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1、紐绅中学紐绅中学1.在初中我们是如何定义锐角三角函数的？在初中我们是如何定义锐角三角函数的？复习回顾复习回顾OabMPcOabMPyx2.在在直角坐标系直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？中如何用坐标表示锐角三角函数？新课新课 导入导入yx2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？o如果如果改变点在终边上改变点在终边上的位置，这三个比值会改变吗？的位置，这三个比值会改变吗？诱思诱思 探究探究MOyxP(a,b)？1.锐角三角函数（锐角三角函数（在单位圆中在单位圆中）以原点以原点O为为圆心，以单位圆心，以单位长度为半径的圆，称为长度为半径的圆，称
2、为单位圆单位圆.yOx1M2.任意角的三角函数定义任意角的三角函数定义 设设 是一个任意角，它的是一个任意角，它的终边终边与与单单位位圆圆交于交于点点 那么那么:（1）叫做叫做 的正弦，记作的正弦，记作 ，即，即 ；（2）叫做叫做 的余弦，记作的余弦，记作 ，即，即 ；（3）叫做的正切正切，记作，即。所以，正弦，余弦，正切都所以，正弦，余弦，正切都是以是以角为自变量角为自变量，以，以单位圆单位圆上点上点的的坐标或坐标的比值坐标或坐标的比值为函数值的为函数值的函数，我们将他们称为函数，我们将他们称为三角函数三角函数.使比值有意义的角的集合使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域即为三角函数的定
3、义域.xyo的终边的终边说说 明明（1）正弦就是交点的）正弦就是交点的纵坐标纵坐标，余弦就是交点，余弦就是交点横坐标的比值横坐标的比值.的的横坐标横坐标，正切就是正切就是 交点的交点的纵坐标与纵坐标与.（2）正弦、余弦总有意义正弦、余弦总有意义.当当 的的终边在终边在 横坐标等于横坐标等于0，无意义无意义，此时，此时 y轴上轴上时，点时，点P 的的（3）由于）由于角的集合与实数集角的集合与实数集之间可以建立之间可以建立一一对应关系一一对应关系，三角函数可以看成是三角函数可以看成是自变量为实数自变量为实数的函数的函数.（单位圆）（单位圆）例例1.求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.解
4、：解：在直角坐标系中，作在直角坐标系中，作，易知，易知 的终边与单位圆的交点坐标为的终边与单位圆的交点坐标为 所以所以 思考：思考：若把角若把角 改为改为 呢呢?实例实例 剖析剖析例例2.已知角已知角 的终边经过点的终边经过点 ，求角，求角 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.解解:由已知可得由已知可得设角设角 的终边与单位圆交于的终边与单位圆交于 ，分别过点分别过点 、作作 轴的垂线轴的垂线 、于是，于是，5 设角设角 是一个任意角，是一个任意角，是终边上的任意一点是终边上的任意一点(不在原点不在原点），点点 与原点的距离与原点的距离 .那么那么 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即 叫做叫
5、做 的余弦，即的余弦，即 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即 任意角任意角 的三角函数值仅与的三角函数值仅与 有关，而与点有关，而与点 在角的终在角的终边上的位置无关边上的位置无关.定义推广：定义推广：xyoP（x，y）r于是于是，巩固巩固 提高提高练习练习:1.已知角已知角 的终边过点的终边过点 ，求求 的三个三角函数值的三个三角函数值.解：解：由已知可得：由已知可得：1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域根据三角函数的定义，确定它们的定义域（弧度制）（弧度制）探探究究三角函数三角函数定义域定义域R2.确定三角函数值在各象限的符号确定三角函数值在各象限的符号yxoyxoyxo+（）（）（）（）
6、（）（）（）（）（）（）（）R+-+-+-+-心得心得:角定象限角定象限,象限定符号象限定符号.例例3.求证：当下列不等式组成立时，角求证：当下列不等式组成立时，角 为第三象限角为第三象限角.反之也对反之也对证明：证明：因为因为式式 成立成立,所以所以 角的终边可能位于第三角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；轴的非正半轴上；又因为又因为式式 成立，所以角成立，所以角 的终边可能位于的终边可能位于第一或第三象限第一或第三象限.因为因为式都成立，所以角式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限的终边只能位于第三象限.于是角于是角 为第三象限角为第三象
