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1、基于粒子子滤波器器的非线线性或非非高斯分分布情况况下的在在线数据据贝叶斯斯目标追追踪的讲讲解个人翻译译作品By 梧梧桐QQ:334022871132原文A Tuutorriall onn Paartiiclee Fiilteers forr OnnlinneNonllineear/Nonn-Gaausssiann Baayessiann TrrackkinggM. SSanjjeevv Arrulaampaalamm, SSimoon MMaskkelll, NNeill Goordoon, andd Tiim CClappp基于粒子子滤波器器的非线线性或非非高斯分分布情况况下的在在线数据据贝
2、叶斯斯目标追追踪的讲讲解摘要如今许许多应用用领域中中，为了了提高物物理系统统中基础础动力的的建模精精度，人人们纷纷纷引入非非线性和和非高斯斯性情况况的处理理方法，促促使该技技术地位位日益重重要。加加之，无无论是计计算仓储储费用还还是对变变化的信信号特征征作出迅迅速判断断，在线线数据的的处理的的方法都都起着关关键性的的作用。因此本本文将着着重针对对粒子滤滤波器中中的非线线性和非非高斯分分布情况况下的目目标追踪踪问题，讨讨论最优优和次优优贝叶斯斯算法的的实际应应用。粒粒子滤波波器的思思想是源源自序列列蒙特卡卡罗方法法，它用用粒子来来表示概概率密度度函数。这种方方法可以以应用到到任何形形式的状状态空
3、间间模型中中，并且且涵盖了了一切卡卡尔曼滤滤波方法法能处理理的情况况。而且且滤波器器形式多多样，例例如SIIR，AASIRR，以及及RPFF，但它它们都引引用了名名为序列列性重要要化采样样算法（SSIS）的的通用框框架。下下文中，通过讨讨论，对对比以及及引用典典型事例例，我们们将对标标准的卡卡尔曼滤滤波器进进行详细细阐述。关键词：贝叶斯斯算法，非非线性和和非高斯斯分布，粒粒子滤波波器，序序列蒙特特卡罗方方法，目标追追踪简介科学生活活中面对对许多问问题时，都都需要对对系统状状态进行行估算，即即利用含含有噪声声的观测测量，对对非线性性系统的的状态做做出实时时估计的的问题。本文中中，我们们将主要要研
4、究动动态模型型系统中中的状态态空间法法，而重重点是离离散时间间公式的的讨论。因此，系系统随时时间演化化的过程程中，我我们会使使用不同同的公式式与之对对应。动动态状态态估算中中，离散散时间公公式既简简便又实实用。离散时间间公式主主要着眼眼于系统统状态向向量的运运算。状状态矢量量是用于于描述系系统调查查过程中中所需要要的一切切相关信信息的合合集，比比如研究究目标追追踪时，目标标的运动动特征。再之，在在经济计计量学上上的资金金流，利利率，通通货膨胀胀等信息息。观测测矢量代代表同状状态矢量量相关的的干扰观观测值。一般来来讲，观观测向量量比状态态向量维维数低（但但也并非非绝对）。状态空空间公式式便于解解
5、决多变变量数据据和非线线性及非非高斯分分布的情情况，并并且为传传统的时时间序列列方法提提供了极极大的优优势。公公式【441】对此进进行了详详细的解解释。另另外，在在【266】中，列列举出各各类应用用非线性性和非高高斯分布布的状态态空间模模型。处理动力力系统问问题时，至至少需要要两个模模型才能能对其作作出分析析和推理理。第一一个表达达状态随随时间变变化的动动态方程程（系统统模型），第第二个表表表述观观测向量量与状态态向量之之间关系系的量测测方程（量量测模型型）。假假设两种种模型在在概率形形式上可可行。理理想状态态下，时时间空间间的概率率方程和和得到新新测量值值后对信信息的更更新需求求仍然适适用贝
