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1、#*经典难题（一）经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C、E 是圆上的两点，CDAB，EFAB，EGCO 求证：CDGF （初二）2、已知：如图，P 是正方形 ABCD 内点，PADPDA150求证：PBC 是正三角形 （初二）3、如图，已知四边形 ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是 AA1、BB1、CC1、DD1的中点 求证：四边形 A2B2C2D2是正方形 （初二）4、已知：如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，M、N 分别是 AB、CD 的中点，AD、BC 的延长线交 MN 于 E、F 求证：DENFAPCDBAFGC EBODD2C2B2A
2、2D1C1B1CBDAA1ANFEC DMB#*PCGFBQADE经 典 难题（二）1、已知：ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点） ，O 为外心，且 OMBC 于 M（1）求证：AH2OM；（2）若BAC600，求证：AHAO （初二）2、设 MN 是圆 O 外一直线，过 O 作 OAMN 于 A，自 A 引圆的两条直线，交圆于 B、C 及 D、E，直线 EB 及 CD 分别交 MN 于 P、Q 求证：APAQ （初二）3、如果上题把直线 MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设 MN 是圆 O 的弦，过 MN 的中点 A 任作两弦 BC、DE，设 CD、EB 分别交 MN 于 P
3、、Q 求证：APAQ （初二）4、如图，分别以ABC 的 AC 和 BC 为一边，在ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方 形 CBFG，点 P 是 EF 的中点 求证：点 P 到边 AB 的距离等于 AB 的一半 （初二）ADHEMCBOGAODBECQPNMOQ PBDE CNMA#*经 典 难题（三）1、如图，四边形 ABCD 为正方形，DEAC，AEAC，AE 与 CD 相交于 F 求证：CECF （初二）2、如图，四边形 ABCD 为正方形，DEAC，且 CECA，直线 EC 交 DA 延长线于 F 求证：AEAF （初二）3、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点，P
4、FAP，CF 平分DCE 求证：PAPF （初二）4、如图，PC 切圆 O 于 C，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE、AF 与直线 PO 相交 于 B、D求证：ABDC，BCAD （初三）DAFDECBEDACBFFEPCBAODBFAECP#*经 典 难题（四）1、已知：ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA3，PB4，PC5 求：APB 的度数 （初二）2、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且PBAPDA 求证：PABPCB （初二）3、设 ABCD 为圆内接凸四边形，求证：ABCDADBCACBD （初三）4、平行四边形 ABCD 中，设 E、F 分别是 BC、
5、AB 上的一点，AE 与 CF 相交于 P，且 AECF求证：DPADPC （初二）APCBPADCBCBDAFPDECBA#*经 典 难题（五）1、设 P 是边长为 1 的正ABC 内任一点，LPAPBPC，求证：L22、已知：P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点，求 PAPBPC 的最小值3、P 为正方形 ABCD 内的一点，并且 PAa，PB2a，PC3a，求正方形的边长4、如图，ABC 中，ABCACB800，D、E 分别是 AB、AC 上的点，DCA300，EBA200，求BED 的度数APCBACBPDE DCBAACBPD#*经 典 难题（一）1.如下图做 GHAB,连
6、接 EO。由于 GOFE 四点共圆，所以GFHOEG,即GHFOGE,可得=,又 CO=EO，所以 CD=GF 得证。EO GFGO GHCO CD2. 如下图做DGC 使与ADP 全等，可得PDG 为等边，从而可得DGCAPDCGP,得出 PC=AD=DC,和DCG=PCG150 所以DCP=300 ，从而得出PBC 是正三角形3.如下图连接 BC1和 AB1分别找其中点 F,E.连接 C2F 与 A2E 并延长相交于 Q 点， 连接 EB2并延长交 C2Q 于 H 点，连接 FB2并延长交 A2Q 于 G 点，由 A2E=A1B1=B1C1= FB2 ，EB2=AB=BC=FC1 ，又GF
