《2022年高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结 2.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧总结 2.docx（22页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品_精品资料_1. 均值不等式法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1设 Sn1 22 31n n1 . 求证4n n1Sn2 n1 2.21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2已知函数f x1 a 2bx,如 f1,且 f x 在0 , 1 上的最小值为,求证：52可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 1f 2f n11n2n 12 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n23nn例 3 求证 C 1CCnCnnn 12 2 n1, nN .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品
2、资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4 已知 a 2a2a21 , x2x 2x 21 ,求证：a1x1a2 x2an xn 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12n12n2. 利用有用结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 5 求证 1例 6 已知函数11f x111 3512 xlg112n13xn2n1 x1.a n x,0a1, 给定nN , n2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求证：f 2 x2 f x xn0 对任意 nN 且 n2 恒成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -
3、- 欢迎下载精品_精品资料_例 7已知 a11,an 111n21ann . n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2I 用数学归纳法证明 an2 n2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_II 对 ln1xx 对 x0 都成立,证明 ane （无理数 e2.71828）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 8 已知不等式1111log 2 n, nN ,n2. log 2 n 表示不超过log 2n 的最大整数.设正数数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ an 满意： a123bbn0, an2nan 1, n2. 求证 an2b,
4、n3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_再如： 设函数f xxex .nan 12 blog2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nk ne可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）求函数f x 最小值.（）求证：对于任意nN ,有.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 9设 an11 nn,求证：数列 an 单调递增且 an4.k 1 ne1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1113. 部分放缩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 10设 an1aann2aa ,
5、 a3 n2 , 求证： an2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 11设数列an满意 an 12na1 nN,当 a13 时证明对全部 n1, 有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i ann2 .ii 11a111a211.1an2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 12设 n1, nN ,求证 2 n38 n1n4 .添减项放缩.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 13 设数列 a
6、n 满意 a12,an 1an1 n an1,2,. 证明 an2n1对一切正整数 n 成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5利用单调性放缩 :构造函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 14 已知函数f x32axx21的最大值不大于 6,又当 x 1 , 1 4 2时1f x. 8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0a1 , af a, nNa1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）求 a 的值.（）设1n 1n2,证明nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑
7、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 15 数列xn由以下条件确定： x11a0 , xn 1xn2a, nN xn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（I ） 证明：对 n2 总有 xna .II证明：对 n2 总有xnxn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 16求证 1n n12 nn1N , nn2.n 2 a6 .换元放缩1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 17 设 a1 , n2, nN ,求证 a.4可编辑资料 - - - 欢
8、迎下载精品_精品资料_7 转化为加强命题放缩1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 18 设 0a1,定义 a11a, an 1a ,求证：对一切正整数n 有 an1.an可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 19 数列xn满意 x11, xn 12xxn2nn 2.证明x20221001.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 20 已知数列 an满意： a1 3 ,且 an3nan1（ n2, nN ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22a
9、n1n1（ 1）求数列 an的通项公式. （2）证明：对一切正整数n 有 a1 a2 an 2 n；8. 分项争论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 21 已知数列 an的前 n 项和Sn 满意 Sn2an 1n ,n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）写出数列 an的前 3 项a1 ,a2 ,a3.（）求数列 an的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）证明：对任意的整数m4 ,有 11a4a517 .am8可编辑资料 - - - 欢迎下
10、载精品_精品资料_9. 借助数学归纳法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 22（）设函数f xx log 2 x1x log 2 1x 0x1 ,求f x 的最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）设正数p1,p 2,p 3, p 2 n 满意 p1p 2p3n1 ,求证：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_p2p1 log 2 p1p 2 log 2 p 2p3 log 2 p3p2nlog 2p2 nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料
11、_10. 构造帮助函数法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 23 已知f x = 34 x2 x ln 2 , 数列an 满意1a120, 21an 1f annN *可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1）求f x 在1 ,02上的最大值和最小值;（2）证明：1a0 ;n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3）判定an 与 an1nN 的大小,并说明理由.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例
12、 24已知数列 an 的首项 a13, an 153an, n2an11,2, 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）求 an 的通项公式.（）证明：对任意的x0 , a 112x, n1,2, .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（）证明： a1a2n 2annnn+1n11x1x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 25已知函数 fx=x2 -1x0 ,设曲线 y=fx在点（ x ,fx ）处的切线与 x 轴的交点为（ x,0 ）n N* .可编
13、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用 xn 表示 xn+1 . （）求使不等式xn 1xn 对一切正整数 n 都成立的充要条件,并说明理由.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1112n1（）如 x 1 =2,求证：.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x11x21xn3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1解析此数列的通项为 akkk1 ,k1,2,n.kk k1kk11k,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nkSnk 1n1 kk 12 ,即nn1Sn2nn1n22n1 2
14、.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注： 应留意把握放缩的 “度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式ab,如放成2kk1k1 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2得 Snn k1k 1 n1n32n12,就放过“度”了；可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依据所证不等式的结构特点来选取所需要的重要不等式,这里可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n11a1ann a1ana1ann22aa1n,其中, n n2,3 等的各式及其变式公式均可
15、供选用.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2 简析 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4x11111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xx1x1x x0f 1f n112 1n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_141422222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1 111n11 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_422n 12n 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_123nn2n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3简析 不等式左边 CnCnCnCn =
