高一数学《集合》知识点总结.docx-淘文阁

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1、高一数学集合知识点总结高一数学集合大小定义的标准学问点总结高一数学集合大小定义的标准学问点总结作为集合大小的定义，应当满意什么样的基本要求?我们当然要尽可能地使它符合一般的关于“大小”的常识和直觉，其中有很多是要比“整体大于部分”更加要紧的。首先，一个集合的大小只应当取决于这个集合本身。我们知道一个集合可以用多种方法来构造和表示，比如说， A=小于等于2的正整数 B=1,2 C=x2-3x+2=0的根其实都是同一个集合， D=nn为自然数，且方程xn+yn=zn有xyz0的整数解又怎么样呢?1996年英国数学家怀尔斯证明白费尔马大定理，所以集合D和上面的集合A、B、C是同一个集合，它

2、里面有两个元素1和2。我们记得，一个集合由它所含的元素唯一确定，所以它的大小也不能取决于它被表示的方法，或者被构造的途径，它只应当取决于它本身。一个集合得和自己一样大，这个没有什么好说的;其次，假如集合A不小于(也就是说或者大于，或者一样大)集合B，而集合B也不小于集合A，那么它们就必需是一样大的;第三，假如集合A不小于集合B，而集合B又不小于集合C，那么集合A就必需不小于集合C。在数学上，我们称满意这三个条件的关系为“偏序关系”(注：严格地说，这个偏序关系并不定义在集合之间，而是定义在集合按“一样大”这个等价关系定义出的等价类之间，关于偏序关系的严格定义的叙述和上面所说的也有区分，但这些问

3、题在这里并没关系，你假如看不懂这个注在讲什么也没关系)。假如一个关于集合大小的定义违反了上面所说的三条之一，这个定义的怪异程度肯定会超过上面运用一一对应原则的定义! 举个例子，比如说我对某位科幻小说作家的宠爱程度就是一个偏序关系。假如我喜爱阿西莫夫胜于喜爱凡尔纳，而喜爱凡尔纳又胜于喜爱克拉克，那在阿西莫夫和克拉克中，我肯定更喜爱阿西莫夫。不过一个偏序关系并不要求随意两个对象都能相互比较。比如说刘慈欣的水平当然不能和克拉克这样的世界级科幻大师比，但是“喜爱”是一种很个人的事情，作为一个中国人，我对中国的科幻创作更感爱好所以好像不能说我更喜爱克拉克，但也不能说我更喜爱刘慈欣，而且也不能说同样喜爱，

4、因为喜爱的地方不一样所以更准确地或许应当说，他们俩之间不能比较。但偏序关系中存在这样的可能性，有一个对象可以和两个不能相互比较的对象中的每一个相比较，比方说我喜爱阿西莫夫赛过刘慈欣和克拉克中的任一个。不过作为集合大小的定义，我们希望能够比较随意两个集合的大小。所以，对于任何给定的两个集合A和B，或者A比B大，或者B比A大，或者一样大，这三种状况必需有一种正确而且只能有一种正确。这样的偏序关系被称为“全序关系”。最终，新的定义必需保持原来有限集合间的大小关系。有限集合间的大小关系是很清晰的，所谓的“大”，也就是集合中的元素更多，有五个元素的集合要比有四个元素的集合大，在新的扩充了的集合定义中

5、也必需如此。这个要求是天经地义的，否则我们没有理由将新的定义作为老定义的扩充。 “整体大于部分”原则的困难和一一对应原则的优点满意上面几条要求的定义，最简洁的就是认为无限就只有一种，全部的无限集合都一样大，而它们都大于有限集合。这其实是康托尔创立集合论以前数学家的看法，所以康托尔把无限分成很多类的革命性做法使得数学家们大吃了一惊。但是这样的定义未免太粗糙了一点，只不过是把“无限集合比有限集合大”换了种方法说罢了，我们看不出这有什么用处。没有用的定义不要也罢再说在这种定义中，自然数和正偶数也一样多，因为所对应的集合都是无限集合。假如我们在上面几条要求中，再加上“整体大于部分”这条要求会怎么样

