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1、第二章 连连续时间间系统的的时域分分析学习目标1.理解00_和00+时刻系系统状态态的含义义，并掌掌握冲激激函数匹匹配法2.理解冲冲激响应应、阶跃跃响应的的意义，掌掌握其求求解方法法3.掌握系系统全响响应的两两种求解解方法：自由由响应和和强迫响响应4.熟练掌掌握零输输入响应应和零状状态响应应的定义义和求法法；5.会分辨辨全响应应中的瞬瞬态响应应分量和和稳态响响应分量量；教学重点难难点重点掌握卷卷积积分的定定义、代代数运算算规律和和主要性性质，并并会用卷卷积积分分法求解解线性时时不变系系统的零零状态响响应。教学内容2.1 引言线性连续时时间系统统的时域域分析，就就是一个个建立和和求解线线性微分分
2、方程的的过程。一、建立数数学模型型建立数学模模型就是是根据力力学、电电学等物物理学规规律，得得到输入入和输出出之间满满足的数数学表达达式。数学模型的的建立过过程与应应用系统统的特性性有关。例例如，对对于经典典力学理理论，主主要是依依赖于牛牛顿定律律；对于于微波和和电磁场场而言，组组要依赖赖于麦克克斯韦方方程；本课程主要要研究的的是由电电阻、电电容、电电感等器器件构成成的集总总参数电电系统，它它的数学学模型的的建立主主要有依依赖于KKCL 和KVVL方程程。在物物理课程程和电电路分析析课程程中已经经提供了了相应的的理论和和方法。连续时间系系统处理理连续时时间信号号，通常常用微分分方程描描述，若若
3、输入输输出只用用一个高高阶的微微分方程程相连系系，而且且不研究究系统内内部其他他信号的的变化，这这种描述述系统的的方法称称为输入入输出出或端口口描述法法。系统分析的的任务就就是对给给定系统统模型求求系统的的输出。系统时域分析包含两方面内容，一方面是微分方程的求解，另一方面是已知系统单位冲激响应，将冲激响应与激励信号进行卷积，求出系统的响应；同时引入近代系统时域分析方法，将建立零输入响应和零状态响应两个重要的基本概念。本章还将说说明微分分方程的的算子符符号表示示法，它它使微分分方程的的表示及及运算简简化。最后，简单单介绍“分配函函数”的概念念。2.2微微分方程程的建立立与求解解为建立线性性系统的
4、的数学模模型，需需列出描描述系统统特性的的微分方方程表达达式，现现举例说说明微分分方程的的建立方方法。一、复习RR,L,的电电压电流流关系。+C+例2-1 ：如下下图所示示为RLLC并联联电路，求求并联电电路的端端电压与与激励源源间的关关系。+由KCL得得： （11）将以上三式式代入上上方程（11）得：若组成系统统的文件件都是参参数恒定定的线性性元件（且且无储能能），则则构成的的系统是是线性时时不变系系统。对于复杂系系统，设设激励信信号为，响响应为，则则可用一一高阶的的微分方方程表示示 （2）若方程（22）的及及其各阶阶导数都都为零，则则方程称称为齐次次方程 （3）由经典法可可知，方方程（22
5、）的解解由齐次次方程和和特解两两部分组组成。齐次解是齐齐次方程程的解。齐次方程解解的形式式为函数的的线性组组合，将将代入方方程（33）得 （44）方程（4）称称为方程程（2）的的特征方方程，对对应的nn个根称为微分方方程的特特征根。若特征根无无重根，则则若是K阶重重根，则则例1求的齐齐次解例3求的齐齐次解解其特征方方程为特解的函数数形式与与激励函函数形式式有关求解方法是是将激励励代入方方程（22）右端端，化简简右端函函数式称称为“自由项项”，根据据自由项项选特解解函数式式，代入入方程后后，求得得特解的的待定系系数，即即可求出特解解激励函数与与特解的的对应关关系，见见P466表2-2。例：2-4
