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1、第九章第九章 直线、平面、简单几何体直线、平面、简单几何体第 讲（第一课时）（第一课时）考考点点搜搜索索线面垂直与面面垂直的概念线面垂直与面面垂直的概念线面垂直与面面垂直的判定定理线面垂直与面面垂直的判定定理线面垂直与面面垂直的性质定理线面垂直与面面垂直的性质定理三垂线定理及其逆定理高考三垂线定理及其逆定理高考高高考考猜猜想想1.判断或证明线面垂直和面面垂直是考查判断或证明线面垂直和面面垂直是考查的重点内容的重点内容.2.线面垂直与线面平行的相互转化线面垂直与线面平行的相互转化.3.在线面垂直背景下求有关量的值在线面垂直背景下求有关量的值.1.如如果果一一条条直直线线和和一一个个平平面面相相交
2、交，并并且且和和这这个个平平面面内内的的_都都垂垂直直，那那么么就就称称这这条条直直线线和和这这个个平平面面垂垂直直.其其中中直直线线叫叫做做平平面面的的_;平平面面叫叫做做直直线线的的_；交点叫做交点叫做_.2.如如 果果 一一 条条 直直 线线 和和 一一 个个 平平 面面 内内 的的_都都垂垂直直，那那么么这这条条直直线线垂垂直直于这个平面于这个平面.任意一条直线任意一条直线垂线垂线垂面垂面垂足垂足两条相交直线两条相交直线3.设设l，m为直线，为直线，为平面，若为平面，若l m，且且l，则，则_；若；若l，且，且m，则，则_.4.设设l为直线，为直线，、为平面，若为平面，若l ，且，且，
3、则，则_;若若l，且，且l，则，则_.5.如果两个相交平面所成的二面角为如果两个相交平面所成的二面角为_，则称这两个平面互相垂直，则称这两个平面互相垂直.m l ml 直二面角直二面角6.如果一个平面经过另一个平面的如果一个平面经过另一个平面的 ，那么这两个平面互相垂直那么这两个平面互相垂直.7.如果两个平面互相垂直，那么在一个平面如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内内_的直线垂直于另一个平面的直线垂直于另一个平面.8.自平面自平面外一点外一点P向平面向平面引垂线，垂足引垂线，垂足P叫叫做点做点P在平面在平面内的内的 _.一条垂线一条垂线垂直于交线垂直于交线正射线正射线9.如果一条直线和一个
4、平面相交，但不和如果一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，那么这条直线叫做这个平面的这个平面垂直，那么这条直线叫做这个平面的 _;直线和平面的交点叫做直线和平面的交点叫做 _.10.在平面内的一条直线，如果它和这个平在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的面的一条斜线的_，那么它也和这条，那么它也和这条斜线垂直斜线垂直;如果它和这个平面的一条斜线垂直如果它和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在那么它也和这条斜线在 _垂直垂直.斜线斜线斜足斜足射线垂直射线垂直平面内的射线平面内的射线11.过一点且垂直于一个已知平面的直过一点且垂直于一个已知平面的直线条数为线条数为 _；过一
5、点且垂；过一点且垂直于一条已知直线的平面个数为直于一条已知直线的平面个数为 _.12.从平面外一点向这个平面所引的斜从平面外一点向这个平面所引的斜线段中，相等的斜线段其射影长线段中，相等的斜线段其射影长 _;较长的斜线段其射影较长的斜线段其射影 _，反之亦然，反之亦然.有且只有一条有且只有一条有且只有一个有且只有一个相等相等较长较长 1.给出下列命题，其中正确的两个命题是给出下列命题，其中正确的两个命题是()若直线上有两点到平面的距离相等，若直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行则此直线与平面平行;夹在两个平行平面间的两条异面线段夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个
