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1、第二十二章“二次函数”简介课程教材研究所薛彬 函数是描述现实世界中变化规律的数学模型。某些问题中的数量关系可以用二次函数表示。本章在八年级下册已经介绍函数的有关概念与一次函数的基础上，介绍二次函数的概念、图象和性质，讨论二次函数与一元二次方程的联系，运用二次函数的图象和性质解决一些简单的实际问题。本章教学时间约需12课时，具体分配如下（仅供参考）：22.1 二次函数 6课时22.2 用函数观点看一元二次方程 1课时22.3 实际问题与二次函数 3课时数学活动小结 2课时一、教科书内容和本章学习目标1.本章知识结构本章知识结构如下图所示： 2.教科书内容本章共分三节。第一节介绍二次函数的概念、图
2、象和性质，第二节研究二次函数与一元二次方程的联系，第三节用二次函数的图象和性质解决实际问题。在第22.1节中，二次函数的概念是通过三个实例（正方体的表面积与棱长、比赛的场次数与球队数、产量与计划增产倍数）引入的。二次函数的图象与性质是按从简单到复杂、从特殊到一般的顺序讨论的。先讨论函数yax?的图象和性质。由于将二次函数的图象上下、左右平移就得到函数的图象，接下来研究函数的图象和性质。以此为基础讨论二次函数的图象和性质（二次函数可以通过配方化成的形式）。在第22.1节最后，通过“探究”栏目安排了“知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数”的选学内容。让学生类比由两点（两点的连线不与坐标轴平
3、行）的坐标确定一次函数的方法，找出由不共线三点的坐标确定二次函数的方法。在第22.2节中，首先设置小球飞行问题。在这个问题中，将某一高度的值代入函数解析式，就得到一元二次方程，问题转化为解一元二次方程。由此引出，已知二次函数的值求自变量的值，可以看作解一元二次方程；反过来，解方程ax2bxc=0可以看作已知二次函数y=ax2bxc的值为0，求自变量x的值。然后利用二次函数的图象讨论一元二次方程。由“思考”栏目引出，二次函数的图象与x轴的公共点的横坐标是相应一元二次方程的根；二次函数的图象与x轴的三种位置关系对应一元二次方程根的三种情况。最后通过例题介绍用二次函数的图象求一元二次方程的根的方法。
4、在第22.2节后，教科书安排了一个信息技术应用“探究二次函数的性质”，介绍了利用计算机软件画二次函数的图象，探究它的性质，以及利用图象解一元二次方程等内容。在第22.3节中，开头的问题涉及求函数的最大值。从所给函数的图象可以看出，当自变量取顶点的横坐标时，函数值最大。由此引出直接根据函数解析式求二次函数的最小（大）值的结论，即当x时，二次函数yax?bxc有最小（大）值。得出此结论后，就可以直接运用它求二次函数的最小（大）值。接下来，通过最大面积、最大利润、水位变化等三个探究问题，展示二次函数与实际的联系，并运用二次函数的图象和性质加以解决，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。在第22.3
5、节后，教科书安排了一个实验与探究“推测滑行距离与滑行时间的关系”。根据实际问题得到有关数据，数形结合地求出表示变量间关系的函数，这属于建立模拟函数描述实际问题。3.本章学习目标（1） 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。（2） 会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质。（3）会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，能说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题。（4）会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 （5）*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数。二、编写时考虑的几个问题1
6、体现类比、数形结合和归纳的思想 在本章中，一般二次函数的图象和性质是从最简单的二次函数出发逐步深入地探讨的。在研究的过程中注意体现类比、数形结合和归纳的思想。 类比思想在讨论过程中有多处体现。例如，在讨论二次函数之前的一段话中指出，可以类比一次函数研究二次函数。又如，对于二次函数yax?是分a0和a0的情况，这样，a0的情况进行讨论。再如，先讨论二次函数的图象和性质，再让学生类比研究二次函数的方法研究二次函数的图象和性质。数形结合地研究函数贯穿二次函数的讨论的始终。对于最简单的二次函数的研究就是从画这个函数的图象开始，然后通过图象了解它的性质。其后的二次函数的研究，也都展现了从解析式到图象，从
