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1、第二章有有理数222.11 正数数和负数数31. 相相反意义义的量332. 正正数与负数数43. 有有理数662.22 数轴轴111. 数数轴1112.在数数轴上比比较数的的大小1132.33 相反反数1882.44 绝对对值2222.55 有理理数的大大小比较较272.66 有理理数的加加法3221. 有有理数加加法法则则322. 有有理数加加法的运运算律3372.77 有理理数的减减法4222.88 有理理数的加加减混合合运算4481. 加加减法统统一成加加法4882. 加加法运算算律在加加减混合合运算中中的应用用50阅读材料料中中国人最最早使用用负数5532.99 有理理数的乘乘法555
2、1.有理理数的乘乘法法则则552有理理数乘法法的运算算律5882.110 有有理数的的除法6662.111有理数数的乘方方71阅读读材料 10000和和32.112 科科学计数数法755阅读材料料光光年和纳纳米7772.113 有有理数的的混合运运算7992.114 近近似数和和有效数数字8442.115 用用计算器器进行数数的简单单运算990阅读读材料 从结结绳计数数到计算算器小结944复习题996第二章 有理数数在上面的的天气预预报电视视屏幕上上，我们们看到，这这一天上上海的最最低温度度是-55，读作作负5，表示示零下55。这里里，出现现了一种种新数负数数. 我们将会会看到，除除了表示示温
3、度以以外，还还有许多多量需要要用负数数来表示示.有了了负数，数数的家族族引进了了新的成成员，将将变得更更加绚丽丽多彩，更更加便于于应用.本章将引引进负数数，并研研究有理理数的大大小比较较和运算算.2.11 正数数和负数数回忆我们已经经学过哪哪些数？它们是是怎样产产生和发发展起来来的？我们知道道，为了了表示物物体的个个数或事事物的顺顺序，产产生了数数1，22，3，.; 为了了表示“没有”，引入入了数00；有时时分配、测测量的结结果不是是整数，需需要用分分数(小小数)表表示. 总之，数数是为了了满足生生产和生生活的需需要而产产生发展展起来的的.1. 相相反意义义的量在日常生生活中，常常会遇到到这样
4、的的一些量量：例1 汽汽车向东东行驶33公里和和向西行行驶2公公里；例2 温温度是零零上100和零下下5；例3 收收入5000元和和支出2237元元; 例4 水水位升高高5.55米和下下降3.6米等等等.例5买进进1000辆自行行车和卖卖出200辆自行行车。这里出现现的每一一对量，虽虽然有着着不同的的具体内内容，但但有着一一个共同同特点，它它们都是是具有相相反意义义的量，向向东和向向西、零零上和零零下；收收入和支支出;升升高和下下降都具具有相反反的意义义.这些例子子中出现现的每一一对量，有有什么共共同特点点?你能再举举出几个个日常生生活中的的具有相相反意义义的量吗吗?2. 正正数与负负数只用原
5、来来的那些些数很难难区分量量的相反反意义. 例如如,零上上5用5表表示, 那么零零下5就不能能仍用同同一个数数5来表表示.在天气预预报的电电视屏幕幕上我们们发现，零零下5可以用用-5来表示示. 一一般地，对对于具有有相反意意义的量量，我们们可把其其中一种种意义的的量规定定为正的的，用过过去学过过的数表表示，把把与它意意义相反反的量规规定为负负的，用用过去学学过的数数(零除除外)前前面放上上一个“-”(读作作负)号号来表示示.就拿温度度为例，通通常规定定零上为为正，于于是零下下为负，零零上100就用110表示，零零下5用 -5来表示示.在例1中中，如果果规定向向东为正正，那么么向西为为负.汽汽车