6、4给定方方程若（1），（22）分别别求两种种情况下下此方程程的特解解解：（1）将代入方程得：自由项为故设特解代代入方程程得对比系数得得：（2）当，可可选，代代入方程程后得于是特解于是完全解解若给定微分分方程和和激励信信号，在在给出一一组求解解区间内内的边界界条件，便便可确定定待定系系数。若是在t=0时刻刻加入，则则把求解解区间定定为，通通常取这这样对应应的一组组条件称称为初始始条件。微分方程的的齐次解解称为系系统的自自由响应应，特征征方程称称为系统统的“固有频频率”（自由由频率，自自然频率率）；特特解称为为系统的的强迫响响应，强强迫响应应只与激激励函数数的形式式有关，完完全响应应由系统统的自身
7、身特性决决定的自自由响应应和与外外加激励励信号有有关的强强迫响应应组成的的。2.3 起始点点的跳变变从到的转换换在系统分析析中，把把响应区区间确定定为激励励信号加加入后，系系统变化化区间，一一般在tt=0时时刻加入入，这样样系统的的响应时时间为，若若系统在在激励信信号加入入之前瞬瞬间有一一组状态态，这组组状态称称为系统统的起始始状态（状态）,它包含了为计算未来响应的全部“过去”信息。在加入之后，这组状态从到时刻可能发生变化。完全响应表达式中常数是由响应区区间内时时刻的一一组状态态确定的的。这组状态称称为初始始条件（简简称状态态）。由此可见，用时域域经典法法求解系系统的响响应时，为为确定自自由响
8、应应部分常常数，还还必须根根据系统统的状态态和激励励情况求求出状态态。对于具体电电路，状状态就是是系统中中储能元元件的储储能情况况，一般般情况下，先求出出电容上上的起始始电压和和电感中中的起始始电流，。当电路中没没有冲激激电流（或或阶跃电电压）强强迫作用用于电容容及没有有冲激电电压（或或阶跃电电流）作作用于电电感，则则换路期期间电容容两端电电压和流流过电感感中的电电流不会会发生突突变，即即，然后后根据元元件特性性约束和和网络拓拓扑约束束求得时时刻的其其他电流流或电压压值，下下面以具具体例子子，说明明这种情情况下电电路响应应的求解解方法。例：如图所所示+i+2v4v而将(2)式式代入(1)式式子
9、得令则代入方方程得而的电压不能能突变，故故将代入，得A=-22-5 例例如图所所示电路路，开关关S处11位置且且已达到到稳定，当当t=00时，由由1转向向2，建建立电流流的微分分方程并并求解在在时的变变化。解： （11） （2） （33）消去，得 （4）.求齐次方方程特征方程：a) 求特解:当时，代入入（4）式式得故方程 （55）令 代入（55）式得得故系统的完完全解为为 （6）c确定待待定系数数由于无冲激激电压，故故电容电电压不能能突变，而d.求在时时的完全全响应将代入（66）式得得当系统已经经用微分分方程表表示时，系统统的0-状态到到0+状态有有无跳变变，取决定定于微分分方程在在右端自自由
10、项中中是否包包含d(t)及其各各阶导数数.若包含有d(t)及其各各阶导数数,说明相相应的变变量从00-到0+状态发发生了跳跳变,即此时为为确定等等，可以以用冲激激函数匹匹配法。其其原理根根据t=0时刻刻微分方方程左右右两端的的d(t)及其各各阶导数数应该平平衡相等等。下面举一例例子说明明：已知解：由分析析可知：方程右右边含，由由此可推推断，而而方程右右端无项项，故由由于得出出r(tt)在tt=0时时刻有存存在，若若表示到相对单单位跳变变函数，即即上述方程可可用数学学方法描描述设积分一次有有：将代入原方方程得解得：表示从0-到0+相对单单位发生生跳变函函数即例2-6 用冲激激函数匹匹配法求求解例
