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1、精品_精品资料_平面对量学问点总结第一部分:向量的概念与加减运算,向量与实数的积的运算.一向量的概念:1. 向量:向量是既有大小又有方向的量叫向量.2. 向量的表示方法:( 1) 几何表示法: 点射线有向线段具有肯定方向的线段有向线段的三要素: 起点、方向、长度记作(留意起讫)( 2)字母表示法:AB 可表示为 a3. 模的概念:向量 AB 的大小长度称为向量的模.记作: | AB |模是可以比较大小的4. 两个特殊的向量:1零向量长度 (模)为 0 的向量, 记作 0 .0 的方向是任意的. 留意 0 与0 的区分2单位向量长度(模)为 1 个单位长度的向量叫做单位向量.二 向量间的关系:1
2、. 平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.记作: a b cab规定: 0 与任一向量平行c2. 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.记作: a = b规定: 0 = 0任两相等的非零向量都可用一有向线段表示,与起点无关.3. 共线向量:任一组平行向量都可移到同一条直线上, 所以平行向量也叫共线向量.三向量的加法:1. 定义:求两个向量的和的运算,叫做向量的加法.留意:.两个向量的和仍然是向量(简称和向量)2. 三角形法就:aaaCbb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b强调:a+ b Aaa+ bABBa+ bCCAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_
3、精品资料_1 “向量平移”(自由向量):使前一个向量的终点为后一个向量的起点2 可以推广到 n 个向量连加3 a00aa4 不共线向量都可以采纳这种法就三角形法就3. 加法的交换律和平行四边形法就1 向量加法的平行四边形法就(三角形法就) :2 向量加法的交换律: a + b = b + a3 向量加法的结合律: a + b + c = a + b + c 4. 向量加法作图:两个向量相加的和向量,箭头是由始向量始端指向终向量末端.四向量的减法:1. 用“相反向量”定义向量的减法1 “相反向量”的定义:与 a 长度相同、方向相反的向量.记作a2 规定:零向量的相反向量仍是零向量.a = a任一
4、向量与它的相反向量的和是零向量.a + a = 0假如 a、b 互为相反向量,就 a =b,b =a,a + b = 03 向量减法的定义:向量a 加上的 b 相反向量,叫做 a 与 b 的差.即: ab = a + b求两个向量差的运算叫做向量的减法.2. 用加法的逆运算定义向量的减法: 向量的减法是向量加法的逆运算:如 b + x = a,就 x 叫做 a 与 b 的差,记作 ab3. 向量减法做图:AB 表示 ab.强调:差向量“箭头”指向被减数总结: 1 向量的概念:定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量2 向量的加法与减法:定义、三角形法就、平行四边形法就、
5、运算定律五:实数与向量的积 ( 强调:“模”与“方向”两点 1.实数与向量的积实数与向量 a 的积,记作: a定义:实数与向量 a 的积是一个向量,记作:a1| a |=| |a |20 时 a 与a 方向相同.0内分外分 0 -1 外分0-1 0 内分0 外分 -1 如 P 与 P1 重合,中点时, =12yy1y22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=0P 与 P2 重合不存在2 中点公式是定比分点公式的特例3 始点终点很重要,如 P 分P P1的定比 =就 P 分 P P的定比 =2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_212214 公式:如 x1, x2, x,
6、 知三求一十 平面对量的数量积及运算律(一)平面对量数量积1. 定义:平面对量数量积(内积)的定义,a b = |a|b|cos, 并规定 0 与任何向量的数量积为0.2. 向量夹角的概念:范畴 0180C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_= 0AAAAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OBABB=180OOO BOAOB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_打算.C3. 留意的几个问题.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区分1 两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由cos的符号所2 两个向量的数量
7、积称为内积, 写成 a b.今后要学到两个向量的外积ab,而 ab 是两个数量的积,书写时要严格区分.3 在实数中,如 a0,且 a b=0,就 b=0.但是在数量积中,如 a0,且 a b=0,不能推出 b=0.由于其中 cos有可能为 0.这就得性质 2.4 已知实数 a、b、cb 0,就 ab=bca=c.但是 a b = b ca = c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如右图: a b = |a|b|cos= |b|OA| b c = |b|c|cos= |b|OA|ab=bc但 acacObA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 在实数中,有 a bc
8、= ab c,但是 a bcab c明显,这是由于左端是与 c 共线的向量, 而右端是与 a 共线的向量, 而一般 a 与 c 不共线.(二)投影的概念及两个向量的数量积的性质:1“投影”的概念:作图BBBOOObbb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OaB1A OOB1OaAOOO B 1aA O O可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义: |b|cos叫做向量 b 在 a 方向上的投影.留意: 1投影也是一个数量,不是向量.2当 为锐角时投影为正值. 当 为钝角时投影为负值. 当 为直角时投影为 0. 当= 0时投影为 |b|.当= 180时投影为|b|.2向量
