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1、一本学生概率论数理统计练习题参考答案一本 概率论 与 数理统计 练习一答案 一、单项选择题 1 、设 ) , ( ), , ( 22 221 1s m s m N Y N X ，且 Y X, 相互独立，则（C）(A) ) , ( 2221 2 1s s m m N XY (B) ) , ( 2221 2 1s s m m - - - N Y X(C) ) , ( 2221 2 1s s m m + + + N Y X (D) ) / , / ( /2221 2 1s s m m N Y X2 、下列函数中可作为随机变量分布函数是（B）。(A) +=-0 , ) 1 (0 , 0) (1 2x
2、xxx F(B) - +- =-1 , ) 1 (1 , 1) (1 2x xxx F(C) =-0 , 00 ,) (xx ex Fx (D) - 则必有（C）(A) ) | ( ) | ( B A P B A P = (B) ) | ( ) | ( B A P B A P (C) ) ( ) ( ) ( B P A P AB P = (D) ) ( ) ( ) ( B P A P AB P 5 、设 ) 9 , 108 ( N X ，则 = B P A P ，则 ) ( ), ( ), ( B A P AB P A P U 和 ) ( ) ( B P A P + 四个数中最大的是（ ) (
3、 ) ( B P A P +），最小的是（) (AB P ）。8 、设 Y X, 相互独立, 且均听从 ) , 0 ( q 上的匀称分布, 则 则 ) , min( Y X E = （ 3q）。9 、设随机变量 Y X, 相互独立，且 , 6 . 0 1 = = X P , 4 . 0 0 = = X P, 5 . 0 1 = = Y P , 5 . 0 0 = = Y P 则 = = + 1 Y X P （ （ 0.5）10 、对某一目标进行射击，直到击中为止。假如每次击中的概率均 为 p ，则射击次数 X 的概率分布为（ L , 2 , 1 , ) 1 ( 1= - = =-k p p k
4、 X Pk）。三、解答题 11 、设二维随机变量 ) , ( Y X 的概率密度为 = ) , ( y x f 2 0 - -其它 , 04 , 2 ), 6 ( y x y x k(1) 确定常数 k ； ；(2) 求边缘密度函数 ) ( ) ( y f x fY X和 ； ；(3) 推断 X 与 Y 是否相互独立，并证明你的结论； (4) 求 求 5 0 , 5 . 1 Y X P 。解 解: (1) 由 由 = - -2042) 6 ( dy y x k dx= = -208 ) 2 6 ( k dx x k 1 , 解得81= k 。(2) x dy y x4143) 6 (8142-
5、 = - -, 故有 -=其它 , 02 0 ,4143) (x xx f X 。y dx y x4145) 6 (8120- = - -, 故有 -=其它 , 04 2 ,4145) (y yx f Y 。(3) X 与 Y 不独立，因为 ) , ( ) ( ) ( y x f y f x fY X 。(4) 5 0 , 5 . 1 =-0 , 00 ,) (2xx xex fx ll，其中 0 l 是未知参数。nX X X , , ,2 1L 是来自总体的一个简洁随机样本，求参数 l 的极大似然估计。解：似然函数为-= =- = =221 1) (ixniinnixie x e x Lll
6、l l l ， ， 取对数， = =- + =niinix Lx ni121) (ln ln ln ll l， ， 由 由 0 ln12 ) (= - =niiLxnddl ll， ， 解得=niixn12l ，从而参数 l 的极大似然估计为=niiXn12l。14查 、从某厂生产的滚珠中随机抽查 9 这 个，测得这 9 个滚珠直径的平均值为mm x 9 . 14 = 。若滚珠直径听从正态分布，且已知标准差为 mm 15 . 0 。求该厂生产为 的滚珠直径均值的置信水平为 0.95 的置信区间。附 ：306 . 2 ) 8 ( , 833 . 1 ) 9 ( , 96 . 1 , 645 .