11、22-5的的完全响响应r(t)已知：用冲激函数数匹配法法求42t解：考虑方方程右端端冲激函函数项最最高次是是因而设设将其代入原原方程得得解得至此可将求求解微分分方程流流程图见见p522图2-52.4 零零输入响响应和零零状态响响应由于时域经经典法求求解系统统完全响响应是把把响应分分成自由由响应和和强迫响响应，为为确定完完全响应应中的常常数，往往往利用用冲激函函数匹配配法，把把给定的的状态转转换成状状态以便便求解。另另一种分分解方法法是将总总响应分分为零输输入响应应和零状状态响应应。我们先考察察一个实实例例2-7，如如图2-6 所所示RCC电路，电电容两端端起始电电压，激激励源为为e(tt),求
12、求t00时电容容两端电电压。将上式两端端同乘以以得两边求积分分得：的第一项只只和电容容两端的的起始储储能有关关，与输输入无关关。被称称为零输输入响应应。第二项与起起始储能能无关，只只与输入入有关，称称为零状状态响应应。一般情况下下，设系系统是线性时时不变的的，把输输出响应应分成由由激励信信号e(t)引引起的响响应He(tt)，和和由系统起起始状态态引起的的响应两两者叠加加，由此此可分别别定义零零输入响响应和零零状态响响应。He(t)(0-)r(t)=He(t)+H(0-)零输入响应应:没有激激励作用用,只有起起始状态态所产生生的响应应。记为为，它满满足方程程及起始状态态的解。可可见它是是齐次解
13、解的一部部分。由于没有外外界激励励作用，因因而即Azikk可以由由确定。零状态响应应:起始状状态等于于零时,由系统统的外加加激励信信号所产产生的响响应，记记为。它它满足方方程及起始状态态其形式式为下题讲授时时为便于于学生接接受，可可先将去去掉使问问题简化化例给定方程程当，求=？解: 1.先求rzi(tt)因为零输入入响应，故故e(tt)=00,原方方程兑变变为其特征方程程为，a1=-11 ,aa2=-22，代入起始状状态得2再求将代入原方方程得设代入上方程程得：得:当时，满足足方程设特解 代代入上方方程得 代入得注意：为使使计算思思路清晰晰，可将将求解与与求初始始条件的的顺序对对调一下下。对响
14、应的另另一种区区分是瞬瞬间响应应和稳态态响应。零状态响应应的另一一种求法法：求的零状态响响应。解：由于零零状态，故故又由于解的的区间为为，故当当时，上上方程蜕蜕变为设代入方程程（2）得得求分析：含有有，含有，含有对方程（11）从积积分得将初始条件件代入（33）式：注：直接用用代入方方程此方方法是不不正确的的。瞬态响应：当时,响应趋趋于零的的那部分分响应分分量，稳态响应：保留下下来的那那部分响响应分量量。在建立了零零输入响响应和零零状态响响应的概概念后，进进一步说说明系统统的线性性和时不不变问题题。由下下图可知知，对外加加激励信信号e(t)和和它对应应的响应应的关系系而言，若若,则用用常系数数线
15、性微微分方程程描述的的系统是是线性和和时不变变的，若若起始状状态，由由于响应应中零输输入分量量的存在在，导致致系统响响应对外外激励ee(t)不满足足叠加性性和均匀匀性，也也不满足足时不变变性，因因而是非线性性时变系系统，同同时由于于零输入入分量的的存在，使使响应的的变化不不可能发发生在激激励之后后，因而而系统又又是非因因果的。He(t)x(0-)r(t)=He(t)+Hx(0-)然而，若把把起始状状态等效效成系统统的激励励，则对对零输入入响应而而言，也也满足叠叠加性和和均匀性性。（1） 响应的可分分解性：系统响响应可以以分解为为零输入入响应和和零状态态响应。（2） 零状态线性性：当起起始状态态
