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1、引 言 滤波器是一种二端口网络。它具有选择频率的特性，即可以让某些频率顺利通过，而对其它频率则加以阻拦，目前由于在雷达、微波、通讯等部门，多频率工作越来越普遍，对分隔频率的要求也相应提高；所以需用大量的滤波器。再则，微波固体器件的应用对滤波器的发展也有推动作用，像参数放大器、微波固体倍频器、微波固体混频器等一类器件都是多频率工作的，都需用相应的滤波器。更何况，随着集成电路的迅速发展，近几年来，电子电路的构成完全改变了，电子设备日趋小型化。原来为处理模拟信号所不可缺少的LC型滤波器，在低频部分，将逐渐为有源滤波器和陶瓷滤波器所替代。在高频部分也出现了许多新型的滤波器，例如：螺旋振子滤波器、微带滤
2、波器、交指型滤波器等等。虽然它们的设计方法各有自己的特殊之点，但是这些设计方法仍是以低频“综合法滤波器设计”为基础，再从中演变而成，我们要讲的波导滤波器就是一例。通过这部分内容的学习，希望大家对复变函数在滤波器综合中的应用有所了解。同时也向大家说明：即使初看起来一件简单事情或一个简单的器件，当你深入地去研究它时，就会有许多意想不到的问题出现，解决这些问题并把它用数学形式来表示，这就是我们的任务。谁对事物研究得越深，谁能提出的问题就越多，或者也可以说谁能解决的问题就越多，微波滤波器的实例就能很好的说明这个情况。我们把整个问题不断地“化整为零”，然后逐个地加以解决，最后再把它们合在一起，也就解决了
3、大问题。这讲义还没有对各个问题都进行详细分析，由此可知提出问题的重要性。希望大家都来试试。第一部分 滤波器设计 1-1 滤波器的基本概念图 1图1 的虚线方框里面是一个由电抗元件L 和C 组成的两端口。它的输入端1-1与电源相接，其电动势为Eg，内 阻为R1。二端口网络的输出端22 与负载R2相接，当电源的频率为零（直流） 或较低时，感抗jL很小，负载R2两端的电压降E2比较大（当然这也就是说负载R2可以得到比较大的功率）。但是，当电流的频率很高时，一方面感抗jL变得很大，另一方面容抗j/C却很小，电感L上有一个很大的压降，电容C又几乎把R2短路，所以，纵然电源的电动势Eg保持不变，负载R2两
4、端的压降E2也接近于零。换句话说，R2不能从电源取得多少功率。网络会让低频信号顺利通过，到达R2，但阻拦了高频信号，使R2不受它们的作用，那些被网络 A（或其他滤波器）顺利通过的频率构成一个“通带”，而那些受网络A 阻拦的频率构成一个“止带”，通带和止带相接频率称为截止频率。什么机理使网络A 具有阻止高频功率通过的能力呢？网络A 是由电抗元件组成的，而电抗元件是不消耗功率的，所以，高频功率并没有被网络A 吸收，在图一所示的具体情况中，它有时贮存于电感L 的周围，作为磁能；在另一些时间，它又由电感L 交还给电源。如果L 和C 都是无损元件（即它们的电阻等于零），那么，高频功率就是这样在电感与电源
5、之间来回交换，丝毫不受损耗，这就是电抗滤波器阻止一些频率通过的物理基础。从这个意义来说，我们可以认为滤波器将止带频率的功率发射回电源去，同时也是因为这个关系，在止带内滤波器的输入阻抗是纯电抗性的。图一的网络A 是一个很简单的滤波电路，它的滤波效能是比较低的，在许多场合下，往往不能满足技术上的要求，而不得不采取更复杂的电路结构。然而，不管电路结构如何复杂，滤波作用的物理根源还是和前面所说的完全一样。滤波作用是滤波网络所具有的内在特性，但滤波网络所能起到的作用还受外界因素（电源内阻R1和负载电阻R2）的影响。滤波效能首先决定于滤波器的内在特性（这是主要的），同时还决定于滤波器的外加阻抗（这也是不可
