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1、几何学的发展简史上海市第十十中学 数数学教研组组 王沁课前设计计中国古代是是一个在世世界上数学学领先的国国家，用近近代数学科科目来分类类的话，可可以看出：无论是算算术、代数数还是几何何、三角，中中国古代数数学在各方方面都十分分发达。而而且在数学学理论与实实际需要的的联系中，创创造出了与与古希腊等等欧洲国家家风格迥异异的实用数数学。可惜的是，现现行的教材材对中国古古代数学家家的成就介介绍得很少少。即使教教材中有，但但是也基本本上出现在在阅读材料料中，几乎乎没有老师师会去介绍绍，当然，学学生也很少少去看。我本人接触触这些数学学历史知识识也是拜赐赐学校提供供的再学习习机会。我我校有一个个由秦一岚岚校
2、长总负负责、全校校老师共同同参与的市市级课题：史情教育育与各学科科校本课程程的整合。如如何在数学学学科上整整合史情教教育，在数数学课中充充分挖掘数数学学科的的民族精神神内涵，弘弘扬中华民民族精神和和上海城市市精神，渗渗透德育教教育，探索索出一条符符合学生特特点的教学学方法，通通过师生互互动，能提提高学生团团结协作精精神，并提提高学生的的科学素养养，是摆在在我面前的的一个重要要课题。为为此，我做做了以下几几方面的准准备。第一步，确确定课题。高高二正在上上立体几何何，于是确确定上几何何学（偏重重立体几何何）的发展展简史。第二步，收收集资料。主主要是阅读读大量有关关数学史的的书籍。第三步，理理清脉络
3、。把把看到的大大量信息进进行梳理，按按照时间顺顺序、内容容与教材内内容的相关关程度、在在几何史上上地位的重重要性等方方面进行选选取。第四步，组组织教案。确确定前一部部分讲几何何学发展简简史，后一一部分让学学生用学习习过的几何何知识（主主要是立体体几何）来来解决一些些实际问题题。数学应用能能力是基础础数学教育育的重要组组成部分，同同时它也是是学生比较较薄弱的环环节。中学学里的数学学内容多半半是纯粹的的数学基础础知识，而而现在国家家提倡数学学素质教育育,那么提提高数学应应用能力是是其中重要要的一环。为为了提高同同学对立体体几何的兴兴趣，提高高学生应用用立体几何何知识解决决实际问题题的能力，我我选择
4、了四四道应用性性较强的例例题:平改改坡问题,遮阳篷的的角度,飞飞机高度测测量和蜂巢巢表面积最最小问题。鉴鉴于学生的的实际数学学水平与能能力，我没没有让学生生从数学实实际问题出出发自行建建立数学模模型，而是是在帮助他他们建立了了数学模型型后，指导导学生如何何看懂模型型，如何联联系学习过过的数学知知识解决数数学问题。我希望通过过我的课，能能让更多的的学生了解解数学的历历史，了解解中国数学学的历史，为为我国古代代数学家的的杰出贡献献而自豪。同同时让同学学看到数学学是多么有有用的一门门学科，多多么有趣的的一门学科科，希望无无论是数学学成绩好还还是数学成成绩不理想想的同学都都能对数学学永远保持持一分兴趣
5、趣。教案教学目标：（1）让学学生大致了了解几何学学（主要是是立体几何何）学在中中外的发展展简史；（2）通过过使用古代代数学家的的方法解决决问题，让让学生亲身身体会中国国古代科学学家的成就就；（3）通过过中外数学学家的成就就比较中外外古代研究究数学的思思想的不同同；（4）通过过学习过的的立体几何何知识来解解决一些实实际问题。教学重点：割补法应应用于解决决实际问题题。教学难点：实际问题题向数学模模型的转化化。教学过程：前 言“九章所所蕴含的思思想影响，必必将日益显显著，在下下一世纪中中凌驾于原原本思想想体系之上上，不仅不不无可能，甚甚至说是殆殆成定局。”吴文俊 汇校九九章算术序序引入数数学的历史史