7、1025 . 0 05 . 0 025 . 0 05 . 0= = = = t t u u 解 解: 用 用 U 估计法。由 15 . 0 , 9 . 14 , 96 . 1 , 9025 . 0 2 /= = = = = sax u u n 计算得: ) 998 . 14 , 802 . 14 ( ) , (2 / 2 /= + -a as sunx unx 15为 、食品加工厂用自动装罐机装食品罐头，规定标准重量为 500 克。现随机抽取25 罐，测得其平均重量为 502 克，样本标准差为 8 克。假定罐头重量听从正态分布，问机器工作是否正常？ ) 05 . 0 ( = a附：71 . 1
8、 ) 24 ( , 06 . 2 ) 24 ( , 65 . 37 ) 25 ( , 42 . 36 ) 24 (05 . 0 025 . 0205 . 0205 . 0= = = = t t c c 解 解: 0H : 1 0, 500 H = = m m : 0m m 。2s 未知, 用 用 T 检验法。由 ) 1 ( /0-= n tn SXTm得拒绝域为 ) 1 (2 /- n t Ta计算得06 . 2 ) 24 ( 25 . 125 / 8500 502/025 . 00= =-=-= tn sxtm 故接受原假设，机器工 作正常。一本概率统计练习二答案第 5 页（共 4 页）一本
9、 概率统计 练习二答案 一、单项选择题 1 1 、 设 , , A B C 为随机事务，下列命题中正确的是（D ）(A) ABC ABC ABC + + 表示 , , A B C 至少两个发生(B), A B 相互独立，则 , A B 必互不相容(C) ( ) ( ) ( ) P A B P A P B + + (D)( ) ( ) ( ) ( ) P A B P AB P A P AB - = = - 2 2 、已知 ( ) 0.4 P A = ， ( ) 0.7 P A B = ，当 , A B 互不相容时，设 ( ) P B p = ；当 , A B相互独立时，设 ( ) P B q =
10、 ，则 （C ）(A) 0.3 p q = = (B)0.5 p q = = (C) 0.3, 0.5 p q = = (D) 0.3, 0.6 p q = = 3 3 、已知2 (3, ) X N s ， 3 6 0.34 P X = ，则 0 P X = （A ）(A) 0.16 (B)0.34 (C) 0.56 (D)0.28 4 4 、 设1 2( , , , )nX X X 是来自正态总体（2( , ) X N m s ）的样本，下列各式不正确的是（D ）( ) A2( , ) X N n m s ( ) B221( )niiXnmcs=- ( ) C 222( 1)( 1)n Sn
11、 cs- ( ) D (0,1)XNms-5 5 、 在如下关于常用分布的数学期望或方差的结论中，正确的是（C ）(A) ( , ), X B n p 则 ; DX np = (B) ( ), X P l 则2, ; EX DX l l = = (C) ( , ) X U a b ，则2( )12b aDX-= (D) ( ) X e l ，则1. EX DXl= = 二、填空题 6 6 、 已知 3, 4, EX DX = = 则 ( 1)(2 1) E X X - + = 22。7 7 、设随机变量 X 与 Y 相互独立， 且 (2,3), ( 3,4) X N Y N - ，则2 4 Z
12、 X Y = - - (3,16). N . .一本概率统计练习二答案第 6 页（共 4 页）8 8 、已知 F 分布的上侧分位数0.051(10,5) ,3F = 则0.95 (5,10)F = 3 。9 9 、 设总体 X 的数学期望和方差皆存在，对于其简洁随机样本，比较 两个 无偏估计量1 2 3124X X Xm+ += 和1 2 323X X Xm+ += ，则2m 较1m 有效。10 、设某微生物存活能到 0 30 小时的概率是 0.8 ，能到 0 50 小时的概率是 0.6 ，已知该微生物已存活至 0 30 小时，则还能到 0 50 小时的概率为0.75 。三、解答题 11 、一
13、袋中装有 7 7 枚正品硬币和 3 3 枚次品硬币（次品硬币的两面都是国徽图案）。从袋中任取一枚硬币，并将它投掷 3 3 次。（1 1 ）求所掷三 次皆为国徽图案的概率；（2 2 ）若已知三次皆掷出国徽图案，求所取出的这枚硬币是正品的概率。解：设1B 表示所取硬币为正品，2B 表示所取硬币为次品，A A 表示所掷三次皆为国徽图案。（1 1 ）31 1 2 27 1 3 31( ) ( ) ( | ) ( ) ( | )10 2 10 80P A P B P A B P B P A B = + = + = （2 2 ）1 1 117 1( ) ( ) ( | ) 710 8( | )31( )