6、叶叶斯算法法。那么么这就为为动态状状态估算算时提供供了严密密的通用用框架。在动态状状态估算算中运用用贝叶斯斯算法时时，有人人曾尝试试建立一一个后验验概率密密度函数数处理任何何信息，包包括接收收到的所所有测量量值。自自从后验验概率函函数出现现之后，可可以说它它是一切切估算问问题的全全解。原原则上来来讲，通通过后验验概率函函数可以以得到系系统的最最优估算算方法，以以及精确确估算的的测量方方法。但但是很多多问题中中，估算非非常频繁繁，每接接收到一一份测量量值都需需要进行行一次估估算。在在这种情情况下，最最方便的的解决方方法是递递推滤波波器。这种滤滤波器能能够对接接收到的的测量值值进行有有序处理理，而
7、非非分批处处理。这这样就能能有效避避免存储储完整数数据集后后才处理理，或者者每接收收新的测测量值就就要对已已存在的的所有数数据重新新计算。递推滤滤波器有有预测和和修正两两个必要要步骤。预测阶阶段，系系统模型型会对下下一个测测量值的的后验概概率函数数进行期期望值计计算。由由于系统统状态通通常会受受未知因因素干扰扰（随机机噪声），预测测时会对对状态后后验概率率函数进进行编译译，变形形，以及及扩展。修正运运算是使使用最新新的测量量值则对期望望值的后后验状态函函数进行行修改。以上两两步都建建立在贝贝叶斯理理论之上上，即按照照新数据据中的额额外信息息对目标标状态进进行及时时修正。本文的第第二部从从非线性
8、性目标追追踪问题题的描述述和最优优贝叶斯斯算法展展开。在在某些特特定条件件下，最最优贝叶叶斯算法法非常实实用。而而另外两两种算法法，卡尔尔曼滤波波器算法法和网格格点算法法将在本本文第三三部分进进行阐述述。最优优算法此此时不易易实现。第四部部分则概概括了几几种最优优算法的的近似算算法，其其中包括括扩展卡卡尔曼滤滤波算法法，网格格点逼近近算法和和粒子滤滤波算法法。然后后在第六六部分，文文章通过过一个简简单的标标量实例例，。最最后第七七部分为为总结部部分。本本文是一一篇指导导性文章章：因此此。II. 非线性性目标追追踪为了定义义目标追追踪，设设目标状状态运动动序列为为函数方程程为此处，为为非线性性概
9、率函函数，是独立立分布的的噪音序序列。分别为为状态规规模和噪噪音向量量处理，为自然数集。目标的追踪是对进行递推估算。函数方程程为其中，为为非线性性概率函函数，是独立立分布的的噪音序序列，分分别为状状态规模模和噪音音向量处处理，的的变量为为时间KK。设所需后后验概率率函数在在时间KK-1为为可求。那么预预测阶段段就通过过方程式式（3）使用系统模型（1）求的在时间K时前一后验概率函数的值。其后在时时间为KK时，测测量值可可求，此此时根据据贝叶斯斯定理对对前一数数据进行行修正（修修正阶段段）。而其归归一化常常数函数数为III. 最优优算法A卡尔尔曼滤波波方法当系统方方程为线线性函数数。过程程噪声。观
10、测噪噪声以及及系统状状态的先先验概率率密度函函数为高高斯分布布时。递递推的贝贝叶斯会会计问题题可以大大大减化化。在这这种条件件下，由由于高斯斯分布的的一、二二阶矩包包含了概概率分布布的全部部信息，只只须估计计系统状状态的条条件均值值及协方方差阵。就能够够递推计计算后验验概率密密度函数数其实实现过程程就是卡卡尔曼滤滤波算法法。此时时。系统统方程为为：卡尔曼曼滤波算算法由公公式（33）和（44）推出出，通常常用一下下函数表表示其递递推关系系。其中及表示示变量XX服从均均值为mm，方差差为P的的高斯密密度。B网格格点算法法当状态空空间为离离散态且且包含状状态限量量时，网网格点算算法引入入了最优优递增
11、算算法中的的密度函函数。设设状态空空间在时时间K-1包含含离散状状态。那那么在每每个状态态下，为为其引入入假定状状态概率率，并用用表示到到时间KK-1为为止的测测量值，函函数即。如此在在K-11时刻的的后验概概率密度度函数即即为其中为为狄拉克克测量函函数。将将函数（117）替替换到（33）和（44）的预预测与修修正方程程式中，分分别为其中IV. 次优算算法而实际应应用中，许多情况下上文中的假设并不成立，因此尔曼滤波算法和网格点算法并不实用，此时，只能采用近似的次优滤波算法。本部分我们将介绍3种非线性贝叶斯近似算法：a) 扩展的卡卡尔曼算算法（EEKF）b) 近似网格格点算法法c) 粒子滤波波算
