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1、中考数学方案设计问题复习中考数学操作型问题专题复习 初三其次轮复习专题二：操作型问题 【学问梳理】 操作型问题主要借助三角板、纸片等工具进行图形的折与展、割与补、平移与旋转等变换，通过动手操作和理性的思索，考查学生的空间想象、推理和创新实力。 解决这类问题须要通过视察、操作、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括等实践活动和思维过程，敏捷运用所学学问和生活阅历，探究和发觉结论，从而解决问题关键是抓住图形改变中的不变性。 【课前预习】 1、如图，在一张ABC纸片中，C90，B60，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，安排拼出以下四个图形：邻边不等的矩形；等腰梯形；有一个角为锐角的菱形；正方形，以
2、上图形肯定能被拼成的有() A1个B2个C3个D4个 2如图，假如将矩形纸沿虚线对折后，沿虚线剪开，剪出一个直角三角形，绽开后得到一个等腰三角形，那么绽开后三角形的周长是() A2B22C12D18 3将两个形态相同的三角尺放置在一张矩形纸片上，按如图所示画线得到四边形ABCD，则四边形ABCD的形态是_ 【例题精讲】 例1、动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB3，AD5.如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A处，折痕为PQ，当点A在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A在BC边上可移动的最大距离为_ 例2、如图，在一块正方形ABCD木板上
3、需贴三种不同的墙纸，正方形EFCG部分贴A型墙纸，ABE部分贴B型墙纸，其余部分贴C型墙纸A型、B型、C型三种墙纸的单价分别为每平方米60元、80元、40元 【探究1】假如木板边长为2米，FC1米，则一块木板用墙纸的费用需_元； 【探究2】假如木板边长为1米，求一块木板需用墙纸的最省费用； 【探究3】设木板的边长为a(a为整数)，当正方形EFCG的边长为多少时，墙纸费用最省？假如用这样的多块木板贴一堵墙(73平方米)进行装饰，要求每块木板A型的墙纸不超过1平方米，且尽量不奢侈材料，则须要这样的木板多少块？ 例3、如下图，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片如图，量得它们的斜边长为
4、10cm，较小锐角为30，再将这两张三角形纸片摆成如图的形态，使点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合(在图至图中统一用F表示) 小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决 (1)将图中的ABF沿BD向右平移到图的位置，使点B与点F重合，请你求出平移的距离 (2)将图中的ABF绕点F顺时针方向旋转30到图的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度 (3)将图中的ABF沿直线AF翻折到图的位置，AB1交DE于点H，请证明：AHDH. 例4如图所示，有一张长为5，宽为3的矩形纸片ABCD，要通过适当的剪拼，得到一个与之面积相等的正方形 (1)该正方形的边长
5、为_(结果保留根号)； (2)现要求只能用两条裁剪线，请你设计一种裁剪的方法，在图中画出裁剪线，并简要说明剪拼的过程 【巩固练习】 1、七巧板是我们祖先的一项卓越创建，用它可以拼出多种图形请你用七巧板中标号为的三块板（如图）经过平移、旋转拼成图形 (1)拼成矩形，在图中画出示意图； (2)拼成等腰直角三角形在图中画出示意图 留意：相邻两块板之间无空隙，无重叠；示意图的顶点画在小方格的顶点上 2、如图，ABC是直角三角形，ACB90. (1)实践与操作:利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母 (保留作图痕迹，不写作法) 作ABC的外接圆，圆心为O； 以线段AC为一边，在AC的右侧作等边A
6、CD； 连接BD，交O于点E，连接AE. (2)综合与运用:在你所作的图中，若AB4，BC2， 则：AD与O的位置关系是_线段AE的长为_ 【课后作业】班级姓名 一、必做题： 1、如图，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形，又能拼成三角形和梯形的是() 2、如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为其次次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；，依据以上操作，若要得到2022个小正方形，则须要操作的次数是()A669B670C6
