《2022年高中数学用空间向量解立体几何问题方法归纳.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学用空间向量解立体几何问题方法归纳.docx（40页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载用空间向量解立体几何题型与方法平行垂直问题基础学问直线 l 的方向向量为a a1, b 1 , c1 平面 , 的法向量u a3, b3 , c3 , v a4 ,b 4, c4 1 线面平行： l. au . a u 0 . a1a3 b 1 b3 c1c3 0(2) 线面垂直： l . au . a k u . a1 ka3 , b 1 kb 3 ,c1 kc 3(3) 面面平行： . u v. u kv . a3 ka4 , b 3 kb 4, c3 kc 44 面面垂直： .
2、u v . u v 0 . a3a4 b 3b 4 c3 c4 0例 1 、如下列图,在底面是矩形的四棱锥P- ABCD 中, PA底面 ABCD ,E,F 分别是 PC,PD 的中点, PAAB 1 , BC 2.(1) 求证： EF平面 PAB.(2) 求证：平面PAD平面 PDC. 证明 以 A 为原点, AB, AD ,AP 所在直线分别为x 轴, y 轴, z 轴,建立空间直角坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_系如下列图,就A0,0,0 , B1,0,0 , C1,2,0 , D 0,2,0 , P0,0,1 ,所以E11,1 ,22可编辑资料 - - - 欢迎下载
3、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1F 0 , 1 ,2, EF 1,0 ,0 , PB 1,0 , 1 , PD 0,2 , 1 , AP 0,0,1 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AD 0,2,0 , DC 1,0,0 , AB 1,0,0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1(1) 由于 EF 2AB ,所以 EFAB ,即 EFAB.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 AB . 平面 PAB, EF. 平面 PAB,所以 EF平面 PAB.2 由于 AP DC 0,0,1 1,0,0 0 , AD DC
4、0,2,0 1,0,0 0,所以 AP DC , AD DC ,即 AP DC ,AD DC.又 AP AD A,AP. 平面 PAD,AD . 平面 PAD ,所以 DC平面 PAD.由于 DC. 平面PDC,所以平面 PAD平面 PDC.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 20 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载使用空间向量方法证明线面平行时,既可以证明直线
5、的方向向量和平面内一条直线的方 向向量平行, 然后依据线面平行的判定定理得到线面平行,也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.证明面面垂直既可以证明线线垂直,然后使用判定定理进行判定,也可以证明两个平面的法向量垂直.例 2 、在直三棱柱ABC-A 1B1 C1 中,ABC 90 ,BC2 , CC1 4 ,点 E在线段 BB1 上,且 EB1 1 ,D , F, G 分别为 CC1 , C1B1, C1 A1 的中点求证： 1 B1 D 平面 ABD .(2) 平面 EGF平面 ABD .证明： 1 以 B 为坐标原点, BA、 BC、BB1 所在的直线分别为x 轴、 y 轴、 z 轴建立
6、空间直角坐标系,如下列图,就B0,0,0 , D 0,2,2 ,B1 0,0,4 ,设 BA a,就 Aa,0,0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 BA a,0,0 , BD 0,2,2 ,B1D 0,2 , 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B1 D BA 0 , B1 D BD 0 4 4 0,即 B1D BA , B1D BD .又 BA BD B,因此 B1 D 平面 ABD .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 由1 知, E0,0,3 , Ga, 1 , 4 , F0,1,4 ,就 EG 2a, 1 , 1 , EF 0,
7、1,1 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B1 D EG 0 2 2 0, B1 D EF 0 2 2 0 ,即 B1 D EG, B1 D EF.又 EGEFE,因此 B1D 平面 EGF.结合 1 可知平面EGF平面 ABD .利用空间向量求空间角基础学问(1) 向量法求异面直线所成的角：如异面直线a, b 的方向向量分别为a, b ,异面直线所成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的角为 ,就 cos |cos a,b |a b |.|a|b |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 向量法求线面所成的角：求出平面的法向量n,直线的方向向量a
8、,设线面所成的角为,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 sin |cos n , a|na|.| n|a|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 向量法求二面角：求出二面角 l 的两个半平面 与 的法向量n 1, n 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 20 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载
9、精品_精品资料_如二面角 l 所成的角 为锐角,就cos|cos n 1, n2 |n 1n 2|.|n1 |n 2 |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如二面角 l 所成的角 为钝角,就cos |cos n 1 , n2 |n 1n2 |.|n 1|n 2 |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1 、如图,在直三棱柱A1 B1C1- ABC 中, AB AC, AB AC 2 , A1A 4 ,点 D 是 BC 的中点(1) 求异面直线A1B 与 C1D 所成角的余弦值.(2) 求平面 ADC 1 与平面 ABA
