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1、数学（八年级上册）知识点总结（北师大版）第一章 勾股定理1、勾股定理-已知直角三角形，得边的关系直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即2、勾股定理的逆定理-由边的关系，判断直角三角形假如三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。3、勾股数：满足的三个正整数a，b，c，称为勾股数。常见的勾股数有：（6,8,10）（3,4,5）（5,12，,13）（9,12,15）（7,24,25）（9,40,41）规律：（1）、短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续的自然数，两边之和是短直角边的平方。即当a为奇数且ab时，假如，那么a,b,c就是一组勾股数.如：（3,4,5
2、）（5,12，,13）（7,24,25）（9,40,41）（2）大于2的任意偶数，2n(n1)都可构成一组勾股数分别是： 如：（6,8,10）（8,15,17）（10,24,26）4、常见题型应用：（1）已知任意两条边的长度，求第三边/斜边上的高线/周长/面积（2）已知任意一条的边长以及此外两条边长之间的关系，求各边的长度/斜边上的高线/周长/面积（3）鉴定三角形形状： 锐角三角形，直角三角形，钝角三角形 鉴定直角三角形a.找最长边；b.比较长边的平方与此外两条较短边的平方和之间的大小关系；c.拟定形状第二章 实数1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。 一、实数的概念及分类 1、实数
3、的分类 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如等根号a（a为非完全平方数或非立方数）。（2）有特定意义的数，如圆周率（=3.14159265)，或化简后具有的数，如+8等；（3）有特定结构的数，如0.；0.885(相邻两个5之间8的个数逐次加1等；（4）某些三角函数值，如sin60o等； 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所相应的点关于原点对称，假如a与b互为相反数，则有a+b=0，a=b，反
4、之亦成立。2、绝对值在数轴上，一个数所相应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|0）。零的绝对值是它自身，也可当作它的相反数，若|a|=a，则a0；若|a|=-a，则a0。3、倒数假如a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于自身的数是1和-1。零没有倒数。4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一相应的，并能灵活运用。5、估算. 注意：（1）近似计算时，中间过程要多保存一位；（2）规定记忆： .三、平方根、算数平方根和立方根 1平方根和算术平方根：（1）概念：假如，那么
5、是的平方根，记作：；读作“正、负根号”，其中叫做的算术平方根，读作根号。（2）性质：当0时，0； 当时，无意义； ； 。（区分、）性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。（3）开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。注意 ：的双重非负性：2立方根：（1）概念：若，那么是的立方根（或三次方根），记作：； （2）性质：； ； 性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。注意：， 这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。区分：平方根、立方根的性质根源：开平方是平方的逆运算
6、；开立方是立方的逆运算。正数和负数的平方后为正，所以，只有非负数才可以开平方，因此一个非0正数开平方后有2个；而任何数的立方后的符号与原数的符号一致，所以，任何数都可以开立方，一个数开立方后只有1个，符号与原数的符号也一致。四、实数大小的比较 1、实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表达的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。在数轴上，右边的点表达的数比左边的点表示的数大。2、实数大小比较的几种常用方法（1）数轴比较：在数轴上表达的两个数，右边的数总比左边的数大。（2）求差比较：设a、b是实数， （3）求商比较法：设a、b是两正实数，（4）绝对
7、值比较法：设a、b是两负实数，则。（5）平方法： 设 ，则 设 ，则 。 同号的有理数与无理数、同号的无理数与无理数大小比较时常用平方法。如：比较 与；与（6）倒数法：设 ，则；设 ，则 规律：同号取倒（数）反向五、算术平方根有关计算（二次根式）1、具有二次根号“”； 被开方数必须是非负数，即：。2、性质：（1）非负性（2） （中前提，被开方数）（3）（中隐含被开方数）（4）；（）（前提根号要故意义）（5） ；（）（前提式子和根号要故意义，）拓展：三个重要非负数： .注意：非负数之和为0 它们都是0.3、运算结果若具有“”形式，必须满足：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中
8、不含能开得尽方的因数或因式六、实数的运算 （1）六种运算：加、减、乘、除、乘方 、开方（2）实数的运算顺序先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，假如有括号，就先算括号里面的。（3）运算律加法互换律 加法结合律 乘法互换律 乘法结合律 乘法对加法的分派律 （4）与实数有关的概念： 在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表达；反过来，数轴上的每一个点都表达一个实数，即实数和数轴上的点是一一相应的。因此，数轴正好可以被实数填满。第三章 位置的拟定一、 在平面内，拟定物体的位置一般需要两个