7、71D672 3、如图，从边长为(a4)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a1)cm的正方形(a0)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为() A(2a25a)cm2B(3a15)cm2C(6a9)cm2D(6a15)cm2 4、请将含60顶角的菱形分割成至少含一个等腰梯形且面积相等的六部分，用实线画出分割后的图形 5如图，已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,3)、B(6,0)、C(1,0) (1)请干脆写出点A关于y轴对称的点的坐标； (2)将ABC绕坐标原点O逆时针旋转90.画出图形， 干脆写出点B的对应点的坐标； (3)请干脆写出:以A,B、C为顶点的平行四
8、边形的第四个顶点D的坐标. 6、如图，等腰梯形MNPQ的上底长为2，腰长为3，一个底角为60，正方形ABCD的边长为1，它的一边AD在MN上，且顶点A与M重合现将正方形ABCD在梯形的外面沿边MN、NP、PQ进行翻滚，翻滚到有一个顶点与Q重合即停止滚动 (1)请在所给的图中，用尺规画出点A在正方形整个翻滚过程中所经过的路途图； (2)求正方形在整个翻滚过程中点A所经过的路途与梯形MNPQ的三边MN、NP、PQ所围成图形的面积S 二、选做题： 7、在二行三列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子(相对面上分别标有1点和6点，2点和5点，3点和4点)，在每一种翻动方式中，骰子不能后退起先时骰子如图那样
9、摆放，朝上的点数是2；最终翻动到如图所示的位置，此时骰子朝上的点数不行能是下列数中的() A5B4C3D1 8、正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AEb(b2a)，且边AD和AE在同始终线上小明发觉：当ba时，如图，在BA上选取中点G，连接FG和CG，移动FAG和CBG的位置可构成正方形FGCH. (1)类比小明的剪拼方法，请你就图和图两种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图 要使(1)中所剪拼的新图形是正方形须满意BG:AE=. 9、阅读下面的材料： 小伟遇到这样一个问题，如图，在梯形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD相交于点O若梯形ABCD的面积为1，试求以AC、B
10、D、ADBC的长度为三边长的三角形的面积 小伟是这样思索的：要想解决这个问题，首先应想方法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发觉通过平移可以解决这个问题，他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的BDE即是以AC、BD、ADBC的长度为三边长的三角形（如图） 请你回答：图中BDE的面积等于_ 参考小伟同学思索问题的方法，解决下面的问题： 如图，ABC的三条中线分别为AD、BE、CF (1)在图中利用图形变换画出并指明以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）； (2)若ABC的面积为1，则以AD、BE、CF
11、的长度为三边长的三角形的面积等于_ 中考数学开放性问题专题复习 初三其次轮复习专题一：开放性问题【学问梳理】1、条件开放型：指在结论不变的前提下，去探究添加必要的条件（不唯一）的题目2、结论开放型：即给出问题的条件，让解题者依据条件探究相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应结论的“存在性”须要解题者进行推断，甚至要求解题者探求条件在改变中的结论3、策略开放型：一般指解题方法不唯一或解题途径不明确的问题.【课前预习】1、如图，已知ACBD于点P，APCP，请增加一个条件，使得ABPCDP(不能添加协助线)，你增加的条件是2、反比例函数与一次函数的图象如图所示，请写出一条正确的结论
12、：3、假如【例题精讲】例1、如图，ABC中，点O在边AB上，过点O作BC的平行线交ABC的平分线于点D，过点B作BEBD，交直线OD于点E。（1）求证：OEOD；（2）当点O在什么位置时，四边形BDAE是矩形？说明理由；（3）在满意（2）的条件下，还需ABC满意什么条件时，四边形BDAE是正方形？写出你确定的条件，并画出图形，不必证明。 例2、如图，BC为的直径，ADBC,垂足为D，弧AD=弧AF,BF与AD交与点E，试推断AE与BE的大小关系，并加以证明 例3、如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x2与x轴交于点C，直线y2x1经过抛物线上一点B(2，m)，且与y轴、直线x
