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1、第6讲 圆锥摆问题圆锥摆问题知识剖析一、圆锥摆模型：1结构特点：一根质量和伸长可以不计的线，系一个可以视为质点的摆球，在水平面内作匀速圆周运动。2受力特点：只受两个力：竖直向下的重力mg和沿摆线方向的拉力F。两个力的合力，就是摆球作圆周运动的向心力Fn，如图示。二、常规讨论：1.向心力和向心加速度：设摆球的质量为m，摆线长为，与竖直方向的夹角为，摆球的线速度为，角速度为，周期为T，频率为。， .2.摆线的拉力：有两种基本思路：当角已知时，当角未知时3.周期的计算：设悬点到圆周运动圆心的距离为h，根据向心力公式有，由此可知高度相同的圆锥摆，周期相同，与无关。4动态分析：当角速度增大时，根据有，增
2、大， 增大，向心力增大，回旋半径增大，周期变小。经典例题1、多选题 如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒固定在竖直面内。有两个质量不同的小球甲和乙贴着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动。则()A.甲乙两球都是由重力和支持力的合力提供向心力B.筒壁对甲球的支持力等于筒壁对乙球的支持力C.甲球的运动周期大于乙球的运动周期D.甲球的角速度大于乙球的角速度2、 如图所示，游乐园的游戏项目旋转飞椅，飞椅从静止开始缓慢转动，经过一小段时间，坐在飞椅上的游客的运动可以看作匀速圆周运动。整个装置可以简化为如图所示的模型。忽略转动中的空气阻力。设细绳与竖直方向的夹角为，则()A.飞椅受到重力、绳子拉力和向心力作用B.角
3、越大，小球的向心加速度就越大C.只要线速度足够大，角可以达到D.飞椅运动的速度随着 角的増大而减小3、 如图所示，由竖直轴和双臂构成的“Y”型支架可以绕竖直轴转动，双臂与竖直轴所成锐角为。一个质量为m的小球穿在一条臂上，到节点的距离为h，小球始终与支架保持相对静止。设支架转动的角速度为，则()A.当0时，臂对小球的摩擦力大小为mgsinB.由零逐渐增加，臂对小球的弹力大小不变C.当时，臂对小球的摩擦力为零D.当时，臂对小球的摩擦力大小为mg4、多选题 如图所示，A、B两小球用一根轻绳连接，轻绳跨过圆锥筒顶点处的光滑小定滑轮，圆锥筒的侧面光滑。当圆锥筒绕竖直对称轴OO匀速转动时，两球都处于筒侧面
4、上，且与筒保持相对静止，小球A到顶点O的距离大于小球B到顶点O的距离，则下列判断正确的是（ ）A.A球的质量大B.B球的质量大C.A球对圆锥筒侧面的压力大D.B球对圆锥简侧面的压力大5、 如图所示，长度为L的细绳上端固定在天花板上O点，下端拴着质量为m的小球当把细绳拉直时，细绳与竖直线的夹角为60，此时小球静止于光滑的水平面上（1）当球以角速度做圆锥摆运动时，细绳的张力FT为多大？水平面受到的压力FN是多大？（2）当球以角速度做圆锥摆运动时，细绳的张力FT及水平面受到的压力FN各是多大？巩固提升1、 如图所示，两个质量相同的小球A、B，用长度之比为LA：LB3：2的细线拴在同一点，并在同一水平
5、面内做匀速圆周运动，则它们的()A.角速度之比为A：B3：2B.线速度之比为vA：vB1：1C.向心力之比为FA：FB2：3D.悬线的拉力之比为TA：TB3：22、 两根长度不同的细线下端分别悬挂两个小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同的周期绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则两个摆球在运动过程中，相对位置关系示意图正确的是（ ）A.B.C.D.3、 如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为和，筒内壁点的高度为筒高的一半，内壁上有一质量为的小物块，求：（1）当筒不转动时，物块静止在筒壁点受到的摩擦力和支持力的大小（2）当物块在点随筒做匀速转
