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1、人教版高一年级数学下学期四单元空间直角坐标系知识点人教版高一数学下册空间直角坐标系学问点复习 人教版高一数学下册空间直角坐标系学问点复习 空间直角坐标系定义： 过定点O,作三条相互垂直的数轴,它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位、这三条轴分别叫做x轴(横轴）、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)；统称坐标轴、通常把x轴和y轴配置在水平面上,而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则,即以右手握住z轴,当右手的四指从正向x轴以/2角度转向正向y轴时,大拇指的指向就是z轴的正向,这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系,点O叫做坐标原点。 1、右手直角坐标系 右手直角坐标系的建立规则：x轴、y轴、z
2、轴相互垂直，分别指向右手的拇指、食指、中指； 已知点的坐标P（x，y，z）作点的方法与步骤（路径法）： 沿x轴正方向（x0时）或负方向（x0时）移动|x|个单位，再沿y轴正方向（y0时）或负方向（y0时）移动|y|个单位，最终沿x轴正方向（z0时）或负方向（z 已知点的位置求坐标的方法： 过P作三个平面分别与x轴、y轴、z轴垂直于A，B，C，点A，B，C在x轴、y轴、z轴的坐标分别是a,b,c则(a,b,c)就是点P的坐标。 2、在x轴上的点分别可以表示为(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)。 在坐标平面xOy，xOz，yOz内的点分别可以表示为(a,b,0),(a,0,c),(0,
3、b,c)。 3、点P(a,b,c)关于x轴的对称点的坐标为(a,-b,-c)； 点P(a,b,c)关于y轴的对称点的坐标为(-a,b,-c)； 点P(a,b,c)关于z轴的对称点的坐标为(-a,-b,c)； 点P(a,b,c)关于坐标平面xOy的对称点为(a,b,-c)； 点P(a,b,c)关于坐标平面xOz的对称点为(a,-b,c)； 点P(a,b,c)关于坐标平面yOz的对称点为(-a,b,c)； 点P(a,b,c)关于原点的对称点(-a,-b,-c)。 4、已知空间两点P(x1,y1,z1)，Q(x2,y2,z2)，则线段PQ的中点坐标为 5、空间两点间的距离公式 已知空间两点P(x1,
4、y1,z1)，Q(x2,y2,z2)，则两点的距离为特别点A(x,y,z)到原点O的距离为 6、以C(x0,y0,z0)为球心,r为半径的球面方程为 特别地，以原点为球心,r为半径的球面方程为x2+y2+z2=r2 空间直角坐标系 总课题空间直角坐标系总课时第37课时分课题空间直角坐标系分课时第1课时教学目标通过详细情境，使学生感受建立空间直角坐标系的必要性；了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，感受类比思想在探究新学问过程中的作用重点难点了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置引入新课问题1在平面直角坐标系中，我们可以用坐标表示平面上随意一点的位置，那么怎样用坐标来表
5、示空间随意一点的位置呢？ 问题2怎样表示教室中风扇的位置呢？ 1空间直角坐标系： 2右手直角坐标系： 3空间直角坐标系中点的坐标： 例题剖析例1在空间直角坐标系中，作出点 例2如图：在长方体中，以这个长方体的顶点为坐标原点，射线，分别为轴，轴，轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标 思索：（1）在空间直角坐标系中，轴上的点，平面内的点的坐标分别具有什么特点？ （2）点，到平面有一个共同点是什么？ （3）平行于平面的平面上的点具有什么特点？ （4）平行于平面的平面上的点具有什么特点？ 巩固练习1在空间直角坐标系中，平面上的点的坐标形式可以写成（）ABCD2空间直角坐标系中，正方体
6、的四个顶点坐标分别为，则其余四个顶点坐标分别为3（1）在空间直角坐标系中，在轴上的点的坐标可写成；（2）在空间直角坐标系中，在平面上的点的坐标可写成；（3）在空间直角坐标系中，在轴上的点的坐标可写成；（4）在空间直角坐标系中，在平面上的点的坐标可写成4在空间直角坐标系中，画出下列各点：； 课堂小结空间直角坐标系；空间中的点的表示课后训练一基础题1点在坐标平面内的射影的坐标是2在空间直角坐标系中，点到坐标平面，的距离分别为3点关于坐标平面的对称点的坐标为；点关于坐标原点的对称点的坐标为；4在空间直角坐标系中，有不共线的三点坐标，由这三点确定的平面内的点坐标满意的条件是；二提高题5在长方体中，以这
