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1、 2021高中数学复习讲义 第一章 集合与简易逻辑 第1课时 集合的概念及运算【考点导读】1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类
2、讨论思想 【根底练习】1.集合(x,y)0x2,0y2,x,yZ用列举法表示(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)2.设集合A=xx=2k-1,kZ，B=xx=2k,kZ，那么AB=0,2 3.集合M=0,1,2，N=xx=2a,aM，那么集合MN=_4.设全集I=1,3,5,7,9，集合A=1,a-5,9，CIA=5,7，那么实数a的值为【范例解析】例.R为实数集，集合A=xx2-3x+20.假设BCRA=R，BCRA=x0x1或2x3，求集合B.分析：先化简集合A，由BCRA=R可以得出A与B的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题.解：1QA=xx
3、2，CRA=xx2.又BCRA=R，ACRA=R， 可得AB. 而BCRA=x0x1或2x3， x0x1或2x3B.借助数轴可得B=Ax0x1或2x3=x0x3. 1 【反应演练】1设集合A=1,2，B=1,2,3，C=2,3,4，那么(AB)UC=_2设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=a+b|aP,bQ,假设P=0,2,5,Q=1,2,6，那么P+Q中元素的个数是_8_个3设集合P=xx2-x-60，Q=x2axa+3.1假设PQ=P，求实数a的取值范围；2假设PQ=，求实数a的取值范围；3假设PQ=x0x3，求实数a的值.解：1由题意知：P=x-2xa+3，解得a3当Q时，得-2
4、2aa+33，解得-1aa+3，解得a3；2aa+3,3当Q时，得，解得a-5或a3 2a+3-2或2a33综上，a(-,-5,+) 23由PQ=x0x6其中，不是命题的有_2.一般地假设用p和q分别表示原命题的条件和结论，那么它的逆命题可表示为假设q那么p ，否，逆否命题可表示为假设q那么p；原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题【范例解析】例1. 写出以下命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假.1 平行四边形的对边相等；2 菱形的对角线互相垂直平分；3 设a,b,c,dR，假设a=b,c=d，那么a+c=b+d.分析：先将原命题改为“假设p那么q，在写出其它三种命题.解
5、：1原命题：假设一个四边形是平行四边形，那么其两组对边相等；真命题；逆命题：假设一个四边形的两组对边相等，那么这个四边形是平行四边形；真命题；否命题：假设一个四边形不是平行四边形，那么其两组对边至少一组不相等；真命题；逆否命题：假设一个四边形的两组对边至少一组不相等，那么这个四边形不是平行四边形；真命题.2原命题：假设一个四边形是菱形，那么其对角线互相垂直平分；真命题；逆命题：假设一个四边形的对角线互相垂直平分，那么这个四边形是菱形；真命题；否命题：假设一个四边形不是菱形，那么其对角线不垂直或不平分；真命题；逆否命题：假设一个四边形的对角线不垂直或不平分，那么这个四边形不是菱形；真命题.3原命
6、题：设a,b,c,dR，假设a=b,c=d，那么a+c=b+d；真命题；逆命题：设a,b,c,dR，假设a+c=b+d，那么a=b,c=d；假命题；否命题：设a,b,c,dR，假设ab或cd，那么a+cb+d；假命题；逆否命题：设a,b,c,dR，假设a+cb+d，那么ab或cd；真命题. 点评：原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“假设p那么q的形式，找出其条件p和结论q，再根据四种命题的定义写出其它命题；对于含大前提的命题，在改写命题时大前提不要动；在写命题p的否认即p时，要注意对p中的关键词的否认，如“且的否认为“或，“或的否认为“且，“都是的否认为“不都是等.例2.写出由以下各组命
