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1、高三 数学 不等式 会考复习高三数学不等式的证明教案15 6.3不等式的证明I一、明确复习目标1理解不等式的性质和证明;2驾驭分析法、综合法、比较法证明简洁的不等式。二建构学问网络1.比较法证明不等式是最基本的方法也是最常用的方法。比较法的两种形式：（1）比差法：步骤是：作差；分解因式或配方；推断差式符号；（2）比商法：要证ab且b0，只须证1。说明：作差比较法证明不等式时，通常是进行通分、因式分解或配方，利用各因式的符号或非负数的性质进行推断；证幂、乘积的不等式时常用比商法，证对数不等式时常用比差法。运用比商法时必需确定两式的符号；2.综合法：利用某些已经证明过的不等式（如均值不等式，常用不
2、等式，函数单调性）作为基础，再运用不等式的性质推导出所要证的不等式的方法。3.分析法：从求证的不等式动身，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为这些条件是否具备的问题，假如能够确定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。这种证明方法叫做分析法。要留意书写的格式,综合法是分析法的逆过程4对较困难的不等式先用分析法探求证明途径，再用综合法,或比较法加以证明。5.要驾驭证明不等式的常用方法，此外还要记住一些常用不等式的形式特点,运用条件,等号、不等号成立的条件等。三、双基题目练练手1.设0x1，则a=x，b=1+x，c=中最大的一个是()A.aB.bC.cD.不能确定
3、2.（2022春上海）若a、b、c是常数，则“a0且b24ac0”是“对随意xR，有ax2+bx+c0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.设（0，+），则三个数，的值（）A.都大于2B.都小于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于24.对于满意04的实数，使恒成立的的取值范围是5若a、bR，有下列不等式：a2+32a；a2+b22（ab1）；a5+b5a3b2+a2b3；a+2.其中肯定成立的是_.6.船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度v1,在静水中的速度v2,则v1与v2的大小关系为_. 简答:1-3.CAD;4.;5.;6.
4、设甲、乙距离为s，水流速度为v（v2v0），则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间t=+=，平均速度v1=.v1v2=v2=0，v1v2.答案：v1v2四、经典例题做一做【例1】（1）已知a,bR,求证:a2+b2+1ab+a（2）设求证证明：（1）p=a2+b2+1-ab-a=明显p0得证 （2）证法一:左边-右边=原不等式成立。证法二:左边0，右边0。原不等式成立。提炼方法:比较法.作差（或商）、变形、推断三个步骤。变形的主要手段是通分、因式分解或配方。在变形过程中，也可以利用基本不等式放缩，如证法二。【例2】已知a+b+c=0，求证：ab+bc+ca0.证明法一：（综合法）a+b+c=0
5、，（a+b+c）20.绽开得ab+bc+ca=，ab+bc+ca0.法二：（分析法）要证ab+bc+ca0，a+b+c=0，故只需证ab+bc+ca（a+b+c）2，即证a2+b2+c2+ab+bc+ca0，亦即证（a+b）2（bc）2（ca）20而这是明显的，由于以上相应各步均可逆，原不等式成立.证法三：a+b+c=0，c=a+b.ab+bc+ca=ab+（b+a）c=ab（a+b）2a2b2ab（a）20ab+bc+ca0. 【例3】已知的三边长为且为正数.求证:证明一:分析法:要证只需证在ABC中,式成立,从而原不等式成立.证明二:比较法:证明二:因为为的三边长,所以【例4】设二次函数f
6、（x）=ax2+bx+c（a0），方程f（x）x=0的两根x1、x2满意1x1x2.（1）当x（0，x1）时，证明xf（x）x1；（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，求证x0.证明：（1）令F（x）=f（x）x，x1、x2是方程f（x）x=0的根，F（x）=a（xx1）（xx2）.当x（0，x1）时，由于x1x2，（xx1）（xx2）0.又a0，得F（x）=a（xx1）（xx2）0，即xf（x）.又x1f（x）=x1x+F（x）=x1x+a（x1x）（xx2）=（x1x）1+a（xx2），0xx1x2，x1x0，1+a（xx2）=1+axax21ax20，x1f（x）0，即f（x）
