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1、-_高中数学总复习资料汇总（必修 1-5 ）高考数学复习必修 1第一章、集合 一、基础知识（理解去记） 定义 1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字 母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x在集合 A 中，称x属于 A，记为Ax，否则称x不属于 A，记作Ax。例如，通常用 N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用来表示。集合分有限集和无限集两种。集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示 集合的方法，如1，2，3；描述法：将集合中的元素的
2、属性写在大括号内表示集合的方法。例如有理数，0xx分别表示有理数集和正实数集。定义 2 子集：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素，则 A 叫做 B 的子集，记为BA ，例如ZN 。规定空集是任何集合的子集，如果 A是 B 的子集，B 也是 A 的子集，则称 A 与 B 相等。如果 A 是 B 的子集，而且 B 中存在元 素不属于 A，则 A 叫 B 的真子集。便于理解：BA 包含两个意思：A 与 B 相等 、A 是 B 的真子集定义 3 交集，.BxAxxBA且定义 4 并集，.BxAxxBA或定义 5 补集，若,1AxIxxACIA且则称为 A 在
3、 I 中的补集。定义 6 集合,baRxbxax记作开区间),(ba，集合,baRxbxax记作闭区间,ba，R 记作).,(定义 7 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 补充知识点 对集合中元素三大性质的理解 （1）确定性集合中的元素，必须是确定的对于集合A和元素a，要么aA，要么aA，二 者必居其一比如：“所有大于 100 的数”组成一个集合，集合中的元素是确定的而 “较大的整数”就不能构成一个集合，因为它的对象是不确定的再如， “较大的树” 、 “较 高的人”等都不能构成集合 （2）互异性对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的任何两个相同的对象在同一集合中时，只能算作这
4、个集合中的一个元素如：由a，2a组成一个集合，则a的取值不能是-_0或 1（3）无序性集合中的元素的次序无先后之分如：由12 3上上组成一个集合，也可以写成13 2上上组成一个集合，它们都表示同一个集合 帮你总结：学习集合表示方法时应注意的问题（1）注意a与 a的区别a是集合 a的一个元素，而 a是含有一个元素a的集合，二者的关系是 aa（2）注意与 0的区别是不含任何元素的集合，而 0是含有元素0的集合（3）在用列举法表示集合时，一定不能犯用实数集或 R来表示实数集R这一类错误，因为这里“大括号”已包含了“所有”的意思用特征性质描述法表示集合时，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应具备哪些
5、 特征性质，从而准确地理解集合的意义例如：集合()xy yx上 中的元素是()xy上，这个集合表示二元方程yx的解集，或者理解为曲线yx上的点组成的点集；集合x yx 中的元素是x，这个集合表示函数yx中自变量x的取值范围；集合y yx 中的元素是y，这个集合表示函数yx中函数值y的取值范围；集合yx中的元素只有一个（方程yx） ，它是用列举法表示的单元素集合 （4）常见题型方法：当集合中有 n 个元素时，有 2n 个子集，有 2n-1 个真子集，有 2n-2 个非空真子集。 二、基础例题（必会）例 1 已知243Ay yxxxR上，222By yxxx R上，求 AB正解：2243(2)11
6、yxxx，2222(1)33yxxx ，1Ay y，3By y，13AByy解析：这道题要注意研究的元素（看竖线前的元素） ，均是 y，所以要求出两个集合中 y 的-_范围再求交集，A 中的 y 范围是求表达式的值域、因此此题是表示两个函数值域的集合例 2 若322 427Aaaa上上，223211122(38)372Baaaaaaaa上上上上 ，且 2 5AB 上，试求实数 a正解：AB=2，5 ，由32275aaa，解得 2a 或1a 当 a=1 时，2221aa与元素的互异性矛盾，故舍去1a ；当1a 时，10 5 2 4B 上上上上，此时2 4 5AB 上上，这与 2 5AB 上矛盾，
