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1、经济数学模型化化过程分析前 言 本书旨旨在使读者理理解经济模型型化思想以及及如何运用数数学模型化的的方法和技巧巧，解决经济济问题。 数数学模型化（MMathemmaticaal Moddellinng）是指提提出、设计、建建立、求解、论论证及使用数数学模型的整整个过程。其其目的在于研研究开发数学学模型在经济济领域中分析析问题、逻辑辑思维和辅助助决策的作用用和功能。 本书共共由四个模块块构成: 第一模模块为经济数数学模型化过过程的基础理理论部分，主主要包括数学学模型基本理理论、数学模模型化一般程程序、以及为为实现模型化化必须进行的的信息收集与与评价等内容容。这部分由由三章组成：第一章在给给出各种
2、简单单数学模型的的基础上，讨讨论了数学模模型的基本概概念和性质，阐阐明了模型与与原型及其逻逻辑关系。第第二章在明确确信息的数量量化是建造模模型的前提下下，讨论了数数量化与量纲纲的问题，然然后对数学模模型的特性、应应用条件及应应用的评判准准则进行了说说明，最后详详细论述了模模型化过程的的问题。第三三章介绍了模模型化信息的的收集方法和和模型化信息息的处理方法法。 第二模模块为微观经经济数量决策策分析模型的的讨论与研究究，主要内容容包括运筹学学模型化过程程中如何表述述目标，确定定环境因素，选选择标准数学学模型，最优优性条件的确确定及最优解解（或满意解解）的求出。这这部分内容由由第四章、第第五章组成：
3、第四章论述述了销售机理理模型化过程程，主要由销销售机理分析析、成本机理理分析、风险险机理分析、时时间机理分析析、约束问题题分析等部分分构成；第五五章在第四章章销售机理模模型化过程的的基础上，给给出了多目标标多指标模型型的一般形式式。并对单目目标最优解的的性质进行了了分析。指出出了各种经济济量对数量决决策的影响。此此外研究了非非线性共轭对对偶理论的应应用。 第三模模块内容由两两部分构成：第一部分介介绍了系统论论的思想与方方法，第二部部分为计量经经济模型化过过程。 本模型块由第六六章、第七章章组成： 第六章章主要讨论经经济控制论模模型，首先阐阐述了系统论论的方法和规规律，最后给给出了一个具具体宏观
4、经济济控制模型。 第七章章为计量经济济模型分析，计计量模型的特特点在于首先先提出经济假假说，然后确确立变量之间间的因果关系系，在收集统统计资料的基基础上，估计计模型参数，并并对其结果进进行检验。最最后运用模型型估计进行经经济预测和政政策评价。本本章包括计量量模型分析的的基础和建立立计量模型的的一些基本方方法。首先讨讨论构成计量量分析基础的的最小二乘法法，然后指出出在实证分析析中运用计量量模型应注意意的几个问题题，最后探讨讨计量分析的的一些新发展展。 第四模模块为本书的的最后一章，作作为经济模型型化过程的应应用实例，在在本章中给出出了几个案例例，主要涉及及到宏观经济济周期变化、投投资模型的最最优
5、条件、宏宏观经济增长长模型以及经经济学中的效效用等问题。 第八章章主要内容如如下： 首先讨讨论卡莱斯基基商业循环模模型和最优外外资规模的决决定模型，然然后对马克思思的扩大再生生产图式与哈哈罗多多马模型进进行比较，最最后讨论市场场经济中消费费者经济行为为的数学模型型描述以及企企业的行为表表征。 本书作作者之一杨健健博士自19986年在中中国人民大学学开设全校研研究生选修课课程经济数数学模型化。此后，龚龚德恩教授、任任朝佐教授、严严守权副教授授、赵国庆副副教授等都曾曾讲授此课程程，他们的贡贡献推动了经经济数学模型型化的研究。十十年后的今天天此书终于在在同行们的关关心下问世。 此外，中中国人民大学学