6、向东东行驶33公里记记作3公公里，向向西2公公里应记记作-22公里.在例3中中，如果果规定收收入为正正，收入入5000元记作作5000元，支支出2337元应应记作什什么?在例4和和例5中中，我们们如何表表示这些些具有相相反意义义的量呢呢？为了表示示具有相相反意义义的量, 我们们引进了了象-55,-22,-2237,-3.6这样样的数, 这是是一种新新数,叫叫做负数数(neegattivee nuumbeer). 过去去学过的的那些数数(零除除外),如100,3,5000,5.5等,叫做正正数(pposiitivve nnumbber). 正正数前面面有时也也可放上上一个+号号, 如如5可以以写
7、成+5, +5和和5是一一样的. 注意 0既不不是正数数,也不不是负数数.练习1. 将你所举举出的具具有相反反意义的的量用正正数或负负数来表表示. 2.在中中国地形形图上，在在珠穆朗朗 玛峰峰和吐鲁鲁番盆地地处都标标有表明明它们的的高度的的数，如如图所示示.这个个数通常常称为海海拔高度度，它是是相对于于海平面面来说的的.请说说出图中中所示的的数88844和和-1555表示示的实际际意义。海海平面的的高度用用什么数数表示? 3.下列列各数中中,哪些些是正数数?哪些些是负数数?+6；-21；54；0；-3.14；0.0001；-99994.“一一个数，如如果不是是正数，必必定就是是负数.”这句话话
8、对不对对?为什什么?3. 有有理数引进了负负数以后后，我们们学过的的数就可可以分为为以下几几类： 正整数，如如1，22，3，.;零: 00;负整数, 如-1,-2,-3,.;正分数, 如,4.55(即);负分数, 如-,-0.3(即即),.正整数、零零和负整整数统称称整数(inttegeers)，正分分数和负负分数统统称分数数(frracttionns).整数和分分数统称称有理数数(raatioonall nuumbeers).我们可以以作出如如下的分分类表：把一些数数放在一一起，就就组成一一个数的的集合，简简称数集集(seet oof nnumbberss).所所有的有有理数组组成的 数集叫
9、叫做有理理数集.类似地地，所有有的整数数组成的的数集叫叫做整数数集，所所有的正正数组成成的数集集叫做正正数集，所所有的负负数组成成的数集集叫做负负数集，如如此等等等.例6 把把下列各各数填入入表示它它所在的的数集的的圈子里里： -18, , 3.114166, 00, 220011, , -00.14428557, 95%正整数 负整整数 整数集集 有理数数集解, 3,20001,995% -118, , -0.11428857正整数 负整整数18，00，20001 -188, , 3.14116, 0, 20001, , -0.11428857, 955% 整数集 有有理数集集练习1. 请请
10、说出两两个正整整数, 两个负负整数, 两个个正分数数,两个个负分数数.它们们都是有有理数吗吗?2. 有有理数集集中有没没有这样样的数,它既不不是正数数,也不不是负数数? 如如有,这这样的数数有几个个?3. 下下面两个个圆圈分分别表示示正数集集合和整整数集合合,请在在这两个个圆圈内内填入六六个数,其中有有三个数数既在正正数集合合内, 又在整整数集合合内.这这三个数数应填在在哪里? 你能能说出这这两个圆圆圈的重重叠部分分表示什什么数的的集合吗吗?正数集 整数集集习题2.11. 下下列各数数,哪些些是整数数,哪些些是分数数? 哪哪些是正正数,哪哪些是负负数?1， -0.110， ，-7789， 32
11、55， 00，-220， 10.10， 10000.112.把下下列各数数填入表表示它所所在的数数集的圈圈子里：,0.6618,-3.14,2600,-220011,-5%整数集 分数集集负数集 有理理数集3.下面面的大括括号表示示一些数数的集合合,把第第1、22两题中中的各数数填入相相应的大大括号里里:正整数集集: 负整数集集: 正分数集集: 负分数集集: 4观察察下面依依次排列列的一列列数，它它的排列列有什么么规律?请接着着写出后后面的三三个数，你你能说出出第1000个数数、第220000个数、第第20001个数数是什么么吗?(1)11，-11，1，-1，11，-11，1，-1， ， ，