7、故又舍去1a ；当2a 时，2 4 5A 上上，13 2 5 25B 上上上上，此时 2 5AB 上满足题意，故2a 为所求 解析：此题紧紧抓住集合的三大性质：确定性 互异性 无序性三、趋近高考（必懂） 1.（2010 年江苏高考 1）设集合 A=-1,1,3，B=a+2,a2+4,AB=3，则实数 a=_ 方法：将集合 B 两个表达式都等于 3，且抓住集合三大性质。 【答案】1.2.（2010.湖北卷 2.）设集合 A=22 ( , )|1416xyx y ，B=( , )|3 xx yy ,则 AB 的子集的个数是（ ）A. 4 B.3 C.2 D.1 方法：注意研究元素，是点的形式存在，
8、A 是椭圆，B 是指数函数，有数形结合方法，交 于两个点，说明集合中有两个元素，还要注意，题目求子集个数，所以是 22=4【答案】A 集合穿针 转化引线（最新） 一、集合与常用逻辑用语3.若2:3840:(1)(2)0pxxqxx上，则p是q的（ ） （A）充分条件 （B）必要条件（C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件解析：2:3840pxx，即2 3x 或2x ，2:23px -_:(1)(2)0qxx，即1x 或2x ，: 12qx 由集合关系知：pq，而qpp是q的充分条件，但不是必要条件故选（） 4. 若kR，则“3k ”是“方程22 133xy kk表示双曲线”的（ ） （A）充
9、分条件 （B）必要条件（C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件解析：方程22 133xy kk表示双曲线(3)(3)03kkk或3k 故选（A） 二、集合与函数5.已知集合222Py yxxQx yxx RR上上上，那么PQ等于（ ） （A） （0，2） ， （1，1） （B） （0，2） ， （1，1） （C） 1，2 （D）2y y解析：由代表元素可知两集合均为数集，又 P 集合是函数22yx 中的 y 的取值范围，故 P 集合的实质是函数22yx 的值域而 Q 集合则为函数2yx 的定义域，从而易知2PQy y，选（D） 评注：认识一个集合，首先要看其代表元素，再看该元素的属性，本题易
10、因误看代表 元素而错选（）或（） 三、集合与方程6.已知2(2)100Ax xpxxBx x R上上，且AB ，求实数 p 的取值范围解析：集合 A 是方程2(2)10xpx 的解集，则由AB ，可得两种情况：A ，则由2(2)40p ，得 40p ；方程2(2)10xpx 无正实根，因为1210x x ，-_则有0 (2)0p 上 上于是0p综上，实数 p 的取值范围为4p p 四、集合与不等式7. 已知集合222412(21)(1)0Aa axxxaBx xmxm m上上上上，若AB ，求实数 m 的取值范围解析：由不等式22412axxxa恒成立，可得 2(2)4(1)0axxa，（）（
11、1）当20a，即2a 时， （）式可化为3 4x ，显然不符合题意（2）当20a时，欲使（）式对任意 x 均成立，必需满足20 0a 上 上即2244(2)(1)0aaa 上上解得 2Aa a集合 B 是不等式2(21)(1)0xmxm m的解集，可求得1Bx mxm，结合数轴，只要12m 即可，解得 1m 五、集合与解析几何例 6 已知集合2()20Axy xmxy上和()10 02Bxy xyx 上上，如果AB ，求实数 m 的取值范围解析：从代表元素()xy上看，这两个集合均为点集，又220xmxy及10xy 是两个曲线方程，故AB 的实质为两个曲线有交点的问题，我们将其译成数学语言即为
12、：“抛物线220xmxy与线段10(02)xyx 有公共点，求实数 m 的取值范围 ”-_由220 10(02)xmxy xyx 上 上，得2(1)10(02)xmxx ，AB ，方程在区间0，2上至少有一个实数解首先，由2(1)40m ，得3m或1m当 m3 时，由12(1)0xxm 及121x x 知，方程只有负根，不符合要求；当1m时，由12(1)0xxm 及1210x x 知，方程有两个互为倒数的正根，故必有一根在区间(01上内，从而方程至少有一个根在区间0，2内综上，所求 m 的取值范围是(1 上第二章、函数 一、基础知识（理解去记） 定义 1 映射，对于任意两个集合 A，B，依对应
13、法则 f，若对 A 中的任意一个元素 x，在 B 中都有唯一一个元素与之对应，则称 f: AB 为一个映射。 定义 2 函数，映射 f: AB 中，若 A，B 都是非空数集，则这个映射为函数。A 称为它的 定义域，若 xA, yB，且 f(x)=y（即 x 对应 B 中的 y） ，则 y 叫做 x 的象，x 叫 y 的原象。 集合f(x)|xA叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数 y=3x-1 的定义域为x|x0,xR.定义 3 反函数，若函数 f: AB（通常记作 y=f(x)）是一一映射，则它的逆映射 f-1: AB 叫原函数的反函