6、的魏权龄教教授、英国兰兰卡斯特大学学的Grahham K.Rand教教授、日本国国京都大学的的森栋公夫教教授，都曾对对本书提出许许多非常有益益的建议，在在此一并向他他们表示衷心心的谢意。 特别要要提到的是王王戈、周国栋栋、崔惠军、尹尹明玉，他们们在本书的打打印输入及校校对公式中付付出了艰辛的的劳动。中国国人民大学出出版社潘旭燕燕女士作为本本书的责任编编辑付出了辛辛勤劳动，在在此谨表谢意意。 本书中的的一些研究成成果为国家211工工程项目 中国宏观经经济运行模拟拟和分析系统统 的一部部分，本书的的部分章节构构成北京市普普通高等学校校教育教学改改革试点立项项研究的基础础。 本书作作为经济数学学模型
7、化过程程分析的一个个尝试还存在在着不少不足足之处，恳切切希望广大读读者指正。 著 者 11998年88月 第一章 数学模模型概论 1.1 引言言 任何模型都是原原型的一种表表现形式，而而原型则指我我们所研究的的对象。我们们所讨论的模模型是依据原原型，由人来来构造的模型型，它是人对对客观世界的的一种理解。广广义而言，由由于世间的事事物皆有同一一性，故任何何事物都可能能成为另一事事物的模型；但对千差万万别的具体事事物而言，模模型又是有条条件的。 构造模型是研究究和解释客观观世界的一种种手段。它使使人们在比原原型现存条件件更为有利的的条件下研究究原型。模型型可以是实体体，也可以是是理论；既可可以定性
8、，也也可以定量；可以具体，亦亦可抽象。借借助模型，人人们可以从不不同的侧面、不不同的层次，去去认识原型。尤尤其是在现实实世界里，有有一些研究工工作无法在原原型上直接进进行，因此人人们需要构造造模型来解决决理论和实践践中的问题。模模型是对原型型的一种近似似，它们之间间存在着某种种因果关系。抽抽象地说，模模型是原型的的映象。 模型的性质 作为一个模型，应应具备以下三三个性质： 1.近似性：模模型是原型若若干特征或内内在联系的模模仿或近似。 2.主观性：模模型基于构模模者对原型以以及模型空空间的理解解。 3.能动性：模模型可以能动动地反映原型型，乃至在时时空上超越原原型的现状。 正是模型的这些些性质
9、，使得得人们愈来愈愈多地利用模模型，重视模模型，并开始始探索建模的的方法。建立立模型不仅需需要对原型的的深刻理解，而而且需要一定定的技巧、抽抽象和想象力力。模型化方方法是学习建建模的基础，抽抽象与想象则则需在实践中中培养。就如如作画需要对对景物的敏锐锐观察，训练练有素的技巧巧和艺术的抽抽象与想象。当当然，不断地地钻研、探索索、创新，是是步入科学殿殿堂的必由之之路。 对于同一原型，可可以有不同的的模型。如何何评价模型的的优劣是模型型化关心的问问题之一。模模型的价值应应取决于模型型化的目的。换换言之，模型型的优劣应由由其解决问题题的优劣而定定。如果一个个模型突出了了原型的主要要矛盾和主要要特征，从
10、而而有助于我们们分析和解决决问题，它就就是一个好模模型。 模型的种类甚多多。依据不同同的准则，有有以下几类主主要的模型： 1.按照相似程程度划分： 有同构模型(IIsomorrphic Modell)和同态模模型(Hommomorpphic MModel)。前者与其其原型之间存存在着一一对对应的关系，即即同构关系；后者与其原原型的部分相相对应，依其其相似程度可可细分为精确确的(Acuurate)、适度的(Adequuate)、和和粗略的(CCoarsee)三种同态态模型。 2.按照结构性性态划分： 有形象模型(IIconicc Modeel)和抽象象模型(Abbstracct Moddel)之
11、分分。前者是由由改变现实原原型的度量、尺尺度或维数而而得到的，其其构造多为依依据P定理（见见第二章）和和相似性原理理，故又称比比例模型(SScale Modell)；后者是是用抽象的符符号、图表、语语辞等表述的的模型。抽象象模型又可细细分为3类： 1）比拟模型(Analoog Moddel)：它它建立在不同同的事物之间间，模型与原原型存在着同同构 或同态态的关系。例例如用一组可可控的条件来来表征真实原原型，通过模模拟性实验研研究原型的 变化规律，这这组可控条件件就是比拟模模型。 2）概念模型(Conceept Moodel)：它是凭借现现有的知识，提提出的关于原原型的结构与与特 性的表表述。概