14、( ) 3180P AB P B P A BP B AP A P A= = = = . 12 、（1 1 ）甲、乙二人独立地各进行两次射击，设甲的命中率为12，乙的命中率为23，以 X Y 和 分别表示甲和乙的命中次数，求 X Y 和 ； 的联合分布率；（2 2 ）设二维随机变量 ) , ( Y X 的概率密度为= ) , ( y x f4.8(2 ) , 1, 00,x y x y x - 0 其它求边缘概率密度 ( )Xf x 。解：（1 1 ）21 1 02 4P X = = = ，2121 1 12 2P X C = = = ，21 1 22 4P X = = = ；21 1 03 9
15、P Y = = = ，121 2 4 13 3 9P Y C = = = ，22 4 23 9P Y = = = . .一本概率统计练习二答案第 7 页（共 4 页）由 , P X i Y j P X i P Y j = = = = = ，得 X Y 和 的联合分布率为X Y Y0 01 12 20 01361181361 11929192 2192919（2 2 ）当 0 1 x 时，20( ) ( , ) 4.8 (2 ) 2.4(2 ) .xXf x f x y dy x ydy x x+-= = - = - 当 0,1 x 时， ( ) ( , ) 0.Xf x f x y dy+-=
16、 =即 ( )Xf x =22.4(2 ) , 10,x x x - 0 其它13 、已知随机变量 X 的分布函数是21, 1( )1, 12xF xxx - = -+ ，（1 1 ）计算概率 3 2 P X - - ， 2 3 P X 和 1 P X = - ；（2 2 ）回答 X 是否为连续型随机变量，并说明理由。解：（1 1 ）1 1 5 3 2 ( 2) ( 3)6 11 66P X F F - - = - - - = - = ；2 3 (3) (2) 1 1 0 P X F F = - = - = ；1 2 1 ( 1) ( 1 ) 13 3P X F F-= - = - - - =
17、 - = ；（2 2 ）因为 1 x=- 为 ( ) F x 的间断点， ( ) F x 在 ( , ) - + 上不连续，故 X 不是连续型随机变量。14 、设总体 X 的分布率为0 1 21 1 13 3 3Xl l + - ，其中 ( 1 1) l l - 是未知参数。若已知来自总体 X 的样本视察值为 2,0,0, 2,1,1, 2, 求（1 1 ）参数 l 的矩估计值；（2 2 ）参数 l 的极大似然估计值。解：（1 1 ）87x = ，1 2(1 ) 3 23 3 3EXl l - -= + = ，由3 2 83 7l -= ，得3.14l = -一本概率统计练习二答案第 8 页（
18、共 4 页）（2 2 ）2 2 31 1 1( )3 3 3Ll ll+ - = ，ln ( ) 2ln(1 ) 3ln(1 ) 7ln3 L l l l = + + - - ，由2 3ln ( ) 01 1dLdll l l= + =+ -，得15l = - 。15 、从自动线上被分装成小袋包装的某种产品，其重量2( , ) X N m s ，现从一批产品 抽取 9 9 包，测得这 9 9 包重量的平均值为 15.06 x g = ，（1 1 ）若已知20.04 s = ，求该产品重量均值 m 的置信度为 5 0.95 的置信区间；（2 2 ）若2s 未知，而求得样本标准差 0.23 s g
19、 = ，试检验：可否认为这批产品的重量均值 15.00g m = ？ ) 05 . 0 ( = a 附：0.05 0.025 0.05 0.025 0.0251.645, 1.96, (9) 1.833, (9) 2.262, (8) 2.306 u u t t t = = = = = 2 2 20.05 0.05 0.95(9) 16.92, (8) 15.51, (8) 3.33. c c c = = = 解：（1 1 ）用 U 估计法。由/2 0.0259, 1.96, 15.06, 0.2. n u u xas = = = = = 计算得 : /2 /2( , ) (14.929, 1