16、为零时时，系统统的零状状态响应应对于外外加激励励信号呈呈线性，称称为零状状态线性性。例1某LLTI系系统，其其初始状状态一定定，当激激励为时时，其全全响应为为；若初初始状态态不变，激激励为，其其全响应应，求初始化化状态不不变，激激励为时时系统的的全响应应。LTIe(t)x(0-)解：根据线性不不变的性性质例2某LLTI系系统，初初始状态态为，。已知知当，时，其零输输入响应应为当，时，其其零输入入响应为为当，时，而而输入为为e(tt)时，其其全响应应求当，时，输输入为22e(tt)时的的全响应应解： LTI e(t)X1(0-)，X2(0-)当，时，而而输入为为e(tt)时，其其全响应应根据线性
17、时时不变系系统的性性质（3） 零输入线性性：当外外加激励励为零时时，系统统的零输输入响应应，对于于各起始始状态呈呈线性关关系，称称为零输输入线性性。2.5 冲激响响应与阶阶跃响应应对于线性时时不变系系统，冲冲激响应应h(tt)的性性质，可可以表征征系统的因果性性和稳定定性，hh(t)的变换换域表示示更是分分析时不不变系统统的重要要手段，因因而冲激激响应hh(t)的分析析是系统统分析中中极为重重要的问问题。1. 冲激响应hh(t)定义：系统在在单位冲冲激信号号的作用用下，产产生的零零状态响响应。阶阶跃响应应g(tt)定义义：系统统在单位位阶跃信信号u（tt）作用用下，产产生的零零状态响响应。，若
18、将e(t)作作用下冲冲激响应应为h(t)的的线性时时不变系系统，则则系统的的响应。即：零状态态响应是是激励ee(t)与冲激激响应hh(t)的卷积积积分LTI对于LTII系统，它它的h(t)满满足下微微分方程程及起始状态态，由于于及其各各阶跃导导数在时时都等于于零，因因而在时时方程（11）的自自由项恒恒等于零零，因此此冲激响响应h(t)与与齐次解解的形式式相同，且且在nm时，h(t)可以表示为若，则表达达式还将将含有及及其相应应阶的导导数等，其其中，常常数，可可以通过过冲激函函数匹配配法，求求出值，从从而求得得各值。例：由例22-5求求得微分分方程表表示为，求h(tt)=?当故当时，方程程自由项
19、项为0，上上方程蜕蜕化为齐齐次方程程利用冲激函函数匹配配法求，和和，由于于方程右右端自由由项最高高阶导数数为，所所以设代入方程后后得：代入h(tt)得由分析可知知，h(t)含含有方法2：根根据方程程可设代入上方程程可得 具体解法用此方法必必须注意意，齐次次解后必必须带uu(t),否则则结果不不正确。方法3：利利用LTTI系统统的线性性微分性性，先求求的解h1(t)再利用求出出h(t)解：由当t0时时，上方方程为将h1(tt)代入入方程（22）得由对比系数数法得：方法4：分析：由于于方程等等号右端端含,故对上方程两两端同时时由进行行积分得得由于，由于，将初初始化条条件代入入中得：系统的阶跃跃响应
20、gg(t)微分方方程及起始状态态，可以以看出方方程右端端的自由由项含有有及其各各阶导数数，同时时还包含含阶跃函函数u(t)，因因而阶跃跃响应中中，除含含齐次解解形式之外外，还应应增加特特解项。例：求系统统的阶跃跃响应 g(tt)=?解：当e(t)=u(tt)时，则则i(tt)=gg(t),g(t)满满足的方方程为及。当，上方方程蜕化化成其解的形式式为设特解为ggp(t)=B,对代入入方程利用冲激函函数匹配配法求常常数A11，A2代入原方程程得代入方程得得当然g(tt)也可可由求得得。2.6 卷积卷积的定义义：任意意两个信信号f1(t)和f2(t)的卷积积定义为为设系统的激激励信号号为e(tt)
21、，冲激响响应为 h(tt)，则则系统的的零状态态响应为为卷积的几何何解释：卷积的运算算有5个个步骤。(1) 换自变量：将两信号号的时间间变量t换为t(2) 反折：把其其中的一一信号反反折(3) 移位：将反反折后的的信号做做位移，移移位量是是t,tt0时时，图形形右移；t00时图形形左移(4) 相乘：两信信号重叠叠部分相相乘(5) 积分：完成成相乘后后图形的的积分计算积分的的方法有有1.公公式法22.图形形法例1用公式式法求以以下两个个函数的的卷积t例2：用图图形法求求以下两两个函数数的卷积积t2211t22t22t11t11t-t11tt（1）当t0时，与无交叠，故（2）当0t1时，（3）当1
