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1、第二章 二次函数2.1 二次函数所描述的关系课时安排 1课时从容说课 本节课要学习的内容是二次函数所描述的关系，重点是通过分析实际问题，以及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。然后根据这种体验能够表示简单变量之间的二次函数关系并能利用尝试求值的方法解决实际问题 让学生通过分析实际问题(探究橙子的数量与橙子树之间的关系)，从学生感兴趣的问题入手，并广泛联系多学科问题，使学生好奇而愉快地感受二次函数的意义，感受数学的广泛联系和应用价值 在教学中，让学生通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想第一课时课 题 21 二
2、次函数所描述的关系教学目标 (一)教学知识点 1探索并归纳二次函数的定义 2能够表示简单变量之间的二次函数关系 (二)能力训练要求 1经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系 2让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系 3. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题 (三)情感与价值观要求 1从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲 2把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用 3通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他
3、人交流思维的过程，培养大家的合作意识教学重点 1经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。 2能够表示简单变量之间的二次函数关系教学难点 经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验教学方法 讨论探索法教具准备 投影片二张 第一张：(记作21 A) 第二张：(记作21 B)教学过程 创设问题情境，引入新课 师对于“函数”这个词我们并不陌生，大家还记得我们学过哪些函数吗? 生学过正比例函数，一次函数，反比例函数 师那函数的定义是什么，大家还记得吗? 生记得，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我
4、们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量 师能把学过的函数回忆一下吗? 生可以， 一次函数y=kx+b(其中k、b是常数，且k0) 正比例函数ykx(k是不为0的常数) 反比例函数y=(A是不为0的常数) 师很好，从上面的几种函数来看，每一种函数都有一般的形式那么二次函数的一般形式究竟是什么呢?本节课我们将揭开它神秘的面纱 新课讲解 一、由实际问题探索二次函数关系 投影片：(21 A)某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子(1)问
5、题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些是因变量?(2)假设果园增种；棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式 师请大家互相交流后回答 生(1)变量有树的数量，每棵树上平均结的橙子数，所有的树上共结的橙子数其中树的数量是自变量，每棵树上平均结的橙子数以及所有的树上共结的橙子数是因变量 (2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有(x+100)棵树，平均每棵树就会少结5x个橙子，则平均每棵树结(600-5x)个橙子 (3)如果果园橙子的总产量为y个，则 y=(x+100)(600-5x)-5x2+100x+600
6、00 师大家根据刚才的分析，判断一下上式中的y是否是x的函数?若是函数，与原来学过的函数相同吗? 生因为x是自变量，y是因变量，给x一个值，相应地就确定了一个y的值，因此根据函数的定义，y是x的函数 但是从函数形式上看，它不同于正比例函数，一次函数与反比例函数，自变量的最高次数是2，所以我猜测可能是二次函数 二、想一想 在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多? 师请大家发表自己的看法 生甲在函数y=-5x2+100+60000中，因为一次项系数100大于二次项系数-5，因此当x越大时，y的值越大 生乙我不同意他的观点因为x2的增长速度比x的增长速度要快，因此-5x2的绝对值要
7、大于100x的绝对值，因此x应取比较小的数才能使y的值大 师大家说的都有道理，究竟是如何呢?我们不妨取一些特殊的数字验证一下 我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化的情况你能根据表格中的数据作出猜测吗?自己试一试x/棵1234567891011121314y/个请大家先填表，再猜测 生从左到右依次填60095，60180，60255，60320，60375，60420，60455，60480，60495，60500，60495，60480，60455，60420 可以猜测当x逐渐增大时，y也逐渐增大当x取10时，y取最大值x大于10时，y的值反而减小，因此当增种10棵橙子树时，橙子的
8、总产量最多 师大家的猜想很有道理，推理能力日渐增长，究竟猜想结果如何，我们将要在后面的学习中专门进行研究 三、做一做 投影片：(2. 1 B)银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)， 师首先我们要回顾一下有关名词，本金利息，本息时，如何计算利息，在前面的学习中我们已接触过，大家还记得吗? 生记得. 本金是存入银行时的资金，利息是银行根据利率和存的
9、时间付给的“报酬”，本息和就是本金和利息的和，利息本金利率期数(时间) 师根据利息的公式，大家可以计算出一年后的本息和 生一年后的本息和为(100+100x1)=100(1+x) 师再计算出两年后的本息和，这时，一年后的本息和将作为第二年的本金 生y100(1+x)+100(1+x)xl =100(1+x)+100(1+x)x 100(1+x)(1+x) =100(1+x)2=100x2+200x+100 师在这个关系式中，y是x的函数吗?是x的什么函数?请猜想 生因为年利率x是一个变量，两年后的本息和y是随着x的变化而变化的，因此x是自变量，y是x的函数再从函数的形式来看,y是x的二次函数
10、四、二次函数的定义 师从我们刚才推导出的式子y=-5x2+100x+60000和y=100x2+200x+100中，大家能否根据式子的形式，猜想出二次函数的定义及一般形式呢? 生一般地，形如yax2+bx+c(a，b，c是常数，a0)的函数叫做x的二次函数(quadratic function) 师很好，上面说的只是一般形式，并不是每个二次函数关系式必须如此，有时没有一次项，有时没有常数项，有时这两项都不存在，只要有二次项存在即为二次函数如正方形面积A与边长a的关系Aa2，圆面积S和半径r的关系Sr2也都是二次函数的例子 课堂练习 随堂练习(P36) 课时小结 本节课我们学习了如下内容： 1.
11、 经历探索和表示二次函数关系的过程猜想并归纳二次函数的定义及一般形式 2利用尝试求值的方法解决种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多 课后作业 习题21 活动与探究 若y(m2+m)xm2-m是二次函数，求m的值 分析：根据：二次函数的定义，只要满足m2+m0，且m2-m=2，y=(m2+m)xm2-m就是二次函数 解：由题意得 m2+m0， m2-m=2 m0或m-1,解，得 m=2或m-1, 故若y(m2+m)xm2-m是二次函数，则m的值等于2板书设计 21 二次函数所描述的关系一、1由实际问题探索二次函数关系(投影片21 A) 2想一想 3做一做(投影片21 B) 4二次函数的定义二、课堂练习 随堂练习 三、课时小结四、课后作业备课资料 参考例题 1用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S(m2)与矩形一边长l(m)之间的关系是什么?是函数关系吗?是哪一种函数? 解：S=l(-l)=l(30-l)=30l-l2=-l2+30l是二次函数关系式 2下列函数中，哪些是一次函数?哪些是二次函数? (1)y=3(x-1)2+1； (2)yx+； (3)y(x+3)2-x2；(4)y=-x解：(1)y=3(x-1)2+1=3x2-6x+4； (3)y=(x+3)2-xx2+6x+9-x26x+9； (3)是一次函数， (1)是二次函数