12、念模模型往往是抽抽象的、原始始的。 3）数学模型(Motheematiccal Moodel)：它是用数学学语言表达原原型结构、特特征、及内在在 联系的模模型。例如，用用字母、数字字或其它有特特别含意的数数学符号建立立起来的等式式、不 等式式、图象、以以及框图等，都都是数学结构构，当它们表表征一个特定定原型时，就就是数学 模模型。 3.按照对原型型的了解程度度划分： 有白箱模型(WWhite Box MModel)、黑箱模型型(Blacck Boxx Modeel)和灰箱箱模型(Grrey Boox Moddel)三种种。构模者对对原型内部的的结构与特性性的了解程度度分别是完全全了解、完全全不
13、了解和部部分了解。 关于模型的划分分，不同的准准则划分的类类型也不同。例例如有人认为为能真正划分分的模型只有有两类：实物物模型(Phhysicaal or Materrial MModel)和符号模型型(Symbbolic or Foormal Modell)。实物模模型是有形的的、可触知的的、实体的模模型化表达，模模型的元素由由物质或硬件件构成。如形形象模型、硬硬件比例模型型、和比拟计计算机模型等等。符号模型型是理论的、符符号的、抽象象的模型化表表达，模型元元素由原型的的特定结构或或行为的若干干方面的符号号表述。如图图样、语词表表达、逻辑模模型、数学模模型以及计算算机程序等等等。关于模型型的
14、性质及其其分类将在第第二章进行详详细地讨论。 在一切模型之中中，数学模型型是用途最广广泛的一种。多多少世纪以来来，数学以其其高深玄妙而而被誉为自然然科学的皇皇后。然而而在科学技术术突飞猛进的的今天，多学学科相互交融融，边缘学科科不断涌现。皇后屈尊尊降为各学科科的侍女，应运而生生的交叉学科科举不胜举。如如生物数学、数数理医药学、计计量经济学、计计量地理学、数数量经济学等等等，犹如群群芳争春，竞竞相绽放。虽虽然新学科各各有异彩，人人们注意到一一个事实：它它们的共同之之处就是都借借助数学模型型研究各自的的原型世界！这些新兴学学科的成功无无一不是得益益于数学模型型的利用。尤尤其是在这个个计算机时代代，
15、往日只有有数学家才能能完成的计算算工作，如今今一般人也能能完成，这一一切使得数学学模型的应用用成为可能，因因此，模型化化工作日益受受到人们的重重视。 应当看到，即使使在今天，人人们对数学模模型的本质仍仍有许多误解解。例如有人人认为数学模模型是一种语语言，很容易易予以文字解解释。这恰恰恰与实际情况况相左，数学学模型的一般般性常常使人人不知所云。还还有人认为数数学模型及其其结果总是正正确的，科学学的，这也是是荒谬的。虽虽然基于一组组自封闭的公公理系统的数数学本身，在在前提正确和和推理无误的的条件下，结结果必然正确确。但是数学学模型毕竟不不是数学理论论，它基于关关于原型的假假说，因此数数学推证充其其
16、量是一个佐佐证。假说必必须用事实验验证，换言之之，不论是前前提还是结果果都必须以事事实为依据。最最后需要指出出的错误观点点是认为数学学模型没有用用处。我们且且不赘举数学学模型的辉煌煌成就，仅以以质与量是构构成事物属性性的两个方面面，缺少量的的刻划则无法法全面地认识识事物，就足足以反驳这种种观点。 本书着重探讨经经济数学模型型化方法以及及模型化理论论与程序。在在经济工作中中利用数学模模型进行分析析、预测、研研究和决策，往往往可以增加加收益，降低低消耗、减免免风险、缩短短时间、合理理地利用有限限的资源以获获得最佳的效效益。随着计计算机的普及及和计算机技技术的发展，数数学模型在经经济领域将有有更广泛
17、的应应用。 1.2 数学学模型基本概概念 数学模型是相对对于一定的概概念、系统、或或过程而存在在的。E.AA.本德55在他的数数学模型引论论中这样写写道：数学学模型是关于于部分现实世世界和为一种种特殊目的而而作的一个抽抽象的、简化化的数学结构构。具体地地讲，数学结结构就是由若若干字母、数数字、及含有有特定意义的的符号建立起起的等式、不不等式、序关关系、逻辑式式、图表、图图象和框图。数数学模型和原原型是一对范范畴，相互依依存、相互对对立。孤立的的数学结构不不是严格意义义下的数学模模型。数学模模型化的概念念与数学模型型不同，它是是指建立数学学模型和利用用数学模型的的全过程。可可以断言，从从研究数学