6、忽略的）。那么，滤波器效能是用什么来衡量的呢？图二(a) 表示一个电源，它的电动势为Eg，内阻为R1。设负载为R2，则当负载直接与电源相接时，它所能吸收的功率P02 为：现在我们将滤波器A接于电源与负载之间，如图二(b) 所示，由于滤波器的特性，当电源频率变化时，出现于R2两端的压降E2是不同的，即R2从电源所取得的功率在不同频率上是不等的。用分贝来表示的P02 与P2的比值称为插入损耗Li： (1)(a) (b)图 2插入损耗Li是衡量滤波器效能的一个参数。根据上面的讨论，显然可见，一个良好的滤波器的插入损耗在通带内应该比较低，而在止带内应该比较高。理想的滤波器的插入损耗在通带内应该等于零，
7、而在止带内应该是无穷大。 插入损耗是普通滤波器常用的参数。滤波网络具有的阻抗变换特性不难使负载R2在整个通带内与电源达成匹配。这时，负荷所吸收的功率将超过P02，而使Li取得负值。根据R1和R2的比值不同，Li的这个负值也不一样。因此，插入损耗Li并不是一个很方便的比较基准。为了避免这种困难，人们还提出另外一个参数，它以电源所能供给的最大功率P0为基准。从电工基础我们知道：P1与P0的比值，如以分贝来表示，称为变换器损耗LA（Transducter Loss):根据以上给出的种种关系，可以算出： (2)从上式显然可见，当R2R1时，变换器损耗就是插入损耗。有些参考书上，这两者是混为一谈的。必须
8、注意，在(2) 式中，当频率变化时，P2 是跟着变化的。在理想的情况下，滤波器的变换器损耗LA 在通带内应该是零，而在止带内则应该具有比较大的数值。根据滤波器的具体电路结构，变换器损耗与频率保持有各种不同的关系。图三给出四种典型关系，在这些图中，横坐标表示频率，纵坐标表示变换器损耗LA。(a)表示有关器件顺利通过低于1的频率，而阻碍高于1的频率通过；这样的器件称为低通滤波器（LPLow Pass）。(b)的情况正好相反，称为高通滤波器（HPHigh Pass）。(c) 表示有关器件顺利通过1至2之间的频率，对于低于1或高于2的频率都阻碍它们通过；这样的器件称为带通滤波器（BP-Band Pas
9、s）。(d)是(c)的对立面，它阻止1至2之间的频率通过，称为带阻滤波器（BSBand Suppress）。这些不同的频率特性取决于电路的具体结构，图四给出以上四种滤波器的基本结构形式，各个元件的数值是和变换器衰减的频率特性以及所接负载密切联系着的。骤然看来，这四种电路结构是很不相同的，似乎各自应有各自的设计方法。其实不然，通过一些数学方法，人们可以把这四种滤波器电路结构完全统一起来，这里用到的数学方法叫作“频率变换”。应用频率变换法，其它三种滤波器都可以看作低通滤波器；在设计时，先从它对应的低通滤波器着手（因为这样简单得多），在获得低通滤波器的设计数据以后，再用频率变换法，求得所要设计的滤波
10、器的数据。因为这个关系，满足设计技术要求的低通滤波器称为“母型滤波器”或“原型滤波器”（prototype)。 图 3图 4上面提出了衡量滤波器效能的参数变换器损耗LA，但是，效能好坏的准则又是什么呢？在实际滤波器中，变换器损耗的频率特性往往不像图三那样理想。首先，从通带过渡到止带，LA是慢慢增加的，所以，衡量滤波器效能好坏的有关标准是：从通带过渡到止带时，LA曲线的上升要陡峭。其次在通带内，变换器损耗不是完全不存在的，一方面因为构成滤波器的元件多少总带有一点损耗，如电感中的电阻，电容中的漏阻等。另一方面，由于设计上的考虑，有时故意要LA在通带内不能完全为零。故衡量滤波器效能的另一准则是：在L
