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1、13.1 引言2频域分析从本章开始由从本章开始由时域时域转入转入变换域变换域分析，首先讨论傅里分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。数或复指数函数的组合。频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的内在的频率特性以及信号时间
2、特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。制和频分复用等重要概念。3时域分析：信号或者系统模型的自变量 为时间（t）变换域分析：自变量为其他物理量频域分析：自变量为频率。相互关系密切4发展历史1822年，法国数学家傅里叶年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理在研究热传导理论时发表了论时发表了“热的分析理论热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论
3、基础。泊松泊松(Poisson)、高斯、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。到广泛应用。19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。进入进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。前景。在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优点。具有很
4、多的优点。“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。5主要内容本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅里叶变换，建立信号频谱的概念。里叶变换，建立信号频谱的概念。通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌握傅里叶分析方法的应用。握傅里叶分析方法的应用。对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里
5、叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。里叶变换的一种特殊表达形式。本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。6线性时不变（LTI)系统分析方法基本思路：基本思路：已知一些基本信号，将任意一个信号e(t)（或者我们需要研究的信号）用一个基本信号的线性组合来表示（信号分解），如果已知基本信号通过LTI系统的响应r(t)，那么任意信号通过系统的响应就可以用r(t)的线性组合来表示。这些基本信号应该具备下列性质：1、由这类基本信号能构成相当广泛的一类信号2、LTI系统对每一个基本信号的响应，在结构上因该十分简单，以便使系统对任意输入的响应有一个
6、方便的表达式。(t)，冲激响应，卷积，冲激响应，卷积7正弦信号通过LTI系统电感电感电阻电阻电容电容当时电阻电阻电容电感8指数信号与正弦信号具有相同的特性由系统的组成来说：当输入为指数信号时，系统的输出一定也是一个指数信号，只不过指数信号幅值发生变化。9指数信号通过LTI系统的输出利用卷积法：输入为设则输入为正弦信号？10(t)h（t）e(t)r（t）ejtH（t）Sin(t)H（t）f(t)r（t）11二正弦信号激励下系统的稳态响应则系统的稳态响应为则系统的稳态响应为12133.2周期信号傅里叶级数分析14主要内容三角函数形式的傅氏级数三角函数形式的傅氏级数指数函数形式的傅氏级数指数函数形式
7、的傅氏级数两种傅氏级数的关系两种傅氏级数的关系频谱图频谱图函数的对称性与傅里叶级数的关系函数的对称性与傅里叶级数的关系周期信号的功率周期信号的功率傅里叶有限级数与最小方均误差傅里叶有限级数与最小方均误差15一三角函数形式的傅里叶级数是一个完备的正交函数集是一个完备的正交函数集t在一个周期内，在一个周期内，n=0,1,.由积分可知由积分可知1.三角函数集16在满足狄氏条件时，可展成在满足狄氏条件时，可展成直流分量直流分量余弦分量的幅度余弦分量的幅度正弦分量的幅度正弦分量的幅度称为三角形式的傅里叶级数，其系数称为三角形式的傅里叶级数，其系数2级数形式17求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式