6、就是“数”与“形”的发展史史。我们的的先民在从从野蛮走向向文明的漫漫长历程中中，逐步认认识了数与与形的概念念。“形”的意识也也许跟人类类历史一样样古老。例例如：在中中国出土的的新石器时时代的陶器器大多为圆圆形或其他他规则形状状，陶器上上有各种几几何图案，通通常还有三三个着地点点，这些都都是几何知知识的萌芽芽。古埃及在齐齐阿普斯王王朝(公元元前29000年左右右)时代建建造起来的的金字塔,其塔基是是一个“标准”的正方形形，各边的的误差不超超过万分之之六。希腊人创造造了他们自自己的文明明和文化，对对现代西方方文化的发发展影响最最大，对今今日数学的的奠基起了了决定作用用。新课讲授授一古希腊腊几何学古
7、典时期期(公元前前600年年到公元前前300年年)（1）泰勒勒斯（约前前640前5466年）将埃埃及的实用用几何带入入希腊，开开始证明几几何命题。（2）毕达达哥拉斯（约约前5855前5000年）学派派对图形进进行广泛的的研究。开开头研究的的一类问题题叫面积应应用问题。几何上有三三个著名的的作图问题题：作一正正方形使其其与给定的的圆面积相相等；给定定正方体一一边，求作作另一正方方体之边，使使后者体积积两倍于前前者体积；用尺规三三等分任意意角。有好好些数学结结果是为解解决这三个个问题而得得出的副产产品。（3）希波波克拉底（前前5世纪下下半叶）已已研究画圆圆为方及立立方倍积问问题。据说说最早把间间接
8、证明引引用到数学学里的是他他。他所著著的几何书书叫几何何原本，已已经失传。（4）德谟谟克利特（约约前4600前3700年）发现现棱锥和圆圆锥的体积积分别等于于同底等高高的棱柱和和圆柱体积积的三分之之一（但是是证明是由由欧道克斯斯作出的）。他他的几何著著作很可能能是欧几里里德几何何原本问问世以前的的重要著作作。（5）亚里里士多德（约约前3844前3222年）创造造了演绎逻逻辑，虽然然他的哲学学对数学的的直接影响响很少，但但对古希腊腊的论证几几何等数学学的发展起起到明显的的促进作用用。他给“定义”、“定理”、“公设”等以明确确的解释。（6）欧几几里德（前前300年年左右生活活在亚历山山大城并在在该
9、处授徒徒）著几几何原本，确确立几何学学的逻辑体体系，成为为世界上最最早的公理理化数学著著作。原原本共十十三篇，第第一篇到第第四篇讲直直边形和圆圆的基本性性质；第五五篇讲比例例论；第六六篇讲相似似形；第七七、八、九九篇是数论论；第十篇篇是不可公公度量的分分类；第十十一、十二二、十三篇篇是立体几几何及穷竭竭法。西方曾有两两本影响最最广的书，一一本是圣圣经，另另一本就是是几何原原本。原原本是使使用时间最最长的数学学教科书。原原本实际际上是古希希腊古典时时期一些个个别发现的的整理，是是众多学者者智慧的结结晶，欧几几里德对前前人的成果果加以整理理、归纳、完完善和发展展，他依然然是个大数数学家。虽虽然它的
10、内内容存在缺缺陷，而且且与现代教教学趋势日日益不相适适应，但从从历史的角角度看，它它确实是一一部伟大的的著作，无无愧于“西方数学学的代表作作”的称号。这个时期的的数学仅仅仅是定性的的。那个时时期的知识识分子只限限于搞哲学学和科学工工作，不去去搞商业和和贸易；有有教养的人人不关心实实际问题。他他们就这样样把数学思思维和实际际需要割裂裂开来，而而且数学家家也没有感感到有去改改进算术方方法和代数数方法的压压力。只有有当有文化化的阶级与与奴隶阶级级之间的壁壁垒在亚历历山大时期期被冲破而而且有教养养的人关心心实际事务务的时候，重重点才转移移到数量知知识以及发发展算术和和代数方面面。亚历山大大时期(前前3