6、呢? 我们想像平面上有条射线，射线的一端是原点，然后在上面我们每隔一厘米画一个点，并在每个点旁边标上1、2、3等，这样就有无穷个点。那么这个点集和自然数集合比较大小的结果应当如何?根据我们前面的要求，任何两个集合都应当可以比较大小的。我们很简单想像到，这其实是一条数轴的正半轴，上面的点就是代表自然数的那些点，所以这些点的个数应当和自然数的个数相同。而且，根据“整体大于部分”的规定，那些标有10、20、30的点的集合比全部点的集合要小。但是“一厘米”实在是特别人为的规定，假如我们一起先就每隔一分米画一个点，顺着上面的思路，这些点的个数也该和自然数一样多，但是这恰好是按一厘米间隔画点时标有10、2

7、0、30的点啊!那些点始终是一样的，所以它们的个数不应当取决于在它们的旁边标记的是“1、2、3”还是“10、20、30”。再举一个例子。假设我给你一个大口袋，里面有无限多个小口袋，上面根据自然数标了号1、2、3。在1号口袋中有1粒豆子，2号口袋中有2粒豆子，依次类推。现在我当着你的面拿掉1号小口袋，那么剩下的小口袋数和原来的相比如何?假如根据“整体大于部分”的观点，应当是少了，少一条。但是假如我当时就背着你拿掉1号口袋，然后从其他每个小口袋中取出一粒豆子，再把小口袋上的号码改掉，2改成1，3改成2，然后再把大口袋给你，你明显不会知道我做了手脚，因为这时大口袋里的东西和原来没有任何区分，所以小

8、口袋的数量和原来一样多。这就和“少一条”冲突了，从小口袋里拿一粒豆子或者是涂改上面的标号不应当变更口袋的数量。大家明白我是打了一个比方，大口袋就是一个集合。根据上面的要求，集合的大小只应当取决于集合本身，而不应当取决于集合的表示方法或构造方法，也就是得到集合的过程。你拿到了大口袋，也就是就应当知道里面小口袋的数量，而不用知道我是否做过手脚。这样的例子可以举许多。我们发觉，假如坚持“整体大于部分”的话，当然可以使得某些集合和自己的子集相比较时，比如比较自然数和正偶数的个数时，符合“直观”和“常识”。但是更多的特别直观的东西和常识却都会变成错误的。比如说，x=x+1这样一个数轴上的坐标平移，会将

9、坐标上的点集1,2,3变为2,3,4，一个坐标平移尽然可以变动点集中元素的个数!“元素可以一一对应的两个集合大小相同”这条原理的失效，会使得我们在比较两个元素很不相同的集合时无所适从：怎样不运用一一对应的方法来比较自然数和数轴上(0,1)区间中点的个数? 在上面的两个例子中我们会有这样的感觉，对于无限集合来说，从部分中好像可以“产生”出整体来。比如射线上的每隔一厘米画一个点的例子，假如我们把不是10的倍数的点去掉，然后将平面“收缩”到原来尺度的非常之一，我们就重新得到了原来的那个点集。在装豆子的口袋的例子中，只要从去掉1号口袋后剩下的那些袋子中拿去一粒豆子，我们就又得到了原来的那个大口袋。这示

10、意了无限集合的一个重要特点：从某种意义上来说，它和自己的一部分相像。事实上，无限集合的一个定义就是“能和自己的一部分一一对应的集合”。所以在无限集合大小的比较中，违反了“整体大于部分”的原则并不惊奇，因为这恰好就是无限集合的特征。假如运用一一对应的比较方法，我们发觉它满意全部其次节中提出的关于集合大小定义的要求。而且除了“整体大于部分”这个我们已经说明过的不适用的原则外，不违反其他的直觉和常识。事实上用一一对应的方法来比较两个集合的大小，也是特别符合直观的。假如有两盒火柴，我们想比较哪盒中的火柴数量更多，我们大可不必去数出每盒中火柴的数量，那样很简单出错。其实只要从不断地从两盒火柴中拿掉相同