14、数，通常写作 y=f-1(x). 这里求反函数的过程是：在解析式 y=f(x)中反解 x 得 x=f-1(y)，然后将 x, y 互换得 y=f-1(x)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如：函数 y=x11的反函数是 y=1-x1(x0).补充知识点： 定理 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称。 定理 2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。 定义 4 函数的性质。 （1）单调性：设函数 f(x)在区间 I 上满足对任意的 x1, x2I 并且 x1f(x2)，则称 f(x)在区间 I 上是增（减）函数，区间 I 称为单调增（减）区间。 （2）
15、奇偶性：设函数 y=f(x)的定义域为 D，且 D 是关于原点对称的数集，若对于任意的xD，都有 f(-x)=-f(x)，则称 f(x)是奇函数；若对任意的 xD，都有 f(-x)=f(x)，则称 f(x) 是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称。 （3）周期性：对于函数 f(x)，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内每一个 数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称 f(x)为周期函数，T 称为这个函数的周期，如果周期中存在-_最小的正数 T0，则这个正数叫做函数 f(x)的最小正周期。 定义 5 如果实数 aa记作开区间（a, +） ，集合x|xa记
16、作 半开半闭区间（-,a. 定义 6 函数的图象，点集(x,y)|y=f(x), xD称为函数 y=f(x)的图象，其中 D 为 f(x)的定义 域。通过画图不难得出函数 y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b0)； （1）向右平移 a 个单位得到 y=f(x-a)的图象； （2）向左平移 a 个单位得到 y=f(x+a)的图象； （3）向下平移 b 个单位得到 y=f(x)-b 的图象； （4）与函数 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称； （5）与函数 y=-f(-x)的图象关于原点成中心对称； （6）与函数 y=f-1(x)的图象关于直线 y=x 对称；（7）与函数 y=-f
17、(x)的图象关于 x 轴对称。定理 3 复合函数 y=fg(x)的单调性，记住四个字：“同增异减” 。例如 y=x21, u=2-x 在（-,2）上是减函数，y=u1在（0，+）上是减函数，所以 y=x21在（-,2）上是增函数。 注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。一、基础知识（初中知识 必会） 1二次函数：当a0 时，y=ax2+bx+c 或 f(x)=ax2+bx+c 称为关于 x 的二次函数，其对称轴为直线 x=-ab 2，另外配方可得 f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中 x0=-ab 2，下同。2二次函数的性质：当 a0 时，f(x)
18、的图象开口向上，在区间（-，x0上随自变量 x 增 大函数值减小（简称递减） ，在x0, -）上随自变量增大函数值增大（简称递增） 。当 a0 时，方程 f(x)=0 即 ax2+bx+c=0和不等式 ax2+bx+c0及ax2+bx+c0 时，方程有两个不等实根，设 x1,x2(x1x2和x|x10，当 x=x0 时，f(x)取最小值 f(x0)=abac 442,若 a0)，当 x0m, n时，f(x)在m, n上的最小值为 f(x0); 当 x0n 时，f(x)在m, n上的最小值为 f(n)（以上结论由二次函数图 象即可得出） 。 定义 1 能判断真假的语句叫命题，如“35”是命题，
19、“萝卜好大”不是命题。不含逻辑 联结词“或” 、 “且” 、 “非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由 复合命题。 一定注意： “p 或 q”复合命题只有当 p，q 同为假命题时为假，否则为真命题；“p 且q”复合命题只有当 p，q 同时为真命题时为真，否则为假命题；p 与“非 p”即“p”恰好 一真一假。 定义 2 原命题：若 p 则 q（p 为条件，q 为结论） ；逆命题：若 q 则 p；否命题：若非 p 则 q；逆否命题：若非 q 则非 p。 一定注意： 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。 一定注意： 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证