6、动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度4、多选题 如图所示，长L0.5m细线下端悬挂一质量m0.1kg的小球，细线上端固定在天花板上O点。将小球拉离竖直位置后给小球一初速度，使小球在水平面内做匀速圆周运动，测得细线与竖直方向的夹角37（sin370.6，cos370.8）。下列说法正确的是()A.细线拉力大小为0.8NB.细线拉力大小为1.25NC.小球运动的线速度大小为1.5m/sD.小球运动的线速度大小为m/s5、多选题 如图，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在水平的旋转圆盘上，座椅A离转轴的距离较近。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转
7、动，稳定后A、B都在水平面内做匀速圆周运动。则下列说法正确的是（ ）A.座椅B的角速度比A大B.座椅B的向心加速度比A大C.悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等D.悬挂B的缆绳所承受的拉力比悬挂A的缆绳所承受的拉力大6、 如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO重合，转台以一定角速度匀速旋转，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O点的连线与OO之间的夹角为45已知重力加速度大小为g，小物块与陶罐之间的最大静摩擦力大小为。（1）若小物块受到的摩擦力恰好为零，求此时的角速度0；（2）若小
8、物块一直相对陶罐静止，求陶罐旋转的角速度的范围。7、多选题 如图所示，有一固定的且内壁光滑的半球面，球心为O，最低点为C，有两个可视为质点且质量相同的小球A和B，在球面内壁两个高度不同的水平面内做匀速圆周运动，A球的轨迹平面高于B球的轨迹平面，A、B两球与O点的连线与竖直线OC间的夹角分别为a53和37，则（sin370.6）()A.A、B两球所受支持力的大小之比为4：3B.A、B两球运动的周期之比为2：C.A、B两球的角速度之比为2：D.A、B两球的线速度之比为8：8、 暑假里，小明去游乐场游玩，坐了一次名叫“摇头飞椅”的游艺机，如图1所示，该游艺机顶上有一个半径为4.5m的“伞盖”，“伞盖
9、”在转动过程中带动下面的悬绳转动，其示意图如图2所示。“摇头飞椅”高O1O25.8m，绳长5m。小明挑选了一个悬挂在“伞盖”边缘的最外侧的椅子坐下，他与座椅的总质量为40kg。小明和椅子的转动可简化为如图2所示的圆周运动。在某段时间内，“伞盖”保持在水平面内稳定旋转，绳与竖直方向夹角为37。g取10ms2，sin370.6，cos370.8，在此过程中，求：（1）座椅受到绳子的拉力大小；（2）小明运动的线速度大小；（3）小明随身带的玻璃球从座椅上不慎滑落，求落地点与游艺机转轴（即图2中O1点）的距离（保留两位有效数字）。综合拓展1、 如图所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固
10、定不动，两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则()A.球A对筒壁的压力一定大于球B对筒壁的压力B.球A的角速度一定大于球B的角速度C.球A的线速度一定大于球B的线速度D.球A的向心加速度一定小于球B的向心加速度2、 如图所示，一根细线下端栓一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔（小孔光滑）的水平桌面上，小球在某一水平面内做匀速圆周运动，现使小球在一个更高的水平面上做匀速圆周运动，而金属块Q始终静止在桌面上的同一位置，则改变高度后与原来相比较，下面的判断中正确的是()A.细线所受的拉力不变B.小球P运动的线速度变大C.小球P运动的周期不变D
11、.Q受到桌面的静摩擦力变小3、 如图所示，两个质量不同的小球甲、乙，且m甲m乙，分别用长度不等的两根细线挂在天花的同一点上。它们在同一水平面内做匀速圆周运动。设甲的向心力为F甲、加速度为a甲；乙的向心力为F乙、加速度为a乙，则它们的()A.F甲F乙 a甲a乙B.F甲F乙 a甲a乙C.F甲F乙 a甲a乙D.F甲F a甲a乙4、 如图所示，A、B两个完全相同的小球用两根细线L1、L2栓在同一点O并在同一水平面内做匀速圆周运动，两细线与竖直方向的夹角分别为60和30，求：（1）细线L1、L2的拉力之比；（2）小球A、B做圆周运动的线速度大小之比。5、 游乐园的“飞天秋千”游戏开始前，座椅由长度为L的