18、模模型转到研究究数学模型化化是一个必然然的趋势。模模型化研究具具有广阔前景景。 在此我们介绍几几个简单的模模型，使我们们形成对数学学模型的直观观认识。 【例1.2.11】资源的配配置 资源短缺是全世世界共同面临临的问题。如如何有效地利利用现有的资资源，使经济济单位自身的的经济效益最最大，乃是许许多经济学家家研究的课题题。虽然原型型的差异甚多多，我们仍可可抽象地假设设原型问题是是利用m种有有限资源生产产n种商品的的最佳决策。如如果已知第ii种商品的单单位创利额是是ci,(ii=1,n）；生生产单位商品品i需消耗aaij单位的的资源j,(i=1,n j=1,m)；现现有资源j的的总量为bjj，(j
19、=11,m)；待待决策的商品品i的数量为为xi，(ii=1,n)。则则可得出决策策的选择范围围是满足下列列约束条件的的x=(x11,xn)T j=1,mm xi 3 0 判别决策优劣的的目标是创利利额 我们记x=(xx1,xn) A=(aij)nm C=(c1,cn)T b=(b1,bn)T 就得到一个数学学模型 max cTxx (1-22-1) s.t. Axx b x3 0 这个数学结构称称为线性规划划，与其相应应的有完整的的理论与算法法。 【例1.2.22】 人口的的预测 人口问题困扰着着许多发展中中国家，经济济学家对人口口预测作过许许多尝试。我我们考虑一种种最简单的情情况。假设某某个
20、国家在时时刻t=t00年的人口数数目x(t00)=x0，由由历年统计加加权得到平均均出生率h，平平均死亡率dd，于是对tt 3 t00可以得到一一个粗糙的模模型 或 其中，r = hd是净净生殖率，由由初始条件解解出 利用这个模型我我们可以预测测这个国家未未来的人口。这这个简单模型型说明在外界界条件不变的的情况下，人人中将呈指数数增长。 【例1.2.33】 马克思思的生产模型型 马克思认为，在在一定时期内内社会总产品品的价值是由由三部分构成成的：1）在在此期间消耗耗的生产资料料价值，即不不变资本c；2）在此期期间内用于生生产过程的劳劳动力价值，即即可变资本vv；3）被资资本家剥削的的剩余价值m
21、m。依据生产产资料的性质质，马克思把把国民经济分分为两大部类类，即生产生生产资料的第第一部类和生生产消费资料料的第二部类类。由定义，两两部类的总价价值分别为 I=c1v11m1 II=c2vv2m2 总价值 TV=IIII 马克思指出：如如果要维持简简单再生产，则则国民经济总总处于同一水水平。这时，生生产资料的总总需要应和第第一部类的总总价值相等；消费资料的的需要应和第第二部类的总总价值相等。于于是，我们得得到 c1c2 =I v1m1vv2m2 =II 我们注意到从前前式可以推出出后式，反之之亦然。而且且，都与数学学结构 v1m1 =c2 等价。即第一部部类的可变资资本和剩余价价值等于第二二
22、部类的不变变资本。值得得指出的是：虽然两个数数学模型不同同，但可能在在数学结构上上等价。 【例1.2.44】常胜的赌赌徒 赌场如战场，有有胜亦有败。但但如果在自由由下注的赌场场，则有常胜胜的可能性。假假如某位不贪贪心的赌者依依据下列决策策赌搏： 1.每次上赌场场的目标是赢赢一元钱 2.一旦赢钱立立刻停赌 那么他第k次的的赌注为2kk-1 ,总赌注: BBk = 1122222k-11 =2k1 假如每次赢的概概率为p，则则输的概率为为q=1-pp。显然，连连输k次的概概率是qk。因因此k次赌搏搏之中至少有有一次赢的概概率为1qqk，不论常胜意味味胜的概率PP0有多大，只只要p0且且P0 P0
