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1、第三章 用变分法求解最优控制问题设系统状态方程:性能指标:式中 和F为纯量函数 最优控制问题就是寻求最优控制及最优状态轨迹使性能指标J取极值.一一.初始时刻初始时刻 及始端状态及始端状态 给定给定,给定给定,终端自由终端自由 构造增广泛函 令哈密尔顿函数:则 注意到:3为使上式成立,应同时满足下列方程:欧拉方程(伴随方程)状态方程 控制方程 横截条件 对于两端固定的情况下横截条件 例例 1设系统状态方程为 的边界条件为求最优控制 使下列性能指标 为最小 解:作哈密尔顿函数 欧拉方程 控制方程 状态方程 5消除u由边界条件 得最优控制 二二.初始时刻初始时刻 及始端状态及始端状态 给定给定,给定
2、给定,终端约束终端约束.设终端约束方程为 构造增广泛函:式中 J取极值的必要条件是 7正则方程 控制方程 边界条件和横截条件 三三.初始时刻初始时刻 及始端状态及始端状态 给定给定,自由自由,终端约束终端约束 设终端约束为 构造增广泛函 得J取极值的必要条件为:正则方程 控制方程 边界条件和横截条件 用变分法求解最优解的必要条件用变分法求解最优解的必要条件 性能指标 系统方程 约束条件 正则方程 控制方程 10边界条件和横截条件边界条件和横截条件tf给定终端固定终端自由终端约束tf自由 终端固定终端自由终端约束例例2 已知系统状态方程为 求最优控制 使性能指标 为最小 解 本题为 给定，终端自
3、由的情况 正则方程:控制方程 得 消除u12边界条件与横截条件 求得 最后得最优控制 例例3设系统的状态方程为 性能指标 终端约束条件 试求使 的最优控制 解 本题为 终端受约束的 最优解问题 14正则方程 控制方程 15边界条件和横截条件 代入 16解得 例例 4设系统状态方程为 边界条件 试确定最优控制 使 为极小 解 这是 自由,终端固定的最优解问题 正则方程 控制方程 应用边界条件 18例例 5设控制对象方程为 终端时刻 自由,终端固定 求和 使得 为极小.解 本题 自由,终端固定 20由边界条件和横截条件 故 或 21于是最优轨线和最优控制为:当 当 由可求出终端时刻tf*例例6 磁场控制的直流电动机如图所示 MRfLfUf数学模型 边界条件 性能指标 给定 试求在t1时间内由x(0)转移到x(t1),并使控制能量具有极小值时的控制输入(励磁电压)uf*,最优性能指标J*和最优轨线x(t)*,23解:这是tf 给定,x(tf)固定的最优控制问题 正则方程 控制方程 代入状态方程得24代入给定边界条件则最优控制为 最优性能指标 最优轨线