8、。求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。周期锯齿波的傅里叶级数展开式为周期锯齿波的傅里叶级数展开式为直流直流基波基波谐波谐波18其他形式余弦形式余弦形式正弦形式正弦形式19关系曲线称为幅度频谱图；关系曲线称为幅度频谱图；关系曲线称为相位频谱图。关系曲线称为相位频谱图。可画出频谱图。可画出频谱图。周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性。幅度频率特性和相位频率特性20 频谱图幅度频谱幅度频谱相位频谱相位频谱离散谱，谱线离散谱，谱线21二指数函数形式的傅里叶级数1 1复指数正交函数集复指数正交函数集2 2级数形式级数形式3 3系数系数利用复变函数的正交特
9、性利用复变函数的正交特性22说明23三两种系数之间的关系及频谱图利用欧拉公式利用欧拉公式利用欧拉公式利用欧拉公式24相频特性相频特性幅频特性和相频特性幅频特性幅频特性25请画出其幅度谱和相位谱。请画出其幅度谱和相位谱。化为余弦形式化为余弦形式三角函数形式的频谱图三角函数形式的频谱图三角函数形式的傅里叶级数的谱系数三角函数形式的傅里叶级数的谱系数X26化为指数形式整理整理指数形式的傅里叶级数的系数指数形式的傅里叶级数的系数27谱线指数形式的频谱图指数形式的频谱图28三角形式与指数形式的频谱图对比三角函数形式的频谱图三角函数形式的频谱图指数形式的频谱图指数形式的频谱图29四总结（1）周期信号）周期
10、信号f(t)的傅里叶级数有两种形式的傅里叶级数有两种形式（3）周期信号的频谱是离散谱，三个性质）周期信号的频谱是离散谱，三个性质（2）两种频谱图的关系）两种频谱图的关系（4）引入负频率）引入负频率30(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式三角形式三角形式指数形式指数形式31(2)两种频谱图的关系单边频谱单边频谱双边频谱双边频谱关系关系32(3)三个性质(4)引入负频率注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性33五函数的对称性与傅里叶级数的关系偶函数偶函数奇函数奇函数奇谐函数奇谐函数偶谐函数偶谐函数注：指交流分量注：指交流分量341偶函数信号波形相对于纵轴是
11、对称的信号波形相对于纵轴是对称的352奇函数363奇谐函数f(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即的傅氏级数偶次谐波为零，即若波形沿时间轴平移半个周若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化：此时波形并不发生变化：374偶谐函数f(t)的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波分量38信号的分类从不同的角度可以将信号分类为：从不同的角度可以将信号分类为：确定性信号和随机信号 周期信号和非周期信号连续时间信号和离散时间信号一维信号和多维信号 时限信号和非时限信号 能量信号和功率信号 电信号和非电信号实信号和复信号39能
12、量信号：一个信号如果能量有限，称之为能量信号，如持续时间有限的信号。功率信号：如果一个信号功率是有限的，称之为功率信号，如周期信号和其它一些持续时间无限的信号。6.6.能量信号和功率信号能量信号和功率信号 Signal energy and power连续信号能量：离散信号能量：407.实信号和复信号实信号和复信号物理可实现的信号常常是时间t(或n)的实（real）函数(或序列)，其在各时刻的函数(或序列)值为实数。例如，单边指数信号，正弦信号等。称它们为实信号。如：函数（或序列）值为复数的信号称为复信号(complex signal)，最常用的是复指数信号(complex exponenti
13、al signal)。如：41六周期信号的功率这是帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现这是帕塞瓦尔定理在傅里叶级数情况下的具体体现;表明：表明：周期信号平均功率周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分直流、基波及各次谐波分量有效值的平方和；量有效值的平方和；也就是说，时域和频域的能量是守恒的。也就是说，时域和频域的能量是守恒的。绘成的线状图形，表示绘成的线状图形，表示各次谐波的平均功率各次谐波的平均功率随频率分布的情况，称为随频率分布的情况，称为功率谱系数功率谱系数。42证明对于三角函数形式的傅里叶级数对于三角函数形式的傅里叶级数平均功率平均功率对于指数形式的傅里叶级数对于指数形式的傅里叶