10、1 所成二面角的正弦值 解1 以 A 为坐标原点,建立如下列图的空间直角坐标系A- xyz ,就A0,0,0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B2,0,0 ,C0,2,0 ,D 1,1,0 ,A10 ,0,4 ,C10,2,4 ,所以A1 B 2,0 , 4 , C1 D 1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 , 4 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 cos A1 B , C1D |A1B C1DA1 B | C1 D |1820 18310,10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品
11、资料_所以异面直线A 1B 与 C1 D 所成角的余弦值为310.10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 设平面 ADC 1 的法向量为n1 x,y,z,由于 AD 1,1,0 ,AC1 0,2,4 ,所以 n 1AD0 ,n 1 AC1 0 ,即 x y 0 且 y 2 z0 ,取 z 1,得 x 2, y 2 ,所以, n1 2 ,2,1 是平面 ADC 1 的一个法向量 取平面 ABA 1 的一个法向量为n 2 0,1,0 设平面 ADC 1与平面 ABA 1 所成二面角的大小为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由|cos| n 1n 2| n1 |n 2
12、 |29 125,得 sin. 33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5因此,平面ADC1 与平面 ABA 1 所成二面角的正弦值为.3例 2 、如图,三棱柱ABC- A1B1C1 中, CA CB,AB AA 1,BAA 1 60 .(1) 证明： AB A1C.(2) 如平面 ABC平面 AA 1B1B, AB CB,求直线A1C 与平面 BB1C1 C 所成角的正弦值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 20 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精
13、品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载解1 证明：取AB 的中点 O,连接 OC, OA 1, A1 B.由于 CA CB,所以 OC AB .由于 AB AA 1,BAA 1 60 ,故AA 1 B 为等边三角形,所以OA 1 AB.由于 OC OA 1 O ,所以 AB平面 OA 1C.又 A1C. 平面 OA 1 C,故 AB A1 C.2 由1 知 OC AB, OA 1 AB.又平面 ABC平面 AA 1 B1 B,交线为AB, 所以 OC 平面 AA 1 B1 B,故 OA ,OA 1, OC 两两相互垂直以 O 为坐
14、标原点,OA 的方向为x 轴的正方向, | OA |为单位长,建立如下列图的空间直角坐标系O - xyz .由题设知A 1,0,0 , A1 0 ,3 , 0 ,C0,0 ,3 , B1,0,0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 BC 1,0 ,3 , BB1 AA1 1 ,3, 0 ,A1C 0 ,3 ,3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 n x, y, z是平面 BB1C1 C 的法向量,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n BC 0 ,x3z 0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就n BB1即 0.可取 n 3 , 1
15、 , 1 x3 y 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 cosn,A1Cn A1C 10.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|n | A1C |510所以 A 1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为.5(1) 运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：建立恰当的空间直角坐标系.求出相关点的坐标.写出向量坐标.结合公式进行论证、运算.转化为几何结论(2) 求空间角应留意：两条异面直线所成的角不肯定是直线的方向向量的夹角,即 cos |cos|.两平面的法向量的夹角不肯定是所求的二面角,有可能两法向量夹角的补角为
16、所求例 3 、如图,在四棱锥S-ABCD 中, AB AD , AB CD, CD 3 AB 3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 20 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载平面 SAD 平面 ABCD , E 是线段 AD 上一点, AEED3 , SE AD .(1) 证明：平面SBE平面 SEC.(2) 如 SE 1 ,求直线 CE 与平面 SBC 所成角
17、的正弦值解：1 证明：平面 SAD平面 ABCD ,平面 SAD 平面 ABCD AD ,SE. 平面 SAD, SE AD ,SE平面ABCD .BE. 平面ABCD ,SEBE.ABAD , AB CD,CD 3AB 3 , AEED3 ,AEB 30 ,CED60 .BEC 90 ,即 BE CE.又 SECE E,BE平面 SEC.BE. 平 面 SBE,平面 SBE平面 SEC.2 由1 知,直线 ES,EB,EC 两两垂直如图,以E 为原点, EB 为 x 轴, EC 为 y 轴,ES 为 z 轴,建立空间直角坐标系就 E0,0,0 ,C0,23 ,0 ,S0,0,1 ,B2,0,