11、00年年到公元6600年)阿基米德（前前287前2122年）利用用穷竭法求求出球的表表面积和体体积公式,研究抛物物弓形面积积,给出的范围,它的几何何著作是希希腊数学的的顶峰。大约从公元元1世纪初初起,亚历历山大的数数学工作特特别是几何何工作开始始衰落.而而此时在东东方的中国国数学正蓬蓬勃发展。二、中国古古代几何学学中国的几何何有悠久的的历史，可可靠的记录录从公元前前十五世纪纪谈起，甲甲骨文内已已有“规”和“矩”两个字,规是用来来画圆的,矩是用来来画方的.春秋时期，随随着铁器的的出现，生生产力的提提高，中国国开始了由由奴隶制向向封建制的的过渡，新新的生产关关系促进了了科学技术术的发展与与进步。战
12、战国时期人人们通过田田地及国土土面积的测测量，城池池的修建，水水利工程的的设计等生生产生活实实践，积累累了大量的的数学知识识。（1）但是是秦朝的焚焚书坑儒给给中国文化化事业造成成空前的浩浩劫，西汉汉作为数学学新发展及及先秦典籍籍的抢救工工作的结晶晶，便是九九章算术的的成书。它它对于中国国和东方数数学，大体体相当于几几何原本对对于希腊和和欧洲数学学。中国古古代的几何何一般不讨讨论图形离离开数量关关系的性质质，而要计计算出长度度、面积、体体积。在九九章算术的的方田章中中有各种多多边形、圆圆、弓形等等的面积公公式；商功功章讨论了了各种立体体的体积公公式。九章算术术后，中中国的数学学著述基本本采用两种
13、种方式：一一是为九九章算术做做注；二是是以九章章算术为为楷模编纂纂新的著作作。经过两两汉社会经经济和科学学技术的大大发展，到到魏晋时期期，思想文文化领域中中儒家的统统治地位被被削弱，代代之以谈三三玄周易易、老老子、庄庄子为主主的辩难之之风。与此此相适应，数数学家重视视理论研究究，力图把把自先秦到到两汉积累累起来的数数学知识建建立在必然然可靠的基基础之上。（2）刘徽徽和他的九九章算术注注便是魏魏晋时代造造就的最伟伟大的数学学家和最杰杰出的数学学著作。该书前九卷卷全面论证证了九章章算术的的公式、解解法，发展展了出入相相补原理、截截面积原理理、齐同原原理和率的的概念，在在圆面积公公式和锥体体体积公式
14、式的证明中中引入了无无穷小分割割和极限思思想，首创创了求圆周周率的正确确方法，指指出并纠正正了九章章的某些些不正确的的或错误的的公式，探探索出解决决球体积的的正确途径径。以多面体体体积的算法法为例，在在实际中使使用了长方方体的体积积公式：VV=abhh。堑堵是将长长方体沿相相对两棱剖剖开所得的的几何体，其其体积显然然是V=aabh/22；沿堑堵堵的一顶点点与相对的的棱剖开，一一部分是四四棱锥，称称为阳马，其其体积为VV=abhh/3，另另一部分为为四面都是是直角三角角形的三棱棱锥，叫鳖鳖臑，其体体积V=aabh/66。刘徽用用无穷小分分割的方法法证明了上上述公式。在平面几何何中用直角角三角形或
15、或正方形 在立体几几何中用锥锥体和长方方体进行移移补,这构构成了中国国古代几何何的特点.刘徽未能解解决球体积积公式的证证明，但他他创造性地地给出了他他的“牟合方盖盖”，但是他他未能证明明，在书中中他也坦诚诚直言，表表示“以俟能言言者”。2000多年后出出了一位“能言者”，那就是是祖暅之。（3）缀缀术包含含了祖冲之之（4299500年年）和儿子子祖暅之（一一作祖暅，生生平不详）的数学贡献。祖暅沿用刘徽的“牟合方盖”，证明了球体体积的计算问题，充分显示了中国古代数学家的聪明才智。由于该书内容深奥，隋唐算学馆的学官（相当于今天大学数学系的教授）读不懂，后失传。刘徽和祖氏氏父子在极极限思想的的运用上远