11、A曲线从通带过渡到止带的上升程度相同的情况下，LA在通带内的大小究竟怎样。对以上两点的要求越高，滤波器所需用的元件越多，这将带来生产工作和造价的增加。所以，对于实际设计，应根据具体情况进行全面的考虑，只要滤波性能能够满足所提出的要求，那便没有追求LA曲线上升过分陡峭的必要。问题在于能够完成任务，这也就是我国老话“杀鸡用不着牛刀”的意思。第一部分 滤波器设计1-2 滤波器设计的两种出发点滤波器的设计当前有两种不同的出发点。一种称为镜象参数法。它以滤波网络的内在特性为根据。是人们一向用来设计滤波器的老办法。这种方法的特点是: 根据滤波网络的具体电路, 用分析的方法推算出变换器损耗的特性。然后再将这
12、些具体电路拼凑起来, 使总的LA特性满足所需要的技术要求。用这种方法设计出来的滤波器一般为K 式滤波器和m 式滤波器等。这种方法的优点是理论根据简单。它的缺点是在分析过程中没有考虑外接负载的影响, 故在具体的设计要求提出后, 需要反复试探, 才能得到设计结果; 这对于缺乏经验的工作人员来说, 是颇费时间的。另一种方法从插入损耗入手, 它是近年来应用的很多的设计方法。这种方法的特点是: 根据所提出的技术要求, 决定插入损耗Li(在R2=R1时也就是娈换器损耗LA)与频率的函数关系, 然后根据这个函数关系, 应用网络理论综合出具体的电路结构。所以这种方法和前面的一种方法正好是相反的; 这种方法根据
13、要求推求电路,而镜象参数法则是应用已知的特性电路拼凑出满足要求的结构。这种方法的优点是设计准确, 而且设计是已经考虑到外接负载的影响, 无需经过多次试探的手续。它的缺点是需要用到比较难深的网络理论。但是, 这个缺点是可以弥补的, 因为只要一当把满足各种要求的母型滤波器设计出来以后, 后来的设计手续变成了简单的查表读图和应用浅近数学方法换算数据, 从实用角度来说比镜象参数法还要简单得多。 第一部分 滤波器设计 1-3 综合法滤波器引言-恩格斯说过:“没有分析就没有综合”。要讨论综合法滤波器就需要从分析滤波器入手。综合法滤波器设计又名插入损耗法。这就是说插入损耗是该设计法的核心。现在需要弄清楚什么
14、是网络分析和什么是网络综合? 网络分析-给出一个具体网络, 要我们求出这个网络的传递函数。 网络综合-它是网络分析的逆过程。给出一个具体的传递函数, 要我们求出这个网络的电路形式和各种元件的数值。网络综合的确比分析一个具体电路要复杂得多。而且涉及的数学公式又多又难。但是它又是一个把数学用于工程问题的一个极好例子。所以我们还是决定详细地讲一讲。我们相信这会对同学们有好处的。 (一) 二端对网络的电压传递函数工程设计中遇到的实际电路, 大多可以用图五所示的二端对网络来表示。图五的左方代表一个实际的电压源, Eg是它的电动势, R1是它的内阻。右边的R2代表负载。根据问题的不同R1和R2可以取得种种
15、不同的数值, 因为人们需要解决的实际问题是多种多样的。图 5这样的两端对网络主要是用作传输系统。既然如此, 人们首先注意的问题是:它在外力作用下, 输出端会产生什么效果。譬如说, 当输入端1-1加上激励电压Eg,或送进激励电流I1 时, 接于网络输出端2-2的端载R2上的电压E2或流过R2上的电流I2都是很重要的响应, 我们把Eg/E2之比称为传递函数。学过两端对网络理论, 我们当然就希望用网络理论来推导这个电压传递函数。考虑到网络内元件的复杂性, 我们就用通用矩阵a来推导这个传递函数。 图五所示结构用a矩阵的参数来表示: 根据a矩阵的定义:先求2-2端接上负载R2时, 1-1端的输入阻抗Zi
16、n:这样图五所示的网络就转化为图6那样。该电路的电压和电流的关系式是很容易求得的。图 6当R1R21时， (3)因为, 对于纯电抗网络, 当频率j时, 只有B和C是纯虚数, 而A和D是实数。所以,就是一个复数。于是又可以把它表示为:这个公式(3)是极其重要的一个关系式, 它所要满足的条件在我们一般要讨论的问题中, 很容易达到R1 = R2 。这是因为: 作为一个传输系统总是希望把大部分功率传到负载上去的, 所以总是想尽办法使电流和负载匹配。这里要提的另一个问题是: 为什么在公式的推导中, 用的是R1 = R2 =1, 而不是具体值。R1 = R2 = 300,25,75呢? 回答是: 这样可以