23、换言之，如果赌赌徒筹措到足足够多的本钱钱n，则可望望百战百胜。模模型为 n (1-2-2) s.t. 1qk P0， 2k1 n，k为正正整数 不难解出 当然，这是个数数学游戏，因因为输光头的的概率毕竟存存在！ 现在我们考虑数数学模型的基基本概念与性性质。首先给给出如下定义义：如果相应应于某种体系系的相依关系系或逻辑关系系，用形式化化的数学语言言概括地或近近似地表述成成为一个数学学结构，则称称这个数学结结构为该体系系的一个数学学模型，记作作M，称该体体系为M的原原型，记作PP。 由定义不难得出出，以下结论论：一个原型型可以有不同同的数学模型型，模型不唯唯一；而一个个模型的数学学结构则有可可能是
24、不同原原型的模型，即即有多个原型型相对应，因因此反之是有有条件的。一一个数学结构构自身必须在在数学意义下下协调，不能能相悖，但是是对刻划同一一体系的模型型而言，由于于假说与解释释的方式不同同，我们将允允许相悖。正正如物理学中中描述物体运运动的牛顿模模型 和爱因斯坦模型型 在数学意义下相相悖。但都成成功地刻划了了物体运动的的规律。 我们把欲模型化化的现象、问问题、过程、体体系，乃至用用某种语言表表示的系统，统统称为原型，并并记之为P。虽虽然原型应相相对于模型而而存在，我们们隐含假设任任何事物都存存在着数学模模型，只是不不一定令人满满意罢了。数数学结构是一一个有机的整整体，可分性性概念是有益益的。
25、如果数数学结构MSS可以分解为为若干子结构构MSa，aa?L，其中中L是非单点点指标集，则则称该数学结结构是可分的的。并记 。 下面我们举例说说明可分性。 【例1.2.55】依据凯恩恩斯的经济理理论，针对封封闭的宏观经经济体系，可可建立如下模模型， M： 其中主要变量有有内生变量：Y（国民收收入），C（消消费），I（投投资）和R（利利率）；外生生变量：G（政政府开支）和和M（货币供供给）以及前前定变量：PP（价格水平平）。四个方方程式分别是是国民收入定定义式、消费费需求方程式式、投资需求求方程式和货货币需求方程程式。其中aa，b，t，ee，d，k，hh则为参数。不不考虑派生结结构。 模型M可以
26、分解解成若干种互互不相同的分分结构。例如如可分成 M1： M2： 连同假设一起考考虑，M1中中有4个内生生变量和一个个外生变量，故故知其不唯一一地确定变量量的值。同理理M2亦然。这这些分结构可可能没有合适适的经济背景景，所以称不不上模型。对对数学模型进进行分解时，必必须考虑假设设的相应变化化及经济解释释。经济学家家常把模型MM置放在（YY，R）空间间，从而得到到十分重要的的IS曲线和和LM曲线，并并成功地利用用它们说明了了许多经济问问题。其分解解如下： IS： LM：M=(kkYhR)P IS曲线表示出出满足国民收收入定义式，消消费需求和投投资需求的利利率R与国民民收入Y的组组合形式；LLM曲
27、线表示示货币供给等等于货币需求求时国民收入入Y和利率RR的变动轨迹迹。IS曲线线和LM曲线线的交点恰为为数学模型MM的唯一解。利利用恰当的分分解，能够得得到许多意想想不到的信息息。如本例中中，分解M=M1M2似乎难难有合理的经经济解释，但但分解M=IISLM则是最最出色的分解解。然而若不不分解M，则则只能得到唯唯一的解(YY*，C*，RR*)T，失失去了研究各各种经济力量量如何影响均均衡的机会。综综上所述，我我们看到分解解就是将数学学模型的若干干部分孤立起起来，撇开广广泛的、总的的联系。同时时，想到原结结构是一个整整体结构，要要考察子结构构之间是如何何发生联系的的。 为了便于讨论，我我们引入模
28、型型元的概念，如如果数学模型型的结构MSSa是MS的的一个结构元元或模型元，细细心的读者可可能注意到我我们有时并没没有严格地区区分数学模型型与数学结构构。我们约定定今后将在承承认差异下一一视同仁。 模型元并不一定定是最基本的的构模元素，只只是具有相对对独立性的小模型罢罢了。基本的的构模元素有有以下五种： 1. 数据：与与原型有关的的数字、图形形、以及可定定量化的其他他信息。 2. 变量：假假定属于已知知值域的任何何值。变量有有独立与相关关、内生与外外生、先决与与滞后等区别别。 3. 参数：在在特定的模型型中只能假定定取一固定数数值的量。有有固定与可变变、可调与不不可调之分。 4. 数学式：用以