13、2分别交于点D、E.(1)求m的值及该抛物线对应的函数关系式；(2)求证：CBCE；D是BE的中点；(3)若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P，使得PBPE.若存在，试求出全部符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 【巩固练习】1、写出肯定值小于2的一个负数：2、两个不相等的无理数，它们的乘积为有理数，这两个数可以是3已知点P（x，y）位于其次象限，并且yx4，x、y为整数，符合上述条件的点P共有个4、如图，正方形ABCD中，点E在边AB上，点G在边AD上，且ECG45，点F在边AD的延长线上，且DF=BE则下列结论：ECB是锐角，；AEAG；CGECGF；EG=BEG
14、D中肯定成立的结论有(写出全部正确结论)5、如图ABAC，ADBC于点D，ADAE，AB平分DAE交DE于点F，请写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明【课后作业】班级姓名一、必做题：1、写出一个开口向下的二次函数的表达式_2、在同一坐标平面内，图象不行能由函数y3x21的图象通过平移变换、轴对称变换得到的二次函数的一个解析式是_3、抛物线yx2bxc的部分图象如图所示，请写出与其关系式、图象相关的2个正确结论：_，_.(对称轴方程，图象与x正半轴、y轴交点坐标例外)4、如图所示，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BE的两侧，ABDE，BFCE，请添加一个适当的条件_，使得
15、ACDF.5、已知O1、O2的半径分别是r12、r24，若两圆相交，则圆心距O1O2可能取的值是.6、如图，在ABC中，D是AB边上一点，连接CD.要使ADC与ABC相像，应添加的条件是7、如图，已知ACFE，BCDE，点A、D、B、F在一条直线上，要使ABCFDE，还需添加一个条件，这个条件可以是_8、如图所示，在RtABC中，ACB90，BAC的平分线AD交BC于点D，DEAC，DE交AB于点E，M为BE的中点，连接DM.在不添加任何协助线和字母的状况下，图中的等腰三角形是_(写出一个即可)9、如图，ABAC，CDAB于D，BEAC于E，BE与CD相交于点O.(1)求证：ADAE；(2)连
16、接OA，BC，试推断直线OA，BC的关系并说明理由 10、如图，在和中，、交于点M.（1）求证：；（2）作交于点N，四边形BNCM是什么四边形？请证明你的结论.二、选做题：11、如图，在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为30，在射线OC上取一点A，过点A作AHx轴于点H在抛物线y=x2（x0）上取点P，在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与AOH全等，则符合条件的点A的坐标是.12、如图，正方形ABCD的边长为2a,H是BC为直径的半圆上的一点，过点H作一条直线与半圆相切交AB、CD分别于点E、F。（1）当点H在半圆上移动时，切线EF在AB、CD上的两交点也分别在AB、CD上移动（
17、E与A不重合，F与D不重合），试问四边形AEFD的周长是否改变？证明你的结论。（2）若BEF=,求四边形BEFC的周长。（3）若a=6,BOE的面积为，COF的面积为面积为，正方形ABCD的面积为s,若+=s,求BE、CF的长。 13、如图1，已知抛物线的顶点为，且经过原点，与轴的另一个交点为（1）求抛物线的解析式；（2）若点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，且以四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标；（3）连接，如图2，在轴下方的抛物线上是否存在点，使得与相像？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由 中考数学新概念型问题专题复习 2022年中考数学专题讲座二：新概念型问题一、中考专题诠
18、释所谓“新概念”型问题，主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有学问、实力进行理解，依据新概念进行运算、推理、迁移的一种题型.“新概念”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的学问解决问题的实力二、解题策略和解法精讲“新概念型专题”关键要把握两点：一是驾驭问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是依据问题情景的改变，通过仔细思索，合理进行思想方法的迁移三、中考典例剖析考点一：规律题型中的新概念例1（2022永州）我们把根据肯定依次排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，就是一个数列，假如一个数列从其次个数起
19、，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2假如一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列例如数列1，3，9，19，33，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，是一个二阶等差数列那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，的第五个数应是思路分析：由于3-1=2，7-3=4，13-7=6，由此得出相邻两数之差依次大2，故13的后一个数比13大8解答：解：由数字规律可知，第