17、简化我们的讨论。这也是网络分析的一个极重要的结论-阻抗归一化。 (二) 电压传递函数的阻抗归一化人们对大量的具体电压传递函数进行分析后, 总结出一个重要的特性。如果网络中的每个独立的阻抗乘上一个常数因子A后, 那么, 这个网络的电压传递函数保持不变。考虑到以后的实际情况, 我们用带撇“”的R、C和L 来表示已归一化的元件值, 单位分别是欧姆、法拉和亨利, 而用不带撇的R、C和L 表示实际电路的元件值。具体来说:这个结论可以用实际例子来说明: 给我们两个如图7(a)(b)所示的网络, 要我们分别求出其各自的电压传递函数, 按照电工原理, 我们可以求出它们的电压传递函数: 对于图7(a)所示的网络
18、, 我们先求出其回路电流I1:图 7对于图7(b)所示的网络, 由于其R1=R2=1, 数简单, 所以计算起来更加简洁:由此可见这两个电路的电压传递函数是一样的。图7(b)的电路的各元件值只是图7(a)的电中各元件的阻抗值扩大了50倍的反映。所以, 这两个电路只有绝对阻抗大小的差别, 而对电压分配比是一样的。这样, 我们就可以把阻抗之间的相对比例一样的网络归为一类。仅仅研究它的归一化后的电路的特性, 别的阻抗值的电路, 都可以从它导出。 (三) 电压传递函数的频率归一化受到上述的好处以后, 我们很自然地会想到不同的频率工作的电路, 其电压传递函数是否也能归类, 研究的结果是可行的。其结论如下:
19、 如果把工作频率从=1弧度/秒升高到=B弧度/秒, 让该网络的所有电阻保持不变, 而把网络中的所有电感L和电容C都除以B, 那么, 变换后的电路的电压传递函数没有变化。这是很自然的, 它好像物理量的单位换算, 其基本的道理仍然是使网络各元件的阻抗之比保持不变。对于电阻，因为它和工作频率无关, 所以工作频率变化, 不影响它的值。对于电容的电感, 则有:这个结论也可以用实际例子来说明:让我们仍以图7(b)为例: 设=1弧度/秒 , 则有接着我们来看看, 若把=2弧度/秒代入, 又要保持其电压传递函数不变, 只有改变电路中的电感值, 它该是多少呢? 图7(b)的电压传递函数为于是, 满足保持电路的电
20、压传递函数不变的可能, 只是, 这正好就是从原来电感L除以频率提高的倍数2, 其最后的具体结构如图8所示。图 8 阻抗归一化和频率归一化的概念在网络理论中极为重要。因为, 今后列表中的各种元件值都是以阻抗归一化和频率归一化后的元件值。各种具体阻抗和工作频率时的具体都由它们导出。人们能把这两个法则合在一起, 从而能一下子同时去掉这两个归一化。因此,对于一个已归一化的电路, 要让它们阻抗提高A倍, 频率提高B倍, 那么人们就有: 每个网络中的电阻乘上A 每个网络中的电感乘上A/B 每个网络中的电容乘上1/AB如果一个设计有大量的元件, 这个最后式是有用的。但是, 我们推荐大家研究这两个基本概念。如
21、果大家理解了这个原理, 从这两个基本法则是很容易推论出像上式那样的公式。因为, 上列的特定的结构是很容易忘记或记错的。 (四)各种频率特性的滤波器的归一化在引言中, 我们曾谈到有各种不同衰减特性的滤波器: 低通、高通、带通和带阻, 而且通过数学上的变量代换, 可以把它们归并为一个低通归一化原型滤波器。若从数学变换的角度看, 上述的电压传递函数的频率归一化也属频率变换。这里要讲的实际就是从母型滤波器的数据推求实际滤波器网络的具体结构。 (1) 频率扩展(频率归一化)母型低通滤波器的截止频率c=1。假如需要设计的低通滤波器的截止频率不等于1, 而是c, 则从数学角度说相当于将原来的频率轴倍乘了c。