16、211222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn 1 2222 n 1 = nn 12 2,故原结论成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22例 4 【解析】使用均值不等式即可：由于xyxy 2 x, yR ,所以有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2x 2a2x2a2x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a xa xa x1122nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 12 2n n222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2a2a2x2x2x211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1
17、2n12n1.2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其实,上述证明完全可以改述成求a1x1a2 x2an xn 的最大值.此题仍可以推广为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如a1a2anp , x1x2xnq p, q0 , 试求a1x1a2x2an xn 的最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222222axaxa2x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_请分析下述求法：由于xy,所以有a1x1a2 x2an xn1122nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品
18、资料_xy x, yR 2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1a2anx1x2xnpq .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222pq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 a1x1a 2x2an xn 的最大值为2,且此时有 akxk k1,2,n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnk 1,k 122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上述解题过程貌似完善,其实细细推敲, 是大有问题的： 取“”的条件是 akxk k1,2, n ,即必需有akxk可编辑
19、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即只有 p=q 时才成立；那么,pq 了？其实例 6 的方法照样可用,只需做稍稍变形转化：222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1a 2an1,x1x2xn1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222222pp p q q q 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a xa xa xpqa1x1a2 x2anxn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 122nn就有pq222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_pq a12p 2a 22p anx122p q x22q akx
20、n2q xkkpq1,2, n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是,a1x1a2 x2an xn maxpq ,当且仅当pq可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_结合其结构特点,仍可构造向量求解：设m a1 ,a2,an , n x1, x2 , xn ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由| m n | | m | n | 马上得解：x1| a1x1x2a2x2xnan xn |a1a2anx1x2xnpq.可编辑资料 - - - 欢迎下载精
21、品_精品资料_且取“”的充要条件是：a1a2an .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2利用有用结论例 5 简析 此题可以利用的有用结论主要有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法 1 利用假分数的一个性质babm bama0, m0 可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2461352n2n1135724612n1 2n11352 n1 2n1 2462n 22462n1352n12n1.2n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 11113512n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_
22、精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法 2 利用贝努利不等式 1x n1nxnN, n2, x1, x0 的一个特例可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2112k11212k 此处 得 n12, x1,12k112k12k12k1n11k 12k1n2k1k 12k12n1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xx例 6 简析高考标准用数学归纳法证明, .这里给出运用柯西（Cauchy ）不等式法：nai bii 12nna2ii 1i 12bi的简捷证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_
23、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 2x2 f xlg 122 x32 x n12 x232 x2 xna n 2x2 lg 123n1 x2 x2 xna n x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12x3xn1 xa nx 2n1n1a n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x22 x而由 Cauchy 不等式得1 11 2 x1 3x1 n1) xa n x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资
24、料_23222 x2 x11 1 n1an x0 时取等号 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n122 x32xn1 2 xa n 2 x （0a1）,得证；可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7 解析 II 结合第I 问结论及所给题设条件ln1xx （ x0）的结构特点,可得放缩思路：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a111 aln aln111 ln aln a11 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精
25、品_精品资料_n 1n2n2 nnn 111n2n2nnnn 2n2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是 ln an 1ln an,n 2n2n1 n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1ln ai 1i 1ln ai n 111i 2i i 1i2ln anln a11112n11112 n2 n2. 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ln anln a122nae 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【注】：题目所给条件ln1xx （ x0 ）为一有用结论,可以起到提示思路与探究放缩方向的作用.当然,此题仍可可编辑资料
26、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用结论 2nnn1 n2) 来放缩：an 111nnan11nn1an 1111nn an11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ln an 11) ln an1ln11nn11.nn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n 1 ln a i 11i 2ln ai1n 11i 2i i1ln an1) ln a 21111 , n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 ln an11ln 3an3e1nan 1e2 .1nan 111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精
27、品资料_例 8 【简析】当 n2 时 annan 1anan 1,即an 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111anan 1nn1k 2ak111 nak 1k 211 . 于是当 nk3 时有 11ana11 logn222ban.2blog 2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注 ： 本 题 涉 及 的 和 式23为 调 和 级 数 , 是 发 散 的 , 不 能 求 和 . 但 是 可 以 利 用 所 给 题 设 结 论n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精
28、品_精品资料_1112 3n1log 2 n 来进行有效的放缩.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_再如：【解析】（） 1.（）证明：由（）得exx1 ,对 x1 有 1nnxxe,利用此结论进行奇妙赋值：取可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k1 n2 nn n1 n 11 n 21 11 01 n1e1e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1,kn1,2, n ,就有 nnneeee1111e1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_eenk ne可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_
29、即对于任意 nN ,有.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1k 1ne1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 9 解析引入一个结论： 如 ba略）0 就 bn 1an1b n ba) ,（可通过构造一个等比数列求和放缩来证明,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_整理上式得an 1b n n1) anb. （）,以 a11,bn111 代入（）式得n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11 n 1n111 n .即 a nn单调递增.以 a1,b11代入（）式得2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_111 n12n211