20、四个数13，设第五个数为x，则x-13=8，解得x=21，即第五个数为21，故答案为：21点评：本题考查了数字改变规律类问题关键是确定二阶等差数列的公差为2对应训练1（2022自贡）若x是不等于1的实数，我们把称为x的差倒数，如2的差倒数是=-1，-1的差倒数为=，现已知x1=-，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，依次类推，则x2022=考点二：运算题型中的新概念例2（2022菏泽）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，概念=ad-bc，上述记号就叫做2阶行列式若=8，则x=思路分析：依据题中的新概念将所求的方程化为一般方程，整理后即可求出方程
21、的解，即为x的值解：依据题意化简=8，得：（x+1）2-（1-x）2=8，整理得：x2+2x+1-（1-2x+x2）-8=0，即4x=8，解得：x=2故答案为：2点评：此题考查了整式的混合运算，属于新概念的题型，涉及的学问有：完全平方公式，去括号、合并同类项法则，依据题意将所求的方程化为一般方程是解本题的关键对应训练2（2022株洲）若（x1，y1）（x2，y2）=x1x2+y1y2，则（4，5）（6，8）=考点三：探究题型中的新概念例3（2022南京）如图，A、B是O上的两个定点，P是O上的动点（P不与A、B重合）、我们称APB是O上关于点A、B的滑动角（1）已知APB是O上关于点A、B的滑
22、动角，若AB是O的直径，则APB=；若O的半径是1，AB=，求APB的度数；（2）已知O2是O1外一点，以O2为圆心作一个圆与O1相交于A、B两点，APB是O1上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交O2于M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，摸索索APB与MAN、ANB之间的数量关系 思路分析：（1）依据直径所对的圆周角等于90即可求解；依据勾股定理的逆定理可得AOB=90，再分点P在优弧上；点P在劣弧上两种状况探讨求解；（2）依据点P在O1上的位置分为四种状况得到APB与MAN、ANB之间的数量关系解：（1）若AB是O的直径，则APB=90如图，连接AB、OA、OB在AO
23、B中，OA=OB=1AB=，OA2+OB2=AB2AOB=90当点P在优弧上时，AP1B=AOB=45；当点P在劣弧上时，AP2B=（360AOB）=1356分 （2）依据点P在O1上的位置分为以下四种状况第一种状况：点P在O2外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图MAN=APB+ANB，APB=MANANB；其次种状况：点P在O2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图MAN=APB+ANP=APB+（180ANB），APB=MAN+ANB180；第三种状况：点P在O2外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图APB+ANB+MAN=180，APB=
24、180MANANB，第四种状况：点P在O2内，如图，APB=MAN+ANB点评：综合考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，点与圆的位置关系，本题难度较大，留意分类思想的运用对应训练3（2022陕西）假如一条抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”（1）“抛物线三角形”肯定是三角形；（2）若抛物线y=-x2+bx（b0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，OAB是抛物线y=-x2+bx（b0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物
25、线的表达式；若不存在，说明理由考点四：开放题型中的新概念例4（2022北京）在平面直角坐标系xOy中，对于随意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“特别距离”，给出如下概念：若|x1-x2|y1-y2|，则点P1与点P2的“特别距离”为|x1-x2|；若|x1-x2|y1-y2|，则点P1与点P2的“特别距离”为|y1-y2|例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1-3|2-5|，所以点P1与点P2的“特别距离”为|2-5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点）（1）已知点A（-，0），B为y轴上的一个