14、级数总平均功率总平均功率=各次谐波的平均功率之和各次谐波的平均功率之和43七傅里叶有限级数与最小方均误差误差函数误差函数方均误差方均误差44如果完全逼近，则n=;实际中，n=N,N是有限整数。如果N愈接近n，则其均方误差愈小若用2N1项逼近，则45误差函数和均方误差误差函数均方误差46例如:对称方波,是偶函数且奇谐函数只有奇次谐波的余弦项。E/2-E/2T1/4-T1/4t47对称方波有限项的傅里叶级数N=1N=2N=348有限项的N越大，误差越小例如:N=1149由以上可见：N越大，越接近方波快变信号，高频分量，主要影响跳变沿；慢变信号，低频分量，主要影响顶部；任一分量的幅度或相位发生相对变
15、化时，波形将会失真有吉伯斯现象发生50周期信号通过线性系统周期信号通过线性系统对于周期信号对于周期信号f(t)=f(t+nT)，当其满足狄氏条件时，可展成：，当其满足狄氏条件时，可展成：一、基本信号一、基本信号：可见，可见，ej t通过线性系统后响应随时间变化服从通过线性系统后响应随时间变化服从ej t，H(j)相当加相当加权函数。权函数。H(j)为为h(t)的傅立叶变换，也称为系统频率特性或系统函数。的傅立叶变换，也称为系统频率特性或系统函数。51二、基本信号二、基本信号：52三、任意周期信号：三、任意周期信号：53四四四四.周期信号通过线性系统响应的频谱周期信号通过线性系统响应的频谱周期信
16、号通过线性系统响应的频谱周期信号通过线性系统响应的频谱对于周期信号对于周期信号结论：结论：周期信号作用于线性系统，其响应也为周期信号；周期信号作用于线性系统，其响应也为周期信号；周期激励信号的频谱为冲激序列，其响应频谱也为冲激序列。周期激励信号的频谱为冲激序列，其响应频谱也为冲激序列。54例：例：例：例：图（图（图（图（a a）所示系统，若激励如图）所示系统，若激励如图）所示系统，若激励如图）所示系统，若激励如图(b)(b)所示，求响应所示，求响应所示，求响应所示，求响应i(t)i(t)。(a)(b)【解解】(n为奇数为奇数)55响应响应响应响应i(t)i(t)的频谱：的频谱：的频谱：的频谱：
17、(n为奇数为奇数)激励激励激励激励u(t)u(t)的频谱：的频谱：的频谱：的频谱：(n为奇数为奇数)56练习：练习：练习：练习：图（图（图（图（a a）所示系统，）所示系统，）所示系统，）所示系统，频率特性频率特性如图如图如图如图(b)(b)所示，求响应所示，求响应所示，求响应所示，求响应y(t)y(t)。其中。其中。其中。其中(a)(b)【解解】方法方法1：方法方法2：573.3 典型周期信号的傅里叶级数58主要内容本节以周期矩形脉冲信号为例进行分析本节以周期矩形脉冲信号为例进行分析主要讨论：主要讨论：频谱的特点，频谱的特点，频谱结构，频谱结构，频带宽度，能量分布。频带宽度，能量分布。其他信
18、号，如其他信号，如周期锯齿周期锯齿脉冲信号脉冲信号 周期三角周期三角脉冲信号脉冲信号 周期半波余弦周期半波余弦信号信号 周期全波余弦周期全波余弦信号信号59一频谱结构1.1.三角函数形式的谱系数三角函数形式的谱系数2.2.指数函数形式的谱系数指数函数形式的谱系数3.3.频谱特点频谱特点601三角形式的谱系数 是个偶函数是个偶函数612指数形式的谱系数623频谱及其特点(1)(1)包络线形状：包络线形状：抽样函数抽样函数(3)(3)离散谱（谐波性）离散谱（谐波性）634总结 矩矩形形脉脉冲冲的的频频谱谱说说明明了了周周期期信信号号频频谱谱的的特特点点：离散性、谐波性、收敛性。离散性、谐波性、收敛
19、性。641.问题提出二频带宽度第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率）第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率）由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段。65而总功率而总功率周期矩形脉冲信号的功率二者比值二者比值66在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的的信号来表示，此频率范围称为频带宽度。信号来表示，此频率范围称为频带宽度。2频带宽度对于一般周期信号，将幅度下降为对于一般周期信号，将幅度下降为的频率的频率区间定义为频带宽度。区间定义为频带宽度。一般把第一个零点作为信号的频带宽度。记为：一般