20、5.191) x u x un na as s- + = （2 2 ）0H : 0 115 ; g H m m = = : 015g m m = 。2s 未知 , 用 T 检验法。由0 ( 1) (8)/XT t n ts nm -= - = 得拒绝域为/2 0.025( 1) (8) T t n ta - = 计算得00.02515.06 150.783 (8) 2.306/ 0.23/ 9xt ts nm - -= = = = ，故接受原假设，可以认为这批产品的重量均值 15.00g m = 。一本概率统计练习三答案第 9 页（共 4 页）一本 概率统计 练习三答案 一、单项选择题 1、
21、、 设 , , A B C 为随机事务， 则与 ) ( B A P - 相等的关系式是（ C）(A) ) ( ) ( ) ( AB P B P A P + - ； ；(B) ) ( ) ( B P A P - ； ； (C) ) ( ) ( AB P A P - ； ； (D) ) ( ) ( ) ( ) ( B A P B P B P A P - + 。2、 、 设 , , A B C 为 随机事务41) ( ) ( ) ( = = = C P B P A P ，81) ( = AB P ， 0 ) ( ) ( = = AC P BC P ，则 , , A B C 三个随机事务中至少有一个发
22、生的概率是 （B ）. . (A)43； ；(B)85； ； (C) 83； ； (D) 81。3 、已知随机变量 X 的分布密度为 X P ，则 b a, 的值为（ C ）。(A) 0 , 1 = = b a ； ；(B)21, 2 - = = b a ； ；(C)21, 1 = = b a ； ；(D) 1 = +b a 。 4、 、 设随机变量 X 的取值范围是 1, 1 - ，以下可以作为 X 的分布密度的是 （A ）(A) -其它01 x 121；(B) -其它01 x 12；(C) -其它01 x 1 x ；(D) -其它01 x 1 x2。5、 、 若 ) ( n t X ，那么
23、 2X （A） (A) ) , 1 ( n F ； ； (B) ) 1 , (n F ； ；(C) ) (2n c ；(D) ) (n t 。二、填空题 6 6 、将 S C, C, E, E, I, N, S 等七个字母随机地排成一行, , 那么, , 恰好排成英文单词 词 E SCIENCE 的概率为1/1260 。7 7 、 设随机变量 ) , 2 ( 2s N X ，且 3 . 0 4 2 = X P ，则 0 X P = =0.2。8、 、 已知 5 . 0 ) ( , 5 . 0 ) ( , 8 . 0 ) ( = = - = B P B A P A P , 则 = ) ( B A
24、 P U _ _ _1 1 _ 。一本概率统计练习三答案第 10 页（共 4 页）9、 、 若总体 ) 2 , 0 ( 2N X , 10 2 1, , , X X X L 为来自总体样本容量为 0 10 的简洁随机样本 , 则=101241iiX Y 听从于_ _ _ 2 2 _ _ _ 分布 , 其分布参数为 _ _ 10 _ _。10、 、 若 总体 ) , ( 2s m N X ，且2s 未知，用样本检验假设0H ：0m m = 时，采纳统计量是n SX/0m -。三、解答题11、 、 从一批有 0 10 个合格品与 3 3 个次品的产品中一件一件地抽取产品，各种产品被抽到的可能性相同
25、，求在下列二种情 况下，直到取出合格品为止，所抽取次数 X 的分布率。（1 1 ）放回（2 2 ）不放回解（1 1 ）) 13 / 10 ( ) 13 / 3 ( ) (1 -= =kk X P L , 2 , 1 = k （2 2 ）12、 、 设商场出售的某元件是由甲、乙、丙厂生产的，产品的比例为 1 ：2 ：1 ，且它们的产品合格率分别为 9 0. 、 85 0. 、 8 0. ，现从该商场买了一个元件(1) 问恰取到一件合格品的概率是多少？(2) 若已知取到一件合格品，求其是丙厂生产的概率。解（1 1 ）设=iB 取到一件 i i 厂的产品 ，3 i=1 ,2 ,3 对应甲、乙、丙A=
26、 取出的产品是合格品 ，由全概率公式85 . 0 8 . 04185 . 0219 . 041) ( = + + = A P (2) = =) () ( ) () (3 33A PB A P B PA B P 17 / 4 2353 . 085 . 08 . 0 25 . 0= = 13. 设随机变量 X 的 分布密度 为 = , 00 ,2cos21) (其他p xxx f (1) 求 X 的分布函数。(2) 求 )21 (p - X P (3) 求 X Y 5 . 0 = 的分布密度。解(1) 当 0 x 时， 0 ) ( = x F X1 2 3 4 P10/13 (3/13)(10/1