12、，.；(2)11，-22，3，-4，55，-66，7，-8， ， ， ，.；(3)-1,-, , , ,.2.22 数轴轴1. 数数轴我们在小小学学习习数学时时，就能能用直线线上依次次排列的的点来表表示自然然数，它它帮助我我们认识识了自然然数的大大小关系系.如图2.2.11，温度度计上有有刻度，可可以方便便地读出出温度的的度数，并并且可以以区分出出是零上上还是零零下。与温度计计相仿，我我们可以以在一条条直线上上规定一一个正方方向，就就可以用用这条直直线上的的点表示示正数、零零和负数数.(图2-2-11)体做做法如下下：画一条直直线(通通常画成成水平位位置)，在在这条直直线上任任取一点点作为原原
13、点，用用这点表表示.规定直直线 图图2-22-1上上从原点点向右为为正方向向,画上上箭头,那么相相反方向向为负方方向. 再选取取适当的的长度作作为单位位长度，从从原点向向右每隔隔一个单单位长度度取一点点，依次次标上11，2，33，；从原原点向左左，每隔隔一个单单位长度度取一点点，依次次标上-1，-2，-3，(图22-2-2). 图2-2-22概括象这样规规定了原原点、正正方向和和单位长长度的直直线叫做做数轴 .在数轴上上画出表表示有理理数的点点，可以以先由这这个数的的符号确确定它在在数轴上上原点的的哪一个个方向，再再在相应应的方向向上确定定它与原原点相距距几个单单位长度度.例1. 画出数数轴，
14、并并在数轴轴上画出出表示下下列各数数的点：4，-22，-44.5， ，0 .解 如图图2-22-3所所示图2-22-3练习 1.下下列各图图表示数数轴是否否正确?为什么么?2.指出出数轴上上点A、BB、C、DD分别表表示什么么数. 3.画画出数轴轴，并在在数轴上上画出表表示下列列各数的的点：-1.88,0,-3.5,再按数轴轴上从左左到右的的顺序，将将这些数数重新排排成一行行.2.在数数轴上比比较数的的大小在小学里里，我们们已经学学会了比比较两个个正数的的大小，那那么，引引进负数数以后，怎怎样比较较任意两两个有利利数的大大小呢？例如，11与-22那个大大？-11与0哪哪个大？-3-4哪个个大？
15、探索（1） 任意写出出两个正正数，在在数周上上画出表表示它们们的点，较较大的数数与较小小的数的的对应点点的位置置有什么么关系？（2） 1和-2那个温温度高？-1与0哪个温温度高？这个关关系在温温度计上上表现为为怎样的的情况？把温度计计横过来来放，就就像一条条数轴，能能否从中中发现在在数轴上上怎样比比较两个个有理数数的大小小？概括我们发现现，在数数轴上表表示的两两个数，右右边的数数总比左左边的数数大.根据有理理数在数数轴上表表示的相相对位置置，在应应用中我我们也常常说：正正数都大大于零，负负数都小小于零，正正数大于于负数.例2 将将有理数数3，00，-4按从从小到大大顺序排排列，用用“”号连接接
16、起来.解 正数数3，由由正、负负数大小小比较法法则，得得-40033 .例3 比比较下列列各数的的大小： -1.3，00.3，-3，-5 .解 将这这些数分分别在数数轴上表表示出来来(图22-2-4)： 图2-2-44所以 -5-3-1.330.3练习1.判断断下列各各式是否否正确: 2.9-3.11； 0-144； -110-9； -55.4-4.52.用“”号或“”号填空空： 3.62.5； -330； -116-11.6； +11-100； -22.1 +2.1； -99 -77习题2.21. 指指出数轴轴上A、BB、C、DD各点所所表示的的数：2. 分分别画出出数轴，并并在数轴轴上画出