20、把第一个零点作为信号的频带宽度。记为：语音信号语音信号 频率大约为频率大约为 3003400Hz，音乐信号音乐信号 5015,000Hz，扩音器与扬声器扩音器与扬声器 有效带宽约为有效带宽约为 1520,000Hz。3系统的通频带信号的带宽，才能不失真673.4 傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换的表示傅里叶变换的表示傅里叶变换的物理意义傅里叶变换的物理意义傅里叶变换存在的条件傅里叶变换存在的条件68一傅里叶变换：周期信号：周期信号非周期信号非周期信号连续谱，幅度无限小；连续谱，幅度无限小；离散谱离散谱1.引出0再用再用表示频谱就不合适了，虽然各表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度无限小，
21、但相对大小仍有区别，频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，引入频谱密度函数。引入频谱密度函数。069w w（1）频谱密度函数频谱密度函数简称频谱函数简称频谱函数单位频带上的频单位频带上的频谱值谱值1nw w-j)(tdtetfX70频谱密度函数的表示712反变换由复指数形式的傅里叶级数由复指数形式的傅里叶级数723傅里叶变换对73欧拉公式欧拉公式二傅里叶变换的表示实部实部虚部虚部实部实部虚部虚部模模相位相位实信号实信号偶分量偶分量奇分量奇分量74偶偶函数函数（奇奇分量为分量为零零）为为实实函数，只有函数，只有，相位，相位奇奇函数函数（偶偶分量为分量为零零）为为虚虚函数，只有函数，只有，相位，相位
22、75三傅里叶变换的物理意义实函数实函数欧拉公式欧拉公式积分为积分为076求和求和 振幅振幅 正弦信号正弦信号解释77四傅里叶变换存在的条件所有能量信号均满足此条件。所有能量信号均满足此条件。783.5 典型非周期信号的傅里叶变换矩形脉冲矩形脉冲单边指数信号单边指数信号直流信号直流信号符号函数符号函数升余弦脉冲信号升余弦脉冲信号79一矩形脉冲信号幅度频谱：幅度频谱：相位频谱：相位频谱：80t0频宽：频宽：81二单边指数信号82频谱图幅度频谱：幅度频谱：相位频谱：相位频谱：83三直流信号不满足绝对可积不满足绝对可积条件，不能直接条件，不能直接用定义求用定义求84推导时域无限宽，频带无限窄时域无限宽
23、，频带无限窄854抽样信号(SamplingSignal)性质性质1)Sa(lim1)Sa(,00=tttt，即，即L3,2,1,0)Sa(=nntt，-=dsin,2dsin0tttttt0)Sa(lim=tt()()tttsin)sinc(=()()，偶函数，偶函数ttSaSa=-tttsin)Sa(=t()tSa123O-86证明证明w wO减小。减小。曲线下的面积曲线下的面积t tt tt t,t tw wt t0,，面积仍为，面积仍为能量压缩到能量压缩到=()wtwtSa)Sa(wtwtt tt t-87四符号函数处理方法：处理方法：tea a-tea a-做一个双边函数做一个双边函
24、数不满足绝对不满足绝对可积条件可积条件88频谱图89五升余弦脉冲信号90频谱图其频谱比矩形脉冲更集中。其频谱比矩形脉冲更集中。913.6冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换冲激函数冲激函数冲激偶冲激偶单位阶跃函数单位阶跃函数92一冲激函数冲激函数积分是冲激函数积分是有限值有限值，可以用公式求。而，可以用公式求。而u(t)不不满足满足绝对可积绝对可积条件，不能用定义求。条件，不能用定义求。93h(t)(t)h(t)h(t)r(t)h(t)f(t)F(t)(t)幅度谱的含义：很多个不同频率的ejt分量。每个频率分量的幅值F()都等于1h(t)幅度谱的含义：很多个不同频率的ejt分量。每个频率分量的幅值F
25、()不再都等于1了，发生了变化。了，发生了变化。变化由于变化由于H(j)引引起的起的这两个信号的频率分量的关系对于输入f(t)的而言，他的频率分量也要经过同样的系统，也会发生同样的改变。输出F(t)94比较95二冲激偶的傅里叶变换96三单位阶跃函数973.7 傅里叶变换的 基本性质98主要内容对称性质对称性质 线性性质线性性质奇偶虚实性奇偶虚实性尺度变换性质尺度变换性质时移特性时移特性频移特性频移特性 微分性质微分性质时域积分性质时域积分性质99意义傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。信号的时域特性和
