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1、_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 高一数学必修 1、4学问、方法总结第一部分： 高一数学必修1学问、方法总结第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：1 元素的确定性如：世界上最高的山 2 元素的互异性如：由 HAPPY的字母组成的集合 H,A,P,Y 3 元素的无序性 : 如： a,b,c 和a,c,b 是表示同一个集合3. 集合的表示： 如：我校的篮球队员 北冰洋 , 太平洋 , 大西洋 , 印度洋 ,1 用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 2 集合的表示方法：列举法与描述法；留意：常用数集及其记法
2、：非负整数集（即自然数集）记作： N 正整数集 N* 或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 1） 列举法： a,b,c 2） 描述法： 将集合中的元素的公共属性描述出来,的方法； x R| x-32 ,x| x-32 写在大括号内表示集合3） 语言描述法：例： 不是直角三角形的三角形 4） Venn 图: 4、集合的分类：1 有限集含有有限个元素的集合例： x|x2=52 无限集含有无限个元素的集合3 空集不含任何元素的集合二、集合间的基本关系1. “ 包含” 关系子集留意：A B 有两种可能 （1）A 是 B 的一部分, ；（2）A 与 B 是同一集合；反之 : 集合 A 不包含于
3、集合 B, 或集合 B 不包含集合 A, 记作 A B或 B A 2“ 相等” 关系：A=B 5 5,且 55,就 5=5 实例：设 A=x|x 2-1=0 B=-1,1 “ 元素相同就两集合相等”即： 任何一个集合是它本身的子集；A A 真子集 : 假如 A B, 且 A B那就说集合 A是集合 B的真子集,记作 A B或B A 假如 A B, B C , 那么 A C 假如 A B 同时 B A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为 规定 : 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集；有 n 个元素的集合,含有 2 n个子集, 2 n-1 个真子集三、集合的运算_精
4、品资料_ - - - - - - -第 1 页,共 17 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 运算交集并集补集类型定由全部属于A 且属由全部属于集合A 或设 S 是一个集合, A 是义S 的一个子集,由S 中于 B 的元素所组成属于集合B 的元素所全部不属于 A的元素组的集合 , 叫做 A,B 的组成的集合, 叫做 A,B成的集合, 叫做 S 中子韦交集 记作 AB（读的 并集 记作： AB集 A 的补集 （或余集）作A 交 B）,即（读作A 并 B）,记作C SA,即AB=x|xA,且即 AB =x|xA,CSA= x|xS ,且 xA xB或 xB ABABS A 恩图
5、示图 1图 2CuA CuB AA=A AA=A 性质A =A =A = Cu AB AB=BA AB=BA CuA CuB ABA AB= CuAB ABB ABB A C uA=U A C uA= 例题：1. 以下四组对象,能构成集合的是（）A某班全部高个子的同学 B 闻名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2. 集合 a ,b, c 的真子集共有 个3. 如集合 M=y|y=x 2-2x+1,x R,N=x|x0 ,就 M与 N的关系是 . 4. 设集合 A= x 1 x 2,B= x x a,如 A B,就 a 的取值范畴是5.50 名同学做的物理、化学两种试验,已知物
6、理试验做得正确得有 40人,化学试验做得正确得有 31 人,两种试验都做错得有 4 人,就这两种试验都做对的有 人；6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M= . 7. 已知集合 A=x| x 2+2x-8=0, B=x| x 2-5x+6=0, C=x| x 2-mx+m 2-19=0, 如 BC ,AC= ,求 m的值二、函数的有关概念_精品资料_ 1函数的概念：设A、B 是非空的数集,假如依据某个确定的对应关系f ,第 2 页,共 17 页使对于集合A 中的任意一个数x,在集合B 中都有唯独确定的数fx 和它对应, 那么就称 f ：AB 为从集合 A 到集合 B 的
7、一个函数 记作： y=fx,xA其中, x 叫做自变量, x 的取值范畴A 叫做函数的定义域；与x 的值- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合fx| xA 叫做函数的值域留意：1定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域；求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：1 分式的分母不等于零；2 偶次方根的被开方数不小于零； 3 对数式的真数必需大于零；4 指数、对数式的底必需大于零且不等于 1. 5 假如函数是由一些基本函数通过四就运算结合而成的 . 那么,它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集