9、数据。二、平面直角坐标系及有关概念 1、平面直角坐标系在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；x轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。2、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x轴和y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。3、点的坐标的概念对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴相应的数a，b分别叫做
10、点P的横坐标、纵坐标，有序数对（a，b）叫做点P的坐标。点的坐标用（a，b）表达，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。平面内点的与有序实数对是一一相应的。4、不同位置的点的坐标的特性 （1）、各象限内点的坐标的特性（结合图形，过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴相应的数在坐标轴的正向为正，负向为负） 点在第一象限点在第二象限 点在第三象限点在第四象限（2）、坐标轴上的点的特性点P(x,y)在x轴上，x为任意实数点P(x,y)在y轴上，y为任意实数点P(x,y)既在x轴
11、上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）即原点（3）、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特性点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线（直线y=x）上x与y相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数（4）、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特性位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。（5）、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特性 点P与点关于x轴对称（上下）横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P（x，y）关于x轴的对称点为（x，-y） 点P与点关于y轴对称（左右）纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P（x，y）关于y轴的对称点为（-
12、x，y） 点P与点关于原点对称横、纵坐标均互为相反数，即点P（x，y）关于原点的对称点为（-x，-y）规律：关于谁对称谁不变，另一个变相反；关于原点对称，两个分别变相反。(6)、点到坐标轴及原点的距离（结合图形理解）点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x轴的距离等于（2）点P(x,y)到y轴的距离等于（3）点P(x,y)到原点的距离等于（由勾股定理可得）三、坐标变化与图形变化的规律：坐标（ x ， y ）的变化 图形的变化 x a或 y a 被横向或纵向拉长（压缩）为本来的 a倍 x a， y a 放大（缩小）为本来的 a倍 x （ -1）或 y （ -1） 关于 y 轴
13、或 x 轴对称 x （ -1）， y （ -1） 关于原点成中心对称 或 ，其中沿 x 轴（）左（+）右或 y 轴（+）上（）下平移 a个单位 ， ，其中沿 x 轴（）左（+）右平移 a个单位，再沿 y 轴（+）上（）下平移 a个单第四章 一次函数一、函数：一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，假如给定一个x值，相应地就拟定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。二、自变量取值范围使函数故意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次根式（偶次根式）（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。三、函数的三种表达法及其
14、优缺陷（1）关系式（解析）法两个变量间的函数关系，有时可以用一个具有这两个变量及数字运算符号的等式表达，这种表达法叫做关系式（解析）法。（2）列表法把自变量x的一系列值和函数y的相应值列成一个表来表达函数关系，这种表达法叫做列表法。（3）图象法用图象表达函数关系的方法叫做图象法。四、由函数关系式画其图像的一般环节（1）列表：列表给出自变量与函数的一些相应值（2）描点：以表中每对相应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。五、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念一般地，若两个变量x，y间的关系可以表达成（k，b为常数
15、，k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）。特别地，当一次函数中的b=0时（即）（k为常数，k0），称y是x的正比例函数。2、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的重要特性：、一次函数的图像是通过点（0，b）的直线；正比例函数的图像是通过原点（0，0）的直线。、由于一次函数的图象是一条直线，所以一次函数的图象也称为直线。、由于两点拟定一条直线，因此在画一次函数的图象时，只要描出：与轴的交点（令，求出），与轴的交点（令，求出），即（ 两点即可，画正比例函数的图象时，只要描出点（0，0），（1，）即可。、的正负决定直线的倾斜方向，的大小决