12、法A 扩展的卡卡尔曼算算法 EEKF在非线性性函数中中，（11）和（22）不能能写成（66）和（77）的形形式，我我们就用用一个区区域线化化等式来来描述非非线性情情况。EEKF即即是基于于次思想想的近似似算法，是一个高斯近似算法函数其中此处 和和为非线线性函数数，和是之前前非线性性函数中中的区域域化线性性函数(例如，矩矩阵算法法)。EKF方方法在线线性化过过程中。仅对泰泰勤级数数展开作作一阶截截短，因因而其相相应的均均值，方方差估计计仅仅有有一阶精精度；而而且，该该方法忽忽略了系系统状态态及噪声声的随机机分布特特性，仅仅仅在当当前状态态、估计计值点上上作线性性变换。这些都都对转换换后变量量均值
13、、方差估估计引入入了较大大的误差差，甚至至导致滤滤波器发发散。B 近似网格格点算法法如果状态态空间是是连续的的，但不不属于“集合单单元”，那么可以以用网格格点算法法近似计计算其后后的密度度值。设设后验概概率密度度函数在在K-11时的函函数值近近似为那么预测测和修正正函数则则为其中此处，表表示V. 粒粒子滤波波算法A序列列化重要要性抽样样算法（SSIS）序列化重重要性抽抽样算法法是一种种蒙特卡卡洛算法法。这种种算法是是过去几几十年由由大连续续蒙特卡卡洛算法法演变而而来的。为了展展示算法法的细节节，用表表示一个个含后验概概率密度度的随机估估量。其中支持持点相关关加权，而而表示到到时间KK为止所所有
14、的状状态量。Weigght一一个固定定值，表表达式为为。那么么在K时时的后验验密度即即近似表表示为因此我们们就有了了得到一一个计算算真后验验的离散散加权的的逼近算算法。加权选选用重要要性采样样原理。这个原原理的依依据是设设是一个个难以采采样的系系统的概概率密度度函数。此外，令令为样本本，且可可以从假假设中轻轻易产生生，称为为重要密密度。那那么对的的加权近近似密度度算法就就为其中是对i的的粒子的的标准化化加权。因此样样本从重重要密度度函数中中得到。然后用用（422）表示示（400）的加加权函数数就是回到序序列，在在每个迭迭代中，可可以得到到样本的的近似函函数，和和新样本本集的期期望值。将重要要密
15、度函函数因数数分解得得出增加现存存样本，可可以得到到样本。通过（44）中提提到的方方法可以以推出积积分（445）将（444）（446）代代入（443），加加权修正正等式为为另外，如如果，如如此重要要密度函函数变量量仅为和和。此式式适用于于每个时时间段只只需滤波波估算的的通常情情况。由由此我们们可以加加上一个个条件，只只有可以以被存储储，因此此可以丢丢弃频道道以及的历历史观测测值。修修改后的的加权函函数即为为后验过过滤密度度函数即即近似于于由于每每一个测测量值都都是按序序接收的的，因此此序列重重要采样样算法含含递增加加权和支支点。此此算法的的伪码描描述为 算法11.1） 粒子退化化现象：在滤波波
16、过程中中经过几几次迭代代, 除除了一个个样本外外其余样样本的重重要性权权重都很很小,结结果粒子子集无法法表达实实际的后后验概率率分布。其中代代表“真实加加权”。此值值不能被被精确估估算。但但是的可以通通过下式式估算出出。2） 重要密度度的最佳佳选择。第一种方方法中包包括选择择重要密密度函数数对进行最最小化计计算令最最大。最最优重要要密度函函数方程程为：将（448）代代入（552）得得出如果建模模中的动动力情况况为非线线性及测测量值为为线性的的。那么么系统函函数为：其中是一个非非线性方方程，是是观测矩矩阵，和和相互独独立的独独立同分分布高斯斯序列，且且。令得出且最后，选选择重要要密度函函数做前前