26、动点，若点A与点B的“特别距离”为2，写出一个满意条件的点B的坐标；干脆写出点A与点B的“特别距离”的最小值；（2）已知C是直线y=x+3上的一个动点，如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“特别距离”的最小值及相应的点C的坐标；如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“特别距离”的最小值及相应的点E与点C的坐标思路分析：（1）依据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为（0，y）由“特别距离”的概念可以确定|0-y|=2，据此可以求得y的值；设点B的坐标为（0，y）因为|-0|0-y|，所以点A与点B的“特别距离”最小值为|-0|=；（2）设点C的坐标为（x0，
27、x0+3）依据材料“若|x1-x2|y1-y2|，则点P1与点P2的“特别距离”为|x1-x2|”知，C、D两点的“特别距离”的最小值为-x0=x0+2，据此可以求得点C的坐标；当点E在过原点且与直线y=x+3垂直的直线上时，点C与点E的“特别距离”最小，即E（-，）解答思路同上解：（1）B为y轴上的一个动点，设点B的坐标为（0，y）|-0|=2，|0-y|=2，解得，y=2或y=-2；点B的坐标是（0，2）或（0，-2）；点A与点B的“特别距离”的最小值为； （2）C是直线y=x+3上的一个动点，设点C的坐标为（x0，x0+3），-x0=x0+2，此时，x0=-，点C与点D的“特别距离”的最
28、小值为：，此时C（-，）；E（-，）-x0=x0+3-，解得，x0=-，则点C的坐标为（-，），最小值为1点评：本题考查了一次函数综合题对于信息赐予题，肯定要弄清晰题干中的已知条件本题中的“特别距离”的概念是正确解题的关键对应训练4（2022台州）请你规定一种适合随意非零实数a，b的新运算“ab”，使得下列算式成立：12=21=3，（-3）（-4）=（-4）（-3）=-，（-3）5=5（-3）=-，你规定的新运算ab=（用a，b的一个代数式表示）考点五：阅读材料题型中的新概念例5（2022常州）平面上有两条直线AB、CD相交于点O，且BOD=150（如图），现按如下要求规定此平面上点的“距离坐
29、标”：（1）点O的“距离坐标”为（0，0）；（2）在直线CD上，且到直线AB的距离为p（p0）的点的“距离坐标”为（p，0）；在直线AB上，且到直线CD的距离为q（q0）的点的“距离坐标”为（0，q）；（3）到直线AB、CD的距离分别为p，q（p0，q0）的点的“距离坐标”为（p，q）设M为此平面上的点，其“距离坐标”为（m，n），依据上述对点的“距离坐标”的规定，解决下列问题：（1）画出图形（保留画图痕迹）：满意m=1，且n=0的点M的集合；满意m=n的点M的集合；（2）若点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上，求m与n所满意的关系式（说明：图中OI长为一个单位长）思路分析：（1）以O为圆心
30、，以2为半径作圆，交CD于两点，则此两点为所求；分别作BOC和BOD的角平分线并且反向延长，即可求出答案；（2）过M作MNAB于N，依据已知得出OM=n，MN=m，求出NOM=60，依据锐角三角函数得出sin60=，求出即可解：（1）如图所示：点M1和M2为所求； 如图所示：直线MN和直线EF（O除外）为所求； （2）如图：过M作MNAB于N，M的“距离坐标”为（m，n），OM=n，MN=m，BOD=150，直线lCD，MON=150-90=60，在RtMON中，sin60=，即m与n所满意的关系式是：m=n点评：本题考查了锐角三角函数值，角平分线性质，含30度角的直角三角形的应用，主要考查学
31、生的动手操作实力和计算实力，留意：角平分线上的点到角两边的距离相等对应训练5（2022钦州）在平面直角坐标系中，对于平面内随意一点（x，y），若规定以下两种变换：f（x，y）=（y，x）如f（2，3）=（3，2）；g（x，y）=（-x，-y），如g（2，3）=（-2，-3）根据以上变换有：f（g（2，3）=f（-2，-3）=（-3，-2），那么g（f（-6，7）等于（）A（7，6）B（7，-6）C（-7，6）D（-7，-6）四、中考真题演练一、选择题1（2022六盘水）概念：f（a，b）=（b，a），g（m，n）=（-m，-n）例如f（2，3）=（3，2），g（-1，-4）=（1，4）则gf（
32、-5，6）等于（）A（-6，5）B（-5，-6）C（6，-5）D（-5，6）2（2022湘潭）文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小1，若输入，则输出的结果为（）A5B6C7D8点评：本题考查的是实数的运算，依据题意得出输出数的式子是解答此题的关键3（2022丽水）小明用棋子摆放图形来探讨数的规律图1中棋子围城三角形，其棵数3，6，9，12，称为三角形数类似地，图2中的4，8，12，16，称为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A2022B2022C2022D2022二、填空题4（2022常德）规定用符号m表示一个实数m的整数部分，例如