12、钢丝绳竖直悬吊在空中，到转轴的水平距离为r。秋千匀速转动时，绳与竖直方向夹角为，其简化模型如图所示。座椅的质量为m，大小忽略不计。重力加速度为g，不计空气阻力。在秋千匀速转动的过程中，求：（1）钢丝绳所受拉力F的大小；（2）秋千匀速转动的角速度；（3）质量不等的两名游客分别乘坐在左、右两个座椅里，设此时钢丝绳与竖直方向的夹角分别为1、2，试比较1、2大小，并说明理由。答案解析圆锥摆问题经典例题1、多选题【答案】 A C【解析】 A对两球受力分析，都受重力、支持力两个力的作用，由于做匀速圆周运动，即合外力提供向心力，故可知甲、乙两球都是由重力与支持力的合力提供向心力，故A正确；BCD设圆锥筒的顶
13、角为，则有：在竖直方向有：轨道平面内有：联立可得支持力为：，角速度为：由于两球的质量不同，则可知两球所受支持力大小不相等，由图可知甲球的轨道半径大于乙球的轨道半径，故甲球的角速度小于乙的角速度，根据可知，甲球的周期大小乙球的周期，故BD错误，C正确。2、【答案】 B【解析】 暂无解析3、【答案】 C【解析】 A、对小球受力分析，受到重力、支持力和摩擦力，垂于平衡状态，故fmgcos，故A错误；B、对小球受力分析可知，FNsinfcosmg0，联立解得，故当角速度增大时，臂对小球的弹力大小变大，故B错误；C、根据B中，当摩擦力为零时，解得，故C正确；D、当时，代入B中，解得，故D错误；4、多选题
14、【答案】 B D【解析】 绳对A、B两球的拉力大小相等，设绳受到的拉力大小为T，侧面对小球的支持力大小为F，则有TcosFsinmg，可知小球的质量m越大，F也就越大，又由TsinFcosm2lsin，可知质量m越大，F越大，l就越小，所以B球的质量大，B球对圆锥桶侧面的压力大，故BD正确，AC错误。5、【答案】 （1）mg；（2）4mg；零【解析】 （1）对小球受力分析，作出力图如图1球在水平面内做匀速圆周运动，由重力、水平面的支持力和绳子拉力的合力提供向心力，则根据牛顿第二定律，得水平方向有：FTsin60m12Lsin60竖直方向有：FNFTcos60mg0又解得 FTmg，根据牛顿第三
15、定律得知水平面受到的压力（2）设小球对桌面恰好无压力时角速度为0，即FN0代入解得，由于，故小球离开桌面做匀速圆周运动，则此时小球的受力如图2设绳子与竖直方向的夹角为，则有mgtanm22lsinmgFTcos联立解得 FT4mg故：（1）当球以做圆锥摆运动时，绳子张力FT为mg，桌面受到压力FN是（2）当球以角速度做圆锥摆运动时，绳子的张力为4mg，桌面受到的压力为零巩固提升1、【答案】 D【解析】 A、小球靠重力和拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得，mgtanmLsin2，则，由于两球做圆周运动悬点到圆心的距离相等，可知角速度大小相等，故A错误。B、由A选项知，两球的角速度相等，根据
16、vrLsin知，由于做圆周运动的半径不等，则线速度之比不等于1：1，故B错误。C、向心力Fnmgtan，根据几何关系知，A、B悬线与竖直方向的夹角的余弦之比为2：3，则正切之比不等于2：3，可知向心力之比不等于2：3，故C错误。D、悬线拉力，由于A、B悬线与竖直方向的夹角的余弦之比为2：3，则悬线的拉力之比为TA：TB3：2，故D正确。2、【答案】 B【解析】 绳子的拉力和重力的合力提供向心力，故有mgtanm2rm2Lsin，小球到悬点的竖直距离hLcos（L为绳长，为绳与竖直方向的夹角），解得，因为两球的周期相同，则角速度相同，故两球到悬点的竖直距离相同，故B正确。3、【答案】 （1）；（