20、明原命题的逆否命题。 定义 3 如果命题“若 p 则 q”为真，则记为 pq 否则记作 pq.在命题“若 p 则 q”中， 如果已知 pq,则 p 是 q 的充分条件；如果 qp，则称 p 是 q 的必要条件；如果 pq 但 q 不p，则称 p 是 q 的充分非必要条件；如果 p 不q 但 pq，则 p 称为 q 的必要 非充分条件；若 pq 且 qp，则 p 是 q 的充要条件。二、基础例题（必懂） 1数形结合法。例 1（09.江西） 求方程|x-1|=x1的正根的个数.【解】 分别画出 y=|x-1|和 y=x1的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以方程有一个正根。例 2 （2010.广西
21、模拟） 求函数 f(x)=113632424xxxxx的最大值。【解】 f(x)=222222)0() 1()3()2(xxxx，记点 P(x, x-2)，A（3，2） ，xy x11 x-_B（0，1） ，则 f(x)表示动点 P 到点 A 和 B 距离的差。因为|PA|-|PA|AB|=10) 12(322,当且仅当 P 为 AB 延长线与抛物线 y=x2 的交点时等号成立。所以 f(x)max=.102.函数性质的应用。例 3 （10、全国） 设 x, yR，且满足1) 1(1997) 1(1) 1(1997) 1(32yyxx，求 x+y.【解】 设 f(t)=t3+1997t，先证
22、f(t)在（-，+）上递增。事实上，若 a0，所以 f(t)递增。 由题设 f(x-1)=-1=f(1-y)，所以 x-1=1-y，所以 x+y=2.例 4 （10、全国） 奇函数 f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又 f(1-a)+f(1-a2)0，则由得 n0。同理有 m+n=0,x=54,但与 m0,所以 f(x)在（-，-32）上递增，同理 f(x)在-41，+）上递增。在方程 f(x)=f-1(x)中，记 f(x)=f-1(x)=y，则 y0，又由 f-1(x)=y 得 f(y)=x，所以 x0,所以x,y-41，+）.若 xy，设 xy 也可得出矛盾。所以 x=y. 即 f(
23、x)=x，化简得 3x5+2x4-4x-1=0, 即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0, 因为 x0，所以 3x4+5x3+5x2+5x+10，所以 x=1. 7待定系数法。 例 1 （经典例题） 设方程 x2-x+1=0 的两根是 ，求满足 f()=,f()=,f(1)=1 的 二次函数 f(x). 【解】 设 f(x)=ax2+bx+c(a0), 则由已知 f()=,f()= 相减并整理得（-）（+）a+b+1=0， 因为方程 x2-x+1=0 中0， 所以 ，所以(+)a+b+1=0. 又 +=1,所以 a+b+1=0. 又因为 f(1)=a+b+c=1， 所以 c-1=
24、1，所以 c=2. 又 b=-(a+1)，所以 f(x)=ax2-(a+1)x+2. 再由 f()= 得 a2-(a+1)+2=, 所以 a2-a+2=+=1，所以 a2-a+1=0. 即 a(2-+1)+1-a=0,即 1-a=0， 所以 a=1, 所以 f(x)=x2-2x+2. 8方程的思想 例 2 （10.全国） 已知 f(x)=ax2-c 满足-4f(1)-1, -1f(2)5，求 f(3)的取值范围。 【解】 因为-4f(1)=a-c-1,-_所以 1-f(1)=c-a4.又-1f(2)=4a-c5, f(3)=38f(2)-35f(1),所以38(-1)+35f(3)385+35
25、4,所以-1f(3)20. 9利用二次函数的性质。 例 3 （经典例题） 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR, a0)，若方程 f(x)=x 无实根， 求证：方程 f(f(x)=x 也无实根。 【证明】若 a0，因为 f(x)=x 无实根，所以二次函数 g(x)=f(x)-x 图象与 x 轴无公共点且开 口向上，所以对任意的 xR,f(x)-x0 即 f(x)x，从而 f(f(x)f(x)。 所以 f(f(x)x，所以方程 f(f(x)=x 无实根。 注：请读者思考例 3 的逆命题是否正确。 10利用二次函数表达式解题。 例 4 （经典例题）设二次函数 f(x)=ax2+b