16、定直线的倾斜限度，即越大，直线与轴相交的锐角度数越大（直线陡），越小，直线与轴的相交的锐角度数越小（直线缓）。、的正负决定直线与轴交点的位置。当时，直线与轴的交于正半轴上。当时，直线与轴交于负半轴上。当时，直线通过原点，是正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。4、一次函数、正比例函数的图象和性质。 当0时，随的增大而增大，图象从左到右呈上升趋势；当0时，随的增大而减小，图象从左到右呈下降趋势。函 数图 象性 质一次函数（1）当时，随的增大而增大，图象必通过一三象限。时，过一二三象限时，只过一三象限时，过一三四象限时（2）当时，随的增大而减小，图象必过二四象限。时，过一二四象限时，只过二四象限
17、时，过二三四象限正比例函数图象过原点当时，随的增大而增大，图象必过一三象限当时，随的增大而减小，图象必过二四象限。5、正比例函数和一次函数解析式的拟定拟定一个正比例函数，就是要拟定正比例函数定义式（k0）中的常数k。拟定一个一次函数，需要拟定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。（1）、拟定正比例函数及一次函数表达式的条件由于正比例函数中只有一个待定系数，故只需一个条件（如一对的值或一个点）就可求得的值。由于一次函数中有两个待定系数，需要两个独立的条件拟定两个关于 的方程，求得的值，这两个条件通常是两个点或两对的值。（2）待定系数法先设式子中的未知系数，再根据
18、条件求出未知系数，从而求出式子的方法叫做待定系数法。（3）用待定系数法拟定一次函数表达式的一般环节 设函数表达式为。 将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（方程组）。 求出的值，得函数表达式。6、一次函数与一元一次方程的关系： 任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k0）的形式 而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k0）当函数值时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同 结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k0）的形式所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值时，求相应的自变量的值从图象上看，这相称于已知直线y=kx+b拟定它与
19、x轴交点的横坐标值7、一次函数的图象与坐标轴交点求法：与轴的交点：令，求出，得；与轴的交点：令，求出，得 第五章 二元一次方程组1、二元一次方程具有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。2、二元一次方程的解适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。3、二元一次方程组具有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。4二元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。5、二元一次方程组的解法（1）代入（消元）法 （2）加减（消元）法（无论是代入消元法还是加减消元法，其目的都是将“二元一次方程”
20、变为“一元一次方程”，所谓之“消元”）6、一次函数与二元一次方程（组）的关系：（1）一次函数与二元一次方程的关系：每个二元一次方程都可以当作一次函数，直线y=kx+b上任意一点的坐标都是它所相应的二元一次方程的解（2）一次函数与二元一次方程组的关系：求二元一次方程组的解，可当作求两个一次函数图象的交点。二元一次方程组 的解可看作两个一次函数 和 的图象的交点。反之，可以通过求二元一次方程组的解，求出两个一次函数图象的交点当函数图象有交点时，说明相应的二元一次方程组有解；当函数图象（直线）平行即无交点时，说明相应的二元一次方程组无解。7、在运用方程来解应用题时，重要分为两个环节：设未知数（在设未
21、知数时，大多数情况只要设问题为x或y；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；寻找等量关系（一般地，题目中会具有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。8、 解决问题的过程可以进一步概括为： 第六章 数据的代表1、刻画数据的集中趋势（平均水平）的量：平均数 、众数、中位数 2、平均数（1）平均数：一般地，对于n个数我们把叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记为。（2）加权平均数： 、一组数据的权分加为，则称为这n个数的加权平均数。 （如：对某同学的数学、语文、科学三科的考察，成绩分别为72，50，88，而三项成绩的“权”分别为4、3、1，则加权平均数为：）、假如
22、个数中，出现次，出现次，出现次（），那么这个的平均数可表达为，这样的平均数叫加权平均数，其中叫做权。如：某小组在一次数学测试中，有3人为85分，2人为90分，5人为100分，则该小组的平均分为： 3、众数众数指的是一组数据中出现次数最多的那个数据。4、中位数中位数指的是n个数据按大小顺序（从大到小或从小到大）排列，处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）。众数着眼于对各数据出现次数的考察，中位数一方面要将数据按大小顺序排列，并且要注意当数据个数为奇数时，中间的那个数据就是中位数；当数据个数为偶数时，居于中间的两个数据的平均数才是中位数，特别要注意一组数据的平均数和中位数是唯一的，但众数则不一定是唯一的。