7、题构成的“p或q，“p且q，“非p形式的命题，并判断真假.1p：2是4的约数，q：2是6的约数；2p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；3p：方程x2-x+1=0的两实根的符号相同，q：方程x2-x+1=0的两实根的绝对值相等.3 分析：先写出三种形式命题，根据真值表判断真假.解：1p或q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；p且q：2是4的约数且2是6的约数，真命题；非p：2不是4的约数，假命题.2p或q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；p且q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；非p：矩形的对角线不相等，假命题.3p或q：方程x2-x+1=0的两实根的符号相同或绝对值相等，假
8、命题；p且q：方程x2-x+1=0的两实根的符号相同且绝对值相等，假命题；非p：方程x2-x+1=0的两实根的符号不同，真命题.点评：判断含有逻辑联结词“或，“且，“非的命题的真假，先要把结构弄清楚，确定命题构成的形式以及构成它们的命题p，q的真假然后根据真值表判断构成新命题的真假. 例3.写出以下命题的否认，并判断真假.1p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；2p：每一个非负数的平方都是正数；3p：存在一个三角形，它的内角和大于180；4p：有的四边形没有外接圆；5p：某些梯形的对角线互相平分.分析：全称命题“xM,p(x)的否认是“$xM,p(x)，特称命题“$xM,p(x)的否认是
9、“xM,p(x) .解：1p：存在末位数字是0或5的整数，但它不能被5整除，假命题；2p：存在一个非负数的平方不是正数，真命题；3p：任意一个三角形，它的内角和都不大于180，真命题；4p：所有四边形都有外接圆，假命题；5p：任一梯形的对角线都不互相平分，真命题. 点评：一些常用正面表达的词语及它的否认词语列表如下：4 【反应演练】假设bM，那么aM 1命题假设aM，那么bM的逆否命题是_.2命题p：xR,sinx1，那么p:$xR,sinx1.3假设命题m的否命题n，命题n的逆命题p，那么p是m的_逆否命题_.假设ab，那么2a2b-1 4命题“假设ab，那么2a2b-1的否命题为_5分别写
10、出以下命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假1设a,bR，假设ab=0，那么a=0或b=0；2设a,bR，假设a0,b0，那么ab0解：1逆命题：设a,bR，假设a=0或b=0，那么ab=0；真命题；否命题：设a,bR，假设ab0，那么a0且b0；真命题；逆否命题：设a,bR，假设a0且b0，那么ab0；真命题；2逆命题：设a,bR，假设ab0，那么a0,b0；假命题；否命题：设a,bR，假设a0或b0，那么ab0；假命题；逆否命题：设a,bR，假设ab0，那么a0或b0；真命题 第3 课时 充分条件和必要条件【考点导读】1. 理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，
11、必要条件和充要条件2. 从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论：假设集合PQ，那么P是Q的充分条件；假设集合PQ，那么P是Q的必要条件；假设集合P=Q，那么P是Q的充要条件3. 会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力【根底练习】1.假设pq，那么p是q的充分条件假设qp，那么p是q的必要条件假设pq，那么p是q的充要条件2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件填空.1p:x2，q:x2，那么p是q的_充分不必要_条件2p:两直线平行，q:内错角相等，那么p是q的_充要_条件5 3p:四边形的四条边相等，q:四边形是正方形，那么p是q的_必要不充分_条