22、故 =c亦即=/c图9(a)表示两个频率轴之间的关系, (b)表示母型低通滤波器的LA关系, (c)表示换算后LA之间的关系。在(b)和(c)的图形上, 我们还把负频率部分画上。负频率实际上当然不是客观存在的, 但从数学的观点来说, 它还是可以和LA保持一定的函数关系。这两个图形表明LA和频率保持有偶函数的关系, 这是由上面所提到的可实现性决定的。进行这种频率变换时, 设计电路的元件也跟着改变, 其变化规律前小节已经说过了。图 9 (2) 低通转高通-如需要设计一个高通滤波器(参看图10), 它的截止频率是c, 人们使新的频率变量与原来的保持下列关系:图10在频率轴上表明这种转换关系。应用数学
23、上的手法人们设计高通滤波器时,实是利用了母性低通滤波器的负频率部分。所以要用这一部分也可实现性决定的数学方法的运用必须切合实际, 绝不能脱离实际进行数学游戏。由母型低通滤波器换算到高通滤波器时, 电路元件当然要改变: 母型滤波器电感应改为电容, 其数值母型滤波器的电容应改为电感, 其数值以后可以知道, Lk和Ck+1都是表上查得的母型低通滤波器的元件参数。 (3) 低通转带通-如果要根据低通滤波器设计一个带通滤波器(参看图11),的截止频率是1和2, 人们需要进行更复杂些的频率变换, 使母型滤波器的频变量与带通滤波器的频率变量保持以下关系: (4)式中2为带通滤波器的高端截止频率, 1为低端截
24、止频率, 0称为中央频率;通常令2-1为带通滤波器的通频带, 称为滤波器的相对通频带W:W 通常以百分比表示, 故(4)式可以改写成 (5)由式(5)求, 经过演算和分析, 人们可以得到母型滤波器的频率轴与新频率轴的关系(见图11)。根据母型低通滤波器换算带通滤波器, 电路元件变得更加复杂。母型滤波器的电感应改为LC串联电路, 它的电感Lk和电容Ck与母型的电感Lk保持以下关系:母型滤波器的电容应改为LC并联电路, 它的电容Ck+1和电感Lk+1与母型的电容Ck+1保持以下关系:Lk和Ck+1都可以从母型低通滤波器的元件表上查得。低通带止的问题, 这里不再赘述了。我们把以上各种转换关系综合在表
25、1上, 表内还列出了低通转带止所用到的关系。 第一部分 滤波器设计 1-4 低通滤波器的定量分析经过上一节的学习, 我们已经了解到对于某些具体电路的分析。 可以通过它们的归一化低通滤波器来进行。下面, 我们来分析一到三节归一化低通滤波器。 (一) 一节低通滤波器 图12示出了它的结构, 用电路分析, 很快就可以求出:回路电流I1为: 图 12 若用通用矩阵a来求, 此电路的通用矩阵为 和电路分析求出的结果完全一样。不过, 从过程中可以看出: 后一种方法简洁很多。而且, 当元件数目越多就越显出矩阵法的优越。我们在这里还要定义一个归一化幅度函数A(): 这主要是因为传递到负载的功率, 不是指电源总
26、的输出功率, 而是指最大输出功率, 而不是, 这样就差了一个系数。所以一节低通滤波器的幅度函数A()： (二) 二节低通滤波器 图 13 图13示出了它的结构, 用电路分析解, 就比较复杂了, 如何解, 留给同学们作练习, 我们下面用通用矩阵来解它: (三) 三节低通滤波器 图14示出了它的结构, 我们仍用用矩阵a来求它的电压传递函数, 而把电路法求解留给同学来完成。 图 14 这时网络可以看成三个小两端对网络的节联, 则有 (4) 对偶电路 上述一列三节低通滤波电路都有其对偶电路。我们把它们都画在图15上。它们各自的电压传递函数、幅度平方函数也可以求出如下: 一节对偶低通滤波器： 二节对偶低
