=0.a由于 A = bc2h -3c o o o2c 3a 6( + b + c) + c ab ac bc2a -3b= 3(a + b + c)(a - b)2 +(b
18、-c)2 + (c-a)2,但根据题设（，一份2+3一0）2+9一，）2。0,故a + b + c = O.充分性：由 +人+。= 0,那么从必要性的证明可知，印=0,故秩（无）3.由于2b2c=2(ac-h2) = -2a(a + h) + h21 9 3 9= -2(a + -b)2 +-b20924故秩（A）=2.于是,(A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点.(B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点.(C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.(4)设向量组I：可由向量组工%分2，民线性表示，那么(A)当厂s时，向量
19、组II必线性相关.(C)当时，向量组I必线性相关.(D)当rs时，向量组I必线性相关.(5)设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0,其中A,B均为相X 矩阵，现有4个命题:假设Ax=0的解均是Bx=0的解，那么秩(AR秩(B)；假设秩(A)N秩(B),贝ij Ax=0的解均是Bx=0的解； 假设Ax=0与Bx=0同解，那么秩(A尸秩(B)；假设秩(A)二秩(B),那么Ax=0与Bx=0同解.以上命题中正确的选项是(A).(B).(C).(D).(6)设随机变量X)( 1),丫 = 二,那么X(A) y 2(Z2).(B)y 力2(一1).(C)y/(凡i)(D)y/(1/).三、(此题总分值10
20、分)过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A;(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.四、(此题总分值12分)1 _ 9 V00 riy1将函数/(x) = arc tan展开成x的基级数，并求级数，二的和.1 + 2x=o 2n +1五、(此题总分值10分)平面区域D = (x,y)0x,0y27i六、(此题总分值10分)某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功.设土 层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k,k0) ,汽锤第一次击打将桩打进地下am. 根据设计方案
21、，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0rl).问(1)汽锤击打桩3次后，可将桩打进地下多深？(2)假设击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？秩(A)二秩(无尸2.因此方程组(*)有唯一解，即三直线/|213交于一点方法二：必要性设三直线交于一点(%,%)，那么设三直线交于一点(%,%)，那么为Ax=。的非零解，其中a 2b 3cA= b 2c 3a c 2a 3b于是|a|=0.a 2b 3c而 |a| = b 2c 3(7 =-6(a + b + c)a2 +b2 +c2 -ab-ac-bcc 2a 3b-3(6z + b + c)(a -b)2 +(h-c
22、)2 +(c-a)2,但根据题设(。一/?)2+S c)2+(c - Q)2。0，故a + b + c = 0.充分性：考虑线性方程组ax + 2by = -3c,PX = Zk=06O k=01 3 - 166 2 4【评注】此题对数学期望的计算也可用分解法: 设Xi =Xi =。，从甲箱中取出的第件产品是合格品 L从甲箱中取出的第件产品是次品那么X.的概率分布为Xi01P-i =1,2,3.22因为X = X1+X2+X3,所以3EX = EX、+ EX. + EX3 =十二、（此题总分值8分） 设总体X的概率密度为/(x) =/(x) =0,x 仇0,x0.(2) Fd(x) = P0
23、%, X2x，X x-e-2n(xx0.0,x仇x )而f f(x2)dxD(l)T其中。= (x,y,z)k2+y2+z2 产, D(t) = (x,yx2 +y2 0时，F(Z) - G.71九、(此题总分值10分)3 2 2B = XA*P,求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为设矩阵A= 2322 2 3A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵.十、(此题总分值8分)平面上三条不同直线的方程分别为ax + 2by + 3c = 0,/2 : bx + 2cy + 3 = 0,/3 : ex + 2ay + 3b = 0 .试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a + b + c = 0.十一、
24、(此题总分值10分)甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从 甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1)乙箱中次品件数的数学期望；(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二、(此题总分值8分)设总体X的概率密度为/(x) =2e2(xx0.0,x0-sinx_ In cosx In cosx cosx 1一； 1而 hm- = hm-= lim cosx =,故原式=e 2ln(l + x2) 1。x2 1。2x 24e1 2-1【详解 2】 因为 lim(cosx-l)- = lim与一=一一,1。ln(l + x2)1。x22 1所以原式=e