8、合 . 6 指数为零底不行以等于零,7 实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义 . 相同函数的判定方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一样 两点必需同时具备 见课本 21 页相关例 2 2值域 : 先考虑其定义域1 观看法 2 配方法 3 代换法 3. 函数图象学问归纳 1 定义：在平面直角坐标系中,以函数 y=fx , x A 中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标的点 Px ,y 的集合 C,叫做函数 y=fx,x A的图 象C上每一点的坐标 x ,y 均满意函数关系 y=fx ,反过来,以满意 y=fx的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点 x ,y ,均
9、在 C上 . 2 画法 A、 描点法：B、 图象变换法常用变换方法有三种1 平移变换2 伸缩变换3 对称变换4区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示5映射 一般地, 设 A、B 是两个非空的集合,假如按某一个确定的对应法就 f ,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B中都有唯独确定的元素 y 与之 对应,那么就称对应 f ：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射；记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”对于映射 f ：AB来说,就应满意：1 集合 A 中的每一个元素,在集合 B中都有象,并且象是唯独的；2 集合 A 中不同的
10、元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个；3 不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象；6. 分段函数 1 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数；2 各部分的自变量的取值情形3 分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集补充：复合函数假如 y=fuu M,u=gxxA, 就 y=fgx=FxxA 称为 f 、 g的复合函数；_精品资料_ - - - - - - -第 3 页,共 17 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 二函数的性质1. 函数的单调性 局部性质 （1）增函数设函数 y=fx 的定义域为 I ,假如对于定义域 I 内的某个区间
11、 D内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1x2时,都有 fx 1fx 2 ,那么就说 fx 在区间D上是增函数 . 区间 D称为 y=fx 的单调增区间 . 假如对于区间 D上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1x2 时,都有 fx 1fx 2 ,那么就说 fx 在这个区间上是减函数 . 区间 D称为 y=fx 的单调减区间 . 留意：函数的单调性是函数的局部性质；（2） 图象的特点假如函数 y=fx 在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=fx 在这一区间上具有 严格的 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的 . 3. 函数单调区间与单调性的
12、判定方法A 定义法：1 任取 x1,x2 D,且 x11,第 5 页,共 17 页且 n N*负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是0,记作n00；- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 当 n 是奇数时,nana,当 n 是偶数时,nan|a|aa a0 a0 2分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定：amnama0 ,m ,nN* n1 ,nam1n1a,0m ,nN* n1nmm aan0,0 的负分数指数幂没有意义0 的正分数指数幂等于3实数指数幂的运算性质（1）r a araarsa0 ,r,sR ；r a srs（2）（3）abrarasa
13、0 ,r,sR ；a0 ,r,sR （二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地,函数yaxa0 ,且a1 叫做指数函数,1其中 x 是自变量,函数的定义域为R留意：指数函数的底数的取值范畴,底数不能是负数、零和2、指数函数的图象和性质a1 2 40a1 4 56 70a0 ,a0,函数 y=ax与 y=log a-x 的图象只能是1log5272log52 2. 运算：log32 ;24log23= ；25= ; 3log2764.00641702 3416.075.01 01 2 = 3383. 函数 y=log12x2-3x+1 的递减区间为24. 如函数fx log ax 0a1在
14、区间a ,2 a 上的最大值是最小值的3 倍,就 a= 5. 已知f x logx x a0且a1,（ 1）求f x的定义域（ 2）求使fx0的 x 的取值范畴1a1第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点_精品资料_ 1、函数零点的概念：对于函数yfxxD,把使fx00成立的实第 8 页,共 17 页数 x 叫做函数yfx xD的零点；x实数根,亦2、函数零点的意义：函数yfx的零点就是方程f即函数yfx的图象与 x 轴交点的横坐标；- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 即：方程fx0有实数根函数yfx的图象与 x 轴有交点函数yfx有零点yfx的3