7、x1.综上，可知xf（x）x1.（2）法1:f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2-a(x1+x2-)x+ax1x2对称轴为x=x0=,()法2:由题意知x0=.x1、x2是方程f（x）x=0的根，即x1、x2是方程ax2+（b1）x+c=0的根，x1+x2=.x0=.又ax21，x0=.题目点评:函数或数列中的不等式,是高考中的一大类题目,应予以特殊的关注,体会方法,积累阅历.【研讨.观赏】已知a1，m0，求证：loga（a+m）loga+m（a+2m）.证法1：取对数得：lg(a+m)lgalg(a+2m)lg(a+m)0又lgalog(a+m)即得:即loga（a+m）loga
8、+m（a+2m）(常见形式logn(n+1)log(n+1)(n+2) 法2：loga（a+m）log（a+m）（a+2m）=a1，m0，lga0，lg（a+2m）0，且lgalg（a+2m）.lgalg（a+2m）（）2=22=lg2（a+m）.0.loga（a+m）log（a+）（a+2m）.提炼方法:1.综合法,为什么想到用“”感觉式子的结构特征;2.比较法.把对数的积用均值不等式化为对数的和是一步关键的决择.五提炼总结以为师1.比较法是一种最重要的、常用的基本方法，其应用特别广泛，肯定要娴熟驾驭.步骤是：作差变形(分解因式或配方)推断符号.对于积或幂的式子可以作商比较,作商比较必需弄清
9、两式的符号.2.对较困难的不等式须要用分析法,分析使不等式成立的充分条件,再证这个条件(不等式)成立.3.综合法是最简捷明快的方法,常需用分析法打前站,用分析法找路,综合法写出.有时也须要几种方法综合运用.4.要娴熟驾驭均值不等式、四种平均值之间的关系，记住一些常用的不等式，记住它们的形式特点、证明方法和内在联系。同步练习6.3不等式的证明I【选择题】1.设x0，y0，且xy（x+y）=1，则()A.x+y2+2B.x+y2+2C.x+y（+1）2D.x+y（+1）22.若0ab且a+b=1，则四个数，b，2ab，a2+b2中最大的是()A.B、bC、2abD、a2+b23.已知x0，f(x)
10、=，则A、f(x)2B、f(x)10C、f(x)6D、f(x)34.已知，（a2），则AA、pqB、pqC、pqD、pq【填空题】5.要使不等式对全部正数x，y都成立，则k的最小值是_6.给出下列不等式,其中正确不等式的序号是_；，练习简答：1-4.BBCA；5.;6.(2)(3)【解答题】7.(1)已知a、b、x、yR+且，xy.求证：(2)若a0，b0，a3+b3=2求证a+b2，ab1 证明(1)法一.（作差比较法）=，又且a、bR+，ba0.又xy0，bxay.0，即.证法二：（分析法）x、y、a、bR+，要证，只需证明x（y+b）y（x+a），即证xbya.而由0，ba0.又xy0，
11、知xbya明显成立.故原不等式成立.(2)(作差比较法)因为a0，b0，a3+b3=2，所以(ab)3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6=3ab(a+b)-2=3ab(a+b)-(a3+b3)=-3(a+b)(a-b)20，即(a+b)323又a+b0,a+b2.又ab1.8己知都是正数，且成等比数列，求证：证明:成等比数列，都是正数，9.设x0,y0且xy,求证证明：由x0,y0且xy,要证明只需即只需由条件,明显成立.原不等式成立10.求证：在非RtABC中，若ab，ha、hb分别表示a、b边上的高，则必有a+hab+hb.证明：设S表示ABC的面积，则S=
12、aha=bhb=absinC.ha=bsinC，hb=asinC.（a+ha）（b+hb）=a+bsinCbasinC=（ab）（1sinC）.C，1sinC0.（ab）（1sinC）0.a+hab+hb.【探究题】已知x,y,z(0,1)且x+y+z=2,记u=xy+yz+zx,求证：证明：3u=xy+yz+zx+2xy+2yz+2zx=4,故。又三式相加得,两边加上得u1,原不等式得证。 高三数学不等式的证明教学设计16 6.4不等式的证明II一、明确复习目标1.驾驭反证法、数学归纳法和放缩法的一些策略技巧；2.了解换元法、判别式法、数形结合、构造法，了解不等式证明方法的多样性和敏捷性.提
