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1、9 （2004年教案） 辨识与自适应 第五章第五章 时间序列分析与建模简介 时间序列建模（ Modelling via time series ）。时间序列分析与建模是数理统计的重要分支，其主要学术贡献人是Box 和 Jenkins。本章扼要介绍吴宪民和 Pandit的工作，仅要求一般了解当前时间序列分析与建模的一些主要结果。参考书：“时间序列及系统分析与应用（美）吴宪民，机械工业出版社（1988）TP13/66。引言根据对系统统观测得得出的按按照时间间顺序排排列的数数据，通通过曲线线拟合和和参数估估计或者者谱分析析，建立立数学模模型的理理论与方方法，理理论基础础是数理理统计。有有时域和频域两
2、类类建模方方法，这这里概括括介绍时时域方法法，即基基于曲线线拟合与与参数估估计（如如最小二二乘法）的的方法。常常用于经经济系统统建模（如如市场预预测、经经济规划划）、气气象与水水文预报报、环境境与地震震信号处处理和天天文等学学科的信信号处理理等等。51 ARMMA模型型分析一、模型类类 把把具有相相关性的的观测数数据组成成的时间间序列 xkk 视为以以正态同同分布白白噪声序序列 ak 为输入入的动态态系统的的输出。用用差分模模型 AARMAA(n,m) 为 F(z-1) xxk= q(zz-1) aak式（55-1-1）其中：F (z-1)= 1-f1 z-1-fn z-nq (z-11)=
3、1-q1 z-1-qm z-m离散传函式（5-11-2） 为与参考书书符号一一致，以以下用BB表示时时间后移移算子即： BB xkk= xxk-11 B即z-1，B2即z-2F(B)=00的根为为系统的的极点，若若全部落落在单位位园内则则系统稳稳定；q(B)=0的根根为系统统的零点点，若全全部在单单位园内内则系统统逆稳定定。二、关于格格林函数数和时间间序列的的稳定性性1格林函函数Gi 格格林函数数Gi用以把把xt 表示示成at及at既往值值的线性性组合。式（5-11-3）GI可以由由下式用用长除法法求得：例1ARR(1): xtt - f1x t-1 = a t即：Gj = f1j （显显示）
4、例2ARRMA(1,11): xxt - f1x t-1 = a t - q1a t G00= 11 ; Gjj =(f1- q1)f1j-11 ,jj1 （显显示）例3ARRMA(2,11) (1- f1B -f2B2)x tt = (a t - q1 B )a t得出：G00= 11 G11 =f0G0-q1 G22 =f1G1+f2G0 . . . . . Gjj =f1Gj-1+f2Gj-22（j 2）Gj为满足足方程 (1- f1B -f2B2) GGj= 00 的解解，称为为隐式表表达式。该该结论可可推广到到ARMMA(nn,m) 模型型。2格林函函数与系系统稳定定性当j 时：Gj
5、 有界界，则系系统稳定定；Gj 衰减减，则系系统渐进进稳定；Gj发散，则则系统不不稳定。例： ARR(1):Gj = f1j 当 f 1时时，Gj发散，不不稳定。例： ARRMA(2,11)l1和l2和为为特征方方程的根根，有l11 + l2 = f1和 l1l2 = f2 当 l1 1 且 l2 11 时，AARMAA(2,1) 渐进稳稳定；当当 l1= 11 且 l2 11 或l1 11 且 l2= 11时，ARRMA(2,11) 稳稳定； 当 l1= l2且 或或l1 = l2（两根根同号）时时，不稳稳定。由由此得出出ARMMA(22, ) 的稳稳定域如如下图所所示。ARMA(2,mm)
6、 的的稳定域域三、逆函数数与逆稳稳定性逆函数Ijj 表示示xt的既往往值对当当前值的的影响，与与格林函函数Gj表示既既往的aat值对xt的影响响正相反反。定义：即：或：at = ( 1- I1B-I2B2-) xt at格格林函数数 xxtxt 逆函函数 at系统逆稳定定的条件件是 q(B) 的根 n 1，即即意味着着过时愈愈久的xxt的老数数据对xxt的现在在值影响响愈大，这这显然是是不合理理的。5. 自协协方差函函数与偏偏自相关关函数及及其截尾尾性(略略)52时时间序列列建模及及其应用用一、关于吴吴宪民 andd Paandiit的建建模策略略简介ARMA(n,mm)模型型,当nn 和m