12、件3.假设xR，那么x1的一个必要不充分条件是x0【范例解析】例.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件填空.x2,x+y4,1是的_条件； y2.xy4.2(x-4)(x+1)0是x-40的_条件； x+13a=b是tana=tanb的_条件；4x+y3是x1或y2的_条件.分析：从集合观点“小范围大范围进行理解判断，注意特殊值的使用.x2,x+y4,1解：1因为结合不等式性质易得，反之不成立，假设x=，y=10，有2y2.xy4.x2,x2,x+y4,x+y4,，但不成立，所以是的充分不必要条件. y2.y2.xy4.xy4.2因为(x-4)(x+1)0的解集为
13、-1,4，x-40的必要不充分条件. x+1x-4是0的解集为(-1,4，故(x-4)(x+1)0x+13当a=b=p2时，tana,tanb均不存在；当tana=tanb时，取a=p4，b=5p，但ab，4所以a=b是tana=tanb的既不充分也不必要条件.4原问题等价其逆否形式，即判断“x=1且y=2是x+y=3的_条件，故x+y3是x1或y2的充分不必要条件.点评：判断p是q的什么条件，实际上是判断“假设p那么q和它的逆命题“假设q那么p的真假，假设原命题为真，逆命题为假，那么p为q的充分不必要条件；假设原命题为假，逆命题为真，那么p为q的必要不充分条件；假设原命题为真，逆命题为真，那
14、么p为q的充要条件；假设原命题，逆命题均为假，那么p为q的既不充分也不必要条件.在判断时注意反例法的应用.在判断“假设p那么q的真假困难时，那么可以判断它的逆否命题“假设q那么p的真假. 【反应演练】1设集合M=x|0x3，N=x|0x2，那么“aM是“aN的_必要不充分 条件充分不必要 2p：1x2，q：x(x3)0，那么p是q的 条件3条件p:A=xRx2+ax+10，条件q:B=xRx2-3x+20假设q是p的充6 分不必要条件，求实数a的取值范围 解：q:B=xR1x2，假设q是p的充分不必要条件，那么AB 假设A=，那么a2-40，即-2a2；a2-40,5假设A，那么解得-a-2
15、2x5综上所述，-a0),(x0且P(x)0且Q(x)1 (1)_； (2)_； (3)_5.写出以下函数值域：(1) f(x)=x+x，x1,2,3；值域是2,6,12(2) f(x)=x-2x+2； 值域是1,+)(3) f(x)=x+1，x(1,2 值域是(2,3 【范例解析】 922 x2-1例1.设有函数组：f(x)=，g(x)=x+1；f(x)=，g(x)=x-1f(x)=g(x)=x-1；f(x)=2x-1，g(t)=2t-1 分析：判断两个函数是否为同一函数，关键看函数的三要素是否相同解：在中，f(x)的定义域为xx1，g(x)的定义域为R，故不是同一函数；在中，f(x)的定义
16、域为1,+)，g(x)的定义域为(-,-11,+)，故不是同一函数；是同一函数点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数而当一个函数定义域和对应法那么确定时，它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法那么是否相同即可 例2.求以下函数的定义域：y=1+ f(x)= 2-x2-x0,解：1 由题意得：解得x-1且x-2或x1且x2， 2x-10,故定义域为(-,-2)(-2,-11,2)(2,+) 由题意得：log1(2-x)0，解得1x2，故定义域为(1,2)2例3.求以下函数的值域：1y=-x+4x-2，x0,3)； 2x22y=2(xR)； x
17、+13y=x-分析：运用配方法，逆求法，换元法等方法求函数值域1 解：y=-x+4x-2=-(x-2)+2，Qx0,3)，函数的值域为-2,2； 22x2111=1-22 解法一：由y=2，Q021，那么Q-1-20，0y1，故函数x+1x+1x+1x+1值域为0,1) yyx2220，0y121+x233y=-|x-1| (0x2) 5.如下图的图象所表示的函数解析式为_ 22【范例解析】例1.二次函数y=f(x)的最小值等于4，且f(0)=f(2)=6，求f(x)的解析式分析：给出函数特征，可用待定系数法求解 第5题c=6,a=2,2解法一：设f(x)=ax+bx+c(a0)，那么4a+2