9、的数量积的几何意义:数量积 a b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影 |b|cos的乘积.3两个向量的数量积的性质:设1a、b 为两个非零向量, e 是与 b 同向的单位向量.e a = a e =|a|cos2aba b = 03当 a 与 b 同向时, a b = |a|b|.当 a 与 b 反向时, a b =|a|b|.特殊的 a a = |a|2 或| a |a a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4cos=a b| a | b |5|a b| |a|b|十一 . 平面对量的数量积的运算律1. 交换律: ab = ba2. 结合律: a b =a b = a
10、b3. 安排律: a + b c = a c + b c十二. 平面对量的数量积的坐标表示1.设 a = x1, y1,b = x2, y2,x 轴上单位向量 i, y 轴上单位向量 j,就: i i = 1, j j = 1, i j = j i = 02.a b = x1x2 + y1y23.长度、角度、垂直的坐标表示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 a = x, y|a|2 = x2 + y2|a| =x2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 如 A = x1, y1,B = x2 , y2,就 AB
11、=x1x 2 y1y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_223 cos=a bx1 x 2y1 y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| a | | b |2222x1y1x 2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就)十三 .平移4 a ba b = 0即 x1x2 + y1y2 = 0 (留意与向量共线的坐标表示原可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、平移的概念:点的位置、图形的位置转变,而外形、大小没有转变,从而导致函数的解析式也随着转
12、变. 这个过程称做图形的平移.(作图、讲解) 一个平移实质上是一个向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、平移公式:设PP = h, k,即:OPOPPP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xxhxy, =x, y + h, kyyk 平移公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、留意: 1 它反映了平移后的新坐标与原坐标间的关系2 知二求一3 这个公式是坐标系不动,点 Px, y按向量 a = h, k平移到点Pxy,.另一种平移是:点不动,把坐标系平移向量a,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品
13、资料_xx即:yyh.这两种变换使点在坐标系中的相对位置是一k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_十四 . 正弦定理样的,这两个公式作用是一样的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 正弦定理的表达:在一个三角形中.各边和它所对角的正弦比相等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公式即:a=sin Ab sin B=c sin C它适合于任何三角形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 可以证明a=sin Ab sin B=c sin C=2R(R
14、为 ABC 外接圆半径)可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 每个等式可视为一个方程:知三求一从理论上正弦定理可解决两类问题:1. 两角和任意一边,求其它两边和一角.2. 两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角.十五 . 余弦定理1. 余弦定理语言描述:三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.2. 余弦定理公式:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b 2c22bc cos A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b 2a 2c22ac cos B可编
15、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c 2a 2b 22 ab cos C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 强调几个问题:1 熟识定理的结构,留意“平方” “夹角”“余弦”等2 知三求一3 当夹角为 90时,即三角形为直角三角形时即为勾股定理(特例)可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 变 形 :cos Ab2c2a 22bccos Ba 2c2b 22ac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos Ca 2b2c 22ac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、余弦定理的应用能解决的问题: 1已知三边求角2已知三边和它们的夹角求第三边可编辑资料 - - - 欢迎下载