27、通滤波器 ： 三节对偶低通滤波器 ：从上面分析可以看出对偶电路各自电压传递函数是不变的, 它们在传递能量的频率特性上是一样的。 图 15 像这样一节一节地推下去最终就能导出像图16所示的梯形结构的低能滤波器。其幅度平方函数 A2()的一般表示式为: 其中n是滤波器的元件个数。 图 16 通过对低通滤波器进行定量分析以后, 得出两个极为重要的结论: (一) 一个特定的电压传递函数, 对应着两个具体电路, 这两个电路就是电工中的对偶电路。(二)对于梯形结构的低通滤波器, 它的幅度平方函数可以表示为频率作参量的一个2n阶的多项式。又因为 A2()和插入损耗Li有直接关系, 滤波器的综合又和多项式直接
28、联系在一起, 所以也有人把综合法滤波器叫做多项式滤波器。 这两个结论的第二个更为重要, 因为它告诉我们梯形结构低通滤波器的电压传递函数, 和幅度平方函数是有规律的, 解析的。这就为我们提供了运用数学来解决问题的可能性。网络分析达到这一步就完成了它的使命。下一步就属网络综合的范畴。根据给出的衰减特性, 或衰减曲线来找具体的电路。 第一部分 滤波器设计 1-5 低通滤波器的综合 (一) 引言低通滤波器根据定义应该是: 在通带内滤波器的变换器损耗LA为零, 而在止带内LA应该无穷大。这是不可能实现的。一般来说, 工程问题多大只有一个折衷解。照顾一方面, 另一方面就得牺牲点, 没有什么都好的。滤波器的
29、综合也是这样, 主要的指标有插入损耗, 带外衰减, 信号的时间迟延, 信号的群迟延等。根据不同要求, 给出不同的结果。这里就是一个近似问题。即用什么方法去尽量地近似理想的情况。同时也有一个是以哪种方式去近似。只有解决了这些问题, 才能继续讨论具体的综合。加上近似理论对于以后的工作和学习都很有用。所以我们打算比较详细讲一讲这个问题。 (二) 近似问题 在讨论用一个函数近似地表达另一个给定函数(图形)之前, 我们用自变量X代替无线电技术中的频率。这样做的目的是使讨论更有普遍意义。而且, 近似常常是在经频率变换后进行的, 故变量常不再是。假定g(x)为x的函数, 给定在x轴的(a,b)范围内, 并令
30、f(x)为我们所需要求的近似(实现)函数。函数g(x)作为一个期望的幅度函数或者相位函数。它可能是以解析式给出, 不过经常是以图形给出。f(x)则是可实现的网络函数。假定g(x)和f(x)在区间(a,b)内具有同样的性质。这样, 它们在某一点x0均可用台劳级数来展开。并设两个级数在区间(a,b)内均为收敛, 则:近似的误差将为两者之差, 即如果两个级数的前K次系数逐项彼此相等, 则f(x)与g(x)为K阶台劳型近似。在此情况下, 误差函数将由x的第(K+1)幂次项开始, 即上式就是x=x0处展开的台劳级数的误差函数。而且, 可以看出: 在x=x0处的误差函数的前K阶导数为零。这是台劳近似法的一
31、个性质。其实我们可以得出如下定义: 如果g(x)-f(x)的前K阶导数在x=x0处为零, 则f(x)为g(x)在x=x0处的K阶台劳近似式。 台劳型近似法中, 在x=x0处误差为零; 而随着x-x0的增大, 误差增加。因而,这一近似法有利于接近x0的所有x值, 而不利于接近区域两端的点。其实这个近似仅在x0点十分好, 在这一点不仅两个函数完全相同, 而且, 它们的若干导数也完全相同。 如果, 近似函数f(X)沿给定函数g(x)来回摆动, 则两者的差将有峰值和谷值,某些峰值将是很大, 而某些峰值则很小。f(x)越复杂, 即f(x)的可调整参数越多,得到的近似就越好。假设, 我们规定f(x)有n个