18、b+c=6,解得b=-4,4ac-b2c=6.=4.4a2故所求的解析式为f(x)=2x-4x+6解法二：Qf(0)=f(2)，抛物线y=f(x)有对称轴x=1故可设f(x)=a(x-1)+4(a0) 将点(0,6)代入解得a=2故所求的解析式为f(x)=2x-4x+6 1122 解法三：设F(x)=f(x)-6.，由f(0)=f(2)=6，知F(x)=0有两个根0，2，可设F(x)=f(x)-6=a(x-0)(x-2)(a0)，f(x)=a(x-0)(x-2)+6，将点(1,4)代入解得a=2故所求的解析式为f(x)=2x-4x+6点评：三种解法均是待定系数法，也是求二次函数解析式常用的三种
19、形式：一般式，顶点式，零点式 例2.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km，甲10时出发前往乙家如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程ykm与时间x分的关系试写出y=f(x)的函数解析式 分析：理解题意，根据图像待定系数法求解析式解：当x0,30时，直线方程为y=21 x，当x40,60时，直线方程为y=x-2，1510115xx0,30,f(x)=2x(30,40),1x40,60.x-210点评：建立函数的解析式是解决实际问题的关键，把题中文字语言描述的数学关系用数学符号语言表达要注意求出解析式后，一定要写出其定义域【反应演练】ex-e-xex+
20、e-x1假设f(x)=，g(x)=，那么f(2x)= D 22 2f(x) 2f(x)+g(x) 2g(x) 2f(x)g(x) 1- 12f(x-1)=2x+3，且f(m)=6，那么m等于_4 23. 函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)x2x求函数g(x)的解析式解：设函数y=f(x)的图象上任意一点Q(x0,y0)关于原点的对称点为P(x,y)， 2x0+x=0,x0=-x,2那么 即y+yy=-y.0=0,02点Q(x0,y0)在函数y=f(x)的图象上-y=x-2x，即y=-x+2x, 故g(x)=-x+2x 222 12 第3课 函数的单调性【考点导读】1.理解函数
21、单调性，最大小值及其几何意义；2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性【根底练习】1.以下函数中： f(x)=12； f(x)=x+2x+1； f(x)=-x； x f(x)=x-其中，在区间(0，2)上是递增函数的序号有_2.函数y=xx的递增区间是3.函数y=(-,-1 _(1,+) 4.函数y=f(x)在定义域R上是单调减函数，且f(a+1)f(2a)，那么实数a的取值范围_5.以下命题：定义在R上的函数f(x)满足f(2)f(1)，那么函数f(x)是R上的增函数；定义在R上的函数f(x)满足f(2)f(1)，那么函数f(x)在R上不是减函数；定义在R上的函数f(x)在区间(-,
22、0上是增函数，在区间0,+)上也是增函数，那么函数f(x)在R上是增函数；定义在R上的函数f(x)在区间(-,0上是增函数，在区间(0,+)上也是增函数，那么函数f(x)在R上是增函数其中正确命题的序号有_【范例解析】例 . 求证：1函数f(x)=-2x+3x-1在区间(-,上是单调递增函数；2函数f(x)=2342x-1在区间(-,-1)和(-1,+)上都是单调递增函数 x+1分析：利用单调性的定义证明函数的单调性，注意符号确实定证明：1对于区间(-,内的任意两个值x1，x2，且x1x2，因为f(x1)-f(x2)=-2x1+3x1-1-(-2x2+3x2-1)=2x2-2x1+3x1-3x
23、2 222234=(x1-x2)3-2(x1+x2)， 又x1x233，那么x1-x20，x1+x20， 42故(x1-x2)3-2(x1+x2)0，即f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2)13 所以，函数f(x)=-2x+3x-1在区间(-,上是单调增函数2对于区间(-,-1)内的任意两个值x1，x2，且x1x2， 因为f(x1)-f(x2)=2343(x1-x2)2x1-12x2-1=， -x1+1x2+1(x1+1)(x2+1)又x1x2-1，那么x1-x20，(x1+1)0，(x2+1)0 故3(x1-x2)0，即f(x1)-f(x2)0，即f(x1)0，得定义域为(-,)对