7、设定后后,可由由非线心心、非线线性最小小二乘法法估计参参数,并并计算出出残差平平方总和和(R.S.SS.)。设设定不同同的n和m值，用用F检验比比较R.S.SS.，确确定合理理的n 、m值。穷举法（最最笨的建建模策略略）：高高阶模型型要做很很多次搜搜索，计计算量大大。吴宪民 Pannditt 建模模策略目的是减少少建模的的搜索次次数。策策略可概概括为：10. 按按照ARRMA(2n,2n-1) 拟拟合模型型，即当当nn+1时，模模型增加加2阶，理理由是过过程的基基点往往往是成对对的。20. 检查AARMAA(2nn,2nn-1) 模模型的高高阶项参参数f2n和q2n-1 的的绝对值值是否很很小
8、，它它们的置置信区间间是否包包含零在在内？若若是，则则进一步步拟合下下降一阶阶后的模模型ARRMA(2n-1,2nn-2)，并并用F检检验检查查。30. 探索进进一步降降低MAA的阶次次的可能能性，即即设ARRMA(2n-1,m) ，mm2n 1 ，用用F检验验确定。补充：关于于参数估估计误差差的置信信区间假定参数估估计q符合合正态分分布N（0，s2）则估估计值的的置信区区间(995%置置信度)为： qj 11.966sj参数q的估计计误差协协方差阵阵为：qj的置信区区间为：j = 11, 22, 二、时间序序列建模模应用举举例例1. 太阳黑子子年均数数,由117499-19924年年共计11
9、76个个观测数数据。拟拟合ARRMA（22，1）模模型，FF检验AARMAA（4，33）较前前者没有有明显改改善。AARMAA（2，11）模型型估计结结果为： 参数估估计 995%置置信区间间f1 = 11.422 ( 1.226 1.58 )f2 = - 0.72 ( - 0.886 - 0.58 )q1= 0.15 ( - 0.07 00.377 )因为q1的值值较小，而而且置信信区间包包括零在在内，所所以进一一步实验验降为AAR（22）模型型。估计计结果： 参数估估计 995%置置信区间间f1 = 11.433 ( 1.223 1.45 )f2 = - 0.65 ( - 0.76 - 0
10、.54 )F检验表明明ARMMA（22，1）模模型较之之AR（22）模型型并没有有明显改改善，而而且f2 的置信信区间不不包含零零，所以以AR（22）模型型合适。例2IBBM股票票每天值值（611.5.162.11.2）按按照吴宪宪民Pannditt建模策策略，得得出ARRMA（66，5）模模型。例3航空空公司月月销售额额（499.1 660.112 ）建建模结果果- AARMAA(133,133)一、 趋势项和季季节性1 恒定趋势即总的趋势势保持在在同一水水平，均均值0。引引入算子子，定义义为： =（11-B） ， 即 xt = xxt - xt-11 可以消消除恒定定趋势。例例如IBBM股
11、票票模型用用 xt =（11-q1B）aat 更更为合适适。有恒恒定趋势势的模型型有一个个极点的的绝对值值接近为为1。2 线性趋势总趋势按照照线性规规律增减减，即模模型有两两个极点点的绝对对值接近近为1的的情况。用用算子2 = (1B )2可以消除线线性趋势势，例如如：2 xt =（11-q1B）aat3. 多项式趋趋势有多个极点点的绝对对值接近近于1 , 引入算算子3 = (1B )3例如：3 xt =（11-q1B-q2 B2）at4. 季节节性有的时间序序列按照照一定的的周期波波动,例例如月平平均温度度是按照照12个个月的周周期波动动的，每每小时用用电量按按照244小时的的周期变变化，称为为季节性性。为消消除季节节性的影影响，引引入算子子：s =1Bs例如，航空空公司的的模型AAR（113，113）模模型中的的参数f11 f122 的数数值都很很小，而而接近于于零，用用周期为为12的的模型为为合适。由由于该时时间序列列不仅有有周期为为12的的季节性性，而且且还有恒恒定趋势势，所以以用以下下模型最最合适：12=(11B)(1B12) xt = (1-q1B)(1-q12 B12)at