32、参数例如:为具有n个可调整系数的多项式最佳近似的一种方法是这样。它使得误差函数的最大值降到最小。我们称此近似法为“切比雪夫近似法”。 由上可知, 对一个函数g(x)或图形进行近似, 方法是多种的, 上述的台劳级数近似法和切比雪夫近似法都是最常用的, 此外还有一些近似法, 如椭园函数近似法。不过, 不同的近似法有它各自的特点。所以就有选择的余地。 (三)最大平滑近似 图17示出了一个理想低通滤波器, 其幅度和截止角频率c都标称为1。这个理想低通滤波器传递函数为图 17 这样的理想特性是无法实现的, 因为网络函数是一个有理函数, 其幅度必须是的连续平滑函数, 而图17的特性则不然, 它在=1处要折
33、转一个直角。因此, 在综合过程中, 需用近似方法求出一个有理函数来近似图17的特性。一种简单的近似称为最平幅度特性近似。这一近似函数必须是有理函数, 在通带内, 即的范围内, 幅度平方要近似于1。而在通带之外, 即 的范围, 幅度的平方逐渐趋于无穷大。首先, 假定传递函数的无穷大点产生在频率等于处, 则有:其中指数n和系数b是待定的常数, 它们的数值与所求的近似程度有关。在上式分母中的第一项的系数取为1是为了保证近似函数与给定函数在=0时重合, 在通带内误差函数为:用代入上式得 (6) 系数B的求法随所采用的近似类型而定。如果采用台劳型近似, 则要求误差函数的前n阶导数在x=0时等于零。更确切
34、地说, K阶台劳型近似需要误差函数的第K阶导数之前的各阶导数等于零。式(6)的第K阶导数之前的各导数当x=0时分别为: 这样, 我们可以推断定: R(x)的第n阶导数在x=0时, 可以表示成Bn乘以n!。又因为我们采用台劳型近似, 则误差函数R(x)的第K阶以前导数在x=0时都必须是零,才可以称为第K阶台劳近似。所以, B1=0, B2=0, B3=0一直到Bn-1=0, 于是, 函数就是对于幅度为1的K阶台劳近似。对于给定n值的最高阶台劳近似函数为:上式称为最平幅度特性近似函数。在截止频率处(=1), 上式化为:系数Bn取决于截止频率处, 人们规定是什么样的幅度, 当Bn=1时, G(12)
35、=2, 于是截止频率=1处对应着输出功率下降3 db, 输出幅度下降0.707倍。这种最平幅度近似还有一个名字叫做勃脱瓦兹(Butterworth)响应。多项式也叫做n阶勃脱瓦兹多项式。 (四) 切比雪夫(Chebyshev)近似 现在我们再讨论另一种近似方法。这就是让近似函数在给定函数附近摆动, 使误差平均地分布在整个频带内。同时我们还把最大值的大小减到最小, 这也就等于偏离近似。我们把这种近似叫做切比雪夫近似。由于在工程中很有用, 所以打算详细地来讲。一般的问题为在区间(-1,+1)范围内求出与某一常数为切比雪夫近似的m阶多项式的系数(将轴归一化成频率带边缘等于1)。误差函数本身为一m阶多
36、项式,设为h(), 且其阶状如图18所示, 其中h峰值被归一化于1。图 18根据数学分析可知, 一个m 阶切比雪夫近似的误差函数在近似区域内应达峰值m+1次; m-1个出现于近似区内, 2个出现于边界上。在区内的峰值点上, h的导数应为零, 且所有导数零点应为一阶零点。现在, 设有多项式1-h2; 它在所有m+1个h峰值点将等于零, 因为在这些点上, h=1。而且,它在区内峰值点上将有二阶零点。这可由1-h2的导数2hh在这些点也零而得出。在两端=1点, 1-h2仅有一阶零点。因此, 1-h2除了含有(h)2及(1-)(1+)外, 无其他因子。这样我们有:其中, K为常数。h的解可由上式积分得
37、出。其结果为:已知, 当由-1到+1, h在1间摆动m次, 这就确定了K=1/m ,所以 h=Cos(m Cos-1) 1并可写为: h=Cosmy =Cosy这些多项式可以表示为Tm()并称第一类切比雪夫多项式, m为多项式的阶。对于1的情况, 就有:图 19 示出了几个低阶切比雪夫多项式图形及其数学表达式: 图 19(五)最大平滑滤波器的综合在我们研究了近似条件和某些特定的近似函数, 加上网络分析时推导的结论:图16所示的梯形结构低能滤波器, 其幅度平方函数A2()的一般表示式为: (7)其中n是滤波器的元件个数, 我们就有条件来综合滤波器的元件。在近似理论中已经指出: 理想的低通滤波器特