26、x+c(a0)，方程 f(x)=x 的两根 x1, x2 满足00，所以 f(x)x.其次 f(x)-x1=(x-x1)a(x-x2)+1=a(x-x1)x-x2+a11，求证：方程的正根比 1 小， 负根比-1 大。-_【证明】 方程化为 2a2x2+2ax+1-a2=0. 构造 f(x)=2a2x2+2ax+1-a2, f(1)=(a+1)20, f(-1)=(a-1)20, f(0)=1-a20， 所以 f(x)在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。 即方程的正根比 1 小，负根比-1 大。 12定义在区间上的二次函数的最值。例 6 （经典例题）当 x 取何值时，函数 y=2224)
27、 1(5 xxx取最小值？求出这个最小值。【解】 y=1-222) 1(5 11 xx,令112xu,则 0-(b+1)，即 b-2 时，x2+bx 在0，-(b+1)上是减函数，所以 x2+bx 的最小值为 b+1,b+1=-21,b=-23.综上，b=-23.13.一元二次不等式问题的解法。例 8 （经典例题） 已知不等式组 12022axaaxx的整数解恰好有两个，求 a的取值范围。 【解】 因为方程 x2-x+a-a2=0 的两根为 x1=a, x2=1-a, 若 a0，则 x11-2a.-_因为 1-2a1-a，所以 a0,所以不等式组无解。若 a0，）当 021时，a1-a，由得
28、x1-2a，所以不等式组的解集为 1-a1 且 a-(1-a)3， 所以 10，=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)20 恒成立，所以(B-A-C)2-4AC0， 即 A2+B2+C22(AB+BC+CA) 同理有 B0，C0，所以必要性成立。 再证充分性，若 A0，B0，C0 且 A2+B2+C22(AB+BC+CA)， 1）若 A=0，则由 B2+C22BC 得(B-C)20，所以 B=C，所以=0，所以成立，成立。2）若 A0，则由知0，所以成立，所以成立。 综上，充分性得证。 15常用结论。 定理 1 若 a, bR, |a|-|b|a+b|a|+|b|.绝对值不等式 【证
29、明】 因为-|a|a|a|,-|b|b|b|，所以-(|a|+|b|)a+b|a|+|b|, 所以|a+b|a|+|b|（注：若 m0，则-mxm 等价于|x|m）. 又|a|=|a+b-b|a+b|+|-b|, 即|a|-|b|a+b|.综上定理 1 得证。定理 2 若 a,bR, 则 a2+b22ab；若 x,yR+,则 x+y.2 xy注 定理 2 可以推广到 n 个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。第三章、基本初等函数 一、基础知识（必会）-_1指数函数及其性质：形如 y=ax(a0, a1)的函数叫做指数函数，其定义域为 R，值域为 （0，+） ，当 01 时，y=ax 为增函
30、数，它的图象恒过定点 （0，1） 。2分数指数幂：nmnmnnnmnm nn aaaaaaaa1,1,1 。3对数函数及其性质：形如 y=logax(a0, a1)的函数叫做对数函数，其定义域为 （0，+） ，值域为 R，图象过定点（1，0） 。当 01 时， y=logax 为增函数。 4对数的性质（M0, N0） ； 1）ax=Mx=logaM(a0, a1)； 2）loga(MN)= loga M+ loga N；3）loga（NM）= loga M- loga N；4）loga Mn=n loga M（万能恒等式）5）loga nM=n1loga M；6）aloga M=M; 7) l
31、oga b=abcc loglog(a,b,c0, a, c1).5. 函数 y=x+xa（a0）的单调递增区间是a,和,a，单调递减区间为 0 ,a和a, 0。 （请同学自己用定义证明）6连续函数的性质：若 a0. 【证明】 设 f(x)=(b+c)x+bc+1 (x(-1, 1)，则 f(x)是关于 x 的一次函数。 所以要证原不等式成立，只需证 f(-1)0 且 f(1)0（因为-10， f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)0， 所以 f(a)0，即 ab+bc+ca+10.例 2 （06） （柯西不等式）若 a1, a2,an 是不全为 0 的实数，b1, b2,bnR，则
32、（ niia12）（ niib12）( niiiba1)2，等号当且仅当存在R，使 ai=ib, i=1, 2, , n时成立。【证明】 令 f(x)= （ niia12）x2-2( niiiba1)x+ niib12= niiibxa12)( ,因为 niia120，且对任意 xR, f(x)0，-_所以=4( niiiba1)-4（ niia12）( niib12)0.展开得（ niia12）( niib12)( niiiba1)2。等号成立等价于 f(x)=0 有实根，即存在，使 ai=ib, i=1, 2, , n。*注释：根据许多省市的 2011 年高考大纲，柯西不等式已经淡化，同学