17、2）【解析】 （1）设圆锥母线与水平方向的夹角为，当筒不转动时，物块静止在筒壁点时受到的重力、摩擦力和支持力三力作用而平衡；由平衡条件得，摩擦力的大小：支持力的大小：（2）当物块在点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，物块在筒壁点时受到的重力和支持力作用，它们的合力提供向心力，设筒转动的角速度为有：由几何关系得，联立计算得出4、多选题【答案】 B C【解析】 AB、小球在水平面内做匀速圆周运动，对小球受力分析，如图所示：小球在竖直方向受力平衡：Tcosmg。整理代入数据，得：T1.25N。故A错误，B正确。CD、小球受重力和绳子的拉力，合力提供向心力，根据牛顿第二定律有：。其中r表示小球
18、匀速圆周运动的轨道半径，有rLsin。联立解得，v1.5m/s。故C正确，D错误。5、多选题【答案】 B D【解析】 AB、同轴转动角速度相同，由于座椅B的圆周半径比座椅A的半径大，由a2r得，B的向心加速度比A的大，故A错误，B正确；CD、设细线与竖直方向的夹角为，由牛顿第二定律得：mgtanm2r，解得：，由于座椅B的圆周半径比座椅A的半径大，故B与竖直方向的夹角大，在方向上有：Tcosmg，解得：，悬挂B的缆绳所受到的拉力比悬挂A的大，故C错误，D正确；6、【答案】 （1）（2）【解析】 （1）当摩擦力为零，支持力和重力的合力提供向心力，有：解得：（2）当0时，重力和支持力的合力不够提供
19、向心力，当角速度最大时，摩擦力方向沿罐壁切线向下达最大值，设此最大角速度为1，受力如图：由牛顿第二定律得，Ffsin45mgFNsin45联立以上三式解得：当0时，重力和支持力的合力大于所需向心力，摩擦力方向沿罐壁切线向上，当角速度最小时，摩擦力向上达到最大值，设此最小角速度为2由牛顿第二定律得，Ffsin45FNsin45mg联立三式解得：所以7、多选题【答案】 A C D【解析】 A、由于小球在运动的过程中受到的合力沿水平方向，且恰好提供向心力，所以根据平行四边形定则得，则。故A正确。B、小球受到的合外力：mgtan，rRsin，解得，则。故B错误。C、根据mgtan得：所以：。故C正确；
20、D、根据公式：mgtanm2r，所以：，所以：。故D正确。8、【答案】 （1）500N（2）7.5ms（3）8.7m【解析】 （1）向心力沿水平方向，由平行四边形定则，得拉力：（2）由牛顿第二定律，得：mgtan37其中R07.5m解得，v7.5ms（3）由几何关系，座椅离地高度h1.8m由平抛运动规律，得：xvt解得，x4.5m由勾股定理，落地点与游艺机中心距离为：综合拓展1、【答案】 C【解析】 A、对小球受力分析，小球受到重力和支持力，它们的合力提供向心力，如图，压力等于支持力，支持力，知球A对筒壁的压力一定等于球B对筒壁的压力，故A错误。B、根据牛顿第二定律得，mgtanmamr2，解
21、得：，agtan，。A的半径大，则A的线速度大，角速度小，向心加速度相等。故C正确，B、D错误。2、【答案】 B【解析】 ABC、设细线与竖直方向的夹角为，细线的拉力大小为T，细线的长度为L。P球做匀速圆周运动时，由重力和细线的拉力的合力提供向心力，如图，则有：，mgtanm2Lsin，得角速度，使小球改到一个更高的水平面上作匀速圆周运动时，增大，cos减小，则得到细线拉力T增大，角速度增大。知周期变小，增大，sin增大，tan增大，线速度变大，故AC错误，B正确；D、对Q球，由平衡条件得知，Q受到桌面的静摩擦力等于细线的拉力大小，则静摩擦力变大，D错误。3、【答案】 D【解析】 小球圆周运动
22、的向心力由重力和细线拉力的合力提供，绳与竖直方向的夹角为，对小球涭力分析有：F向mgtanma向，分析可知，甲球的夹角大，质量大，则向心力大，向心加速度大，故D正确，ABC错误。4、【答案】 （1）：1（2）3：1【解析】 （1）小球在同一水平面内做匀速圆周运动，故小球在竖直方向上合外力为零，所以F1cos60mg，F2cos30mg；所以，；（2）设O点到小球运动平面的距离为L，由小球只受重力和绳子拉力作用及（1）可知，小球A的向心力为mgtan60，半径为Ltan60；小球B的向心力为mgtan30，半径为Ltan30；所以有，；所以，。5、【答案】 （1）（2）（3）12；理由见解析【解析】 （1）根据平行四边形定则知，钢丝绳的拉力大小为：。（2）座椅做匀速圆周运动的半径为：RrLsin，由mgtanm2R得：。（3）由（2）可知，mgtanm2R，解得tan2R，角速度和半径相等，则钢丝绳与竖直方向的夹角12。15 学科网（北京）股份有限公司