16、远远超过了了古希腊的的同类思想想，达到了了文艺复兴兴前世界数数学界的最最高峰。三、我们研研究探索的的问题问题1为了了改善住房房条件，上上海近些年年大力推行行“平改坡”工程。一一个平顶建建筑物屋顶顶是一个长长为a米宽宽为b米的的矩形，在在其上增加加一个如图图所示的屋屋顶，屋脊脊PQ的长长为m米，屋屋顶的高为为h米，求求增加的屋屋顶的体积积。 分析将屋顶截截成中间成成三棱柱（堑堑堵），两两边成四棱棱锥（阳马马）。仅此此，我们可可以看出刘刘徽的这组组模型在几几何体计算算中的作用用。问题2 遮遮阳棚的角角度C1B1A1CBA卖西瓜的小小商贩决定定利用一面面南北方向向的墙（如如图所示），在在上面用AAC
17、=3mm BC=4m AB=55m的角钢钢焊接成一一个简易的的遮阳棚（将将AB放在在墙上），他他认为从正正西方向射射出的太阳阳光线与地地面成755度角时，气气温最高，要要使此时的的遮阳棚面面积最大，应应将遮阳棚棚ABC面面与水平面面成多大角角度？问题3飞行行的高度在南北方向向的一条公公路上，一一辆汽车由由南向北行行驶，速度度为1000千米/时时，一架飞飞机在一定定高度上的的一条直线线上飞行，速速度为10007千米/时。从汽汽车里看飞飞机，在某某个时刻看看见是正西西方向，仰仰角是300度，在336秒后，又又看见飞机机在北偏西西30度，仰仰角为300度，问飞飞机的飞行行高度是多多少千米？问题4 1
18、8世纪纪，法国科科学家雷奥奥乌姆尔和和马拉尔蒂蒂等人认真真观测蜂巢巢，发现它它外形是正正六棱柱，下下底是正六六边形（设设边长为22a），顶部部是三个全全等菱形，三三个菱形与与棱柱轴线线成等角，三三者彼此斜斜依而下倾倾，棱柱侧侧面皆全等等直角梯形形。设较长长侧棱AAA1=h，问：（1）当菱菱形的边长长变化时，蜂蜂巢的体积积是否改变变？请说明明理由。（2）欣赏赏了蜂巢的的艺术性之之后，科学学家在深思思这种奇特特结构的实实用价值，猜猜想这种蜂蜂房的顶盖盖设计可能能是节省其其建材蜂蜡蜡的最佳选选择。雷奥奥乌姆尔就就这种猜测测请教瑞士士数学家、巴巴黎科学院院院士科尼尼希，科尼尼希严格证证明了人们们关于蜂
19、巢巢最优性的的猜测是真真的。请你你也来计算算一下，在在体积相同同的情况下下，菱形内内角多大时时，蜂巢表表面积最小小？结 束 语“继续发扬扬中国古代代传统数学学的机械化化特色对数数学各个不不同领域探探索实现机机械化的途途径，建立立机械化的的数学，则则是本世纪纪以至可能能绵亘整个个21世纪纪才能大体体趋于完善善的事。”吴文俊 现代数数学新进展展序专家点评评一般情况下下，开课从从来不会开开这样的课课，把数学学史作为上上课讲授内内容的一个个重要组成成部分，占占了近一半半的教学时时间。但是是数学史又又是数学的的一个不可可缺损的部部分。我本本人在以前前也并不了了解数学的的发展史，也也是工作后后，看了一一些
20、有关的的书籍，慢慢慢地对数数学史也有有了一定的的了解。我感到数学学史对我影影响最大的的是历史上上许多数学学家的人格格魅力。为为了坚持真真理，他们们不顾世人人的嘲笑、谩谩骂、甚至至迫害，有有些人甚至至付出了生生命的代价价。比如非非欧几何的的发现。其其实当时有有三个人同同时发现。年年轻的玻利利亚因为怀怀疑自己的的成果被高高斯剽窃，一一气之下不不再研究数数学。高斯斯屈从于教教会的势力力，不敢勇勇敢地发表表自己的发发现。而只只有俄国有有创新精神神的罗巴切切夫斯基在在喀山大学学数学物理理系宣读了了他的开创创性论文关关于几何原原理的议论论，提出出了罗巴切切夫斯基公公理，这一一天公认为为“非欧几何何”的诞生