27、2) (3/13)(2/12)(10/11) (3/13)(2/12)(1/11)一本概率统计练习三答案第 11 页（共 4 页） 当 当 p x 0 时，2sin2cos21) (0xdttx Fx= = 当 当 p x 时， 1 ) ( = x F (2) )21 (p - X P22) 1 ( )2( = - - = F Fp(3) 由于 Y X 2 = ， =其他 , 020, cospy yf Y 14 、 设 ) , ( Y X 的联合分布密度为 x y x x Ay y x f - = 0 , 1 0 ), 1 ( ) , ( ，（1 1 ）求系数 A A ，（2 2 ）求关于
28、X 及 Y 的边缘分布密度。（3 3 ）X 与 Y 是否相互独立？（4 4 ）( ) E XY 及 ( ) D XY . 解 解 （1 1 ）由 = - = -10103 2024) (2) 1 (Adx x xAdydx x Ayx, ,24 = A （2 2 ）当 1 0 x 时， ) ( 12 ) 1 ( 24 ) (3 20x x dy x y x fxX- = - = 当 1 0 y 时， ) 2 ( 12 ) 1 ( 24 ) (3 21y y y dx x y y fyy+ - = - = -=其他 0,1 x 0), ( 123 2x xf X + -=其他 0,1 y 0),
29、 2 ( 123 2Yy y yf（3 3 ）X 与 Y 不相互独立（4 4 ） - =10 0) 1 ( 24 ) (xdy x y xy dx XY E 15 / 4 ) ( 8105 4= - = dx x x 28 / 3 ) 1 ( 24 ) (10 02 2 2 2= - = xdy x y y x dx Y X E 036 . 0630022722516283) ( = = - = XY D15、 、 随机从一批灯泡中抽查 1 16 6 个灯泡，测得其运用时数的平均值为 X 0 =1500 小时，样本方 差2 220 S = 小时 , 设灯泡运用时数听从正态分布。试求均值 m 的
30、置信度为 为 95% 的置信区间。(附数据：0.025 (16)2.1199 t = ；0.025 (15)2.1315 t = ）解 解 X =1500 ，2 220 S = ， 16 = n ，0.025 (15)2.1315 t =置信度为 95% 的置 信区间一本概率统计练习三答案第 12 页（共 4 页）) 6575 . 1510 , 3425 . 1489 ( ) 15 ( ), 15 (025 . 0 025 . 0=+ - tnSX tnSX 16 、 (1)设 设1 2, , ,nX X X 为总体 X 的一个样本, , 母体 X 的分布密度为 q 试求 q 的矩估计和极大似
31、然估计( ( 其他专业做) ) 。(2) 设总体 X 的分布律为- - q q q q q 2 1 ) 1 ( 23 2 1 02 2X 其中 5 . 0 0 q 是未知参数，若总体 X 有样本观测值：3 3 ，1 1 ，3 3 ，0 0 ，3 3 ，1 1 ，2 2 ，3 3 ，求参数 q 的矩估计与极大似然估计( ( 会计学、国贸、公共管理专业做) ) 。解 解(1)1) (10+= = qqqqdx x X E 由X X E = ) ( ，则 q 的矩估计是21-=XXq)似然函数为( )12 1211) (-=-= = qqq q qnnniix x x x L L ) ln( ) 1
32、 ( ln2) ( ln2 1 nx x xnL L - + = q q q 由 0 ln212ln1= + =niixndL dq q q，有212) ln ( =niixnq)(2) q 4 3 ) ( - = X E , , 2 = X 4 / 1 = q)似然函数为4 2 6) 2 1 ( ) 1 ( 4 ) ( q q q q - - = L ) 2 1 ln( 4 ) 1 ln( 2 ln 6 4 ln ) ( ln q q q q - + - + + = L =- =q q q q 2 1812 6 lndL d) 2 1 )( 1 (12 14 322q q qq q- -+