26、频域特性之间的确定的内在联系。讨论傅里叶变换的性质，目的在于：讨论傅里叶变换的性质，目的在于：了解特性的内在联系；了解特性的内在联系；用性质求用性质求F()；了解在通信系统领域中的应用。了解在通信系统领域中的应用。100一对称性质1 1性质性质2 2 意义意义101例3-7-1例3-7-2相移全通相移全通网络网络 ,j2)sgn(w w=tF已知已知t j2则则)sgn(2w w-t1即即()()w wd d21=tF(),1td d102例3-7-3103二线性性质1 1性质性质2 2例例3-7-33-7-3104三奇偶虚实性在在3.43.4的的“傅里叶变换的表示傅里叶变换的表示”中曾介绍过
27、。中曾介绍过。由定义由定义可以得到可以得到证明：证明：105奇偶虚实性证明奇偶虚实性证明设设f(t)是是实实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）函数（为虚函数或复函数情况相似，略）显然显然106四尺度变换性质意义意义(1)0a1时域压缩，频域扩展时域压缩，频域扩展a倍。倍。a是非零常数107尺度变换性质尺度变换性质证明证明综合上述两种情况综合上述两种情况因为因为108(1)0a1时域压缩，频域扩展时域压缩，频域扩展a倍。倍。110111五时移特性幅度频谱无变化，只影响相位频谱，幅度频谱无变化，只影响相位频谱，时移加尺度变换112时移加尺度变换证明时移加尺度变换证明113求图求图(a)所示三脉冲
28、信号的所示三脉冲信号的频谱。频谱。解：解：例例32P130114因为因为脉冲个数增多，频谱脉冲个数增多，频谱包络不变，带宽不变。包络不变，带宽不变。()():为为的频谱函数的频谱函数数数由时移性质知三脉冲函由时移性质知三脉冲函w wFtf115方法一：先标度变换，再时延方法一：先标度变换，再时延方法二：先时延再标度变换方法二：先时延再标度变换相同相同116例3-6.已知双已知双SaSa信号信号试求其频谱。试求其频谱。令令117已知已知由时移特性得到由时移特性得到118从中可以得到幅度谱为从中可以得到幅度谱为双双Sa信号的波形和频谱如图信号的波形和频谱如图（d）（e）所示。）所示。1191202
29、证明 1性质 六频移特性1213说明4应用通信中调制与解调，频分复用。通信中调制与解调，频分复用。122P1333-4已知矩形调幅信号已知矩形调幅信号 解：解：因为因为123频谱图124一个未经调制的高频正弦信号为：振幅载频相位均为常数载波调幅载波振幅随调制信号的变化规律而变。调相载波相位随调制信号的变化规律而变。调频载波频率随调制信号的变化规律而变。脉冲调制经调制后的高频振荡信号叫已调波（调幅波、调频波、调相波和脉冲调制波），调频和调相均表现为总相角受到调变，因此统称为调角。二、调幅波其中是调制信号，K是信号强度与振幅增量间成比例关系的系数振幅按照调制信号的规律变化的高频振荡信号叫调幅波。1
30、25126调幅信号的频谱（载波技术）求：求：的频谱？的频谱？127载波频率128频移特性129调幅信号都可看成乘积信号矩形调幅指数衰减振荡三角调幅求它们的频谱=？（略）130七微分性质时域微分性质时域微分性质频域微分性质频域微分性质或或1311时域微分注意注意132时域微分性质时域微分性质证明证明即即133注意如果如果f(t)中有确定的直流分量，应先取出单独求傅里叶中有确定的直流分量，应先取出单独求傅里叶变换，余下部分再用微分性质。变换，余下部分再用微分性质。()()()()()()()()w ww wd dw wd dw wd dw wj1tj1)(,1t),sgn(2121)()(21t2
31、222+=-=utftftfttutfFu微分微分余下部分余下部分直流直流134求三角函数的频谱密度函数求三角函数的频谱密度函数例3-7-7135分析X136第第第第 1 13 36 6 页页页页解X1372频域微分性质或或推广推广138解：解：139解：解：140八时域积分性质也可以记作：也可以记作：141时域积分性质证明变变上上限限积积分分用用带带时时移移的的单单位位阶阶跃跃的的无无限限积积分分表表示，成为示，成为交换积分顺序交换积分顺序 ，即，即先求时移的单位阶跃信先求时移的单位阶跃信号的傅里叶变换号的傅里叶变换续续142续续1431.求单位阶跃函数的傅里叶变换。求单位阶跃函数的傅里叶变