38、性可以采用台劳近似。它的最高阶近似就是勃脱瓦芘兹(最大平滑)响应。它要求低通滤波器的幅度平方函数满足下列公式: (8)其中n为滤波器的元件个数。比较(7)式(8)式就知道, 如果希望用上述梯形结构来综合滤波器只要令这两个公式中的各项系数相等, 则有:利用这个条件, 我们就可以解出满足最大平滑函数的滤波器。下面就来找找看: 一节最大平滑低通滤波器:根据定量分析, 一节低通滤波器的幅度平方函数的数学式为:要满足最大平滑的要求, 则有:L=-2是物理上不能实现的。二节最大平滑低通滤波器:其幅度平方函数的通用式为:其他解无物理意义。三节最大平滑低通滤波器:其幅度平方函数的通用式为:要满足最大平滑的要求
39、, 则有:求解并取有理解为: 当c=1弧度/秒时, L1=L3=1(亨利) C2=2(法拉) 从上述讨论, 已经可以看出, 当滤波器节数超过四节以上, 直接求解法就显得得很困难了。 这里我们就要用到复变函数理论来求高阶最大平滑滤波器。我们还是从最大平滑近似函数出发: A2()=1+2n用S=j把平面开拓到复数平面S上, 则:这就是最大平滑函数的复变函数表示法。又因为复变函数中, 零点和极点的位置决定了这个函数的特性, 所以我们也来求出时, 各个零点的位置。则有:式中: K=1,2,3.2n。这些零点都落在S平面的单位圆上, 并且既以实轴为对称又以虚轴为对称。对下列情况求零点:其零点的分布如图2
40、0所示。图 20 现在需要把幅度平方函数的根和以前学过的反射系数、插入损耗和两端对网络的输入阻抗联系起来。根据定义, 两端对网络的插入阻抗和它的传递函数的幅度平方有下列关系:它只描述了负载吸收功率P2和电源最大输出功率之间的关系。而没有直接地和网络中的元件联系起来。不过, 我们知道滤波器网络是无源元件组成的, 它不吸收功率。于是, 最大输出功率一定是由这个两端网络反射回去一部分, 留下的才成了负载R上的吸收功率。这样, 我们可写成:Pi输入功率, Pr反射功率, R2负载R上的吸收功率, 在这里Pi=Pmax,(参见图21)。(a) (b) 图 21 另一方面, 根据传输线理论, 反射功率Pr
41、为:式中为反射系数, *表示的共轭复数, 故得插入损耗:注意= (j), 它是因频率而变的。所以, 按照前面讲的近似函数所提出的具体, 实际就是找出反射系数的模平方2与的函数关系。即:有了反射系数和A()之间关系, 我们还可以推出两端对网络的输入端的输入阻抗Zin(1)和(j)之间的关系。另外根据Zin(1)求网络元件又有下列关系式中A、B、C、D是通用矩阵中的参数。到此, 我们已经把近似函数的要求和网络元件联系起来, 下面就通过举例来说明这些过程。求一节低通最大平滑式归一化滤波器的元件值。已知, 它的幅度平方函数有下列关系:对于一节滤波器, n=1, 则: 利用S=j, 则有:根据另极点分布的位置, (S)是包括了S平面的左半平面上的点, (-S) 包括了S平面右半平面上的点。所以:这根据电阻分析Zin(1)=2S+1表示着一个2亨利的电感和一个1欧姆的电阻串联, 去掉这1欧姆电阻(归一化负载电阻), 该两端对网络中只剩下一个2亨利的电感, 这和直接用类比法求的结果是一样的。见图22所示。下面我们来看一下二节滤波器的情况:二节低通最大平滑式归一化滤波器的元件值的求解过程:对于二节滤波器n=2来说, 最大平滑函数应该是开拓到S平面, 则有: