《抛物线及其标准方程的教学案例2.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《抛物线及其标准方程的教学案例2.docx（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、抛物线及其标准方程的教学案例2抛物线及其标准方程 2.3.1抛物线及其标准方程一、教学目标1.驾驭抛物线的定义、几何图形,会推导抛物线的标准方程2.能够利用给定条件求抛物线的标准方程3.通过“视察”、“思索”、“探究”与“合作沟通”等一系列数学活动，培育学生视察、类比、分析、概括的实力以及逻辑思维的实力，使学生学会数学思索与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。并进一步感受坐标法及数形结合的思想二、教学重点抛物线的定义及标准方程三、教学难点抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择）四、教学过程（一）复习旧知在初中，我们学习过了二次函数，知道二次函数的图象是一条抛物线
2、例如：（1），（2）的图象（展示两个函数图象）：（二）讲授新课1.课题引入在实际生活中，我们也有很多的抛物线模型，例如1965年竣工的密西西比河河畔的萨尔南拱门,它就是用不锈钢铸成的抛物线形的建筑物。究竟什么样的曲线才可以称做是抛物线？它具有怎样的几何特征？它的方程是什么呢？这就是我们今日要探讨的内容.（板书：课题2.4.1抛物线及其标准方程）2.抛物线的定义信息技术应用（课堂中展示画图过程）先看一个试验：如图：点F是定点，是不经过点F的定直线，H是上随意一点，过点H作，线段FH的垂直平分线交MH于点M。拖动点H，视察点M的轨迹，你能发觉点M满意的几何条件吗？（学生视察画图过程，并探讨）可以发
3、觉，点M随着H运动的过程中，始终有|MH|=|MF|,即点M与定点F和定直线的距离相等。（也可以用几何画板度量|MH|，|MF|的值）（定义引入）：我们把平面内与一个定点F和一条定直线（不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线.（板书）思索？若F在上呢？（学生思索、探讨、画图）此时退化为过F点且与直线垂直的一条直线.3.抛物线的标准方程从抛物线的定义中我们知道，抛物线上的点满意到焦点F的距离与到准线的距离相等。那么动点的轨迹方程是什么，即抛物线的方程是什么呢？要求抛物线的方程，必需先建立直角坐标系.问题设焦点F到准线的距离为，你认为应当如何选择坐标系
4、求抛物线的方程？根据你建立直角坐标系的方案，求抛物线的方程.（引导学生分组探讨，回答，并不断补充常见的几种建系方法，叫学生应用投影仪展示计算结果）123 留意：1.标准方程必需出来，此表格在黑板上板书。2.若出现比较困难建系方案，可以以引入的字母参数较多为由，先解除计算3.强调P的意义。4.老师说明曲线方程与方程的曲线：从上述过程可以看到，抛物线上随意一点的坐标都满意方程，以方程的解为坐标的点到抛物线的焦点的距离与到准线的距离相等，即方程的解为坐标的点都在抛物线上。所以这些方程都是抛物线的方程.（选择标准方程）师：视察4（3）个建系方案及其对应的方程，你认为哪种建系方案使方程更简洁？（学生选择
5、，说明1.对称轴2.焦点3.方程无常数项，顶点在原点）推导过程：取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，如右图所示，则有F（,0）,l的方程为x=.设动点M（x,y），由抛物线定义得：化简得y2=2px(p0)师：我们把方程叫做抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点坐标是，准线方程是。师：在建立椭圆、双曲线的标准方程的过程中，选择不同的坐标系得到了不同形式的标准方程，对于抛物线，当我们选择如图三种建立坐标系的方法，我们也可以得到不同形式的抛物线的标准方程：（学生分前两排，中间两排，后面两排三组分别计算三种状况，一起填充表格）图形标准方程
6、焦点坐标准线方程 y2=2px(p0)（,0） x= y2=2px(p0)（,0） x= x2=2py(p0)（0,） y= x2=2py(p0)（0,） y= (三)例题讲解例1（1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程,（2）已知抛物线的焦点是，求它的标准方程.解：（1）抛物线方程为y2=6xp=3，则焦点坐标是（，0），准线方程是x=.（2）焦点在y轴的负半轴上，且=2，p=4则所求抛物线的标准方程是：x2=8y.变式训练1：(1)已知抛物线的准线方程是x=，求它的标准方程.(2)已知抛物线的标准方程是2y2+5x=0,求它的焦点坐标和准线方程.解(1)焦点是F（0，3），抛
7、物线开口向上，且=3，则p=6所求抛物线方程是x2=12y(2)抛物线方程是2y2+5x=0，即y2=x，p=高考学习网XK则焦点坐标是F(,0)，准线方程是x=例2点M与点F（4，0）的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程.解：如右图所示，设点M的坐标为（x,y)由已知条件可知，点M与点F的距离等于它到直线x+4=0的距离.依据抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点的抛物线.=4，p=8因为焦点在x轴的正半轴上，所以点M的轨迹方程为y2=16x.变式训练2：在抛物线y2=2x上求一点P，使P到焦点F与到点A（3，2）的距离之和最小.解：如下图所示，设抛物线的点P到
8、准线的距离为|PQ|由抛物线定义可知：|PF|=|PQ|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|明显当P、Q、A三点共线时，|PQ|+|PA|最小.A(3,2)，可设P（x0,2)代入y2=2x得x0=2故点P的坐标为（2，2）.(四)小结1、抛物线的定义；2、抛物线的四种标准方程；3、留意抛物线的标准方程中的字母P的几何意义.(五)课后练习 抛物线及其标准方程导学案 课前预习案班级姓名组别层次日期 221抛物线及其标准方程（一）教学目的：1使学生驾驭抛物线的定义，标准方程及其推导过程；2依据定义画出抛物线的草图3使学生能娴熟地运用坐标，进一步提高学生“应用数学”的水平教学重点：抛物线的定义教学难
9、点：抛物线标准方程的不同形式学法指导：自主高效的预习，能够发觉问题和提出问题，擅长独立思索，学会分析问题和创建地解决问题；培育同学们的抽象概括实力和逻辑思维实力 预习内容：温故迎新：1.二次函数的一般形式是什么？它有几种形式？ 2二次函数的图像如何？： 动手操作把一根直尺固定在图板上直线L位置，把一块三角板的一条直角边紧靠着真心直尺的边缘,再把一条细绳的一端固定在三角板的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角标顶点C的长（即点A到直线L的距离），并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F用铅笔尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条
10、曲线感受新知：阅读p33-34;1如何理解抛物线的定义？ 2.感受抛物线标准方程的推导过程 3视察图2-13如何用数学语言加以描述？ 4.二次函数与本节探讨抛物线有什么样的关系？课堂探究案探究点一：抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线探究点二：推导抛物线的标准方程：如图所示，建立直角坐标系系，设|KF|=（0）,那么焦点F的坐标为，准线的方程为，设抛物线上的点M（x,y），则有化简方程得方程叫做抛物线的标准方程（1）它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（,0），它的准线方程是（2）一条抛物线，由于它
11、在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的状况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下如图所示，分别建立直角坐标系，设出|KF|=（0），则抛物线的标准方程如下： (1),焦点:，准线：(2),焦点:，准线：(3),焦点:，准线：(4),焦点:，准线：相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称它们到原点的距离都等于一次项系数肯定值的，即不同点：(1)图形关于X轴对称时，X为一次项，Y为二次项，方程右端为、左端为；图形关于Y轴对称时，X为二次项，Y为一次项，方程右端为，
12、左端为（2）开口方向在X轴（或Y轴）正向时，焦点在X轴（或Y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X轴（或Y轴）负向时，焦点在X轴（或Y轴）负半轴时，方程右端取负号点评：（1）建立坐标系是坐标法的思想基础，但不同的建立方式使所得的方程繁简不同，布置学生自己写出推导过程并与课文比照可以培育学生动手实力、自学实力，提高教学效果，进一步明确抛物线上的点的几何意义（2）猜想是数学问题解决中的一类重要方法，请同学们依据推导出的（1）的标准方程猜想其它几个结论，特别有利于培育学生归纳推理或类比推理的实力，帮助他们形成良好的直觉思维数学思维的一种基本形式另外让学生推导和猜想出抛物线标准方程全部的四种形式，也
13、比老师干脆写出这些方程给学生带来的理解和记忆的效果更好（3）对四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程进行完整的归纳小结，让学生通过对比分析全面深刻地理解和驾驭它们探究点三：p34例1课堂检测案1求下列抛物线的焦点坐标和准线方程（1）y28x（2）x24y（3）2y23x0（4） 2依据下列条件写出抛物线的标准方程（1）焦点是F（2，0）（2）准线方程是（3）焦点到准线的距离是4，焦点在y轴上（4）经过点A（6，2）3抛物线x24y上的点p到焦点的距离是10，求p点坐标 课后作业案课外练习：p35练习1，2，3，4正式作业：p37习题2-2A组2，3补充作业：1（1）已知抛物线标准方程
14、是，求它的焦点坐标和准线方程（2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，2），求它的标准方程2.已知抛物线的标准方程是（1）y212x，（2）y12x2，求它的焦点坐标和准线方程3求满意下列条件的抛物线的标准方程：（1）焦点坐标是F（5，0）（2）经过点A（2，3） 抛物线及其标准方程导学案 2.1抛物线及其标准方程(1)授课时间第周星期第节课型讲授新课主备课人徐春妮学习目标驾驭抛物线的定义、图像和标准方程重点难点重难点是抛物线的标准方程的推导学习过程与方法自主学习：阅读P70页一、抛物线的定义画抛物线的方法？你能从画法中归纳出抛物线的定义吗?定义有何限制？这个定点和定直线叫作抛物线的什么？ 阅读P7
15、0页二、抛物线的标准方程，回答下列问题依据抛物线的定义，如何建立坐标系，求其标准方程？抛物线的定义和椭圆的定义有什么不同？ 阅读图3-13，方程中的P指图中那条线段的长？焦点的横坐标和准线方程有什么关系？自己推导抛物线的方程 精讲互动：阅读例一，例二，想一想知道焦点的坐标，或准线方程为什么可求标准方程P72页的思索沟通你自己完成？ 达标训练：完成P72页练习 作业布置学习小结/教学反思2.1抛物线及其标准方程（2）授课时间第周星期第节课型讲授新课主备课人徐春妮学习目标回忆抛物线的定义及标准方程抛物线的定义及标准方程中，的几何意义是什么重点难点对函数的几何意义的理解抛物线的定义及标准方程在实际生
16、活中的应用学习过程与方法自主学习：阅读P72页，回答以下问题函数上的点满意什么条件？ 文中“某定点”，“某直线”指什么点和线？ 如何找到这个点和线？点线距离和点点距离的计算公式有啥区分？ 对要进行怎样变形？变形的手段是什么？ 阅读P73页思索沟通，回答提出的问题.想一想，例3还有哪些方法可解？ “车能平安通过隧道”集装箱应在什么位置？推断的依据是什么？如何建立坐标系求抛物线方程？ 精讲互动： 达标训练：P76习题3-2A组4 作业布置学习小结/教学反思 2.3.1抛物线及其标准方程 2.3.1抛物线及其标准方程【学情分析】：学生已经学习过椭圆和双曲线，驾驭了椭圆和双曲线的定义。经验了依据椭圆和
17、双曲线的几何特征，建立适当的直角坐标系，求椭圆和双曲线标准方程的过程。【教学目标】：（1）学问与技能：驾驭抛物线定义和抛物线标准方程的概念；能依据抛物线标准方程求焦距和焦点，初步驾驭求抛物线标准方程的方法。（2）过程与方法：在进一步培育学生类比、数形结合、分类探讨和化归的数学思想方法的过程中，提高学生学习实力。（3）情感、看法与价值观：培育学生科学探究精神、审美观和理论联系实际思想。【教学重点】：抛物线的定义和抛物线的标准方程。【教学难点】：（1）抛物线标准方程的推导；（2）利用抛物线的定义及其标准方程的学问解决实际问题。【课前打算】：Powerpoint或投影片【教学过程设计】：教学环节教学
18、活动设计意图 一、复习引入抛物线的定义 1.椭圆的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数（）的点的轨迹. 2双曲线的定义：平面内与两定点F1、F2的距离的差的肯定值等于常数（）的点的轨迹. 3思索：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹，当0e1时是椭圆，当e1时是双曲线那么，当e1时它是什么曲线呢？ 抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线l的距离相等的点的轨迹。点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线学生已经学过椭圆和双曲线是如何形成的。通过类似的方法，让学生了解抛物线的形成，从而理解并驾驭抛物线的定义。二、建立抛物线的标准方程如图，建立直角坐标系xOy，
19、使x轴经过点F且垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合设,则焦点F的坐标为（，0），准线的方程为设点M(x，y)是抛物线上随意一点，点M到l的距离为d由抛物线的定义，抛物线就是点的集合；d=化简得： 注：叫做抛物线的标准方程它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴，坐标是，准线方程是 探究：抛物线的标准方程有哪些不同的形式？请探究之后填写下表。 依据抛物线的定义，让学生逐步填空，推出抛物线的标准方程。 通过填空，让学生坚固驾驭抛物线的标准方程。三、例题讲解例1求适合下列条件的抛物线的标准方程(1)过点(-3,2)；(2)焦点在直线x-2y-4=0。分析：依据已知条件求出抛物线的标准方程
20、中的p即可，留意标准方程的形式。解：（1）设抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p0),则将点(-3,2)方程得或。所求的抛物线方程为（2）令，由方程x-2y-4=0的=-2.抛物线的焦点为F(0,-2).设抛物线方程为x2=2py。则由得,所求的抛物线方程为x2=-8y或令y=0由x-2y-4=0得x=4,抛物线焦点为(4,0).设抛物线方程为y2=2px。则由得,所求的抛物线方程为y2=16x留意：本题是用待定系数法来解的，要留意解题方法与技巧。 例2已知抛物线的标准方程，求焦点坐标和准线方程。(1)y2=6x；(2)y=ax2.分析：先写成标准方程，再求焦点坐标和准线方程。解：（1
21、）由抛物线方程得焦点坐标为,准线方程是（2）将抛物线方程化为标准方程，则焦点坐标为，准线方程为例3已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M（-3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值。分析：解本题的基本思路有两个，其一设抛物线方程，利用点M在抛物线上和点M到焦点的距离等于5，列出关于m、p的方程组，解关于m、p的方程组；其二利用抛物线的定义，得点M到准线的距离为5，干脆得p的关系式，求出p的值。为了让学生熟识抛物线标准方程而设置的。解：（方法一）设抛物线方程为y2=-2px(p0),则焦点，由题设可得，解之得或.故所求的抛物线方程为y2=-8x，的值为（方法二）由抛物线的
22、定义可知，点M到准线的距离为5，M的坐标为（-3，m），,p=4，故所求的抛物线方程为y2=-8x，的值为 四、巩固练习1选择：若抛物线y2=2px(p0)上横坐标为-6的点到焦点的距离是10,则焦点到准线的距离是(B)A、4B、8C、16D、32过抛物线的焦点作直线交抛物线于,若,那么等于(B)A.10B.8C.6D.4已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点。当最小时，M点的坐标是(C)A.B.C.D. 2填空：抛物线y2=12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是；抛物线y2=2px（p0）上一点M到焦点的距离是a（a），则点M到准线的距离是_a_，点M的横坐标是 四、巩固练习3(1)已知