33、只需大致了解就 即可，不需深入做题。例 3（10.全国卷） 设 x, yR+, x+y=c, c 为常数且 c(0, 2，求 u= yyxx11的最小值。【解】u= yyxx11=xy+xyxy yx1 xy+xy1+2xy yx=xy+xy1+2.令 xy=t，则 00，所以pq=.251例 5 （经典例题）对于正整数 a, b, c(abc)和实数 x, y, z, w，若 ax=by=cz=70w，且wzyx1111 ，求证：a+b=c.【证明】 由 ax=by=cz=70w 取常用对数得 xlga=ylgb=zlgc=wlg70.所以w1lga=x1lg70, w1lgb=y1lg70
34、, w1lgc=z1lg70，相加得w1(lga+lgb+lgc)= zyx111lg70，由题设wzyx1111 ，所以 lga+lgb+lgc=lg70，所以 lgabc=lg70. 所以 abc=70=257. 若 a=1，则因为 xlga=wlg70，所以 w=0 与题设矛盾，所以 a1. 又 abc，且 a, b, c 为 70 的正约数，所以只有 a=2, b=5, c=7. 所以 a+b=c. 例 6 （经典例题） 已知 x1, ac1, a1, c1. 且 logax+logcx=2logbx，求证 c2=(ac) logab. 【证明】 由题设 logax+logcx=2lo
35、gbx，化为以 a 为底的对数，得bx cxxaaaa aloglog2 logloglog ，因为 ac0, ac1，所以 logab=logacc2，所以 c2=(ac)logab. 注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。 3指数与对数方程的解法。 解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单 调性的应用和未知数范围的讨论。例 7 （经典例题）解方程：3x+4 x +5 x =6 x.【解】 方程可化为xxx 65 32 21=1。设 f(x)= xxx 65 32 21, 则 f(x)在(-,+)上是减函数，因为 f(3)=1，所
36、以方程只有一个解 x=3.例 8 （经典例题） 解方程组：312xyyxyxyx（其中 x, yR+）.【解】 两边取对数，则原方程组可化为.3lg)(lg12lg)( glxyyxyxyx把代入得(x+y)2lgx=36lgx，所以(x+y)2-36lgx=0.-_由 lgx=0 得 x=1，由(x+y)2-36=0(x, yR+)得 x+y=6， 代入得 lgx=2lgy，即 x=y2，所以 y2+y-6=0. 又 y0，所以 y=2, x=4.所以方程组的解为24;112211 yxyx.例 9 已知 a0, a1，试求使方程 loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的 k 的
37、取值范围。【解】由对数性质知，原方程的解 x 应满足00)(22222axakxaxakx. 若、同时成立，则必成立，故只需解 0)(222akxaxakx. 由可得 2kx=a(1+k2)， 当 k=0 时，无解；当 k0 时，的解是 x=kka 2)1 (2，代入得kk 212k.若 k1，所以 k0，则 k20，则 Ax+By+C0 表示的区域为 l 上方的部分，Ax+By+C0)。其圆心为2,2ED，半径为-_FED42122 。若点 P(x0, y0)为圆上一点，则过点 P 的切线方程为. 02200 00 FyyExxDyyxx14根轴：到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线（或它
38、的一部分） ，这条直线叫两圆 的根轴。给定如下三个不同的圆：x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0, i=1, 2, 3. 则它们两两的根轴方程 分别为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0; (D2-D3)x+(E2-E3)y+(F2-F3)=0; (D3-D1)x+(E3-E1) y+(F3-F1)=0。不难证明这三条直线交于一点或者互相平行，这就是著名的蒙日定理。 二、基础例题（必会） 1坐标系的选取：建立坐标系应讲究简单、对称，以便使方程容易化简。 例 1 （经典例题） 在 ABC 中，AB=AC，A=900，过 A 引中线 BD 的垂线与 BC 交于 点 E，求证：AD