17、出表示下下列各数数的点： -22.1，-3，00.5，； -550，2250，00，-4400 .3. 指指出在数数轴上表表示下列列各数的的点分别别位于原原点的哪哪边，与与原点距距离多少少个单位位长度： -3，44.2，-1， .4. 如如下图，一一个点从从数轴上上原点开开始，先先向右移移动3个个单位长长度，再再向左移移动5个个单位长长度. 可以看看出，终终点表示示数-22.已知A、 B是数数轴上的的点.(1)如如果点AA表示 数-33，将AA向右移移动7个个单位长长度，那那么终点点表示数数；(2)如如果点AA表示数数3， 将A向向左移动动7个单单位长度度，再向向右移动动5个单单位长度度，那么
18、么终点表表示数；(3)如如果将点点B向右右移动33个单位位长度，再再向左移移动5个个单位长长度，终终点表示示的数是是0，那那么点BB所表示示的数是是.5. 比比较下列列每对数数的大小小： (1)-8，-6； (2)-5, 0.11； (3,0； (4)-4.2；-5.11； (5), ； (66),00 ； 6. 画画出数轴轴，把下下列各组组数分别别在数轴轴上表示示出来，并并按从小小到大顺顺序排列列，用“0.001，所以 -1 -0.01 .(2) 化简 -|-2|=-2，因为负数数小于00，所以-|-2| 0 . (3) 这是两两个负数数比较大大小，因为|-0.33|=00.3，且 0.3
19、， 所以(4) 分别化化简两数数，得因为正数数大于负负数，所所以 练习1. 用用“”填 空空：(1)因因为,所以； (2)因为 |-110|-1000| ；所以以 -110-1100 .2. 判判断下列列各式是是否正确确：(1) (2) (3) (4) 3. 比比较下列列各对数数的大小小；(1) 与(2) 与-0.61884. 回回答下列列问题：(1) 大于-4的负负整数有有几个?(2) 小于44的正整整数有几几个?(3) 大于-4且小小于4的的整数有有几个?习题 22.51. 比比较下列列每对数数的大小小：(1) 与;(2)-9.11与-99.0999； (3)-8与 |-88| ； (4)
20、-|-33.2|与-(+3.2).2. 将将有理数数0，-3.114， ，2.7，-4，00.144按 从从小到大大的顺序序排列，用用“”号连接接起来.3. 写写出绝对对值小于于5的所所有整数数，并在在数轴上上表示出出来.4. 回回答下列列问题：(1) 有没有有最小的的正数?有没有有最大的的负数?为什么么?(2) 有没有有绝对值值最小的的有理数数?把它它写出来来.2.66 有理理数的加加法1. 有有理数加加法法则则问题小明在一一条东西西向的跑跑道，先先走了220米，又又走了330米，能能否确定定他现在在位于原原来位置置的哪个个方向，相相距多少少米?我们知道道，求两两次运动动的总结结果，可可以用
21、加加法来解解答.可可是上述述问题不不能得到到确定答答案，因因为小明明最后的的位置与与行走方方向有关关.试验我们必须须把问题题说得明明确些，并并规定向向东为正正，向西西为负.(1)若若两次都都是向东东走，很很明显，一一共向东东走 了了50米米，写成成算式就就是(+200)+(+300)=+50，即这位同同学位于于原来位位置的东东方500米处.这一运算算在数轴轴上表示示如图22-6-1.图2-66-1(2)若若两次都都是向西西走，则则他现在在位于原原来位 置的西西方500米处，写写成算式式就是(-200)+(-300)=-50 . (3)若第一一次向东东走200米，第第二次向向西走330米，我我们