29、联系变变量、参量的的相依序关系系的符号，如如=、t）。套汇汇者对其行为为有一定的估估价，先从AA国贷款a（单单位A币），并并按St换成成B国货币存存入B国银行行。到T时刻刻连本带利一一起取出，按按约定的汇率率FT兑成AA国货币，那那么以A币为为标准单位的的净收益 M1： 如果p00。假设M11所给的净收收益是正的，则则有一等价模模型 M3： 在此模型成立的的情况下，套套汇者一定有有利可图。当当众多的套汇汇者都这样干干时，会引起起rA上升和和rB以及FFT的下降，综综合结果是使使p趋于零。于于是，我们得得到均衡模型型 M4： M4说明了汇率率变化的中心心趋势，FTT实际上是SST的预测值值。值得
30、注意意的是M3是是由M1引出出的，M4亦亦然，但M33和M4不能能同时成立，它它们不相容的的原因是加了了不同的假设设条件。 我们定义两个数数学结构是不不相容的，如如果在数学意意义下两个结结构不能同时时成立。例如如由于不存在在这样的STT，FT，rrA和rB使使M3和M44同时成立，故故称M3和MM4不相容。我我们记之为MM3M4=?。 由于模型间有一一定的逻辑关关系，我们引引进序的概念念：如果由一一个数学结构构MS可以以得出另一个个数学结构MMS，则称称M和M之间存在着着序，记作MMSf MMS（读作作MS导MMS）。所所谓序得出出包括适当当地增加假设设条件和纯形形式的推导。如如果依据纯粹粹的
31、数学理论论及方法，从从MS推导导MS，则则称MS和和MS之间间存在真序，记记作MSfffMS（读读作MS真真导MS）。根根据模型化的的观点，不是是同一原型的的模型之间无无所谓序关系系。今后谈到到模型间的序序关系时，均均指同原模型型。由定义我我们不难证明明两个命题： 命题若Mff M，则则必有MM? 命题若Mfff M，则则必有MM? 这些证明留给读读者。 既然有序的概念念，很自然地地引出数学结结构的等价关关系。如果两两个数学模型型M和M满足序关系系，且Mff M，MMfM则则称M和MM是等类的的，记作MM。如果果Mff M且Mff M，则称M和M等价价。记作 。显显然，等价必必等类，反之之不然
32、。关于于导序的性质质，不难由定定义推出。 1. 对称性：若Mf M，则MMp M； 2. 传递性：若Mf M，MfM，则则必有MffM； 3. 反身性：若Mf M，Mp M，则则必有M M。 一般来说，导序序具有的性质质，真导序也也具有，反之之则不一定。前前面提到通过过增减条件或或推导可以得得到不同的数数学结构，但但并不一定称称得上新的数数学模型。抽抽象地看，从从旧的数学模模型到新的数数学结构是一一过程，经过过了一个映射射。正如我们们可以把从原原型r到模型型M的过程看看成一种映射射一样。对于于数学结构而而言，封闭是是一个严格的的概念；但对对数学模型而而言并不十分分严谨。我们们姑且这样定定义：如
33、果模模型M在一映映射下所得到的的数学结构仍仍是一个同原原模型，则称称该模型对映映射P是封闭闭的。【例11.2.7】可可以部分地说说明封闭这个个概念。 【例1.2.77】财务分析析 假设某公司经销销一种商品的的数量为x，单单位售价p元元，经估算固固定成本为FFC元，单位位可变动成本本为UVC。于于是，由定义义有 M1： SR=px M2： C=FFCUVCCx M1表示销售收收入，M2表表示总成本。对对C微分得到到边际成本模模型， M3： MC=UVC 将M1和M2视视为一个数学学模型，则利利润I的模型型为 M4： I=（PPUVC）xFC 可以看成M1和和M2经过减减运算得到的的。利润率IIR
34、则是由MM4和M2的的商运算得到到的， M5： 根据模型化原理理，我们可以以这样认为：M2对一阶阶微分是封闭闭的，但对二二阶微分不封封闭；数学模模型M1M2对特定定的商运算也也是封闭的。 迄今为止，我们们只是讨论了了模型的一些些基本概念和和性质，对于于这些概念的的系统讨论和和研究将在第第二章中进 第二章 数学模模型化 从第一章的讨论论我们知道，数数学模型是反反映原型的数数学结构，而而本章讨论的的数学模型化化则指提出、设设计、建立、求求解、论证及及使用数学模模型的整个过过程。本章主主要论述与模模型化有关的的数量化度量量、经济数学学模型的分类类、模型和模模型化应用的的条件和范围围、模型和模模型化选