7、图象到性质的过程。包括第22.3节中，关于二次函数的最小（大）值的结论也是通过确定函数图象的最低点或最高点获得的。从特殊例子归纳一般结论也是常用的。例如，让学生观察函数的图象与函数的图象的共同点与不同点，归纳函数(a0)的图象特点；探究函数，的图象的共同点与不同点，归纳函数（a0）的图象特点。又如，说明抛物线y=与抛物线y=的关系，从而归纳出把抛物线向上（下）向左（右）平移，得到抛物线的结论。这样循序渐进的安排，力图使学生不仅学到二次函数的有关知识，而且在知识的学习过程中不断提高学习的能力。2.重视知识之间的联系学生在“一次函数”一章已经了解了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方
8、程组的联系。本章专设一节，通过探讨二次函数与一元二次方程的联系，再次展示函数与方程的联系。这样安排一方面可以深化学生对一元二次方程的认识，另一方面又可以运用二次函数解决一元二次方程的有关问题。此外，还在以下各处注意联系已学知识。例如，在第一节开头，用函数的概念对正方体表面积、比赛场次数、产量增长等问题中变量之间的关系进行说明。又如，用关于y轴对称的点的坐标的关系说明y轴是抛物线的对称轴。再如，用平移描述抛物线y=ax与抛物线y=a(xh)k 之间的关系。这样处理有利于学生认识新内容，也使已学内容得到复习巩固。3.体现模型思想对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，就可
9、以利用二次函数的图象和性质来研究，从而使实际问题得到解决。这一过程体现了模型思想。例如，在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题，其中一些问题可以归结为求二次函数的最大值或最小值。本章用第三节中的探究1和探究2举例说明此类问题的解决过程。此外，在函数y=a(xh)k的讨论之后安排的修建喷水池时确定水管长度的问题，在第三节中安排的探究3（水位问题），也是运用二次函数解决实际问题的例子。这样安排力图加强二次函数与实际生活的联系，使所学知识得到应用，体现模型思想。三、对教学的几个建议1注意复习相关内容二次函数的学习是以已学函数内容为基础的。从八年级下册
10、“一次函数”的学习到九年级上册“二次函数”的学习，中间相隔了一段时间。函数的概念 ,描点法画函数的图象等在本章中都要用到。因此，要注意复习已学函数内容，帮助学生学好二次函数。二次函数的图象关于y轴对称，函数的图象可以由函数y=ax的图象平移得到，这些内容都涉及已学的图形变化的内容。复习对称的坐标表示等内容，有助于学生学习本章中的上述内容。讨论函数，关键是用配方法把它化为y=a(xh)k的形式。配方法曾用来解一元二次方程，学生已经有所了解，要注意复习。总之，在本章学习过程中，注意复习相关内容，是顺利完成本章学习的基础。2关注数形结合的研究方法二次函数的图象和性质的讨论运用了数形结合的研究方法，即
11、先画出二次函数的图象，再结合图象讨论二次函数的性质。把握好数形结合的研究方法有利于本章教学的开展。在画二次函数的图象时，选取自变量的值很关键，例如，画函数的图象时，要根据对称性取顶点的横坐标6并在6的左右取值。教学中要关注画图象的环节，为用图象讨论性质打下基础。图象直观展示了函数的变化情况。例如，函数图象从左向右上升（或下降）对应着函数随自变量增大而增大（或减小）。又如，如果函数图象与x轴有公共点，表明当自变量取公共点的横坐标时，函数值为0，也就表明公共点的横坐标是相应一元二次方程的根。教学中，要帮助学生完成好从对图象的描述到对函数变化情况的描述的转换，发挥好几何直观的作用。3加强对实际问题的
12、分析运用二次函数解决实际问题时，用二次函数表示问题中变量之间的关系是重要一环。要加强对实际问题的分析。例如，在22.3节的探究1中，用总长一定的篱笆围成矩形场地，场地的面积随矩形一边长的变化而变化。场地的面积是矩形一边长与它的邻边长的乘积，用矩形一边长表示它的邻边长，从而得到场地面积随矩形一边长变化的函数解析式。教学中，加强对实际问题的分析，有助于学生顺利解决实际问题。4重视信息技术的使用用某些计算机画图软件（如几何画板），可以方便地画出二次函数的图象，进而从图象探索二次函数的性质。例如，用计算机软件画出函数的图象，拖动图象上的一点P, 让这点沿抛物线移动，观察动点坐标的变化，可以发现：图象最低点或最高点的坐标，也就是说，当x取这点的横坐标时，有最小值或最大值；当小于这点的横坐标时，随的增大而减小（增大），当大于这点的横坐标时，随的增大而增大（减小）。 利用计算机软件的画图功能，很容易利用二次函数的图象解一元二次方程。要解方程，只要用计算机软件画出相应抛物线，再让计算机软件显示抛物线与x轴的公共点的坐标，就能得出要求的方程的根。 上述内容安排在本章的选学栏目“信息技术应用 探索二次函数的性质”中，有条件的话，可以让学生加以尝试。