24、于区间(-,)内的任意两个值x1，x2，且x1x2，那么f(x1)-f(x2)=1212-= =又x1-x20，f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以，f(x)在区间(-,)上是增函数点评：运用有理化可以对含根号的式子进行符号确实定 【反应演练】 121(0,1) ，那么该函数在R上单调递_减_，填“增“减值域为_x2+122函数f(x)=4x-mx+5在(-,-2)上是减函数，在(-2,+)上是增函数，那么f(1)=. 1函数f(x)=14 3.函数y=1-2,-. 124. 函数f(x)=x-1+x的单调递减区间为(-,-1,15. 函数f(x)=ax+1在区间(-2,+)上
25、是增函数，求实数a的取值范围 x+2解：设对于区间(-2,+)函数的奇偶性【考点导读】1.了解函数奇偶性的含义，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性； 1 22.定义域对奇偶性的影响：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条件；不具备上述对称性的，既不是奇函数，也不是偶函数【根底练习】x4-1x-xf(x)=e-e1.给出4个函数：f(x)=x+5x；f(x)=； f(x)=-2x+52x5其中奇函数的有_；偶函数的有_；既不是奇函数也不是偶函数的有_ 2. 设函数f(x)=(x+1)(x+a)为奇函数，那么实数a= 1 x123.以下函数中，在其定义域A xA.y=-x,xR
26、B.y=sinx,xR C.y=x,xR D.y=(),xR 3【范例解析】例1.判断以下函数的奇偶性：(1+2x)2f(x)=lg(x； 1f(x)=； 2x23f(x)=lgx+lg21f(x)=(1-x； 4 x22-x+x(x0),25f(x)=x+x-1+1； 6f(x)=2 (x0),-x-x(x0),Qf(-x)=，f(-x)=2又f(0)=0， 2(-x)+(-x)(-x0).x-x(x0).2-x-x(x0时，f(x)=x-2x+2，求函数f(x)的解析式，并指出它的单调区间分析：奇函数假设在原点有定义，那么f(0)=0解：设x0，f(-x)=x+2x+2又f(x)是奇函数，
27、f(-x)=-f(x)，f(x)=-f(-x)=-x-2x-2当x=0时，f(0)=0 222x2-2x+2,x0综上，f(x)的解析式为f(x)=0,x=0-x2-2x-2,xf(7) Bf(6)f(9) Cf(7)f(9) Df(7)f(10)2. 在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)=f(2-x)，假设f(x)在区间1,2是减函数，那么函数f(x) B A.在区间-2,-1上是增函数，区间3,4上是增函数 B.在区间-2,-1上是增函数，区间3,4上是减函数 C.在区间-2,-1上是减函数，区间3,4上是增函数 D.在区间-2,-1上是减函数，区间3,4上是减函数3. 设a-1,
28、1,3，那么使函数y=x的定义域为R且为奇函数的所有a的值为5 14设函数f(x)(xR)为奇函数，f(1)=,f(x+2)=f(x)+f(2),那么f(5)=_225假设函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(-,0上是减函数，且f(2)=0，那么使得f(x)0的x的取 值范围是2，212aax2+16. 函数f(x)=(a,b,cZ)是奇函数又f(1)=2，f(2)3,求a，b，c的值；bx+c解：由f(-x)=-f(x)，得-bx+c=-(bx+c)，得c=0又f(1)=2，得a+1=2b，4a+13，解得-1a2又aZ，a=0或1 a+11假设a=0，那么b=Z，应舍去；假设a=1，那么b=1Z2而f(2)3，得所以，a=1,b=1,c=0 综上，可知f(x)的值域为0,1,2,3,4 17 第5 课 函数的图像【考点导读】1.掌握根本初等函数的图像特征，学会运用函数的图像理解和研究函数的性质； 2.掌握画图像的根本方法：描点法和图像变换法 【根底练习】1.根据以下各函数式的变换，在箭头上填写对应函数图像的变换：