13、高分析问题,解决问题的实力.二建构学问网络1.反证法：正难则反.否定结论，导出冲突，证明结论的否定是错误的，从而确定原结论正确。2.放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小,利用不等式的传递性证明不等式.常用的放缩手法有：添加或舍去一些项，如：；将分子或分母放大（或缩小）利用基本不等式，肯定值不等式,a20等;若ab0,m0,则.3.换元法：换元的目的是削减不等式中的变量，或者化繁为简.常用的换元有三角换元和代数换元.换元法必需留意新变元的取值范围.4.构造法：通过构造函数、方程或几何图形,利用相关学问来证明不等式；5.数学归纳法法:证明与正整数有关的不等式6.利用函数的单调性.利用单调函数中自变
14、量大小与函数值之间的联系.要特殊重视这种方法,因为高考中常把不等式综合在函数、数列或其它数学问题之中。三、双基题目练练手1.已知a、b是不相等的正数，x=，y=，则x、y的关系是()A.xyB.yxC.xyD.不能确定2.设M=a+（2a3），N=log（x2+）（xR），那么M、N的大小关系是A.MNB.M=NC.MND.不能确定3.（2022春北京）若不等式（1）na2+对随意nN*恒成立，则实数a的取值范围是()A.2，）B.（2，）C.3，）D.（3，）4.在等差数列an与等比数列bn中，a1=b10，a2n+1=b2n+10（n=1，2，3，），则an+1与bn+1的大小关系是_.5
15、.若abc，则+_.（填“”“=”“”）6.记S=，则S与1的大小关系是_简答:1-3.BAA;3.当n为正偶数时，a2，2为增函数，a2=.当n为正奇数时，a2+，a2.而2为增函数，22，a2.故a2，）答案：A4.an+1=bn+1.答案：an+1bn+15.abc，（+）（ac）=（+）（ab）+（bc）4.+.答案：;6.S1四、经典例题做一做【例1】已知a，bR，且a+b=1求证：证法一：比较法，作差消b,化为a的二次函数。也可用分析法、综合法，反证法，实质与比较法相同。证法二：（放缩法）左边右边证法三：（均值换元法），所以可设，左边右边当且仅当t=0时，等号成立点评：形如a+b=
16、1结构式的条件，一般可以采纳均值换元证法四：（判别式法）设y=(a+2)2+(b+2)2，由a+b=1，有，所以，因为，所以，即故温馨提示:留意体验不等式证明方法的敏捷性和各种证明方法间的内在联系.【例2】（1）设，且，求证：；（2）设，且，求证：【证明】（1）设则，=。（2）设，。于是。【例3】已知a1，n2，nN*.求证：1.证法一：要证1，即证a（+1）n.令a1=t0，则a=t+1.也就是证t+1（1+）n.（1+）n=1+C+C（）n1+t，即1成立.证法二：设a=xn，x1.于是只要证x1，即证n.联想到等比数列前n项和=1+x+xn-1n.n.【例4】已知(1)求f(x)的单调区
17、间；(2)求证：xy0,有f(x+y)f(x)+f(y);（3）若求证：解:（1）对已知函数进行降次分项变形,得,（2）而另法: 点评：函数与不等式证明的综合题在高考中常考常新,是既考学问又考实力的好题型,在高考备考中有较高的训练价值.【研讨.观赏】数列an满意a1=1且an+1=（n1）?（1）用数学归纳法证明：an2（n2）；?（2）已知不等式ln（1+x）x对x0成立，证明：ane2（n1），其中无理数e=2.71828?证明:（1）当n=2时，a2=22，不等式成立假设当n=k（k2）时不等式成立，即ak2（k2），那么ak+1=2这就是说，当n=k+1时不等式成立?依据、可知：ak2
18、对全部n2成立?（2）由递推公式及（1）的结论有?an+1=，（n1）?两边取对数并利用已知不等式得lnan+1ln+lnanlnan+?故lnan+1lnan，（n1）?上式从1到n1求和可得?lnanlna1+=1+=1+12?，即lnan2，故ane2（n1）? 五提炼总结以为师1高考中一般不出现单一的不等式的证明题，经常与函数、数列、三角、方程综合在一起，所以，除驾驭常用的三种方法外，还需了解其他方法，如函数的单调性法、判别式法、换元法（特殊是三角换元）、放缩法以及数学归纳法等.2总结所学不等式证明的方法： 同步练习6.4不等式的证明II【选择题】1.若0，则下列结论不正确的是()A.