7、个长方体的顶点为坐标原点，射线，分别为轴，轴，轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标 6在空间直角坐标系中标出下列各点：； 三实力题7如图：在长方体中，和交于点，分别写出点，的坐标 平面直角坐标系学问点整理 平面直角坐标系学问点整理 一、平面直角坐标系1.平面直角坐标系：(1)在平面内两条有公共点并且相互垂直的数轴就构成了平面直角坐标系，通常把其中水平的一条数轴叫横轴或轴，取向右的方向为正方向;铅直的数轴叫纵轴或轴，取向上的方向为正方向;两数轴的交点叫做坐标原点。(2)建立了直角坐标系的平面叫坐标平面.x轴和y轴把坐标平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针依次依次叫第一象限、
8、其次象限、第三象限、第四象限，如图所示. 说明：两条坐标轴不属于任何一个象限。2.点的坐标：对于平面直角坐标系内随意一点P，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足在x轴，y轴对应的数a,b分别叫做点P的横坐标，纵坐标，有序数对(a，b)叫做P的坐标。3.点与有序实数对的关系：坐标平面内的点可以用有序实数对来表示，反过来每一个有序实数对应着坐标平面内的一个点，即坐标平面内的点和有序实数对是一一对应的关系。 常见考法(1)由点的位置确定点的坐标，由点的坐标确定点的位置;(2)求某些特别点的坐标。误区提示(1)求点的坐标时，简单将横、纵坐标弄反，还简单忽视坐标符号;(2)思索问题不周，简单出现漏解。(如
9、点P到x轴的距离为1，这里点P的纵坐标应当是，而不是1)。【典型例题】（2022江苏常州）点p(1,2)关于x轴的对称点p1的坐标是，点p(1,2)关于原点O的对称点P2的坐标是。【解析】关于x轴的对称点的坐标是横坐标不变，纵坐标相反，关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标都要乘以-1，故本题应当填(1,-2),(-1,-2)。 一、目标与要求1.解有序数对的应用意义，了解平面上确定点的常用方法。2.培育学生用数学的意识，激发学生的学习爱好。3.驾驭坐标改变与图形平移的关系;能利用点的平移规律将平面图形进行平移;会依据图形上点的坐标的改变，来判定图形的移动过程。4.发展学生的形象思维实力，和数形结
10、合的意识。5.坐标表示平移体现了平面直角坐标系在数学中的应用。二、重点驾驭坐标改变与图形平移的关系;有序数对及平面内确定点的方法。三、难点利用坐标改变与图形平移的关系解决实际问题;利用有序数对表示平面内的点。四、学问框架五、学问点、概念总结1.有序数对：用含有两个数的词表示一个确定的位置，其中各个数表示不同的含义，我们把这种有依次的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作(a，b)其中a表示横轴，b表示纵轴。2.平面直角坐标系：在同一个平面上相互垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置与垂直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。
11、水平的数轴叫做X轴或横轴，竖直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。3.横轴、纵轴、原点：水平的数轴称为x轴或横轴;竖直的数轴称为y轴或纵轴;两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。4.坐标：对于平面内任一点P，过P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别在x轴，y轴上，对应的数a，b分别叫点P的横坐标和纵坐标。5.象限：两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方向一次叫其次象限、第三象限、第四象限。坐标轴上的点不在任何一个象限内。6.特别位置的点的坐标的特点(1)x轴上的点的纵坐标为零;y轴上的点的横坐标为零。(2)第一、三象限角平分线上