7、Q+Q=900和1 21 21 21 2GEB2+Q=900,所以GEB2=GFQ 又B2FC2=A2EB2 ，可得B2FC2A2EB2 ，所以 A2B2=B2C2 ， 又GFQ+HB2F=900和GFQ=EB2A2 , 从而可得A2B2 C2=900 ， 同理可得其他边垂直且相等， 从而得出四边形 A2B2C2D2是正方形。#*4.如下图连接 AC 并取其中点 Q，连接 QN 和 QM，所以可得QMF=F，QNM=DEN 和QMN=QNM，从而得出DENF。经 典 难题（二）1.(1)延长 AD 到 F 连 BF，做 OGAF, 又F=ACB=BHD， 可得 BH=BF,从而可得 HD=DF
8、， 又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM (2)连接 OB，OC,既得BOC=1200，从而可得BOM=600,所以可得 OB=2OM=AH=AO, 得证。#*3.作 OFCD，OGBE，连接 OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。由于，2 2ADACCDFDFD ABAEBEBGBG=由此可得ADFABG，从而可得AFC=AGE。又因为 PFOA 与 QGOA 四点共圆，可得AFC=AOP 和AGE=AOQ，AOP=AOQ，从而可得 AP=AQ。4.过 E,C,F 点分别作 AB 所在直线的高 EG，CI，FH。可得 PQ=。2EGFH+由EGAAIC，
9、可得 EG=AI，由BFHCBI，可得 FH=BI。从而可得PQ= = ，从而得证。2AIBI+ 2AB#*经 典 难题（三）1.顺时针旋转ADE，到ABG，连接 CG.由于ABG=ADE=900+450=1350从而可得 B，G，D 在一条直线上，可得AGBCGB。推出 AE=AG=AC=GC，可得AGC 为等边三角形。AGB=300，既得EAC=300，从而可得A EC=750。又EFC=DFA=450+300=750.可证：CE=CF。2.连接 BD 作 CHDE，可得四边形 CGDH 是正方形。 由 AC=CE=2GC=2CH，可得CEH=300，所以CAE=CEA=AED=150，#
10、*又FAE=900+450+150=1500， 从而可知道F=150，从而得出 AE=AF。3.作 FGCD，FEBE，可以得出 GFEC 为正方形。令 AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得 PC=Y-X 。tanBAP=tanEPF=，可得 YZ=XY-X2+XZ，X YZ YXZ-+即 Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得 X=Z ，得出ABPPEF ，得到 PAPF ，得证 。#*经 典 难题（四）1. 顺时针旋转ABP 600 ，连接 PQ ，则PBQ 是正三角形。 可得PQC 是直角三角形。 所以APB=1500 。2.作过 P 点平行于 AD 的直线，并选一点 E，使 AEDC，
11、BEPC. 可以得出ABP=ADP=AEP，可得： AEBP 共圆（一边所对两角相等） 。 可得BAP=BEP=BCP，得证。3.在 BD 取一点 E，使BCE=ACD，既得BECADC，可得：=，即 ADBC=BEAC， BE BCAD AC又ACB=DCE，可得ABCDEC，既得=，即 ABCD=DEAC， AB ACDE DC由+可得: ABCD+ADBC=AC(BE+DE)= ACBD ，得证。#*4.过 D 作 AQAE ，AGCF ，由=，可得：ADESA2ABCDSADFCSA=，由 AE=FC。2AE PQA 2AE PQA可得 DQ=DG，可得DPADPC（角平分线逆定理）
12、。经 典 难题（五）1.（1）顺时针旋转BPC 600 ，可得PBE 为等边三角形。 既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要 AP，PE，EF 在一条直线上，即如下图：可得最小 L= ；#*（2）过 P 点作 BC 的平行线交 AB,AC 与点 D，F。由于APDATP=ADP， 推出 ADAP 又 BP+DPBP 和 PF+FCPC 又 DF=AF 由可得：最大 L 2 ；由（1）和（2）既得：L2 。2.顺时针旋转BPC 600 ，可得PBE 为等边三角形。 既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要 AP，PE，EF 在一条直线上， 即如下图：可得最小 PA+
13、PB+PC=AF。#*既得 AF= = = 213(1)42+23+42 3 2+= = 2( 31) 2+2( 31)2+= 。62 2+3.顺时针旋转ABP 900 ，可得如下图： 既得正方形边长 L = = 。2222(2)()22a+A52 2 a+A#*4.在 AB 上找一点 F，使BCF=600 ，连接 EF，DG，既得BGC 为等边三角形，可得DCF=100 , FCE=200 ,推出ABEACF ，得到 BE=CF ， FG=GE 。推出 ： FGE 为等边三角形 ，可得AFE=800 ，既得：DFG=400 又 BD=BC=BG ，既得BGD=800 ，既得DGF=400 推得：DF=DG ,得到：DFEDGE ，从而推得：FED=BED=300 。