19、a2b2B.abb2C.+2D.|a|+|b|a+b|2.已知abc0，若P=，Q=，则()A.PQB.PQC.PQD.PQ3.（2022天津）已知，则()A2b2a2cB2a2b2cC2c2b2aD2c2a2b4.(2022江西）已知实数a、b满意等式下列五个关系式：0baab00abba0a=b其中不行能成立的关系式有（）A1个B2个C3个D4个【填空题】5.设实数x、y满意yx20，0a1.则P=loga（axay）与Q=loga2的大小关系是_（填“”“=”“”）.6.已知不等式对nN+都成立，则实数M的取值范围是_。简答.提示：1-4.ADAB;5.axay22.xx2（x）2，0a
20、1，axay22a.loga（axay）loga2aloga2.即PQ;6.记,则,最大.M1【解答题】7已知，求证：都属于。【证明】由已知得：，代入中得：，0，即解得，即y。同理可证x，z。 8.设，且，求证：因为，而所以，所以a，b为方程（1）的二实根而，故方程（1）有均大于c的二不等实根。记，则解得。法2:由已知得c0,否则,由(a+b+c)2=1得A2+b2+c2=1-2(ab+bc+ac)1,与已知冲突.又a+b=1-c代入c2=1-(a2+b2)得3c2-2c-10,9.若a0,b0，且=1,求证：(I)ab4;(II)对于一切nN*,(ab)nanbn22n2n1成立证明：(I)
21、=1,ab=()(ab)=114,(II)当n=1时,左式0，右式0，n=1时成立.假设n=k时成立，即(ab)kakbk22k2k1,.则当n=k1时，(ab)k1ak1bk1=(ab)(ab)kak1bk1(ab)(akbk22k2k1)ak1bk1=abkbak(ab)(22k2k1)22k1422k42k1=22k22k2,n=k1时命题成立.归纳原理知,不等式对一切nN*都成立10.已知a、b为正数，求证：（1）若+1，则对于任何大于1的正数x，恒有ax+b成立；（2）若对于任何大于1的正数x，恒有ax+b成立，则+1.分析：对带条件的不等式的证明，条件的利用常有两种方法：证明过程中
22、代入条件；由条件变形得出要证的不等式.证明：（1）ax+=a（x1）+1+a2+1+a=（+1）2.+1（b0），（+1）2b.从而ax+b（2）ax+b对于大于1的实数x恒成立，即x1时，ax+minb，而ax+=a（x1）+1+a2+1+a=（+1）2，当且仅当a（x1）=，即x=1+1时取等号.故ax+min=（+1）2.则（+1）2b，即+1.评述：条件如何利用取决于要证明的不等式两端的差异如何消退. 【探究题】（2022湖北）已知不等式,其中n为大于2的整数，表示不超过的最大整数.设数列的各项为正，且满意（）证明（）试确定一个正整数N，使得当时，对随意b0，都有解：（）证法1：当即于
23、是有全部不等式两边相加可得由已知不等式知，当n3时有，证法2：设，首先利用数学归纳法证不等式（i）当n=3时，由知不等式成立.（ii）假设当n=k（k3）时，不等式成立，即则即当n=k+1时，不等式也成立.由（i）、（ii）知，又由已知不等式得（）则有故取N=1024，可使当nN时，都有 不等式证明 题目第六章不等式不等式的证明高考要求1通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等)，使学生较敏捷的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题；2驾驭用“分析法”证明不等式；理解反证法、换元法、判别式法、放缩法证明不等式的步骤及应用范围3搞清分析法证题的理论依据，
24、驾驭分析法的证题格式和要求搞清各种证明方法的理论依据和详细证明方法和步骤4通过证明不等式的过程，培育自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的实力；能较敏捷的应用不等式的基本学问、基本方法，解决有关不等式的问题学问点归纳不等式的证明方法（1）比较法：作差比较：作差比较的步骤：作差：对要比较大小的两个数（或式）作差变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和推断差的符号：结合变形的结果及题设条件推断差的符号留意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小（2）综合法：由因导果（3）分析法：执果索因基本步骤：要证只需证，只需证“分析法”证题的理论依据：找寻结论成