32、换。解：解：解：解：1443.8卷积特性（卷积定理）卷积定理卷积定理卷积定理的应用卷积定理的应用145一卷积定理时域卷积定理时域卷积定理时域卷积对应频域频谱密度函数乘积。时域卷积对应频域频谱密度函数乘积。频域卷积定理频域卷积定理卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系，在通信卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系，在通信系统和信号处理研究领域中得到大量应用。系统和信号处理研究领域中得到大量应用。146时域卷积定理的证明因此因此所以所以卷积卷积定义定义交换积分交换积分次序次序时移时移性质性质147求系统的响应。求系统的响应。将时域求响应，转化为频域求响应。将时域求响应，转化为频域求响应。二应用用时
33、域卷积定理求频谱密度函数。用时域卷积定理求频谱密度函数。148例3-8-1X149分析：分析：f(t)不满足绝对可积条件，所以无法用定义求其傅不满足绝对可积条件，所以无法用定义求其傅里叶变换，只能利用已知典型信号的傅里叶变换和性质求里叶变换，只能利用已知典型信号的傅里叶变换和性质求解。下面用三种方法求解此题。解。下面用三种方法求解此题。方法一：方法一：利用傅里叶变换的微分性质利用傅里叶变换的微分性质方法二：方法二：利用傅里叶变换的积分性质利用傅里叶变换的积分性质 方法三：方法三：线性性质线性性质150方法一：利用傅里叶变换的微分性质要注意直流，设要注意直流，设fA(t)为交流分量，为交流分量，
34、fD(t)为直流分量，则为直流分量，则其中其中151152方法二：利用傅里叶变换的积分性质153方法三：利用线性性质进行分解此信号也可以利用线性性此信号也可以利用线性性质进行分解，例如质进行分解，例如154已知信号已知信号f(t)波形如下，其频谱密度为波形如下，其频谱密度为F(j)，不必求出，不必求出F(j)的表达式，试计算下列值：的表达式，试计算下列值：155令令t=0，则，则则则156分析：该信号是一个截断函数，我们既可以把该信号看分析：该信号是一个截断函数，我们既可以把该信号看成是周期信号成是周期信号已知信号已知信号求该信号的傅里叶变换。求该信号的傅里叶变换。经过门函数经过门函数的截取，
35、的截取，被信号被信号调制所得的信号。调制所得的信号。也可以看成是也可以看成是有以下三种解法有以下三种解法:方法一：方法一：利用频移性质利用频移性质 方法二：方法二：利用频域卷积定理利用频域卷积定理 方法三：方法三：利用傅里叶变换的时域微积分特性利用傅里叶变换的时域微积分特性 157方法一：利用频移性质利用频移性质：由于利用频移性质：由于利用欧拉公式，将利用欧拉公式，将化为虚指数信号，化为虚指数信号，就可以看成是门函数就可以看成是门函数被虚指数信号调制的被虚指数信号调制的结果。在频域上，就相当于对结果。在频域上，就相当于对 的频谱进行平移。的频谱进行平移。又因又因158所以根据频移性质，可得所以
36、根据频移性质，可得159方法二：用频域卷积定理将将看成是信号看成是信号经过窗函数经过窗函数 的截取，的截取，即时域中两信号相乘即时域中两信号相乘 根据频域卷积定理有根据频域卷积定理有160方法三：利用傅里叶变换的时域微积分特性信号信号f(t)是余弦函数的截断函数，而余是余弦函数的截断函数，而余弦函数的二次导数又是余弦函数。利用弦函数的二次导数又是余弦函数。利用傅里叶变换的时域微积分特性可以列方傅里叶变换的时域微积分特性可以列方程求解。程求解。由图可知由图可知161对上式两端取傅里叶变换，可得对上式两端取傅里叶变换，可得即即162冲激偶163“筛选性筛选性”冲激偶的性质冲激偶的性质时移：时移：奇
37、函数164 冲激偶的面积为冲激偶的面积为0 0注意：与注意：与不同不同165Parsevals定理与能量频谱定理与能量频谱从能量的角度来考察信号时域和频域特性间的关系从能量的角度来考察信号时域和频域特性间的关系166167ParsevalParsevals s定理：周期信号的功率等于该信号在定理：周期信号的功率等于该信号在完备正交函数集中各分量功率之和。完备正交函数集中各分量功率之和。一般非周期信号一般非周期信号属于能量有限信号属于能量有限信号168169ParsevalParseval定理：非周期信号在时域中求得的信号定理：非周期信号在时域中求得的信号能量等于在频域中求得的信号能量。能量等于
38、在频域中求得的信号能量。170171LTILTI系统的全响应零输入响应零状态响应系统的全响应零输入响应零状态响应本节只研究零状态响应。本节只研究零状态响应。1.1.时域分析法时域分析法即将即将 分解为无限个分解为无限个 之叠加之叠加。即零状态响应分解为所有被激励加权的即零状态响应分解为所有被激励加权的 之叠加之叠加。时域方法缺点：计算复杂。时域方法缺点：计算复杂。连续时间系统的频域分析1722.2.频域分析法（是变换域分析法的一种）频域分析法（是变换域分析法的一种）由时域卷积定理知：由时域卷积定理知：称为系统函数（或传递函数）称为系统函数（或传递函数）此方法称为频域分析法，另外还有复频域分析法