33、-则1213 7 -= q)一本概率统计练习四答案第 13 页（共 4 页）一本 概率统计 练习四答案 一、填空题1、 、 设 , , A B C 为三个随机事务， 则下列选项中不行以用来表示事务 , , A B C 中至少有一个出现 的是（D）(A) A B C ； ；(B) ABC ； ； (C) ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC + + + + + + ； ； (D) ABC 。2、 、 下列各式正确的是 （A ）(A) ( ) ( ) ( ) P A B P A P B + = + ； ；(B) ( ) ( ) ( ) P A B P A P B - = - ；
34、； (C) ( ) ( ) ( ) P AB P A P B = ； ； (D) ( )( )( )P AAPB P B= 。3 、下列函数中，可以作为随机变量的分布函数的是 （ B ）(A) , 0( )0, 0xe xF xx- = ； ；(B)1 1( ) arctan2F x xp= + ； ； (C)1 sgn( )( )2xF x+= ； ；(D)21, 1( )1, 11xF xxx = + 。4、 、 已知 X 听从 2,4 上的匀称分布，则 3 2 11.6 P X + = （D ）(A)0 ；(B)1 ；(C)0.8 ；(D)0.6 。5、 、 设总体 X 听从正态分布2(
35、 , ) N m s ，1 2, ,nX X X 是 X 的一个样本，样本均值11niiX Xn=，样本方差2 211( )1niiS X Xn= -, ,则听从 ( 1) t n- 的是（D） (A)21niiX ms=- ； ； (B) Xnms-； ；(C) 21niiX Xs= - ；(D) XS nm -。二、填空题 6 6 、设 ( , ) X Y 在区域2 22 2( , ) 1x yD x ya b= + 上听从匀称分布，则其分布密度函数为1,( , )( , )0,x y Df x y ab p= 其它7 7 、 设随机变量 (2, 3) X N ， (3,0.4) Y B
36、，X X 、Y Y 相互独立，则一本概率统计练习四答案第 14 页（共 4 页）X+2Y E （- ）= =0.4 ， D(2X-3Y-1) = = _ 18.48 8、 、3 3 1( ) , ( ) , ( )3 7 4P A P B A P B = = = 已知，则 ( ) P B A =51/569 、已知 2 EX =- ， 1 DX = = ， 2 EY = = ， 4 DY = = ， 0.5XYr r = - ， ， 则 6 P X Y + 1/12. 10、 、 若 ) ( n t X ，那么 2X ) , 1 ( n F 。三、解答题 11、 、 设甲袋中有三个红球及一个白
37、球，乙袋中有四个红球及两个白球，从 甲袋中任取一个球，不看颜色，放入乙袋中后，再从乙袋中任取一个球（1 1 ）求从乙袋中取到红球的概率：（2 2 ）若已知从乙袋中取到的是红球，求起先从甲袋中拿出的也是红球的概率。解：设 A A 表示从甲袋中拿到红球，B B 表示从乙袋中拿到红球（1 1 ）5 3 4 1 19( ) ( ) ( ) ( ) ( )7 4 7 4 28P B P B A P A P B A P A = + = + = (2)( ) ( ) ( ) 15( )( ) ( ) 19P AB P B A P AP A BP B P B= = = 12、 、 甲、乙二人独立地各进行两次射
38、击，设甲的命中率为12，乙的命中率为23，以 X Y 和 分别表示甲和乙的命中次数。(1)求 求 ( , ) X Y 的分布律；(2)求 求 ( ) E XY 。解：（1 ）Y X 0 1 2 0 1/36 4/36 4/36 1 2/36 8/36 8/36 2 1/36 4/36 4/36 (2)XY 0 1 2 4 P 12/36 8/36 12/36 4/36 ( ) 4 3 E XY = 13 、设随机变量 ( , ) X Y 的分布密度为2 ,01,0 1( , )0,cxy x yf x y = 其它地方，一本概率统计练习四答案第 15 页（共 4 页）求（1 1 ）参数 c ；（2 2 ） 1 P X Y + ;(3)DX (4)X 与 Y 是否相互独立，为什么？解：（1 1 ）1 120 0( , ) 1 66cf x y dxdy cxy dxdy c+ +- -= = = = ， （2 2 ）1 1 12 2 3 40 0 01 1 6 (3 6 3 )10yP X Y xy dxdy y y y dy-+ = = - + = （3 3 ）21 1 1 12