17、验计算算非常方方便。将（448）代代入（662）3）重采采样：为了解解决样本本退化问问题,引引入了重重要性重重采样的的采用方方法。重采样样的基本本思想通通过在两两次重要要性采样样之间增增加重采采样步,消除权权值较小小的样本本,并对对权值较较大的样样本复制制,产生生的采样样是独立立同分布布。所以权权值都变变为。虽然重采采样的引引用减弱弱了粒子子退化问问题的影影响。但但是同时时产生了了其他的的实际问问题。首首先，减减少粒子子的平行行几率，所所有粒子子必须组组合。其其二，粒粒子必须须经历大大量的多多次加权权计算，增增加计算算量。导导致了粒粒子分集集度的损损失。在在小型的的噪音处处理过程程中，这这个问
18、题题比较频频繁，且且被称为为采样点点贫乏。实际上上，由于于采样点点贫乏，在在小的噪噪音处理理时，所所有的粒粒子在几几个迭代代之后就就会坍塌塌到一点。第第三，由由于粒子子分集数数减少，任何基于粒子路径的平滑估算都会衰变。计算中必须加入有中和方法。一种方法是由前粒子状态决定后续滤波，然后通过对第一及最后时标的递推计算，重新计算对粒子做加权计算，以得到平滑估算【16】。另一种方法是使用蒙特卡罗算法【5】。B其余余相关粒粒子滤波波算法第五部分分A中所所介绍的的序列重重要采样样算法为为大部分分的粒子子滤波算算法提供供了理论论基础。而事实实上粒子子滤波算算法仍有有教广的的发展。在其他他文献中中提到的的各种
19、版版本的粒粒子滤波波算法都都可以归归纳为通通用序列列重要采采样算法法的特例例。通过过重要采采样密度度和重采采样步骤骤的修正正，这些些特例，都都可以由由序列重重要采样样算法得得出。以以下列出出了几项项典型的的粒子滤滤波特殊殊算法。i)重要要性重采采样滤波波算法（SSIR）ii) 辅助重重要性重重采样滤滤波算法法（ASSIR）iii) 正规规粒子滤滤波算法法(RPPF).1） 重要性重重采样滤滤波算法法本算法属属于蒙特特卡罗算算法的一一种，且且普遍应应用于解解决递推推贝叶斯斯滤波问问题。状状态的动动态方程程和量测测方程即即(1)和（22），分别别需要作作为已知知条件给给出，并并需要从从信号噪噪声分
20、配配过程的的和前验验中进行行实感（rreallizaatioons这这个词）抽抽样。最最后概似似函数必必须能在在逐点函函数中实实现。如如果对递递推重要要性采样样函数选选择正确确，就能能够轻易易推出重重要性重重采样滤滤波算法法，1）重重要密度度中选作作为前验验密度函函数，22）重采采样应用用于每个个时间系系数。以上的对对重要密密度的选选择表明明我们需需从中进进行抽样样，样本本的推导导有两个个步骤，首首先推出出一个噪噪音采样样方程，然然后设，其其中为概概率密度度函数。通过此此重要密密度函数数的特殊殊选择方方法，我我们很明明显的看看出加权权方程为为然而每个个时间系系数都需需要进行行重采样样，因此此得
21、出重采样过过程之前前(666)中比比例项所所导出的的加权为为常量。在算法法四中我我们会对对本算法法中的迭迭代进行行讲解。由于SSIR算算法中的的重要性性抽样密密度独立立于测量量值，状状态空间间量可以以不依据据观测量量得出。所以此此滤波算算法受异异常值影影响较大大甚至无无效。另另外由于于每一个个迭代步步骤中都都有重采采样过程程，这将将导致粒粒子多样样化得迅迅速损失失。然而而，本算算法的优优点在于于重要性性加权估估算步骤骤简单，重重要性密密度的抽抽样步骤骤便捷。2） 辅助重要要性重采采样滤波波算法本算法是是由Piitt 和 Shhephhardd作为SSIR算算法的衍衍生算法法提出的的。本算算法由