39、、此方法称为频域分析法，另外还有复频域分析法、Z Z域域分析法等都是属于变换域分析法。分析法等都是属于变换域分析法。173将任意激励信号分解为无穷多项信号的叠加（或无穷多项正弦分量的叠加）将无穷多项信号分量作用于系统所得的响应取和（叠加）2174信号分析信号分析 付里叶变换应用于通信系统历史悠久、范围宽广。付里叶变换应用于通信系统历史悠久、范围宽广。现代通信系统的发展处处伴随着付里叶变换方法的精心现代通信系统的发展处处伴随着付里叶变换方法的精心运用。从本章开始介绍这些应用中最主要的几个方面运用。从本章开始介绍这些应用中最主要的几个方面调制、滤波、失真、抽样。调制、滤波、失真、抽样。1753.9
40、 周期信号的傅里叶变换176主要内容正弦信号的傅里叶变换正弦信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换如何由如何由F0()求求F(n1)单位冲激序列的傅氏变换单位冲激序列的傅氏变换周期矩形脉冲序列的傅氏变换周期矩形脉冲序列的傅氏变换177周期信号：周期信号：非周期信号：非周期信号：周期信号的傅里叶变换如何求？周期信号的傅里叶变换如何求？与傅里叶级数的关系？与傅里叶级数的关系？引言178由欧拉公式由欧拉公式由频移性质由频移性质一正弦信号的傅里叶变换同理同理已知已知179频谱图180由傅里叶级数的指数形式出发：由傅里叶级数的指数形式出发：其傅氏变换其傅氏变换(用定义用定义)二
41、一般周期信号的傅里叶变换181几点认识182三如何由 求183比较式比较式(1),(2)184四周期单位冲激序列的傅里叶变换185频谱186五周期矩形脉冲序列的傅氏变换方法方法1 1187方法2利用时域卷积定理，周期利用时域卷积定理，周期T1利用冲激函数的抽样性质利用冲激函数的抽样性质1883.10 抽样信号的傅里叶变换抽样抽样理想抽样理想抽样矩形脉冲抽样矩形脉冲抽样189从连续信号到离散信号的桥梁，也是对信号进行从连续信号到离散信号的桥梁，也是对信号进行数字处理的第一个环节。数字处理的第一个环节。周期周期信号信号抽样原理图：抽样原理图：一抽样19022模拟量输出通道模拟量输出通道221DA转
42、换器概述转换器概述一、D/A转换原理图2-20R-2R梯形网络D/A转换器原理1912.1.2 逐次逼近式逐次逼近式ADC一逐次逼近式A/D原理概述一个N位的逐次逼近式A/D转换器的结构如图2-4所示图2-4逐次逼近式A/D转换器的结构192二理想抽样（周期单位冲激抽样）1932冲激抽样信号的频谱1943几点认识1951抽样信号抽样信号三矩形脉冲抽样 196关系限带限带信号信号197198频谱结构199频谱结构的数学表示2002举例说明抽样信号与原信号频谱的关系2012023讨论 的影响2033.11 抽样定理204抽样定理205重建原信号的必要条件：重建原信号的必要条件：不满足此条件，就会发
43、生频谱混叠现象。不满足此条件，就会发生频谱混叠现象。奈奎斯特(Nyquist)抽样率和抽样间隔206频域抽样定理频域抽样定理若信号是时间受限信号，它集中在的时间范围内，若在频域以不大于的频率间隔的频谱则抽样后的频谱可以唯一地表示原信号对进行抽样，207例3-11-1例如音频信号：例如音频信号：03.4kHz，208狄利克雷（Dirichlet）条件条件条件3:3:在一周期内，信号绝对可积。在一周期内，信号绝对可积。条件条件2 2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。限个。条件条件1 1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的：在一周期内，如果有间
44、断点存在，则间断点的数目应是有限个。数目应是有限个。209例1不满足条件不满足条件1 1的例子如下图所示，这个信号的周期为的例子如下图所示，这个信号的周期为8 8，它，它是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一个阶梯的是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一个阶梯的一半。可见在一个周期内它的面积不会超过一半。可见在一个周期内它的面积不会超过8 8，但不连续，但不连续点的数目是无穷多个。点的数目是无穷多个。210例2不满足条件不满足条件2 2的一个函数是的一个函数是对此函数，其周期为对此函数，其周期为1 1，有，有211在一周期内，信号是绝对可积的在一周期内，信号是绝对可积的(T1为周期为周