25、立的充分条件或者是充要条件“分析法”证题是一个特别好的方法，但是书写不是太便利，所以我们可以利用分析法找寻证题的途径，然后用“综合法”进行表达（4）反证法：正难则反（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的放缩法的方法有：添加或舍去一些项，如：；将分子或分母放大（或缩小）利用基本不等式，如：；利用常用结论：、；、；（程度大）、；（程度小）（6）换元法：换元的目的就是削减不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元如：已知，可设；已知，可设()；已知，可设；已知，可设；（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；证明不等式的方法敏捷多
26、样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟识各种证法中的推理思维，并驾驭相应的步骤，技巧和语言特点数学归纳法法证明不等式将在数学归纳法中特地探讨题型讲解例1若水杯中的b克糖水里含有a克糖，假如再添上m克糖，糖水会变得更甜，试将这一事好用数学关系式反映出来，并证明之分析：本例反映的事实质上是化学问题，由浓度概念（糖水加糖甜更甜）可知解：由题意得证法一：（比较法），证法二：（放缩法），证法三：（数形结合法）如图，在RtABC及RtADF中，AB=a，AC=b，BD=m，作CEBD，例2已知a，bR，且a+b=1求
27、证：证法一：（比较法）即（当且仅当时，取等号）证法二：（分析法）因为明显成立，所以原不等式成立点评：分析法是基本的数学方法，运用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件证法三：（综合法）由上分析法逆推获证（略）证法四：（反证法）假设，则由a+b=1，得，于是有所以，这与冲突所以证法五：（放缩法）左边右边点评：依据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用基本不等式证法六：（均值换元法），所以可设，左边右边当且仅当t=0时，等号成立点评：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采纳均值换元证法七：（利用一元二次方程根的判别式法）设y=(a+2)2+(b+2)2，由a+b=1，有，所以，因为，
28、所以，即故例3设实数x，y满意y+x2=0，0a1求证：证明：（分析法）要证，只要证：，又，只需证：只需证，即证，此式明显成立原不等式成立例4设m等于，和1中最大的一个，当时，求证：分析：本题的关键是将题设条件中的文字语言“m等于，和1中最大的一个”翻译为符号语言“，”，从而知证明：（综合法），例5已知的单调区间；(2)求证：（3）若求证：解:（1）对已知函数进行降次分项变形,得,（2）而点评：函数与不等式证明的综合题在高考中常考常新,是既考学问又考实力的好题型,在高考备考中有较高的训练价值小结：1驾驭好不等式的证明，不等式的证明内容甚广，证明不但用到不等式的性质，不等式证明的技能、技巧，还要
29、留意到横向结合内容的方方面面如与数列的结合，与“二次曲线”的结合，与“三角函数”的结合，与“一元二次方程，一元二次不等式、二次函数”这“三个二次”间的相互联系、相互渗透和相互制约，这些也是近年命题的重点2在不等式证明中还要留意数学方法，如比较法（包括比差和比商）、分析法、综合法、反证法、数学归纳法等，还要留意一些数学技巧，如数形结合、放缩、分类探讨等3比较法是证明不等式最常用最基本的方法当欲证的不等式两端是多项式或分式时，常用差值比较法当欲证的不等式两端是乘积的形式或幂指不等式时常用商值比较法，即欲证4基本思想、基本方法：用分析法和综合法证明不等式常要用等价转化的数学思想的换元的基本方法用分析