12、的点横、纵坐标相等;其次、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。(3)在随意的两点中，假如两点的横坐标相同，则两点的连线平行于纵轴;假如两点的纵坐标相同，则两点的连线平行于横轴。(4)点到轴及原点的距离。点到x轴的距离为|y|;点到y轴的距离为|x|;点到原点的距离为x的平方加y的平方再开根号;7.在平面直角坐标系中对称点的特点(1)关于x成轴对称的点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数。(横同纵反)(2)关于y成轴对称的点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。(横反纵同)(3)关于原点成中心对称的点的坐标，横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数。(横纵皆反)8.各象限内和坐标
13、轴上的点和坐标的规律第一象限：(+，+)正正其次象限：(-，+)负正第三象限：(-，-)负负第四象限：(+，-)正负x轴正方向：(+，0)x轴负方向：(-，0)y轴正方向：(0，+)y轴负方向：(0，-)x轴上的点的纵坐标为0，y轴上的点的横坐标为0.原点：(0，0)注：以数对形式(x，y)表示的坐标系中的点(如2，-4)，2是x轴坐标，-4是y轴坐标。9.坐标方法的简洁应用：(1)用坐标表示地理位置(2)用坐标表示平移10.平面直角坐标系其他公式(1)坐标平面内的点与有序实数一一对应。(2)一三象限角平分线上的点横纵坐标相等。(3)二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。(4)一点上下平移
14、，横坐标不变，即平行于y轴的直线上的点横坐标相同。(5)y轴上的点，横坐标为0.(6)x轴上的点，纵坐标为0.(7)坐标轴上的点不属于任何象限。六、经典例题例1一个机器人从O点动身，向正东方向走3米到达A1点，再向正北方向走6米到达A2点，再向正西方向走9米到达A3点，再向正南方向走12米到达A4点，再向正东方向走15米到达A5点，假如A1求坐标为(3，0)，求点A5的坐标。例2如图是在方格纸上画出的小旗图案，若用(0，0)表示A点，(0，4)表示B点，那么C点的位置可表示为()A、(0，3)B、(2，3)C、(3，2)D、(3，0)例3如图2，依据坐标平面内点的位置，写出以下各点的坐标：A(
15、)，B()，C()。例4如图，面积为12cm2的ABC向x轴正方向平移至DEF的位置，相应的坐标如图所示(a，b为常数)，(1)、求点D、E的坐标(2)、求四边形ACED的面积。例5过两点A(3，4)，B(-2，4)作直线AB，则直线AB()A、经过原点B、平行于y轴C、平行于x轴D、以上说法都不对 平面直角坐标系教学设计 平面直角坐标系教学设计 一教学内容：北师大版初中数学八年级下册第五章其次节平面直角坐标系第一课时。 教学内容简要分析：“平面直角坐标系”是学习函数及其图象、曲线和方程的基础，是沟通数与形的桥梁。这节课是学生在学习了数轴与有序数对基础上，进行函数图像教学的第一节课。本节课要求
16、学生在学好平面直角坐标系的概念，探究出特别点的坐标特征，为以后学习函数图像打下基础。本节内容需2课时，本设计为第一课时，只对点的坐标特征进行初步探究。 二教学目标。 （一）学问目标：相识平面直角坐标系及其相关概念及产生过程，探究象限内点的特征与坐标轴上点的坐标数值特征，对“数形结合”的思想有初步了解。 （二）技能目标：能画出直角坐标系，并能在给定的平面直角坐标系中，能够依据坐标指出点的位置，并且已知点的位置写出它对应的坐标。 （三）情感目标：能使学生感受到数学与现实世界的联系，增加学生“用数学”的意识，感受数学之用、数学之美。 三教学重点与难点。 1教学重点：能在给定的平面直角坐标系中，由点求
17、出坐标，由坐标描出点。 2教学难点：探究象限内点的特征与坐标轴上点的特征。 四学生分析：深圳其次试验学校初二学生（略）。 五教学策略。 1.多媒体教学。在引入、新课、练习的各个环节中运用多媒体进行演示，增加直观性，提高学生学习的趣味性和主动性。 2.讲授法。本节课是学生第一次接触平面直角坐标系，教学内容中涉及到新的概念比较多。这些概念多数属于陈述性学问，比较适用讲授法。 3.师生互动、讲练结合。在这个过程中遵循按部就班、小步慢走的教学原则，让学生逐步驾驭并应用学问。 六、教学媒体及工具：相关教学课件、大白纸、练习题等。 七教学过程。 （一）引入。 同学们：能够给你们上课，我感到特别的快乐！在上