6、平面的中点连线平行于这两个平面;直线直线m平面平面，直线，直线nm，则，则n;若若a、b是异面直线，则存在唯一的平面是异面直线，则存在唯一的平面，使它与使它与a、b都平行且与都平行且与a、b距离相等距离相等.A.B.C.D.解：解：错误错误.如果这两点在该平面的异如果这两点在该平面的异侧，则直线与平面相交侧，则直线与平面相交.正确正确.如右图，平面如右图，平面，A，C，D，B且且E、F分别分别为为AB、CD的中点，的中点，设设H是是CG的中点，的中点，则则EHBG，HFGD.所以所以EH平面平面，HF平面平面.所以平面所以平面EHF平面平面平面平面.所以所以EF，EF.错误错误.直线直线n可能
7、在平面可能在平面内内.正正确确.如如右右图图，设设AB是是异异面面直直线线a、b的的公公垂垂线线段段，E为为AB的的中中点点，过过E作作aa，bb，则则a、b确确定定的的平平面面即即为为与与a、b都都平平行行且且与与a、b距距离离相相等等的的平平面面，并并且且它它是唯一确定的是唯一确定的.故选故选D.2.在在正正方方形形SG1G2G3中中，E、F分分别别是是G1G2、G2G3的的中中点点，D是是EF的的中中点点，沿沿SE、SF及及EF把把这这个个正正方方形形折折成成一一个个四四面面体体，使使G1、G2、G3三三点点重重合合，重重合合后后的的点点记记为为G，那那么么，在在四四面面体体S-EFG中
8、必有中必有()A.SG平面平面EFG B.SD平面平面EFGC.FG平面平面SEF D.GD平面平面SEFA 解解：注注意意折折叠叠过过程程中中，始始终终有有SG1 G1 E，SG3G3F，即即SGGE，SGGF，所所以以SG平面平面EFG.故选故选A.3.在三棱锥在三棱锥A-BCD中，若中，若ADBC，BD AD，BCD是锐角三角形，那么必有是锐角三角形，那么必有()A.平面平面ABD平面平面ADCB.平面平面ABD平面平面ABCC.平面平面ADC平面平面BCDD.平面平面ABC平面平面BCD解解:由由ADBC,BDAD,所以所以AD平面平面BCD，又又AD平面平面A D C，所以平面所以平
9、面ADC平面平面BCD.C1.在直三棱柱在直三棱柱ABC-A1B1C1中，中，ACB=90，BAC=30，BC=1，AA1=6，M为为CC1的中点，的中点，求证：求证：AB1A1M.证法证法1：分别取分别取AA1、A1B1的中点的中点D、E，连结连结CD、DE，题型题型1 线线垂直的判定与证明线线垂直的判定与证明则则 所以所以CDE为异面直线为异面直线AB1和和A1M所成的角所成的角.连结连结CE，由已知可得，由已知可得AC=，AB=2，AD=，所以所以 .连结连结C1E，则，则C1E=A1B1=1，所以所以CE2=CC21+C1E2=7.于是，有于是，有CD2+DE2=CE2，所以所以 C
10、D E=9 0 ，即即AB1A1M.证法证法2：由题设知由题设知B1C1A1C1，B1C1CC1，所以，所以B1C1平面平面ACC1A1.连结连结AC1，则，则AC1是是AB1在平面在平面ACC1A1内的射影内的射影.由已知可得由已知可得AC=A1C1=，C1M=，所以所以tanAC1C=，tanMA1C1=，所以所以AC1C=MA1C1.所以所以AC1A1+MA1C1=AC1A1+AC1C=90,所以所以A1MAC1.据三垂线定理，据三垂线定理，A1MAB1.点点评评：证证两两异异面面直直线线垂垂直直的的方方法法主主要要有有：所所成成的的角角是是直直角角；平平移移后后转转化化到到同同一一平平
11、面面内内的的两两直直线线垂垂直直；利利用用三三垂垂线线定定理理，证证一一线线的的射射影影与与直直线线垂垂直直；利利用用线线面面垂垂直的性质直的性质.在直三棱柱在直三棱柱ABC-A1B1C1中，中，B1C1=A1C1，A1BAC1，求证：求证：A1BB1C.证明：证明：取取A1B1的中点的中点D1，连结连结C1D1.因为因为B1C1=A1C1，所以，所以C1D1A1B1，所以所以C1D1平面平面ABB1A1.连结连结AD1，则，则AD1是是AC1在平面在平面ABB1A1内的射影，内的射影，因为因为A1BAC1，所以所以A1BAD1.取取AB的中点的中点D，连结连结CD、B1D，则则B1DAD1，