39、B=CDE。 证明 见图 10-1，以 A 为原点，AC 所在直线为 x 轴，建立直角坐标系。设点 B，C 坐标分别为（0,2a）,(2a,0)，则点 D 坐标为（a, 0） 。直线 BD 方程为12ay ax， 直线 BC方程为 x+y=2a， 设直线 BD 和 AE 的斜率分别为 k1, k2，则 k1=-2。因为 BDAE，所以 k1k2=-1.所以212k ，所以直线 AE 方程为xy21 ，由ayxxy2,21解得点 E 坐标为aa32,34。所以直线 DE 斜率为. 234323 aaa k因为 k1+k3=0.所以BDC+EDC=1800，即BDA=EDC。 例 2 （经典例题）
40、半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动。证明：三 角形另两条边截圆所得的弧所对的圆心角为 600。 证明 以 A 为原点，平行于正三角形 ABC 的边 BC 的直线为 x 轴，建立直角坐标系见图 10-2，设D 的半径等于 BC 边上的高，并且在 B 能上能下滚动到某位置时与 AB，AC 的交点分别为 E，F，设半径为 r，则直线 AB，AC 的方程分别为xy3,xy3.设D 的方程为(x-m)2+y2=r2.设点 E，F 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，则,311xy 223xy，分别代入并消去 y 得. 03).(03)(22 22 222 12 1rxmxrxm
41、x-_所以 x1, x2 是方程 4x2-2mx+m2-r2=0 的两根。由韦达定理 4,2222121rmxxmxx，所以|EF|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+3(x1-x2)2 =4(x1+x2)2-4x1x2=m2-(m2-r2)=r2. 所以|EF|=r。所以EDF=600。 2到角公式的使用。 例 3 设双曲线 xy=1 的两支为 C1，C2，正 PQR 三顶点在此双曲线上，求证：P，Q，R 不可能在双曲线的同一支上。 证明 假设 P，Q，R 在同一支上，不妨设在右侧一支 C1 上，并设 P，Q，R 三点的坐标分别为,1,1,1,33 22 11 xxxx
42、xx且 0-1，在（1）区域里，求函数 f(x,y)=y-ax 的最大值、最小值。解 （1）由已知得, 032, 322, 41xxyyx或. 032,232, 41xxyyx解得点(x, y)所在的平面区域如图 10-4 所示，其中各直线方程如图所示。AB：y=2x- 5；CD：y=-2x+1；AD：x+y=1；BC：x+y=4. (2) f(x, y)是直线 l: y-ax=k 在 y 轴上的截距，直线 l 与阴影相交，因为 a-1，所以它过顶点 C 时，f(x, y)最大，C 点坐标为（-3，7） ，于是 f(x, y)的最大值为 3a+7. 如果-12，则 l 通过 B（3，1）时，f
43、(x, y)取最小值为-3a+1. 6参数方程的应用。 例 7 如图 10-5 所示，过原点引直线交圆 x2+(y-1)2=1 于 Q 点，在该直线上取 P 点，使 P 到直线 y=2 的距离等于|PQ|，求 P 点的轨迹方程。解 设直线 OP 的参数方程为 sincos tytx（t 参数） 。代入已知圆的方程得 t2-t2sin=0. 所以 t=0 或 t=2sin。所以|OQ|=2|sin|，而|OP|=t. 所以|PQ|=|t-2sin|，而|PM|=|2-tsin|. 所以|t-2sin|=|2-tsin|. 化简得 t=2 或 t=-2 或 sin=-1.-_当 t=2 时，轨迹方
44、程为 x2+y2=4；当 sin=1 时，轨迹方程为 x=0. 7与圆有关的问题。 例 8 点 A，B，C 依次在直线 l 上，且 AB=ABC，过 C 作 l 的垂线，M 是这条垂线上的动 点，以 A 为圆心，AB 为半径作圆，MT1 与 MT2 是这个圆的切线，确定 AT1T2 垂心 的轨迹。 解 见图 10-6，以 A 为原点，直线 AB 为 x 轴建立坐标系，H 为 OM 与圆的交点，N 为 T1T2 与 OM 的交点，记 BC=1。 以 A 为圆心的圆方程为 x2+y2=16，连结 OT1，OT2。因为 OT2MT2，T1HMT2，所 以 OT2/HT1，同理 OT1/HT2，又 OT1=OT2，所以 OT1HT2 是菱形。所以 2ON=OH。又因为 OMT1T2，OT1MT1，所以2 1OTONOM。设点 H 坐标为（x,y） 。点 M 坐标为(5, b)，则点 N 坐标为 2,2yx，将坐标代入2 1OT=ONOM，再由xyb5得.516 5162 22 yx在 AB 上取点 K，使 AK=54AB，所求轨迹是以 K 为圆心，AK 为半径的圆。例 9 已知圆 x2+y2=1 和直线 y=2x+m 相交于 A，B，且 OA，OB 与 x 轴正方向所成的角 是 和 ，见图 1