30、法探究证明的途径，然后用综合法的形式写出证明过程，这是解决数学问题的一种重要的数学思想方法“分析法”证明不等式就是“执果索因”，从所证的不等式动身，不断利用充分条件或者充要条件替换前面的不等式，直至找到明显成立的不等式，书写方法习惯上用“”来表达分析法是数学解题的两个重要策略原则的详细运用，两个重要策略原则是：正难则反原则：若从正面考虑问题比较难入手时，则可考虑从相反方向去探究解决问题的方法，即我们常说的逆向思维，由结论向条件追溯简洁化原则：寻求解题思路与途径，常把较困难的问题转化为较简洁的问题，在证明较困难的不等式时，可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化，得到一个较易证明的不等式凡是“至少
31、”、“唯一”或含有否定词的命题相宜用反证法换元法（主要指三角代换法）多用于条件不等式的证明，此法若运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将困难的代数问题转化成简洁的三角问题含有两上字母的不等式，若可化成一边为零，而另一边是关于某字母的二次式时，这时可考虑判别式法，并留意根的取值范围和题目的限制条件有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，放缩时要看准目标，做到有的放矢，留意放缩适度学生练习1设，求证：证明：=，则故原不等式成立点评：（1）三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式：（2）用比较法证不等式，关键在于作差（或商）后结式了进行变形，常见的变形是通分、因式分解或配方2己知都是正数，且成等
32、比数列，求证：证明：成等比数列，都是正数，点评：两边相减能消去一部分、两边相除能约去一部分是运用比较法的外部特征，除了通分、因式分解或配方法，局部运用基本不等式，也是用比较法证不等式时的一种常用手段3己知函数，当满意时，证明：对于随意实数都成立的充要条件是证明：（1）若，则(2)当时，故原命题成立4比较的大小（其中0x1）解：-=0(比差)56证明：7若，求证ab与不能都大于证明：假设ab,(1a)(1b)都大于8已知：a3+b3=2,求证：a+b证明：假设a+b2则b2-aa3+b3a3+(2-a)3=8-12a+6a2=6(a-1)2+2与已知相冲突，所以,a+b9101113设都正数，求
33、证：证明：，14设且，求证：证法1若，这与冲突，同理可证证法2由知15有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产基地以相同价格购进粮食，他们共购粮三次，各次的粮食价格不同，甲每次购粮10000千克，乙每次购粮10000元三次后统计，谁购的粮食平均价低？为什么？解：设第一、二、三次的粮食价格分别为元/千克、元/千克、元/千克，则甲三次购粮的平均价格为，乙三次购粮的平均价格为，因为所以乙购的粮食价格低说明“各次的粮食价格不同”，必需用字母表示，这样就能把粮食平均价格用式子表示出来我们应当从式的特征联想到用基本不等式进行变换 课前后备注 超越不等式 超越不等式一,理论学问汇总（一），分式不等式1，留意
34、通分合并2，留意等价转化f(x)g(x)0f(x)g(x)0 f(x)g(x)0f(x)g(x)0 f(x)g(x)0f(x)g(x)0且g(x)0 f(x)g(x)0f(x)g(x)0且g(x)0 例:解关于x的不等式ax-1x+10.解原不等式等价于(ax-1)(x+1)0（1）当a=0时,原不等式为-(x+1)0解得x-1;（2）当a0时,得1a0解得x-1或x1a（3）当a0时,原不等式可化为(x-1a)(x+1)0若a=-1时,不等式无解;若a-1时,1a-1,解得-1x1a;若-1a0时,1a-1解得1ax-1综上所述：当a=0时,解集为(-,-1);当a0时,解集为(-,-1)(