35、择的的标准等问题题，最后对模模型化过程进进行设计与讨讨论。 2.1 数量量化和量纲分分析 2.1.1 数量化的度度量问题 经济信息数量化化是构造模型型的前提，经经济原型总是是具有质与量量两方面的信信息，模型所所需的信息是是二者的结合合，即信息不不仅包含经济济概念而且有有一种数量的的度量。度量量是定性与定定量结合的过过程。量纲是是带有质的规规定性的数量量度量，因此此，在模型化化过程中是值值得重视的。从从理论上看，数数学结构中的的各种量是没没有量纲的，但但作为一个经经济模型，模模型的输入和和输出的信息息有量纲的问问题，这是客客观存在。事事实上，没有有量纲这个标标准，则使各各经济变量之之间失去可比比
36、性。在商品品经济存在的的条件下，各各种实物往往往需要用货币币量纲来反映映价值，生产产、流通、消消费和分配等等因素的联系系需用货币量量纲来体现，因因此，在讨论论问题时，往往往把量纲统统一于某种货货币单位，从从而，使不同同质的量得到到统一的度量量。但实际中中遇到的原型型不尽相同，而而且并不是什什么都可以用用货币度量的的。因此，在在数学模型的的构造和推导导过程中要注注意量纲是否否合理，否则则可能失去原原型背景，即即不再是同原原模型。 不论是构造什么么样的模型，总总是要选择一一些基本量纲纲或原始量纲纲，经过模型型构造和求解解后，往往生生出一些新的的量纲，我们们称之为导出出量纲。例如如，在描述一一段时期
37、内的的平均收入时时，我们把单单位时间和单单位货币称为为基本量纲，而而把（单位货货币/单位时时间）称为导导出量纲。我我们定义一个个量纲是独立立量纲，如果果它不能由其其它量所导出出，如经济上上常用的货币币单位、实物物单位、和计计量单位等等等。从数学的的观点看，以以什么作为量量纲并不重要要，关键是在在构造过程中中量纲必须始始终是谐调的的、规范的。只只有这样才能能保证所得的的模型与结果果不仅有数学学意义，而且且有经济解释释。 无量纲的经济量量（指标）在在经济是经常常遇到。诸如如比例数、比比率和指数等等相对量，就就可能是无量量纲的。另一一种较特殊的的量是只起记记录功能或排排序功能的数量，例例如，把盈利利
38、记为1，亏亏本记为-11，盈亏平衡衡记为0。这这种量与有量量纲的经济量量有质的区别别，应注意其其数学处理的的条件和应用用范围。 模型化过程中常常需直接利用用已有的统计计指标，这时时更需注意量量纲问题。按按我国的惯例例统计指标分分为数量指标标和质量指标标。数量指标标反映企业、部部门或整个国国民经济工作作的直接结果果，它是刻划划经济规模的的计划指标。质质量指标反映映生产资源和和生产因素的的利用效果，它它是描述经济济活动的统计计性指标。质质量指标分技技术经济指标标和经济质量量指标，前者者表示固定资资产和流动资资产的利用效效果，产品质质量及各产品品生产间的比比例关系，它它是编制计划划的依据，后后者反映
39、经济济工作的质量量与管理水平平。与指标密密切相关的因因素是统计方方式，这些都都是收集信息息时应当注意意的。鉴于我我国的经济指指标体系与西西方不尽一致致，在考虑借借鉴西方模型型时尤应慎重重。 2.1.2 量纲分析 前一节中已经提提到过量纲等等概念，我们们将进一步深深化它们。模模型化常会涉涉及到可度量量的信息，如如经济中的国国民收入、产产出、消费额额等，既是经经济概念，又又是可度量的的。度量单位位是带有质的的规定性的标标准。在这种种标准下，信信息传递被简简化了。例如如两个量不经经实际比较，就就知道孰多孰孰寡。物理学学之所以成为为严谨的科学学，得益于数数学模型的利利用。物理学学的典型方法法是把物理原