45、期)说明与平方可积条件相同，这一条件保证了每一系数与平方可积条件相同，这一条件保证了每一系数Fn都都是有限值，因为是有限值，因为212例3周期信号周期信号 ，周期为，周期为1 1，不满足此条件。，不满足此条件。213LTILTI系统的全响应零输入响应零状态响应系统的全响应零输入响应零状态响应本节只研究零状态响应。本节只研究零状态响应。1.1.时域分析法时域分析法即将即将 分解为无限个分解为无限个 之叠加之叠加。即零状态响应分解为所有被激励加权的即零状态响应分解为所有被激励加权的 之叠加之叠加。时域方法缺点：计算复杂。时域方法缺点：计算复杂。连续时间系统的频域分析2142.2.频域分析法（是变换
46、域分析法的一种）频域分析法（是变换域分析法的一种）由时域卷积定理知：由时域卷积定理知：称为系统函数（或传递函数）称为系统函数（或传递函数）此方法称为频域分析法，另外还有复频域分析法、此方法称为频域分析法，另外还有复频域分析法、Z Z域域分析法等都是属于变换域分析法。分析法等都是属于变换域分析法。215将任意激励信号分解为无穷多项信号的叠加（或无穷多项正弦分量的叠加）将无穷多项信号分量作用于系统所得的响应取和（叠加）2216频域分析法：也是建立在线性系统具有叠加性、齐次性基础频域分析法：也是建立在线性系统具有叠加性、齐次性基础上，与时域分析法不同处在于信号分解的单元函数不同。上，与时域分析法不同
47、处在于信号分解的单元函数不同。总结：在线性时不变系统的分析中，无论时域、频域的方法总结：在线性时不变系统的分析中，无论时域、频域的方法都可按信号分解、求响应再叠加的原则来处理。都可按信号分解、求响应再叠加的原则来处理。217有始信号通过线性电路的瞬态分析有始信号通过线性电路的瞬态分析例例1 1：已知：已知，求零状态响应求零状态响应 。时域电路模型时域电路模型（RCRC低通网络）低通网络）频域电路模型频域电路模型218解：解：电压传输比219220221例题说明例题说明+-RC11 22+-2Ott tEOtt tOw wOw wt tEOw w122急速变化处意味着有很高的频率分量222从以上
48、分析可以看出，利用从以上分析可以看出，利用 从频谱改变的观点从频谱改变的观点解释激励与响应波形的差异，物理概念比较清楚，但求傅立解释激励与响应波形的差异，物理概念比较清楚，但求傅立叶逆变换的过程比较烦琐，因此，在求解一般非周期信号作叶逆变换的过程比较烦琐，因此，在求解一般非周期信号作用于具体电路的响应时，用用于具体电路的响应时，用 更方便，很少利用更方便，很少利用 。这节引出这节引出 的重要意义在于研究信号传输的基本特的重要意义在于研究信号传输的基本特性、建立滤波器的基本概念并理解频响特性的物理意义。性、建立滤波器的基本概念并理解频响特性的物理意义。结论结论223信号分析信号分析 付里叶变换应
49、用于通信系统历史悠久、范围宽广。付里叶变换应用于通信系统历史悠久、范围宽广。现代通信系统的发展处处伴随着付里叶变换方法的精心现代通信系统的发展处处伴随着付里叶变换方法的精心运用。介绍这些应用中最主要的几个方面运用。介绍这些应用中最主要的几个方面调制、滤波、失真、抽样。调制、滤波、失真、抽样。224系统无失真传输的条件系统无失真传输的条件由前面举例（例1）知：失真：系统的响应波形与激励波形不相同，称信号在传输过程中产生了失真。一.线性系统引起信号失真的原因1.幅度失真：系统对信号中各频率分量的幅度产生不同程度的衰减，引起幅度失真。2252.相位失真：系统对各频率分量产生的相移不与频率成正比，造成
50、各频率分量在时间轴上的相对位置变化，引起相位失真。由延时特性知：在实际应用中，有时需要有意识地利用系统的失真进行波形变换有时希望传输过程中使用信号失真最小。226二.线性系统无失真条件波形无改变则称为无失真实现无失真传输，应满足的条件227信号通过系统时谐波的相移比需与其频率成正比。228例：基波二次谐波为了使基波与二次谐波得到相同的延迟时间，以保证不产生相位失真，应有229一、理想低通滤波器的频域特性一、理想低通滤波器的频域特性为截止频率为截止频率(Cutofffrequency)相移特性是过原点直线相移特性是过原点直线理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应理想低通滤波器的冲激响应与阶跃响应阻带