15、、函数零点的求法：1（代数法）求方程fx0的实数根；2（几何法）对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数图象联系起来,并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：二次函数yax2bxca0x 轴0有两不等实根, 二次函数的图象与（1） , 方程ax2bxc有两个交点,二次函数有两个零点0有两相等实根, 二次函数的图象与x 轴（2） , 方程ax2bxc有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点（3） ,方程ax2bxc0无实根,二次函数的图象与x 轴无交点,二次函数无零点5. 函数的模型收集数据画散点图不 符 合 实 际挑选函数模型求函数模型检验符合实际用函数模型说明实际问题_精品资料_ -
16、 - - - - - -第 9 页,共 17 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 其次部分： 高一数学必修 4学问、方法总结基本三角函数2_精品资料_ 2、第 10 页,共 17 页2、2、2、终边落在x轴上的角的集合：,z终边落在y 轴上的角的集合：2,z终边落在坐标轴上的角的集合：2,zl1lrr1r2360度.2弧度基本三角函数符号记1180弧度忆：“ 一全,二正弦,三切,S22180度四余弦”1弧度180弧度tancot1倒数关系：SinCsc1正六边形对角线上对应的三角函数之积为1 CosSec1平方关系：tan2212 Sec1三个倒立三角形上底边对应三角函数的
17、平方何等与对Sin2Cos2边对应的三角函数的平方1CotCsc2乘积关系：SintanCos, 顶点的三角函数等于相邻的点对应的函数乘积诱导公式终边相同的角的三角函数值相等Sin2kSin,kzCos2kCos,kztan2ktan,kz角与角关于x 轴对称SinSinCosCostantan- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 角与角关于y 轴对称SinSinCosCos角角tantanSin2Cos与角关于原点对称SinSinCosCostantan与角关于yx 对称Sin2Cos2Cos2SinCos2Sintan2cottancot2上述的诱
18、导公式记忆口诀：“ 奇变偶不变,符号看象限”_精品资料_ y周期问题,A0,0,T2T2第 11 页,共 17 页ASinx2yACosx,A0,0,TTyASinx,A0,0,yACosx,A0,0,TyASinxb,A0,0,b0,性质yACosxb,A0,0,b0,T2yAtanx,A0,0,TyAcotx,A0,0,TyAtanx,A0,0,TyCosxyAcotx,A0,0,T三角函数的性质xySin定义域2R ,kz ,增函数2kR z ,增函数值域1,11,1周期性22奇偶性奇函数偶函数单调性, 2 k,kk2,2k2减函数2k, 2 k,kz ,2k2,2k3,kz ,减函数2
19、- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 对称中心k, 0,kzk2,0,kz对称轴xk2,kzxk,kz5图54342y3像-8-2 -6-3 /2-4- -2- /22y /2 2 43 /262 x-8-2 -6-3 /2-4- -2- /21O /22 43 /262 x81-1-1O8-2-2-3-3-4-4-5-5-6性质ytanxycotx定义域xxR 2,zxx,z值域R 周期性奇偶性k2,kk奇函数zz,增函数k,k奇函数,z ,增函数单调性2,k,k对称中心,0,kk2,0kz对称轴无无10y 86图4y2x像-15-10-5-3 /2
20、- - /2-2O /2 3 /2510150 x -4-6-8-10_精品资料_ 怎样由ySinx 变化为yASinxk？第 12 页,共 17 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 振幅变化：ySinxyASinx左右伸缩变化：y ASin x 左右平移变化 y ASin x 上下平移变化 y ASin x k平面对量共线定理：一般地,对于两个向量 a , a 0 , b , 假如有一个实数 , 使得 b a , a 0 , 就 b 与 a 是共线向量；反之假如 b 与 a 是共线向量那么又且只有一个实数 , 使得 b a . 线段的定比分点点
21、P 分有向线段 P 1P 2 所成的比的定义式 P 1 P PP 2. 线段定比分点坐标公式aa0. OP线段定比分点向量公式xx 1x2OP1OP21yy1y211当1 时.当1 时线段中点坐标公式线段中点向量公式xx 12x2OPOP12OP2yy12y2向量的一个定理的类似推广向量共线定理：b推广平面对量基本定理：a1e12e2,其中e 1,e2为该平面内的两个不共线的向量推广_精品资料_ - - - - - - -第 13 页,共 17 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - a1e 12e23e3,空间向量基本定理：其中e 1,e2,e 3为该空间内的三个不共面的向量一般地,设向量ax 1,y 1,bx2,y2且a,0假如ab那么x 1y2x 2y 10反过来,假如x 1y 2x2y 1,0就a b .bCos, 其中 为两向量的夹角；一般地,对于两个非零向量a,b有abaCosabx 1x1x22y1y2y22ab2y1x 22abx 1x2y 1y2特殊的,aaa2a2或者aaa假如abx1,y11,by1x2,y2且a0,就特殊的,axx 2y20OA n0如正n 边形A 1A 2A n的中心为O,就O A 1OA 2三角形中的三角问题SinABC,ABC2,A2B2-CCosC 222ABSinCCosABCosCSinA2BCosA2B