18、课之前，我先给大家讲一个故事。故事如下。 瑞典国王聘请法国数学家（1596-1656）笛卡儿做他小公主克里斯汀的数学老师。期间，笛卡儿向她介绍了自己探讨的新领域直角坐标系。 师生间的长期相处使他们彼此之间产生了仰慕之心，公主的父亲国王知道后勃然大怒，下令将笛卡儿流放回法国，克里斯汀公主也被父亲软禁起来。笛卡儿回法国后不久便染上重病，他每天给公主写信，因被国王拦截，克里斯汀始终没收到笛卡儿的信。笛卡儿在给克里斯汀寄出第十三封信后就气绝身亡了，这第十三封信内容只有短短的一个公式：r=a(1-sin）。国王看不懂，觉得他们俩之间并不是总是说情话的，就把这封信交给始终闷闷不乐的克里斯汀，公主看到这个公
19、式后，她快乐极了，她知道恋人仍旧爱着她，因为这个公式蕴含着 师：其实，这个公式蕴含着一个图像，这个图像就是闻名的“心形线”。（出示课件图）。 师：一个看似简洁、抽象数学公式中竟然蕴含中一个真挚、感人的“心”，这是不是特别的奇异呢？（老师稍作演示图像）枯燥、抽象的数学公式竟然和直观、形象的图形之间有着紧密的联系，这是数学的一个重要思想“数形结合”的思想。要了解“数形结合”思想，我们就必需要学习坐标系。今日我们就来探讨一下“平面直角坐标系”。 坐标系分为几类，（老师简洁介绍）而“平面直角坐标系”是二维平面坐标系中的一类。 师：平面直角坐标系我们在生活中也有接触。比如围棋的“棋盘”，每个点都有自己的
20、位置，都可以用一个有序数对来表示。但同学们视察一下课件中棋盘及各个点的坐标点，能否发觉一些问题呢？（不够严谨：阿拉伯数学、中文数字大小写、英文字母混用、随意性大）。数学就是要用严谨的方式来解决问题。 （二）新课。 1.“平面直角坐标系”。 （1）在讲解本部分学问时，老师先从“数轴”引入，从可以用一个数来表示数轴上一个点的坐标渐渐延长到可以用一个有序数对来表示一个平面上的一个点的坐标。（从一维到二维） （2）再分别介绍平面直角坐标系的定义、x轴、y轴、原点等相关概念，并在图上标出对应位置。 （3）讲解完定义后，立刻让学生做练习。推断3个图形是否是平面直角坐标系，加深学生对平面直角坐标系概念的理解
21、。 老师总结，直角坐标系的特征：两条数轴；相互垂直；原点重合；通常取向右、向上为正方向,一般取相同的单位长度。 （4）介绍平面直角坐标系的4个象限。并让学生说说这4个象限的依次之间有什么规律，以便利记忆。最终让学生说说原点在那个象限？让学生思索并加深他们对原点的坐标点的理解。 （在这个过程中，老师出示已经画好的平面直角坐标系图，并在上面标注坐标系各部分的名称，以节约上课时间，加快教学节奏） 2.用有序数对来表示平面内的某一点的坐标。 如左图：在平面内点A分别向x轴、y轴做垂线，垂足在x轴、y轴对应的数4、3分别叫做点A的横坐标、纵坐标，记作：A(4，3)。有序数对（4,3）叫做点A的坐标。 在
22、这里老师要特殊强调A(4，3)括号内横坐标在前，纵坐标在后。并出示几个点，让学生指出这些点的坐标。 3.讲解例1。 例1：写出多边形ABCDE各个顶点的坐标。 该部分内容比较简洁，老师现场给每位学生发放一张练习纸，让学生干脆在图上标出各点的坐标，最终让同桌之间相互探讨，校对一下答案。（允许相互探讨，老师巡察，个别指导） 最终，请1-2位学生到讲台上标出这5个点的坐标，并要求他们说出理由：为什么这些点的坐标是这些数值？ 重点分析有序数对中横、纵坐标数值中的“0”。为什么这个点的横（纵）坐标点是“0”？（因为，这个点到横（纵）坐标轴做垂线，垂足的的位置是0）。 4.坐标轴上点的坐标的特点。 学生完
23、成例1后，老师提问3个问题（点答或齐答）：原点O的坐标是什么？ X轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点的坐标有什么特点？最终分析x轴、y轴上的点在那个象限？ 通过以上的问答，让学生对数轴上几个比较“特别”点的坐标有个比较深化的了解。 （三）练习。 1.练习一：连线题。 设计目的：学生能在直角坐标系中找出点的坐标的基础上，发展他们空间想象实力，能依据一个点的坐标而在直角坐标系中指出这个点的也许位置。 共8题，涉及到横轴和纵轴及4个象限。（学生在练习纸上练习和后集体回答） 2.练习二：趣味练习题。 设计目的：让学生能依据一个点的坐标而在直角坐标系中指出这个点的精确位置，并连接各点，最终形成一个好玩
24、的图形。（学生在练习纸上练习和后集体回答） （设计思路：这个题中共10个点，其中有4个点分别在横轴和纵轴的正反方向上，其余6个点分布在4个象限。有利于学生整体回顾本节课的学问点） 3.练习三：回顾总结（机动） 复习：在直角坐标系内，各个点横、纵坐标的正负号及特定数值。（集体抢答，并让学生举例说明） （四）总结下课。 今日我们学习了什么？（直角坐标系、横轴、纵轴、直角坐标系的4个象限等） 老师随意提问，某点在坐标在坐标轴的那个位置（4个象限和x、y轴的正负半轴） 八教学反思。 第15页 共15页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页