22、SSIR算算法的核核心算法法导出，引引入了对对进行抽抽样的重重要性密密度函数数，其中中表示时的的粒子指指数。根据贝叶叶斯算法法规则，比比值可由由下式推推出ASIRR的算法法是通过过联合概概率密度度函数获获取样本本，省略略中的指指数i，从从而从边边缘化密密度中得得到，用用于描述述样本的的重要密密度函数数规定为为满足比比例函数数设由（688）为样本分分配一个个加权比比例函数数至（667）（668）等等式右边边具体算法法如下所所示（34）中中原版ASSIR算算法内还还包含另另外一个个步骤，即即重采样样，用于于产生一一个同II.I.D样本等同同的加权权值。同SIIR算法法相比，11 能从从K-11的样
23、本本中便捷捷的算出出结果。2 AASIRR在前一一个单位位时间内内可以看看做是重重采样过过程。3） 正规化粒粒子滤波波算法采样是在在第五部部分B11中提出出的一种种解决例例子退化化问题的的算法，在在粒子滤滤波算法法中应用用普遍。然而，需需要指出出的是，重重采样同同时为计计算过程程带来了了新的问问题，尤尤其是粒粒子多样样性的损损失。引引起这个个问题的的原因是是粒子是是被绘制制成离散散态而非非连续的的，如果果此问题题处理不不当，那那么会引引起粒子子坍塌现现象。正正规化粒粒子滤波波算法（RRPF）是是一种改改进后的的粒子滤滤波算法法，能够够处理上上述的问问题。RPF同同SIRR滤波算算法除了了重采样
24、样步骤之之外完全全一致，RRPF是是从一个个后验密密度函数数的连续续近似值值中重新新采样。SIRR则是从从密度近近似函数数（644）中进进行重采采样。特特别是在在RPFF中，样样本是来来自近似似等式其中为核密度度方程，为为核带宽宽，是状状态向量量X的尺尺寸，且且。是加权权常量。核密度度方程是是一个对对称的概概率密度度方程如如下核密度方方程以及及核带宽宽h用来来最小化化真是厚厚颜密度度函数和和与其一一致的（773）中中的正规规化表述述之间的的综合平平方差误误差。方方程如下下约等于（773）的的等式右右边的。如果有有种特殊殊情况，所所有的样样本都由由相同的的加权，那那么核函函数的最最优选择择是Ep
25、paneechnnikoov核函函数。基础密度度函数为为高斯分分布，且且有一系系列协方方差矩阵阵,那么么带宽的的最优选选择也是是【311】虽然（776） （777） （778）的的结果只只是一些些特定情情况下的的最佳方方案，但但是这些些结果仍仍然可以以在一般般情况下下作为次次优方案案使用。算法66中列出出了RPPF的算算法内的的相互作作用。RRPF与与一般的的粒子滤滤波算法法最大的的区别就就在算法法3中，不不只是经经验协方方差矩阵阵的计算算，而是是在重采采样是加加入了规规则化的的步骤。图标一根据以上上步骤我我们就能能从（773）中中得出ii.i.d的随随机样本本。就复杂性性而言，RRPF算算法
26、和SSIR差差不多，除除了RPPF在每每一个时时间步骤骤中，需需要从核核函数中中得出的的的附加加条件。RPFF有一个个理论缺缺陷，样样本不能能保证近近似值和和后验的的值渐近近。在实实际应用用中，当当样本严严重贫乏乏时，例例如，噪噪音信号号非常小小，RPPF算法法要比SSIR更更加实用用，精确确。VI. 实例此处我我们将以以下方程程式作为为例证说说明：或等同同于其中和分别表表示。的的和。我们们令且。这个个例子曾曾被多次次发表。作为对对照，FFig.1为样样本的真真正运动动状态，FFig.2为测测量值。Fig.1 以以K为变变量状态态值为解解的样本本运动方方程的真真正数据据。Fig.2 同同Fig
27、g.1相相同的样样本运动动方程中中状态值值的测量量值。近似网格格点算法法使用550个状状态值【-25,25】。所有的的粒子滤滤波算法法拥有550个粒粒子，并并且在阶阶段会进进行连续续重新取取样。辅辅助粒子子滤波算算法则用用，正则则化粒子子滤波算算法用第第五部分分B3中中提到的的核与频频宽。A扩展展卡尔曼曼算法扩展卡尔尔曼算法法中的局局部线性性化技术术，和高高斯近似似算法扩扩展卡尔尔曼滤波波算法并并不能对对样Fig. 3. 扩展展卡尔曼曼算法开开发为状状态值估估算Fig. 4.在之上或或者之下下位置的的状态值值展为 EKFF算法。真正固固定的状状态量也也显示出出来。本的非线线性和非非高斯本本质进