7、限角.反过来反过来呢？呢？如果两个角的终边相同，那么这两个如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？角的同一三角函数值有何关系？终边相同的角的同一三角函数值相等（终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一公式一）其中其中 利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求求 角的三角函数值角的三角函数值.？例题例题（3）因为）因为 =而而 是第一象限角，所以是第一象限角，所以（1）因为）因为 是第三象限角，所以是第三象限角，所以 ；解：解：（2）因为）因为 是第四象限角，所以是第四象限角，所以解：解：MAP(x,y)下面我们再从下面我
8、们再从图形图形的的角度角度认识一下三角函数认识一下三角函数思考思考:为了去掉等式中得绝对值符号，能否为了去掉等式中得绝对值符号，能否 给线段给线段OM、MP规定规定一个适当的方向一个适当的方向,使它们的使它们的取值与点取值与点P的坐标一致的坐标一致？单位圆单位圆|MP|=|y|=|OM|=|x|=我们把带有方向的线段叫我们把带有方向的线段叫有向线段有向线段.(规定规定:与坐标轴相同的方向为与坐标轴相同的方向为正方向正方向).).MAP如右图如右图:有向线段OM（方向是起始字母指向终止字母）与x轴的正方向相反，取负值；有向线段OA的方向与x轴的正方向相同，取正值；有向线段MP的方向与y的正方向相
9、反，取负值。TMAP（x，y）TMAP（x，y）TM AP（x，y）=MPTM A（1,0）P（x，y）=OM单位圆单位圆说明：说明：1、这是一种这是一种设设计理念计理念，使有向线段，使有向线段刚刚好等于好等于相应的三角函数；相应的三角函数；2、有向线段的有向线段的起点起点都都在在x轴上（或原点）轴上（或原点）；3、A点是点是单位圆与单位圆与x轴的正轴的正半轴的交点半轴的交点。这几条与单位圆有关的这几条与单位圆有关的有向线段有向线段分别叫做角的分别叫做角的正弦线正弦线、余弦线余弦线、正切线正切线统称为统称为三角函数线三角函数线.当角的终边在当角的终边在x轴轴上时，上时，正弦线、正切线分别正弦线
10、、正切线分别变成一个点；变成一个点；当角的终边在当角的终边在y轴轴上时，上时，余弦线变成一个点余弦线变成一个点，正切线不存在正切线不存在TM APTMAPTMAPTM APMPMP是正弦线是正弦线OMOM是余弦线是余弦线 AT AT是正切线是正切线y yxo o MMP PA AT T例例 题题 示示 范范例例2.2.作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线（1）；（；（2）例例3.在在0 内，求使内，求使 成立的成立的的取值范围的取值范围.OxyP PM MP P1 1P P2 2xyoP1P2xyo T A210 30 例例4利用利用单单位位圆寻圆寻找适合下
11、列条件的找适合下列条件的0 到到360 的角的角.3030 150150 解解:3030 9090 或或210210 270270 POxyMAT巩固练习巩固练习例例1、例例2.利用三角函数利用三角函数线线比比较较下列各下列各组组数的大小：数的大小：解：解：如如图图可知：可知：AB oP2P1M2M1T例例3 3.求函数求函数 的定义域的定义域.OxyP2MP1PxyoMPATxyoy=-xPM 练习练习xyoy=-xxyoy=-xxyoMPMPPMxyoPMMPPM高考链接高考链接1.（2009全国）全国）的值为的值为()A.A.B.B.C.C.D.D.A A解析：解析：本题主要考察诱导公式
12、本题主要考察诱导公式：2.（2009陕西）陕西）则则 的值为（的值为（）A.0A.0B.B.C.1C.1D.D.B解析：解析：本题考查同角三角函数的基本关系式和运本题考查同角三角函数的基本关系式和运算能力，以及转化与化归的思想。因算能力，以及转化与化归的思想。因 故选故选B。3.(2007江西江西)若若 ，则则 等于（等于（）A.-3A.-3B.B.C.3C.3D.D.D D解析：两角和与差的三角函数公式解析：两角和与差的三角函数公式.小小 结结1.2三角函数线的定义，会画三角函数线的定义，会画 任意角的三角函数线；任意角的三角函数线；3.利用单位圆比较三角函数值利用单位圆比较三角函数值 的大小，求角的范围的大小，求角的范围.