12、且且B1D是是B1C在平面在平面ABB1A1内的射影内的射影.因为因为B1DA1B，所以，所以A1BB1C.2.在三棱锥在三棱锥P-ABC中，中，PA=PB=PC，ABBC，D为为AC的中点，的中点，求证：求证：PD平面平面ABC.证法证法1：因为因为PA=PC，D为为AC的中点，的中点，所以所以PDAC.取取BC的中点的中点E，连结，连结PE、DE.题型题型2 线面垂直的判定与证明线面垂直的判定与证明因为因为PB=PC，所以所以PEBC，又又DEAB，ABBC，所以所以DEBC，于是于是BC平面平面PDE，所以所以BCPD.结合结合知，知，PD平面平面ABC.证证法法2：过过点点P作作PO平
13、平面面ABC，垂垂足足为为O.因因为为PA=PB=PC，所所以以AO=OB=OC，即即O为为ABC的的外外心心.因因为为ABBC，即即ABC为为直直角角三三角角形形，所所以以O为为斜斜边边AC的的中中点点，从从而而D与与O重合，故重合，故PD平面平面ABC.点点评评：证证线线面面垂垂直直一一般般是是转转化化为为证证直直线线与与平平面面内内两两条条相相交交直直线线垂垂直直，即即由由“线线线线垂垂直直”得出得出“线面垂直线面垂直”.如图，正三棱柱如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的的所有棱长都为所有棱长都为2，D为为CC1的中点的中点.求证：求证：AB1平面平面A1BD.证明：证明：取取BC的中点
14、的中点O，连结连结AO.因为因为ABC为为正三角形，所以正三角形，所以AOBC.棱柱棱柱ABC-A1B1C1中，平面中，平面ABC平面平面BCC1B1，所以，所以AO平面平面BCC1B1.连结连结B1O.在正方形在正方形BB1C1C中，中，O、D分别为分别为BC、CC1的中点，的中点，所以所以B1OBD，所以所以AB1BD.在正方形在正方形ABB1A1中，中，AB1A1B，所以所以AB1平面平面A1BD.3.在四棱锥在四棱锥P-ABCD中，中，PA底面底面A B CD，底面，底面ABCD为矩形，为矩形，PA=AD，M为为AB的的中点中点.求证：平面求证：平面PMC平面平面PCD.证明：证明：分
15、别取分别取PC、PD的中点的中点N、E，连结，连结MN、AE、EN，则则 .题型题型3 面面垂直的判定与证明面面垂直的判定与证明又又 ，所以所以 .所以四边形所以四边形AMNE为为平行四边形，平行四边形，所以所以MNAE.因为因为PA=AD，所以所以AEPD.又又CDAD，CDPA，所以所以CD平面平面PAD，所以，所以CDAE.于是于是AE平面平面PCD，所以所以MN平面平面PCD.因为因为MN平面平面PMC，所以平面所以平面PMC平面平面PCD.点点评评：利利用用面面面面垂垂直直的的判判定定定定理理证证两两平平面面垂垂直直，关关键键是是在在其其中中一一个个平平面面内内找找一一条条直直线线垂
16、垂直直另另一一个个平平面面，即即将将证证面面面面垂垂直直问题转化为证线面垂直问题问题转化为证线面垂直问题.1.判判断断或或证证明明两两条条直直线线垂垂直直的的主主要要方方法法有有：(1)利利用用两两直直线线垂垂直直的的定定义义，判判断断两两直直线线所所成成的的角角为为90;(2)利利用用三三垂垂线线定定理理或或其其逆逆定定理理；(3)利利用用线线面面垂垂直直的的概概念念，证证明明一一条条直直线线垂垂直直于于经经过过另另一一条条直直线线的的一一个个平平面面;(4)利利用用有有关关两两直直线线垂垂直直的的平平面面几几何何性性质质(如如菱菱形形的的对对角角线线互互相相垂垂直直，等等腰腰三三角角形形底
17、底边边上上的的中中线线垂垂直直于于底底边等边等).2.判判断断或或证证明明直直线线和和平平面面垂垂直直的的主主要要方方法法有有：(1)利利用用直直线线和和平平面面垂垂直直的的定定义义；(2)利利用用直直线线和和平平面面垂垂直直的的判判定定定定理理；(3)转转化化为为另另一一条条平平行行线线和和这这个个平平面面垂垂直直；(4)利利用用同同一一法法，即即过过直直线线上上一一点点作作平平面面的的垂垂线线，再再证证两两直直线线重合重合.3.判判定定或或证证明明两两平平面面垂垂直直有有两两种种方方法法：一一是是根根据据定定义义判判断断；二二是是由由判判定定定定理理确确定定.面面面面垂垂直直与与线线面面垂垂直直、线线线线垂垂直直是是密密切切相相关的，解题时要注意三者的相互转化关的，解题时要注意三者的相互转化.4.平平行行与与垂垂直直是是对对立立统统一一的的辩辩证证关关系系.通通过过平平移移转转化化某某些些垂垂直直关关系系，是是一一个个重重要要的解题技巧的解题技巧.