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1、数值分析数值分析数值分析数值分析第三节第三节 用矩阵分解法求解线性方程组用矩阵分解法求解线性方程组七、七、三对角方程组的解法三对角方程组的解法数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析lupdsv.m%功功 能能：调调 用用 列列 主主 元元 三三 角角 分分 解解 函函 数数LU,p=lupd(A)%求解线性方程组求解线性方程组Ax=b。%解法：解法：PA=LU,Ax=bPAx=P
2、b%LUx=Pb,y=Ux%Ly=f=Pb,f(i)=b(p(i)%输入：方阵输入：方阵A，右端项右端项b（行或列向量均可）行或列向量均可）%输出：解输出：解x（行向量）行向量）数值分析数值分析数值分析数值分析function x=lupdsv(A,b)n=length(b);LU,p=lupd(A);y(1)=b(p(1);for i=2:n y(i)=b(p(i)-LU(i,1:i-1)*y(1:i-1);endx(n)=y(n)/LU(n,n);for i=(n-1):-1:1 x(i)=(y(i)-LU(i,i+1:n)*x(i+1:n)/LU(i,i);end数值分析数值分析数值分析
3、数值分析lupqdsv.m%功能：调用全主元三角分解函数功能：调用全主元三角分解函数LU,p,q=lupqd(A)%求解线性方程组求解线性方程组Ax=b。%解法：解法：PAQ-1=LU,Ax=b(PAQ-1)(Qx)=Pb%LU(Qx)=Pb,z=Qx,y=Uz%Ly=f=Pb,f(i)=b(p(i)%Uz=y,z=Qx,x(q(i)=z(i).%输入：方阵输入：方阵A，右端项右端项b（行或列向量均可）行或列向量均可）%输出：解输出：解x（行向量）行向量）数值分析数值分析数值分析数值分析function x=lupqdsv(A,b)n=length(b);LU,p,q=lupqd(A);y(1
4、)=b(p(1);for i=2:n y(i)=b(p(i)-LU(i,1:i-1)*y(1:i-1);endz(n)=y(n)/LU(n,n);x(q(n)=z(n);for i=(n-1):-1:1 z(i)=(y(i)-LU(i,i+1:n)*z(i+1:n)/LU(i,i);x(q(i)=z(i);end数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析定定义义1 若若n 阶阶矩矩阵阵A=(aij)的的元元素素满满足足:对对于于1p,qn的的正正整整数数p、q,有有ji+p及及
5、ij+q时时，aij=0，则则A称称为为带带状矩阵状矩阵.带宽为带宽为w=p+q-1。A称为三对称为三对角矩阵。角矩阵。较常见带状矩阵为带宽为较常见带状矩阵为带宽为3（p=q=2,w=3)的矩阵。的矩阵。系数矩阵为三对角矩阵的线性方程组称为三对角方程组。系数矩阵为三对角矩阵的线性方程组称为三对角方程组。七、七、三对角方程组的解法三对角方程组的解法数值分析数值分析数值分析数值分析三对角线性方程组三对角线性方程组 应用应用追赶法追赶法求解三对角线性方程组。求解三对角线性方程组。追赶法追赶法仍然仍然保持保持LULU分解特性分解特性,它是一种特殊的它是一种特殊的LULU分解。充分利用分解。充分利用了系
6、数矩阵的特点，而且使之分解更简单了系数矩阵的特点，而且使之分解更简单,得到对三对得到对三对角线性方程组的快速解法。角线性方程组的快速解法。数值分析数值分析数值分析数值分析 定理定理 如果带宽为如果带宽为 w=p+q-1 的的n阶带状矩阵阶带状矩阵A有有LU分解分解:A=LU，则，则L是带宽为是带宽为p的下三角矩阵，的下三角矩阵，U是带宽是带宽为为q的上三角矩阵。的上三角矩阵。数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析求解求解UxUx=y,x=y,x4 4=0.3333,x=0.
7、3333,x3 3=-0.3333,=-0.3333,x x2 2=-1,x=-1,x1 1=-1=-1求解求解Ly=b,yLy=b,y1 1=1,y=1,y2 2=1.5,y=1.5,y3 3=1,=1,y y4 4=0.5=0.5数值分析数值分析数值分析数值分析周期三对角方程组的一般形式周期三对角方程组的一般形式 基本思想：基本思想：利用谢尔曼利用谢尔曼-莫里森公式（莫里森公式（Sherman-Sherman-Morrison)Morrison)将方程化为三对角方程求解。将方程化为三对角方程求解。数值分析数值分析数值分析数值分析谢尔曼谢尔曼-莫里森公式（莫里森公式（Sherman-Morrison)数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析如何选取如何选取U,VU,V数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析二版习题二版习题 P115-15,16三版习题三版习题 P138-10,11