22、先在在数轴上上表示如如图2-6-22.图2-66-2写成算式式是(+20)+(-30)=-110，即这位同同学位于于原来位位置的西西方100米处. (4)若第一一次向西西走200米，第第二次向向东走330米，写写成算式式是(-200)+(+300)=( ).即这位同同学位于于原来位位置的( )方方( )米处.后两种情情形中两两个加数数符号不不同(通通常可称称异号)，所得得和的符符号似乎乎不能确确定，让让我们再再试几次次(下式式中的加加数不仿仿仍可看看作运动动的方向向和路程程)：(+4)+(-3)=( )；(+3)+(-10)=( )；(-5)+(+7)=( )；(-6)+ 22 = ( ).再
23、看两种种特殊情情形： (5)第一次次向西走走了300米，第第二次向向东走了了30米米.写成成算式是是(-300)+(+300)=( ). (6)第一次次向西走走了300米，第第二次没没走.写写成算式式是(-300)+ 0 =( ).探索从上述（11）-（66）中所所写出的的算式，你你能总结结出一些些规律？概括综合以上上情形，我我们得到到有理数数的加法法法则：1. 同同号两数数相加，取取相同的的符号，并并把绝对对值相加加；2. 绝绝对值不不等的异异号两数数相加，取取绝对值值较大加加数的符符号，并并用较大大的绝对对值减去去较小的的绝对值值；3. 互互为相反反数的两两个数相相加得00；4. 一一个数
24、同同0相加加，仍得得这个数数.注意一个有理理数由符符号和绝绝对值两两部分组组成，所所以进行行加法运运算时，必必须分别别确定和和的符号号和绝对对值.这这与小学学阶段学学习加法法运算不不同.例1 计计算：(1) (+2)+(-11);(2) (+200)+(+122);(3) ;(4) (-3.4)+4.33解(1) (+2)+(-11)=-(11-2)=-9;(2) (+200)+(+122)=+(200+122)=+32=32;(3) ;(4) (-3.4)+4.33=+(4.33-3.4)=0.99练习1. 填填 表：2. 计计算：(1) 10+(-4);(2) (+9)+7;(3) (-1
25、55)+(-322);(4) (-9)+0;(5) 100+(-1199);(6) (-0.5)+4.44;(7) +(1.25);(8)3. 填填 空：(1)( )+(-33)=-8； (2)( )+(-33)= 8； (3)(-3)+( )=-1；(4)(-3)+( )= 0 .4.两个个有理数数相加，和和是否一一定大于于每个加加数?2. 有有理数加加法的运运算律在小学里里我们知知道，数数的加法法满足交交换率，例例如有5+3.5=33.5+5还满足结结合律，例例如有（5+33.5）+2.55=5+（3.5+22.5）引进了负负数以后后，这些些运算率率是否还还成立？也就是是说，上上面两个个等
26、式中中，将55、3.5和22.5换换成任意意的有理理数，是是否依然然成立？ 探索（1） 任意选择择两个有有理数（至至少有一一个是负负数），分分别填入入下列和内，并并比较两两个运算算结果： + 和 + （2）任任意选择择三个有有理数（至至少有一一个是负负数），分分别填入入下列、和内，并并比较两两个运算算结果： ( + )+ 和 +( + ).概括有理数的的加法仍仍满足加加法交换换率和结结合律。加法交换换率：两两个数相相加，交交换加数数的位置置，和不不变。a+b=b+aa加法结合合律:三个数数相加，先先把前两两个数相相加，或或者先把把后两个个数相加加，和不不变.( a + bb )+ c = aa
27、 + ( bb + c )这样，多多个有理理数相加加，可以以任意交交换加数数的位置置，也可可先把其其中的几几个数相相加，使使计算简简化.例2 计计算：(1) (+226)+(-118)+5+(-166)(2) 解 (11)(+26)+(-18)+5+(-116) =(226+55)+(-118)+(-116) = 331+(-344)= -(334-331)= - 3 .(2) =例3 110筐苹苹果，以以每筐330千克克为准，超超过的千千克数记记作正数数，不足足的千克克数记作作负数，记记录如下下：2，-44，2.5，33，-00.5，11.5，33，-11，0，-2.55.求这100 筐苹苹