18、0 ,所以 CE0 , 23, 0 , CB 2 , 23 , 0 , CS 0 , 23, 1 设平面 SBC 的法向量为n x,y,z,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n CB 0,就即n CS 0.2 x23 y 0 ,令 y 1,得 x3 ,z 23 , 23 y z 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就平面 SBC 的一个法向量为n 3 , 1,23 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设直线 CE 与平面 SBC 所成角的大小为,就 sin |n CE 1| ,|n | CE | 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1故直
19、线 CE 与平面 SBC 所成角的正弦值为4 .例 4 、如图是多面体ABC- A1B1C1 和它的三视图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 20 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载(1) 线段 CC1 上是否存在一点E,使 BE平面 A1CC1？如不存在, 请说明理由, 如存在,请找出并证明.(2) 求平面 C1A1C 与平面 A1CA 夹角的余弦值解：1 由
20、题意知AA 1 ,AB ,AC 两两垂直, 建立如下列图的空间直角坐标系,就 A0,0,0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A1 0,0,2 ,B 2,0,0 ,C0 , 2,0 , C1 1 , 1,2 ,就CC1 1,1,2 , A1C1 1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1,0 ,A1C 0 , 2 , 2 设 Ex, y, z,就 CE x, y 2 , z,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_EC1 1 x, 1 y,2 z设 CE EC1
21、0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x x, 就y2 y,z 2 z, 就 E,1 2 ,1 2 ,1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BE 2 ,1 2 ,1 2 .1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BE A1C1 0 ,由1 1得 0 , 解得 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BE A1C 0 , 2 2 0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 1
22、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以线段 CC1 上存在一点E, CE 2EC1,使 BE平面 A1 CC1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m A1C1 0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 设 平 面C1A1 C的 法 向 量 为m x , y , z , 就 由得m A1C 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x y 0, 2 y2 z 0 ,取 x 1,就 y 1 ,z 1.故 m 1 , 1,1 ,而平面 A1 CA 的一个法向量为n 1,0,0 ,可编辑资料 - -
23、 - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 20 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 cosm ,nm n| m | n|133,故平面 C1A 1 C 与平面 A 1 CA 夹角的余弦值为. 333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利用空间向量解决探干脆问题例 1 、如图 1 ,正ABC 的边长为 4 ,CD 是 AB 边
24、上的高, E,F 分别是 AC 和 BC 边的中点,现将 ABC 沿 CD 翻折成直二面角A- DC- B如图 2 (1) 试判定直线AB 与平面 DEF 的位置关系,并说明理由.(2) 求二面角E-DF -C 的余弦值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 在线段 BC 上是否存在一点P,使 AP DE？假如存在,求出BP的值.假如不存在,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BC请说明理由解1 在ABC 中,由 E,F 分别是 AC,BC 中点,得 EFAB.又 AB . 平面 DEF, EF. 平面 DEF,AB平面 DEF.2 以点 D 为坐标原点,以直线D
25、B ,DC , DA 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立空间 直角坐标系,就A0,0,2 , B2,0,0 , C0 , 23 , 0 , E0 ,3 , 1 , F1 ,3 , 0 , DF 1 ,3 , 0 , DE 0 ,3 ,1 , DA 0,0,2 平面 CDF 的法向量为DA 0,0,2 设平面EDF 的法向量为n x, y, z,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_DF n 0 ,就DE n 0 ,x3 y 0,即3y z 0,取 n 3 ,3 , 3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos DA
26、 ,n DA n|DA |n |2121,所以二面角E- DF- C 的余弦值为.77可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_233 存在设 Ps, t,0 ,有 AP s, t, 2 ,就 AP DE 3 t 2 0 ,t ,3又 BP s 2 ,t, 0 , PC s,23 t,0 ,BP PC ,s 223 t st ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 20 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - -
27、 - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 s t 23.把 t 234代入上式得s331, BP 3BC ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在线段 BC 上存在点P,使 AP DE.此时,BP1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BC31论证、推理,只需通过坐标运算进行判定.2题转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范畴内的解”等,所以为使问题的解决更简洁、有效,应善于运用这一方法.例 2 、.如下列图,在直三棱柱ABC- A1 B 1C1 中,ACB 90
28、,AA 1 BC 2 AC 2.(1) 如 D 为 AA 1 中点,求证：平面B1 CD 平面 B1C1 D .(2) 在 AA 1 上是否存在一点D ,使得二面角B1- CD- C1 的大小为60 ？解： 1 证明：如下列图,以点C 为原点, CA ,CB,CC1 所在直线分别为x,y, z 轴建立空间直角坐标系就C0,0,0 ,A1,0,0 , B1 0,2,2 , C10,0,2 , D 1,0,1 ,即 C1B1 0,2,0 , DC1 1,0,1 , CD 1,0,1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 C1B1 CD 0,2,0 1,0,1 0 0 0 0,得C1
29、B1 CD ,即 C1 B1CD .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 DC1 CD 1,0,1 1,0,1 1 0 1 0,得DC1 CD ,即 DC1 CD.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 DC1 C1 B1 C1,CD 平面 B1 C1D .又 CD. 平面 B1CD ,平面 B1CD平面 B1 C1D .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 存在当AD 2AA 1 时,二面角B1- CD- C1 的大小为 60 .理由如下：2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -
30、- - 欢迎下载精品_精品资料_设 AD a,就 D 点坐标为 1,0 , a , CD 1,0 ,a,CB1 0,2,2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设平面 B1CD 的法向量为m x, y,z,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m CB1 0就.m CD 02 y 2 z0 ,令 z 1,得 m a,1 , 1 x az 0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 20 页 - - - - - - - - - -可编辑资料
31、- - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|m CB |又CB 0,2,0 为平面 C1 CD 的一个法向量,就cos 60 |m | CB |11,a222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 a2 负值舍去 ,故 AD 22AA 1 .在AA 1 上存在一点D 满意题意2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_空间直角坐标系建立的创新问题空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性,能把“
32、非运算”问题“运算”化,即通过直线的方向向量和平面的法向量解决立体几何问题解决的关键环节之一就是建立空间直角坐标系,因而建立空间直角坐标系问题成为近几年试题新的命题点一、经典例题领会好例 1 、如图,四棱锥P- ABCD 中, PA底面 ABCD , BC CD 2, AC 4 ,ACB ACD , F 为 PC 的中点, AFPB.3(1) 求 PA 的长.(2) 求二面角B- AF- D 的正弦值(1) 学审题审条件之注视图形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_建系由条件知 AC BD PA面 ABCDDB ,AC 分别为 x,y 轴写出A,B,C,D 坐标可编辑资料 - -
33、- 欢迎下载精品_精品资料_PFCFAF PB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 P 坐标可得 F 坐标AF PB 0得 P 坐标并求PA 长可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 学审题由1AD,AF,AB的坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向量 n1 , n 2分别为平面 FAD、平面 FAB的法向量n 1 AD 0 且 n1 AF 0求得 n 1 n 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求得夹角余弦解1 如图,连接BD 交 AC 于 O ,由于 BC CD ,即BCD 为等腰三角形,又AC平分BCD ,故 AC BD .以
34、 O 为坐标原点,OB , OC , AP 的方向分别为x 轴, y 轴, z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_轴的正方向,建立空间直角坐标系O -xyz ,就 OC CDcos 1. 而 AC 4 ,得 AO AC3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 20 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载OC 3. 又 OD CDsin3 ,故 A 0 , 3,0 ,B3 ,0,0 ,C0,1,0 ,D 3 ,0,0 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_z因 PA