28、行行充分描描述。一一旦EKKF不能能近似于于基本的的后验概概率，高高斯近似似算法也也实用时时EKKF算法法则倾向向技能选选择“错误”的模式式，又能能在个模模式间求求平均。结果在在这种无无法近似似求概率率密度的的情况下下，线性性近似算算法也不不能实现现。B. 近似网格格点滤波波算法这是一个个低纬度度例子, 人们们认为近近似网格格点算法法在其中中非常实实用。正正如图55所示。这种算算法能够够为多峰峰问题建建模。另外还还能利用用近似网网格点算算法而非非扩展卡卡尔曼算算法减少少显著的的均方根根误差。粒子滤滤波算法法中粒子子在运算步骤骤中是通过过迭代算算法，然然而近似似网格点点算法中中是通过过单元运运算
29、。如如此近似似网格点点算法中中的均方方差根误误差要比比其他的的粒子滤滤波算法法大，这这一点很很令人惊惊讶。作作者认为为这是一一种认为为误差；而且有有人提出出了解决决算法。另外网网格点中中固定位位置表明明网格点点接近正正负255的区间间内，而而真实状状态值远远在其范范围之外外，那么么就会产产生极大大误差。C 辅助粒子子滤波算算法误差产生生的一个个原因是抽抽出的粒粒子群位位置较差差。可能能有人认认为，选选取较好好的位置置抽取粒粒子就可可以减少少误差。辅助粒粒子滤波波算法看看似可行行。他可可以作为为SIRR的合适适候补算算法。此此处，我我们为样样本中的的一个样样本。Fig.6 此此图为SSIR粒粒子
30、滤波波器中的的概率密密度图如Figg 7所所示，对对于本例例，辅助助粒子滤滤波算法法表现出出色。毫毫无疑问问，表77比表66中的斑斑点要少少，数据据更加集集中于真真实状态态值。但但是可能能有人会会认为解解决这一一问题辅辅助粒子子滤波算算法并不不适用，因因为先验验性要比比拟然性性范围更更广。Fig. 7 此图为为辅助粒粒子滤波波算法中中的概率率密度图图均方差误误差可以以通过辅辅助粒子子滤波算算法得到到一定减减少。Fig. 8 此图为为正规粒粒子滤波波算法中中的概率率密度图图VII. 总结结对于某些些特定问问题，如如果卡尔尔曼滤波波算法或或网格点点滤波算算法的假假设成立立，那么么这两种种方法是是解
31、决这这些问题题的最佳佳算法。然而，在在多数实实际情况况中，这种假假设难以以成立，只只能采用用近似算算法。我们使用用扩展卡卡尔曼算算法近似似出动力力学及测测量过程程中的模模型，从从而近似的求求出其在在高斯分分布下的的概率密密度函数数。而近近似网格格点算法法求出离离散分布布下，连连续状态态空间量量的近似似值。但但是这个个算法都都需要对对目标地地区进行行预算，而而在处理理高纬状状态空间间问题时时，这会极大大的加大大成本。粒子滤滤波算法法是直接将密密度值近近似为定定量的样样本群。如今的的粒子滤滤波算法法可谓多多种多样样，其中中一些应应用到特特殊算法法，在众众多算法法中比较较杰出。然而为为专业应应用领域
32、域涉及粒粒子滤波波器时，恰恰当得选选取重要要密度起起着至关关重要的的作用。REFEERENNCESS1 S. Aruulammpallam andd B. Riistiic, “Coompaarisson of thee paartiiclee fiilteer wwithhrannge parrameeterrizeed aand moddifiied pollar EKFFs forr annglee-onnly traackiing,”Prroc. SPPIE, vool. 40448, pp. 28882299, 20000.2 Y. Barr-Shhaloom aand X. R.
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