28、果的总总重量.解 2+(-44)+22.5+3+(-0.5)+1.55+3+(-11)+00+(-2.55) = (2+33+3)+(-4)+2.5+(-2.5)+(-0.5)+(-11)+11.5 =8+(-44)= 4 . 3010 + 44 = 3044 .答：100筐苹果果总重量量是3004千克克.练习1. 计计算：(1) (-7)+(+10)+(-11)+(-2);(2) 2+(-3)+(+44)+(-5)+6; (3)2. 某某天气温温从早晨晨-3到中午午升高了了5，到晚晚上降低低了3，到午午夜又降降低了44.求午午夜时的的温度.习题 22.61. 计计算：(1)(-122)+(+
29、3)； (2)(+155)+(-4)；(3)(-166)+(-8)； (4)(+233)+(+244)；(5)(-1002)+1322； (6)(-322)+(-111)；(7)(-355)+00； (8)778+(-855).2. 计计算：(1) (-0.9)+(+11.5);(2) (+6.5)+3.77;(3) 1.5+(-88.5);(4) (-4.1)+(-11.9);(5) ;(6)3. 计计算：(1) (+144)+(-4)+(-2)+(+226)+(-33);(2) (-833)+(+266)+(-411)+(+155);(3) (-1.8)+(+00.7)+(-0.99)+1
30、1.3+(-00.2);(4) .4. 列列式并计计算：(1)求求+1.2的相相反数与与-3.1的绝绝对值的的和；(2)与与的和的的相反数数是多少少? 5. 利利用有理理数加法法解下列列各题：(1) 存折中中原有5550元元，取出出2600元，又又存入1150元元，现在在存折中中还有多多少钱?(2) 潜水艇艇原停于于海面下下8000米处，先先上浮1150米米，又下下潜2000米.这时潜潜水艇在在海面下下多少米米处?(3) 仓库内内原存某某种原料料35000千克克，一周周内存入入和领出出情况如如如下(存入为为正，单单位千克克)： 15000，-3000，-6650，6600，-18000，-25
31、00，-2200.问第七七天末仓仓库内还还存这种种原料多多少千克克?(4) 某公路路养护小小组乘车车沿东西西向公路路巡视维维护.某某天早晨晨从A地地出发，晚晚上到达达B地.约定向向东为正正方向，行行走记录录如下(单位千千米)：+18，-9，+7，-14，-6，+13，-6，-8.问B地在在A地何何方，相相距多少少千米?若汽车车行驶每每千米耗耗油a升升，求该该天自出出发至回回到A地地共耗油油多少?2.77 有理理数的减减法做一做珠穆朗玛玛峰和吐吐鲁番盆盆地的海海拔高度度分别是是88444米和和-1555米，问问珠穆朗朗玛峰比比吐鲁番番盆地高高多少？这一问题题通常可可列出算算式88444-（-15
32、55）那么，怎怎样进行行有理数数的减法法呢？我我们不妨妨先看一一个简单单的问题题：计算 (-8)-(-3)根据减法法的意义义，就是是求一个个数?使使( ? )+(-3)=-88.根据有理理数加法法运算，有有(-5)+(-3)=-8，所以 (-8)-(-3)=-5. 试一试试填空：(-8)+( )=-5，容易得到到(-88)+(+3)=-55. 比较、两式，我我们发现现：-88“减去-3”与“加上+3”结果是是相等的的.即(-8)-(-3)=(-88)+(+3)概括从上述结结果我们们可以发发现：减去一个个数，等等于加上上这个数数的相反反数.这就是 有理数数减法法法则。例1 计计算：(1)(-322)-(+5)； (2)77.3-(-66.8)；(3)(-2)-(-25)；