11、数量的火柴，最终假如同时两盒都不剩下火柴，那么就说明数量一样多，否则就是还剩有火柴的那盒比较多。而更重要的是，这样的定义特别有用。康托尔在提出他关于集合的基数理论后，特别简洁地证明白“几乎全部实数都是超越数”，而那个时候数学家连一个超越数的实例都还没有找到!引起第三次数学革命的罗素悖论也是从基数理论中产生出来的。虽然集合的基数理论现在已经为一般的数学系学生和很多数学爱好者所熟识，数学家们还是能从中找到特别好玩和深邃的课题，比如说“超大集合理论”，这是关于一些基数大得匪夷所思的集合的理论。我们知道对于任何一个集合A，它的幂集P(A)(也就是它全部子集构成的集合)肯定比它本身大，所以我们可以构造

12、一系列的集合A，P(A)，P(P(A)一个比一个大，所以没有最大的集合。而“超大集合理论”声称，存在一个集合B，比前面这一系列集合中的每个都要大! 所以说，运用一一对应原则来定义集合大小，是数学家迫不得已和最佳的选择。直觉的合理性和数学结构在文章的最前面我们提到过，从直觉上说来，自然数的个数应当是正偶数的两倍，这里莫非没有一点合理的因素在内吗?有时我们会听到数学家说：“几乎全部的自然数都不是素数。 ”假如根据一一对应的原则，素数和自然数是一样多的(第一个素数2对应1，其次个素数3对应2，第三个素数5对应3，第n个素数对应n，)，这不冲突吗? 数学并不依靠于直觉，但是敬重直觉，直觉中经常包含

13、着合理的因素。受过数学训练的人对数学的直觉一般来说要比其他人更有合理性，数学大师能够用直觉把握住很深刻的数学理论，他们有时会说：“虽然我还没有一个严格证明，但是我知道它是对的。”数学大师的直觉当然不是每个人能仿照的，但是我们的确可以变更对一些数学物体的想像方法，来改善自己的直觉，使得它更有合理性。当我们谈到集合的大小，这里所谈论的集合应当是没有附加的数学结构的。当所比较的集合都是自然数的子集时，直觉往往会偷偷地把自然数的数学结构加在上面。什么是数学结构?让我们先从最一般的集合说起。当我们谈论集合时，我们只应当把它看做一个装着元素的大袋子，里面的元素之间没有任何联系，比如说自然数集合，我们应当

14、想像那是一个装了标了号的球(或者其他什么)的大袋子，球和球之间并没有什么联系，10并不肯定非得在100的前面出现，假如你把口袋用劲抖抖，里面的球有些翻上来有些被压究竟下去，但这并不变更这个集合这仍旧是自然数集合。所谓的结构，就是在元素间增加联系，使得它们不能随意乱动。建筑工地上搭的脚手架就是一种结构，上面的钢管啊铁丝啊木板啊都不是随随意便堆在一起的，而是根据肯定的方式联系在一起。修建完了一幢大楼后，工人们会把它们都拆下来再拿到另一个工地上去安装运用，虽然构成脚手架的元素钢管铁丝木板还是原来的那些，但是脚手架却完全是另一个了，改变了的其实是结构。数学结构也一样。比如说上面我们讲的序关系，就是

15、元素之间的一种联系。我们可以很便利地验证自然数的大小满意我们前面所说的偏序关系的三个条件，而且每两个自然数之间都可以比较大小，所以在自然数集合上有一个全序关系，这个关系就给了自然数集合一个结构，就叫序结构。你可以把拥有全序结构的自然数集合照旧想像成上面那个装了球的袋子，只是这时候那些球已经被从小到大串成了一串，不能随意乱跑了。平常我们想像自然数集合，可能会把它想成数轴上离原点越来越远的一串点，或者1、2、3、这样从小到大的一列数，不知不觉地，我们已经把序结构想像进去了。当我们感到“正偶数的个数应当是自然数个数的一半，因为每隔一个数就有一个是偶数”，我们是在想像那条串成一串的球，偶数球得老醇厚实

16、地和奇数球一个隔一个地串在一起，而不是杂乱无章放在袋里，后面这种状况是谈不上“每隔一个”的。在考虑到自然数的序结构后，我们就可以给“自然数的个数是正偶数的个数的两倍”这种直觉一个合理的说明了。考虑小于100的正偶数，一共有49个，所以占小于100的自然数的49/99，接近1/2;假如把“小于100”改成“小于1000”，那么结果是499/999，更接近1/2了;把上面的100和1000换成越来越大的数字，我们会发觉正偶数所占的比例会越来越接近1/2。这就提示我们可以采纳这样一种关于自然数的子集的大小的定义：假如A是自然数的一个子集，令p(n)为A中小于n的元素的个数，我们称limnp(n)/

17、n(就是当n趋向无穷大时，p(n)/n的极限)为A相对于自然数集合的大小。在这个定义下，正偶数集合相对于自然数集合的大小就是1/2。根据这样的定义，素数集合相对于自然数集合的大小是0，这也就是所谓的“几乎全部的自然数都不是素数”。用上面这个方法还可以比较两个自然数集合的子集的相对大小，详细方法就由读者自己来思索了。假如没有自然数序结构这个“背景”，我们就只能够运用一一对应的方法来探讨集合的基数，那种“自然数的个数是正偶数的个数的两倍”的直觉只是一种错觉。比如说考虑下面平面图上，全部(2n,n)这样的点所组成的集合(其中n是自然数)。假如站在x轴的角度来看，我们发觉每隔一列就有一个点，而列数明

18、显和自然数一样多，所以点数就该和正偶数一样多;假如站在y轴的角度来看，我们发觉每行都有一个点，而行数也和自然数一样多，所以点数就该和自然数一样多。根据集合基数的观点，自然数和正偶数一样多，上面这种状况完全不造成冲突，但是“直觉”所赐予的一会儿“一样多”一会儿“两倍”的印象，就没有太大的意义了(最多得到“两倍的无穷大等于无穷大”这种我们根据一一对应原则早已熟知，而且说明得更好的观点)。除了序结构外，还有其他的数学结构。法国闻名的布尔巴基学派就认为数学基于三种母结构：序结构、代数结构和拓扑结构，各种数学结构可以混杂在一起得出不同的数学对象，比如说实数集上有比较大小的序结构，还有由算术运算(加和乘

19、，减和除是它们的逆运算)定义的代数结构，以及由极限理论(它规定了某些点必需在另一些点的“旁边”)定义的拓扑结构。布尔巴基学派试图用结构主义的观点来统一数学，出版了闻名的数学原理。结构主义的观点大致来说，就是数学结构确定数学对象。两个分别定义在两个不同集合上的数学对象，假如它们的数学结构相同，那么即使集合中的元素很不相同，它们其实也是同一个数学对象。在数学中我们有时会遇到“同构”这个词，就是指在某种一一映射下，两个数学对象的数学结构相同。举一个简洁的例子。中学里我们学过复数和它的几何表示法，知道每个复数都可以对应到直角坐标平面上的一个点，而复数的加法和乘法也都有各自的几何意义。在这里，一个复数

20、是a+bi这样的一对数，还是平面上的一个点(a,b)并不是关键，尽管一对数和一个点是完全不同的两样东西，只要在实数对集合和平面点集上面由加法和乘法确定代数结构是相同的，它们都可称作是复数，是同一个数学对象。相反地，假如我们在平面上定义另一种乘法为(a1,b1)*(a2,b2)=(a1*a2,b1*b2)，那么尽管平面上的点照旧是那些，但是因为在上面所定义的数学结构变了，于是就完全是两种不同的数学对象了。象上面这样的例子中数学结构的相同当然很直观，而有一些此类问题则牵涉到极其深刻的数学理论，比如说闻名的庞加莱猜想(新千年的七大数学问题之一，价值百万美金:-)就是问，是否随意闭单连通3维流形都同

21、胚于3维球，换句话说，是否给定了“闭单连通”这个条件，在3维流形上就只能有一种拓扑结构，也就是3维球的拓扑结构?另外，证明两个原来好像没有关系的数学对象的数学结构其实是相同的，意义特别重大，这样的定理是连通两个数学领域的桥梁。这意味着这两个数学对象其实是同一种东西，对于其中一个数学对象成立的理论，可以立即应用在另一个上面;以往用来探讨一种数学对象的方法，就可以被用来探讨另一类数学对象。本文开头说到英国数学家怀尔斯证明白费尔马大定理，他证明的其实是更一般的“谷山-志村猜想”。这个猜想就是此类意义重大的命题，它沟通了两个数学领域：椭圆曲线和模形式。它的证明被称为是“人类才智的凯歌”。最终举个搞笑

22、的例子。网上有人发觉了下面两张图片，左边是变形金刚的电影招贴，右边是蓝猫的广告，构成画面的元素不同，一个是机器人，一个是蓝猫和它的挚友，但是摆的“甫士”和画面结构却相同，也算是个不光彩的“同构”例子吧。 “一个平面上的点应当比一条直线上的点的个数多”这样的直觉也可以用附加的数学结构来说明合理性。当我们想像直线或平面上的点时，我们不但想像了那些点集，同时也在想像着这些点集构成的直线和平面，于是它们就再不是那些集合中散乱的点了，它们的排列特别有规律。换句话说，我们在点集上增加了确定直线和平面的数学结构。假如我们把直线和平面看作是实数域上的线性空间(关于线性空间的理论是线性代数，全部理科的学生会在高

23、校一年级学习)，我们就遇见了一些数学结构：首先我们须要一个实数域，上面有一个域的代数结构，其次我们在直线和平面的点集上定义了一个交换群的代数结构，最终在实数域和交换群上定义了称作“数乘”的代数结构，这个代数结构同域和交换群上的各种运算都兼容，这样我们最终得到了这个被称为“实数域上的线性空间”的代数结构。上面这一串话或许有点困难，但是中心思想就是上面所说的结构主义的思想：数学对象是由各种数学结构混杂在一起(当然要合理地混杂在一起，上面所说的“兼容”就是这个意思)而得到的。一旦我们这样规定了线性空间的结构，我们就可以定义线性空间的维数，这时我们可以说，两维的线性空间(平面)在这种意义下要比一维的线

24、性空间(直线)大。从上面两个例子我们看到，当集合中的元素只是被看做一个没有任何数学结构的集合中散乱的元素时，我们只能用一一对应的方法来比较集合的大小;而当丰富多彩的数学结构被加在集合上时，我们才有可能用更精细和更符合直觉的手段来定义不同的比较(附加有数学结构的)集合大小的方法。高一数学下册集合学问点高一数学下册集合学问点一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合H,A,P,Y (3)元素的无序性:如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合 3.集合的表示：如：我校的篮球队员，太

25、平洋,大西洋,印度洋,北冰洋 (1)用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 (2)集合的表示方法：列举法与描述法。留意：常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集)记作：N 正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R 1)列举法：a,b,c 2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。xR|x-32,x|x-32 3)语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 4)Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：x|x2=-5 二、集合间的基本关系 1.“包

26、含”关系子集留意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 2.“相等”关系：A=B(55，且55，则5=5) 实例：设A=x|x2-1=0B=-1,1“元素相同则两集合相等” 即：任何一个集合是它本身的子集。AA 真子集:假如AB,且AB那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) 假如AB,BC,那么AC 假如AB同时BA那么A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集，记为规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。练习题： 1(2022年高考广东卷)若集合Ax|2x1，Bx|0x2，则集

28、答案：m2 高一数学上册集合学问点高一数学上册集合学问点 1、集合的概念集合是集合论中的不定义的原始概念，教材中对集合的概念进行了描述性说明：“一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)”。理解这句话，应当把握4个关键词：对象、确定的、不同的、整体。对象即集合中的元素。集合是由它的元素唯一确定的。整体集合不是探讨某一单一对象的，它关注的是这些对象的全体。确定的集合元素的确定性元素与集合的“从属”关系。不同的集合元素的互异性。 2、有限集、无限集、空集的意义有限集和无限集是针对非空集合来说的。我们理解起来并不困难。我们把不含