22、t2时，（4）当2t3时， t2123tt2.7 卷积的的性质卷积运算具具有某些些特殊性性质，这这些性质质在信号号与系统统分析中中有重要要作用，利用这这些性质质可以使使卷积运运算简化化。一、卷积代代数1、交换律律：h(t)e(t)2、分配律律：h(t)e(t)+3、结合律律：结合律用于于系统分分析，相相当于串串联系统统的总的的冲激响响应，系系统组成成串联系系统的各各子系统统冲激响响应的卷卷积。h1(t)h2(t)）4、卷积的的微分与与积分即两函数卷卷积后的的导数，等等于其中中一函数数之导数数与另一一函数之之卷积证明：5、与冲激激函数或或阶跃函函数的卷卷积。 函数与与单位冲冲激函数数卷积结结果仍
23、是是本身。注意与的区区别与信号相卷卷积的结结果，相相当于把把函数本本身延迟迟利用卷积的的微分，积积分特性性不难得得到下结结论式中表示求求导或取取重积分分的次数数，取正正整数时时表示导导数阶次次，取负负整数时时为重积积分的次次数。2.8 用用算子符符号表示示微分方方程在连续系统统时域分分析法中中，求解解的是一一个高阶阶微分方方程或一一组联系系微分方方程，如如果把经经常出现现的微分分，积分分用下述述算子符符号表示示 ， 则 （11）可表示为：或简化化为： （2）若令 则（2）式式可化为为： （33）这是高阶微微分方程程的算子子符号表表示。二、算子符符号的基基本规则则。算子多项式式仅是一一种运算算符
24、号，代代数方程程中的运运算规则则，有的的适用于于算子多多项式，有有的不适适用。1.算子多多项式可可以进行行因式分分解，但但不能进进行因子子相消。 （左左右算子子符号不不能消去去）推广到一般般情况：算子符符号多项项式的等等式两端端公共因因子不能能随意消消去。2.算子的的乘除顺顺序不可可随意颠颠倒。即 理由是 而 三、用算子子符号建建立微分分方程。例：用算子子符号法法建立右右图的微微分方程程。解：对电感感：对电容：其中，是算算子符表表示的等等效电感感感抗值值和等效效电容的的容抗值值，故上上电路图图用算子子符号表表示的图图为右图图，解得：故微分方程程为四、传输算算子概念念。用输入输输出法描描述系统统
25、时，其其算子表表示式为为 ，为传传输算子子一些有用的的系统特特性可以以通过对对分析而而得出。算子符号表表示，提提供了简简单易行行的辅助助分析手手段，但但本质上上与经典典分析系系统相同同，形式式上又与与后面的的Lapplacce变换换类似。2.9 以以“分配函函数”的概念念认识冲冲激函数数1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.中的的是普通通函数,若有个互不不相等的的实根则则有例：化简 有两个实实根，11.12.13.14.15.16.若，则有 17.本章共8学学时，其其中，讲讲授6学学时，习习题课11学时，讨讨论课11学时。上课前应复复习“电路分分析”知识。复习“高等等数学”微分方方程的解解法相关关知识。讲解本部分分知识不不应快，应应先易后后难，循循序渐进进。要对比“电电路分析析”的相关关讲解，可可采用对对比的方方法。要强调系统统的线性性。作业2-4、22-5、22-6当然为易于于学生接接受，可可让上方方程自由由项为ee(t)=e(t)把我发表的的相关学学术论文文介绍给给学生，开开阔学生生的视野野。作业2-9、22-122、2-132-19、22-200讲解本部分分内容时时，要结结合CAAI课件件，使同同学真正正掌握卷卷积的实实质。建议学生研研究本章章的“精品题题库”。34