33、：=0，3.14=3按此规定的值为5（2022随州）概念：平面内的直线与相交于点O，对于该平面内随意一点M，点M到直线、的距离分别为a、b，则称有序非实数对（a，b）是点M的“距离坐标”，依据上述概念，距离坐标为（2，3）的点的个数是（）A2B1C4D36（2022荆门）新概念：a，b为一次函数y=ax+b（a0，a，b为实数）的“关联数”若“关联数”1，m-2的一次函数是正比例函数，则关于x的方程+=1的解为7（2022自贡）如图，ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，假如AB=1，那么曲线CDEF的长是 8（2022泉州）在A
34、BC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截ABC，使截得的三角形与ABC相像，我们不妨称这种直线为过点P的ABC的相像线，简记为P（lx）（x为自然数）（1）如图，A=90，B=C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的ABC的相像线（其中l1BC，l2AC），此外，还有条；（2）如图，C=90，B=30，当=时，P（lx）截得的三角形面积为ABC面积的三、解答题9（2022铜仁地区）如图，概念：在直角三角形ABC中，锐角的邻边与对边的比叫做角的余切，记作ctan，即ctan=，依据上述角的余切概念，解下列问题：（1）ctan30=；（2）如图，已知tanA=，其中
35、A为锐角，试求ctanA的值 10（2022无锡）对于平面直角坐标系中的随意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1-x2|+|y1-y2|叫做P1、P2两点间的直角距离，记作d（P1，P2）（1）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满意d（O，P）=1，请写出x与y之间满意的关系式，并在所给的直角坐标系中画出全部符合条件的点P所组成的图形；（2）设P0（x0，y0）是肯定点，Q（x，y）是直线y=ax+b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离试求点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离11（2022厦门）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2
36、，3）、B（6，3），连接AB假如点P在直线y=x-1上，且点P到直线AB的距离小于1，那么称点P是线段AB的“接近点”（1）推断点C（）是否是线段AB的“接近点”，并说明理由；（2）若点Q（m，n）是线段AB的“接近点”，求m的取值范围 12（2022兰州）如图，概念：若双曲线y=（k0）与它的其中一条对称轴y=x相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线y=（k0）的对径（1）求双曲线y=的对径（2）若双曲线y=（k0）的对径是10，求k的值（3）仿照上述概念，概念双曲线y=（k0）的对径 13（2022绍兴）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念概念：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫
37、做此三角形的准外心举例：如图1，若PA=PB，则点P为ABC的准外心应用：如图2，CD为等边三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD=AB，求APB的度数探究：已知ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，摸索究PA的长14（2022嘉兴）将ABC绕点A按逆时针方向旋转度，并使各边长变为原来的n倍，得ABC，即如图，我们将这种变换记为，n（1）如图，对ABC作变换60，得ABC，则SABC：SABC=；直线BC与直线BC所夹的锐角为度；（2）如图，ABC中，BAC=30，ACB=90，对ABC作变换，n得ABC，使点B、C、C在同始终线上，且四边形ABBC为矩形，求和
38、n的值；（3）如图，ABC中，AB=AC，BAC=36，BC=l，对ABC作变换，n得ABC，使点B、C、B在同始终线上，且四边形ABBC为平行四边形，求和n的值15（2022台州）概念：P、Q分别是两条线段a和b上随意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点（1）依据上述概念，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离（即线段AB长）为；（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数