29、有任何元素的集合叫做空集，记做。理解它时不妨思索一下“0与”及“与”的关系。几个常用数集N、N*、N+、Z、Q、R要记牢。 3、集合的表示方法 (1)列举法的表示形式比较简单驾驭，并不是全部的集合都能用列举法表示，同学们须要知道能用列举法表示的三种集合：元素不太多的有限集，如0，1，8 元素较多但呈现肯定的规律的有限集，如1，2，3，100 呈现肯定规律的无限集，如1，2，3，n，留意a与a的区分留意用列举法表示集合时，集合元素的“无序性”。 (2)特征性质描述法的关键是把所探讨的集合的“特征性质”找准，然后适当地表示出来就行了。但关键点也是难点。学习时多加练习就可以了。另外，弄清“代

30、表元素”也是特别重要的。如x|y=x2，y|y=x2，(x，y)|y=x2是三个不同的集合。 4、集合之间的关系留意区分“从属”关系与“包含”关系 “从属”关系是元素与集合之间的关系。 “包含”关系是集合与集合之间的关系。驾驭子集、真子集的概念，驾驭集合相等的概念，学会正确运用“”等符号，会用Venn图描述集合之间的关系是基本要求。留意辨清与两种关系。高一数学上册集合学问点总结北师大版高一数学上册集合学问点总结北师大版集合具有某种特定性质的事物的总体。这里的“事物”可以是人，物品，也可以是数学元素。例如：1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集：紧急。2、数学名词。一组具有某种共同性质的

31、数学元素：有理数的。3、口号等等。集合在数学概念中有好多概念，如集合论：集合是现代数学的基本概念，特地探讨集合的理论叫做集合论。康托(Cantor，G.F.P.，1845年1918年，德国数学家先驱，是集合论的创始者，目前集合论的基本思想已经渗透到现代数学的全部领域。集合，在数学上是一个基础概念。什么叫基础概念?基础概念是不能用其他概念加以定义的概念。集合的概念，可通过直观、公理的方法来下“定义”。集合是把人们的直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起，使之成为一个整体(或称为单体)，这一整体就是集合。组成一集合的那些对象称为这一集合的元素(或简称为元)。元素与集合的关系元素与集合的

32、关系有“属于”与“不属于”两种。集合与集合之间的关系某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有传递性。说明一下：假如集合A的全部元素同时都是集合B的元素，则A称作是B的子集，写作A?B。若A是B的子集，且A不等于B，则A称作是B的真子集，一般写作A?B。中学教材课本里将?符号下加了一个符号(如右图)，不要混淆，考试时还是要以课本为准。全部男人的集合是全部人的集合的真子集。集合的几种运算法则并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合

33、称为A与B的并(集)，记作AB(或BA)，读作“A并B”(或“B并A”)，即AB=x|xA，或xB交集：以属于A且属于B的元差集表示素为元素的集合称为A与B的交(集)，记作AB(或BA)，读作“A交B”(或“B交A”)，即AB=x|xA，且xB例如，全集U=1，2，3，4，5A=1，3，5B=1，2，5。那么因为A和B中都有1，5，所以AB=1，5。再来看看，他们两个中含有1，2，3，5这些个元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那么说AB=1，2，3，5。图中的阴影部分就是AB。好玩的是;例如在1到105中不是3，5，7的整倍数的数有多少个。结果是3，5，7每项减集合1再相乘。48个。对称