23、抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，2)，求它的标准方程线的标准方程是x2=8y 4已知点M与点F（4，0）的距离比它到直线L：x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程。分析：依据抛物线的定义可知，动点M的轨迹是以F为焦点，直线x+4=0为准线的抛物线。又由焦点位置可得，所求的点的轨迹方程是抛物线的标准方程。解：如图8-20所示，设点M的坐标为M(x,y),则由已知条件得“点M与点F（4，0）的距离比它到直线L：x+5=0的距离小1”，就是“点M与点F（4，0）的距离等于它到直线L：x+4=0的距离”，依据抛物线的定义可知，动点M的轨迹是以
24、F为焦点M，直线x+4=0为准线的抛物线，且所求的抛物线方程为y2=16x.围绕抛物线标准方程练习，让学生娴熟驾驭抛物线的定义和标准方程。五、课后练习1.(浙江)函数yax21的图象与直线yx相切，则a(B)(A)(B)(C)(D)12.（上海）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（B）(A)有且仅有一条(B)有且仅有两条(C)有无穷多条(D)不存在3.抛物线上一点的纵坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为(D)(A)2(B)3(C)4(D)54.（江苏卷）抛物线y=4上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(B)(A)(B)(C)(D)05求
25、经过点A（2，3）的抛物线的标准方程：分析：抛物线的标准方程中只有一个参数p，因此，只要确定了抛物线属于哪类标准形式，再求出p值就可以写出其方程，但要留意两解的状况解：经过点A（2，3）的抛物线可能有两种标准形式：y22px或x22py（如图）点A（2，3）坐标代入，即94p，得2p点A（2，3）坐标代入x22py，即46p，得2p所求抛物线的标准方程是y2x或x2y 6.点M与点F（4，0）的距离比它到直线l：x50的距离小1，求点M的轨迹方程分析：画出示意图2-14可知原条件M点到F（4，0）和到x4距离相等，由抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点，x4为准线的抛物线所求方程是y
26、216x 依据学生状况分层布置作业。 练习与测试：（说明：题目6个（以上）其中基础题4个，难题2个；每个题目应当附有具体解答）1选择题（1）已知抛物线方程为yax2（a0），则其准线方程为（D）(A)(B)(C)(D) （2）抛物线（m0）的焦点坐标是（B）(A)（0，）或（0，）(B)（0，） (C)（0，）或（0，）(D)（0，） （3）焦点在直线3x4y120上的抛物线标准方程是（C）(A)y216x或x216y(B)y216x或x212y(C)x212y或y216x(D)x216y或y212x 2依据下列条件写出抛物线的标准方程（1）过点（3，4）（2）过焦点且与x轴垂直的弦长是16解
27、：（1）或（2）y216x 3点M到点（0，8）的距离比它到直线y7的距离大1，求M点的轨迹方程解：x232y 4已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切，求动圆圆心M的轨迹方程。分析：设动圆圆心为M(x,y),半径为r，则由题意可得M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，则动圆圆心的轨迹是一条抛物线，其方程易求。解：设动圆圆心为M(x,y),半径为r，则由题意可得M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，则动圆圆心的轨迹是以C（0，-3）为焦点，y=3为准线的一条抛物线，其方程为x2=-12y。变题：（1）已知动圆M与y轴相切，且与定圆C:x2+y2=2ax(a0)外切，求动圆圆心M的轨迹方程。（2）已知动圆M与y轴相切，且与定圆C:x2+y2=2ax(a0)相切，求动圆圆心M的轨迹方程。解：（1）当x0时，y=0；当x0时，y2=4ax。（2）本题可格外切时，当x0时，y=0；当x0时，y2=4ax。内切时当x0时，y=0(xa);当x0时，y2=4ax。 第16页 共16页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页