39、解析式（3）当m的值改变时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M，求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；点D的坐标为（0，2），m0，n0，作MNx轴，垂足为H，是否存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与AOD相像？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由专题讲座二：新概念型问题参考答案三、中考典例剖析对应训练1解：x1=-，x2=，x3=4，x4=，差倒数为3个循环的数，2022=6703+2，x2022=x2=，故答案为：264解：（x1，y1）（x2，y2）=x1x2+y1y2，（4，5）（6，8）=46+58=64，故答案为643解：（1）如图；依据抛物线的
40、对称性，抛物线的顶点A必在O、B的垂直平分线上，所以OA=AB，即：“抛物线三角形”必为等腰三角形故填：等腰（2）抛物线y=-x2+bx（b0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，该抛物线的顶点（）满意（b0）b=2 （3）存在如图，作OCD与OAB关于原点O中心对称，则四边形ABCD为平行四边形当OA=OB时，平行四边形ABCD是矩形，又AO=AB，OAB为等边三角形作AEOB，垂足为E，AE=OE=（b0）b=2A（，3），B（2，0）C（-，-3），D（-2，0）设过点O、C、D的抛物线为y=mx2+nx，则，解得故所求抛物线的表达式为y=x2+2x4解：依据题意可得：12=21=3=，
41、（-3）（-4）=（-4）（-3）=-=，（-3）5=5（-3）=-=，则ab=故答案为：5C解：f（-6，7）=（7，-6），g（f（-6，7）=g（7，-6）=（-7，6）故选C四、中考真题演练一、选择题1A2B3D解：3，6，9，12，称为三角形数，三角数都是3的倍数，4，8，12，16，称为正方形数，正方形数都是4的倍数，既是三角形数又是正方形数的是12的倍数，202212=1676，202212=1678，202212=16710，202212=168，2022既是三角形数又是正方形数故选D二、填空题44解：34，3+1+14+1，4+15，+1=4，故答案为：45C解：如图所示，所
42、求的点有4个，故选C6x=3解：依据题意可得：y=x+m-2，“关联数”1，m-2的一次函数是正比例函数，m-2=0，解得：m=2，则关于x的方程+=1变为+=1，解得：x=3，检验：把x=3代入最简公分母2（x-1）=40，故x=3是原分式方程的解，故答案为：x=374解：弧CD的长是=，弧DE的长是：=，弧EF的长是：=2，则曲线CDEF的长是：+2=4故答案是：48（1）1；（2）或或解：（1）存在另外1条相像线如图1所示，过点P作l3BC交AC于Q，则APQABC；故答案为：1；（2）设P（lx）截得的三角形面积为S，S=SABC，则相像比为1：2如图2所示，共有4条相像线：第1条l1
43、，此时P为斜边AB中点，l1AC，=；第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2AC，=；第3条l3，此时BP与BC为对应边，且=，=；第4条l4，此时AP与AC为对应边，且=，=故答案为：或或三、解答题9解：（1）RtABC中，=30，BC=AB，AC=AB，ctan30=故答案为：； （2）tanA=，设BC=3，AC=4，则AB=5，ctanA=10解：（1）由题意，得|x|+|y|=1，全部符合条件的点P组成的图形如图所示。（2）d（M，Q）=|x-2|+|y-1|=|x-2|+|x+2-1|=|x-2|+|x+1|，又x可取一切实数，|x-2|+|x+1|表示数轴上实数x所对应的点到数2
44、和-1所对应的点的距离之和，其最小值为3点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离为3。11解：（1）点C（）是线段AB的“接近点”理由是：点P到直线AB的距离小于1，A、B的纵坐标都是3，ABx轴，3-1=2，3+1=4，当纵坐标y在2y4范围内时，点是线段AB的“接近点”，点C的坐标是（），y=2，且小于4，C（）在直线y=x-1上，点C（）是线段AB的“接近点”（2）由（1）知：线段AB的“接近点”的纵坐标的范围是2y4，把y=2代入y=x-1得：x=3，把y=4代入y=x-1得：x=5，3x5，点Q（m，n）是线段AB的“接近点”，m的取值范围是3m512解：过A点作ACx轴于C，如图，（1）解方程组，得，A点坐标为（1，1），B点坐标为（-1，-1），OC=AC=1，OA=OC=，AB=2OA=2，双曲线y=的对径是2； （2）双曲线的对径为10，即AB=10，OA=5，OA=OC=AC，OC=AC=5，点A坐标为（5，5），把A（5，5）代入双曲线y=（k0）得k=55=25，即k的值为25； （3）若双曲线y=（k0）与它的其中一条对称轴y=-x相交于A、B两点，则线段AB的长称为双曲线y=（k0）的对径13解：若PB=PC，连接PB，则PCB=PBC，CD为等边三角形的高，AD=BD，PCB=30，PBD=P