34、差集：设A，B为集合，A与B的对称差集A?B定义为：A?B=(A-B)(B-A)例如：A=a，b，c，B=b，d，则A?B=a，c，d对称差运算的另一种定义是：A?B=(AB)-(AB)无限集：定义：集合里含有无限个元素的集合叫做无限集有限集：令N*是正整数的全体，且N_n=1，2，3，n，假如存在一个正整数n，使得集合A与N_n一一对应，那么A叫做有限集合。差：以属于A而不属于B的元素为元素的集合称为A与B的差(集)。记作：AB=xxA，x不属于B。注：空集包含于任何集合，但不能说“空集属于任何集合”.补集：是从差集中引出的概念，指属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集，记作

35、CuA，即CuA=x|xU，且x不属于A空集也被认为是有限集合。例如，全集U=1，2，3，4，5而A=1，2，5那么全集有而A中没有的3，4就是CuA，是A的补集。CuA=3，4。在信息技术当中，经常把CuA写成A。集合元素的性质1.确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。这特性质主要用于推断一个集合是否能形成集合。2.独立性：集合中的元素的个数、集合本身的个数必需为自然数。3.互异性：集合中随意两个元素都是不同的对象。如写成1，1，2，等同于1，2。互异性使集合中的元素是没有重复，两个相同的对象在同一个集合中时

36、，只能算作这个集合的一个元素。4.无序性：a，b，cc，b，a是同一个集合。5.纯粹性：所谓集合的纯粹性，用个例子来表示。集合A=x|x2，集合A中全部的元素都要符合x2，这就是集合纯粹性。6.完备性：仍用上面的例子，全部符合x2的数都在集合A中，这就是集合完备性。完备性与纯粹性是遥相呼应的。集合有以下性质若A包含于B，则AB=A，AB=B集合的表示方法集合常用大写拉丁字母来表示，如：A，B，C而对于集合中的元素则用小写的拉丁字母来表示，如：a，b，c拉丁字母只是相当于集合的名字，没有任何实际的意义。将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的，例如：A=的形式。等号左边是大写的拉丁字母，右边

37、花括号括起来的，括号内部是具有某种共同性质的数学元素。常用的有列举法和描述法。1.列举法常用于表示有限集合，把集合中的全部元素一一列举出来写在大括号内这种表示集合的方法叫做列举法。1，2，3，2.描述法常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字符号或式子等描述出来写在大括号内这种表示集合的方法叫做描述法。x|P(x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性)如：小于的正实数组成的集合表示为：x|04.自然语言常用数集的符号：(1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集)，记作N;不包括0的自然数集合，记作N*(2)非负整数集内解除0的集，也称正整数集，记作Z+;负整

38、数集内也解除0的集，称负整数集，记作Z-(3)全体整数的集合通常称作整数集，记作Z(4)全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q。Q=p/q|pZ，qN，且p，q互质(正负有理数集合分别记作Q+Q-)(5)全体实数的集合通常简称实数集，记作R(正实数集合记作R+;负实数记作R-)(6)复数集合计作C集合的运算：集合交换律AB=BAAB=BA集合结合律(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)集合安排律A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)集合德.摩根律集合Cu(AB)=CuACuBCu(AB)=CuACuB集合“容斥原理”在探讨集合时，会遇到有关集合中的元素个数问题，我们把

39、有限集合A的元素个数记为card(A)。例如A=a，b，c，则card(A)=3card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB)card(ABC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AB)-card(BC)-card(CA)+card(ABC)1885年德国数学家，集合论创始人康托尔谈到集合一词，列举法和描述法是表示集合的常用方式。集合汲取律A(AB)=AA(AB)=A集合求补律ACuA=UACuA=设A为集合，把A的全部子集构成的集合叫做A的幂集德摩根律A-(BUC)=(A-B)(A-C)A-(BC)=(A-B)U(A-C)(BUC)=BC(BC)=BUC=EE=特别集合的表示复数集C实数集R正实数集R+负实数集R-整数集Z正整数集Z+负整数集Z-有理数集Q正有理数集Q+负有理数集Q-不含0的有理数集Q 第23页共23页第 23 页共 23 页第 23 页共 23 页第 23 页共 23 页第 23 页共 23 页第 23 页共 23 页第 23 页共 23 页第 23 页共 23 页第 23 页共 23 页第 23 页共 23 页第 23 页共 23 页

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