35、1a,+);当a=-1时,解集为;当a-1时,解集为(-1,1a);当-1a0时,解集为(1a,-1).（二），高次不等式方法:先因式分解,再运用穿线法.留意:(1)因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正.(2)恒正因式,可干脆去掉.(3)穿线法的运用对象及运用方法运用对象:二次不等式、分式不等式及高次不等式.运用方法:在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点.自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇透偶不透).数轴上方曲线对应区域使“”成立,下方曲线对应区域使“”成立.例:解不等式x2-4x+13x2-7x+21解:变形为(2
36、x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)0依据穿线法如图 不等式解集为:xx13或12x1或x2.（三）指数不等式?通过同底法或换元法转化为同解的代数不等式求解.?a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x);0a1时,af(x)ag(x)f(x)g(x).（四）对数不等式?通过同底法或换元法转化为同解的代数不等式求解.a1时,logaf(x)logag(xf(x)g(x)0;0a1时,logaf(x)logag(x)0f(x)g(x).（五）三角不等式?形如:sinxa,sinxb及asinxb的不等式,除了运用单位圆求解之外，还可以用“图像法”求解，两者比较，“图像法”易于操作，操作程序如
37、下：?在同一坐标系中同时作出两个函数y1=sinx(0x2)及y2=a(或b)(0x2)图，得出满意x0,2的不等式的解，然后利用函数的周期性，得出原不等式的解.?形如:cosxa,cosxb及acosxb的不等式，除了运用单位圆求解之外，还可以用“图像法”求解，两者比较，“图像法”易于驾驭，求解程序如下：?在同一坐标系中同时作出两个函y1=cosx及y2=a(或y3=b),的图像，先得出满意条件x的不等式的解，然后利用函数的周期性得出原不等式的解.?形如:tanxa,tanxb及atanxb的不等式,有干脆的结论可用:?tanxa的解集是:.tanxb的解集是:.atanxb的解集是:k+a
38、rctana,k+arctanb,kZ.练习：1.不等式的解集是()?A.(,1)(1,10)B.(,1)(2,10)C.(,10)D.(1,+)2.已知不等式对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是?A.aB.a?C.0aD.a1?3.不等式解集是()?A.(2,4)B.(-2,4)C.(-4,2)D.(-4,-2)?4.不等式lg(x2+2x+2)1的解集是()?A.(2,4)B.(-2,4)?C.(-4,2)?D.(-4,-2)?5.若(0,),则不等式的解集是()?A.(-1,)B.(,)?C.(-1,)D.(,1)6.设A=x|lg(x-1),B=x|lg(x-1),则AB等于()?
39、A.R?B.(1,+)?C.(1,)?D.(1,)7.不等式1的解集为()?A.(0,)B.(,+)?C.(,1)?D.(0,)(1,+)8.不等式的解集为()?A.(3,+)?B.(1,5)?C.(1,4)(4,5)?D.(3,4)(4,5)9.若不等式x2-logmx0在(0,)范围内恒成立，则实数m的取值范围是()A.?B.?C.?D.10.不等式5x-3的解集是.11.当0a1时,不等式:的解集为.12.不等式sinx-的解集为.13.不等式tan(x-)的解集为.14，解不等式（1）(x+4)(x+5)2(2-x)30（2）x2-4x+13x2-7x+2115.解下列指数不等式:?(1);(2)|2x-3|+4x-30. 16.解对数不等式:logx5-2logx3.? 17.解关于x的不等式: 18.解不等式: 第20页 共20页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页第 20 页 共 20 页