25、 2 =亍.(2)曲面z =，+y2与平面2x + 4y 2 = 0平行的切平面的方程是2x + 4y Z = 5.【分析】待求平面的法矢量为元=2,4,-1,因此只需确定切点坐标即可求出平面方程，而切点坐标可根据曲面z = / + V切平面的法矢量与n = 2,4,-1平行确定.【详解】令F(x,y,z) = z-x2-y2,那么F； = -2x , F； = -2y , F! = l.设切点坐标为(Xoo，z0),那么切平面的法矢量为2x。,2yJ,其与平面2x + 4y z = 0平行，因 此有2/ _ -2y0 _ 1 ,24-1可解得 % = 1, % = 2 ,相应地有z0 = X
26、： + y； = 5.故所求的切平面方程为2(x l) + 4(y 2) (z 5) = 0,即 2x + 4y-z = 5.00（3）设 X、= coshx（一兀 W x 乃），那么 的 二 1n=000【分析】将/(x) =/(_ X展开为余弦级数/ =Zacosx(7rx),其系数计算公=0、2 c71式为 = f(x)cosnxdx.71 Jo【详解】根据余弦级数的定义，有1 r乃 2.厂 dsin2x n2 r乃2% = - X -COs2x6ZxTC Jo- - x1 sin 2%71J不71 J。二1.71 兀-sin2x-2xdx0 Joxd cos2x =xcos2x7171
27、 ,兀- cos2xM0 Jo【评注】 此题属基此题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算.(4)从尺2的基%=，a?,02 =的过渡矩阵为,23、1 2,【分析】n维向量空间中，从基%,%，与到基四,为，尸的过渡矩阵P满足四,分2,P，因此过渡矩阵P为：P=%,%, ,%一万i，尸2，【详解】根据定义，从斤的基冈=，% 二的过渡矩阵为-1 12-13-2(5)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为于（x, y）=于（x, y）=0 x y 1,0, 其他，那么 px + yi=；【分析】二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y),求满足一定条件的概率Pg(X,y)Vz。,
28、 一般可转化为二重积分Pg(X,y)z()= JJ7(羽y)dxdy进行计算.g(x,y)z0【详解】由题设，有PX + y 1 = jj/(x, y)dxdy - dx 6xdy x+y= p(6% 12%2)dx = ；.【评注】此题属基此题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式x+yl 的公共局部D,再在其上积分即可.(6)一批零件的长度X(单位：cm)服从正态分布N(,l),从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm),那么4的置信度为0.95的置信区间是(39.51,40.49).(注：标准正态分布函数值(1.96) = 0.975,(1.645)
29、 = 0.95.) = 1一二确定临界值a22 = 1一二确定临界值a22【分析】 方差2=1,对正态总体的数学期望进行估计，可根据分幺N(0,l),由 / Vn,进而确定相应的置信区间.【详解】 由题设，1 。= 0.95,可见口 = 0.05.于是查标准正态分布表知“0 =1.96 .此题n=16,2元= 40,因此，根据P1.96) = 0.95,有即 P39.51,40.49 = 0.95 ,故的置信度为0.95的置信区间是(39.51,40.49).二、选择题(此题共6小题，每题4分，总分值24分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内)一个极
30、小值点和两个极大值点. 两个极小值点和一个极大值点. 两个极小值点和两个极大值点. 三个极小值点和一个极大值点.(1)设函数f(x)在(-00,+00)内连续，其导函数的图形如下图，那么f(x)有(D)(E)(F)(D)【分析】答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极 大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而x=0那么是导数不存在的点.三个 一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧 一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大
31、值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应 选(C).【评注】此题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是f(x)的图象去推导广(x)的图象，此题是其逆问题.(2)设,2,c均为非负数列,且limo” =0,lim2=oo,那么必有 8一88(A) an bn对任意n成立.(B) bn cn对任意n成立.(C)极限不存在.(D)极限limac不存在.D 一87?00【分析】此题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)；而极限 是0oo型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限lim属18型，必为无穷 一00一00大量，即不
32、存在. 21【详解】用举反例法，取=,bn = 1, % =( =12)，那么可立即排除(A),(B),(C),因此 n2正确选项为(D).【评注】对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项.(3)函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且limy)-xy(，+/)2(A)点(0,0)不是f(x,y)的极值点.(B)点(0,0)是f(x,y)的极大值点.(C)点(。,0)是f(x,y)的极小值点.(D)根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.【分析】由题设，容易推知f(0,0)=0,因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻 域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还