40、原型用数学模模型表现出来来，通过对输输入和输出的的量的量纲比比较，说明了了物理学规律律。量纲分析析（Dimeensionnal Annalysiis）就是物物理学中一项项模型化技术术。（我们将将沿用物理学学中的名称予予以介绍） 众所周知，一切切物理量可以以由若干基本本单位推导出出来。基本单单位的体系在在物理上称为为单位制。例例如力学单位位制可由长度度、质量、时时间为基本单单位的绝对单单位制(Syystem of Abbsolutte Uniits）推导导出来。除基基本单位之外外，任何其他他物理单位均均称导出单位位（Deriived UUnit）。如如果q，j，yy，为基本单位位，a为导出出单位
41、，根据据定义或定律律导出单位aa可以表示成成 a = c qq jm yyn 的形式，其中cc， ，m，nn，是常数。则则称指数 ，mm，n，为a的量纲纲，量纲公式式记作 a =qq jm yyn 其中 读作的量纲。对对于一般的模模型化问题，无无法建立适用用于一切原型型的单位制，但但是对具体的的模型化问题题，的确可以以提供一个单位制。我我们仍称被推推导出的单位位为导出单位位，沿用一切切物理学的名名称。 量纲分析方法可可以从单一的的前提条件，对对某一现象推推断得出有价价值的信息，而而该现象可以以由某些变量量中的一个有有量纲的、恰恰当的方程来来描述。量纲纲分析可用于于设计比例模模型，处理如如何按比
42、例调调节系统的参参数，使之能能根据模型预预测未来。量量纲分析还可可以使变量按按有意义的方方式进行组合合，从而减少少变量的数目目对有关数据据的需求。量量纲分析的主主要依据是白白金汉(Buuckinggham)的的P定理以及及相似定律（LLaw off Simiilitudde）。我们们首先介绍PP定理。 P定理：假设有有n个物理量量a1，a22，an和mm个基本量的的量纲单位bb1，b2，bm，如果关系式 f(a1，aan) = 0 的成立与基本量量的单位无关关，则总可以以转化成为 F(P1，PPnm) = 0 其中P1，PPnm是无无量纲量群，形形式为 这里F为某一函函数。 我们回想一下代代数
43、学中的结结论：线性空空间中的一组组基可以将任任一向量线性性表出；任一一组向量亦可可选出基向量量。P定理的的使用方法与与基的扩充方方法相似，首首先从导出量量a1，an中选选择能包含全全部基本量纲纲的m个导出出量。不妨设设a1，am的量量纲中含有bb1，bm，则则可用剩下的的nm个导导出量构造无无量纲量群。我我们设 ，i=1,nn-m 其中hij是待待定参数i=1,n-m，jj=1,m。由于于a1，an的量量纲单位是从从b1，bm导出出，故有 ，j=1,n 其ajk是ajj的量纲，kk=1,m。利用用前式可得 因Pi是无量纲纲的，故令 ，k=1,m 如此得到的m(n-m)个个方程恰好确确定所有的待
44、待定系数hiij，i=11,n-m，jj=1,m。这个个方法不仅给给出了扩充的的步骤，而且且给出了一个个构造性证明明。 【例2.2.11】万有引力力模型 牛顿的万有引力力定律告诉我我们：两个物物体之间的引引力与它们的的质量成正比比，与它们之之间的距离成成反比。模型型为 式中F是万有引引力，G是万万有引力常数数，m1和mm2分别是两两物体的质量量，r是两物物体间的距离离。假设基本本的物理量是是质量M，长长度L和时间间T，我们来来分析一下万万有引力模型型的量纲。显显然， F=MLTT-2 m1=mm2=M r=L G=M-11 L3 TT-2 设a1 =F，aa2 =m11，a3 =m2，a44 =r，aa5 =G则则系数矩阵为为 选择a1，a22，a4为基基，则 于是我们得到 h11h1221=0 h11 h113 =0 2 h11 =0 和 h21h2221=0 h21h2333=0 2 h212=0 从中解出 无量纲量群 由P定理可知，必必可转化为 F(P1，P22)=0 事实上，稍加观观察就有 P1 P2 1=0 这是万有引力模模型。请注意意，如果我们们考虑的体系系中有这五个个物理量，则则可以纯形式式地导出万有有引力模型。当当然，难点在在于把G考虑虑在内的物理理直觉。 【例2.2