21、日日。他公然然向人类几几千年来确确信不疑的的欧氏几何何挑战，在在当时遭到到了几乎所所有数学家家的讽刺，甚甚至校长的的职务也被被撤除。但但是科学界界对待罗巴巴切夫斯基基的不公正正评价并未未摧毁它对对新几何的的信念，他他不顾一切切侮辱坚持持真理，他他的理想终终于得胜，被被历史承认认。三人中中只有他被被公认为“非欧几何何之父”，这也是是他的不屈屈科学精神神的体现，也也是后人对对他坚持真真理的一种种敬意。因因此，讲一一点数学史史，看一点点数学史，不不仅对学生生，对老师师也是一种种教育。我我们应该对对学生多进进行人格方方面的教育育，数学史史值得去讲讲，值得去去研究，数数学家的这这种精神应应该让后人人了解
22、、继继承、发扬扬。任何数学家家的成就都都离不开人人的积累。欧欧几里德的的几何原原本是古古希腊先人人数学成就就的结晶，中中国九章章算术也也是中国先先秦时期和和以前中国国古人的数数学成就的的总结。刘刘徽的成就就更是踩在在前人的肩肩膀上才取取得的。还还历史一个个本来面目目，让学生生了解这些些，知道前前人要想发发现哪怕是是一个定理理也是多么么不容易。数数学上的探探索与发现现本来就是是一条荆棘棘之路，仅仅靠个人的的力量是不不够的。这这方面对学学生也是一一个教育。本堂课的实实际问题都都很精彩，体体现了中国国古代数学学处理几何何体的最常常用方法：割补法。有有三维的割割补，也有有平面的割割补。只是是遮阳篷这这
23、道题花的的时间较长长，有点影影响后面的的进度。 李大元课后反思思上完几何何学的发展展简史，特特别是听了了李大元老老师的点评评后，我对对数学史的的渗透教学学工作应当当起到的作作用又有了了新的认识识。首先，中国国古代的数数学成就不不仅是进行行爱国教育育的优秀教教材，而且且许多成就就本身对当当前的数学学教学仍具具有现实意意义。事实实上中国古古代解决某某些问题的的方法比现现行数学教教科书中的的方法要优优越。现行行教材的几几何部分大大量来源于于古希腊人人的成就。诚诚然，古希希腊人对数数学确实做做出过光辉辉的贡献，对对世界数学学思想产生生过巨大的的影响，但但是同样不不可否认的的事实是：公元前22世纪前后后
24、希腊数学学开始衰微微时，中国国数学等东东方数学开开始占据了了世界数学学舞台的重重心。中国国古算的地地位正日益益得到世界界学术界有有识之士的的承认。数数学大师吴吴文俊正是是汲取中国国古代数学学的思想和和方法，在在几何定理理的机器证证明研究上上取得了举举世瞩目的的成就。与与反对随意意拔高古人人一样，我我们更反对对贬低中国国数学、对对中国古代代数学一无无所知的错错误态度。中中外数学家家前赴后继继，共同创创造出今天天数学的辉辉煌，今后后我还将尝尝试如何系系统地把古古人的成就就结合现行行教材介绍绍给学生。其次，数学学史的教学学应当着重重人格的教教育。史情情教育课是是宣传科学学发展历程程艰难的课课，应当让
25、让学生体会会到自然科科学发展的的重重阻力力，除了当当时科学发发展水平的的限制，更更多的还有有来自社会会各方面的的压力。思思想的不解解放，社会会宽容度的的不够，使使得科学的的发展举步步维艰。在在当今社会会，要想坚坚持真理，有有时也并不不容易。多多让学生了了解数学家家的艰辛，了了解他们不不屈不挠的的坚持科学学、坚定信信念、相信信真理的精精神，对学学生人格的的塑造相信信会起到一一定的作用用。但是我我在这方面面的宣传、渗渗透做得还还不够，因因为我并没没有意识到到这一点。我我只是肤浅浅的认为数数学成果（特特别是中国国古人的成成果）是我我要向学生生介绍的重重点。其实实成就只是是一个结果果，探究成成果的过程程才是宣讲讲的重点，这这才真正体体现了史的的精髓。今今后在组织织教案中，我我也要改变变观念，对对数学发展展的过程史给予予充分的重重视，真正正上好史的的教学。